MANUAL.XGP[MF,DEK]1 - www.SailDart.org

perm filename MANUAL.XGP[MF,DEK]1 blob sn#460584 filedate 1979-07-19 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000651*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓Y␈↓ ↓H␈ε=Stanford␈α
Ar␈α␈t␈α↓i|cial␈α
In␈α↓te␈α␈l␈α↓lige␈α␈n␈α↓c␈α␈e␈α
Labor␈α␈atory␈↓ 	:Septober␈α1979
␈βα∧␈↓ ↓H␈ε=M␈α␈emo␈α
AIM-000␈↓ 	_(␈α↓z␈α␈er␈α␈oth␈α∞pr␈α␈i␈α↓nting)
␈βαp␈↓ ↓H␈ε=Computer␈α
Sc␈α␈i␈α↓e␈α␈nce␈α
De␈α␈partment
␈ββ≠␈↓ ↓H␈ε=Re␈α␈p␈α↓o␈α␈rt␈α
N␈α↓o␈α␈.␈α∞ST␈α|AN-C␈α↓S-79␈α␈-␈α↓0␈α␈00
␈βπ]␈↓ βA␈ε=ME␈α␈T␈α⎇AF␈α}ONT,␈α∞a␈α∞sys␈α↓te␈α␈m␈α∞for␈α
charac␈α␈ter␈α
s␈α↓haping
␈βλI␈↓ ∧z␈ε6⎇␈ε"␈α1979␈α
by␈α
D.␈α
E.␈αKn␈α␈uth
␈β
␈↓ ∧f␈ε=(Bount␈α↓y-hun␈α↓te␈α␈rs'␈α∞editi␈α↓o␈α␈n␈α↓)
␈β
F␈↓ α≡␈ε$W␈α⎇ARNING:␈απThis␈αλi␈α␈s␈αλa␈αλhighly␈αλpr␈α␈eli␈α␈mi␈α␈nary␈αλv␈α␈ersi␈α␈o␈α↓n␈απo␈α↓f␈αλthe␈απman␈α␈ua␈α↓l␈α␈,␈αλto␈αλbe␈αλre␈α␈a␈α↓d␈αλat␈αλy␈α␈our
␈β
f␈↓ α≡␈ε$o␈α␈w␈α↓n␈αri␈α␈sk.␈α∞The␈αre␈α␈a␈α↓l␈αm␈α␈a␈α↓n␈α␈ual␈αwil␈α␈l␈αbe␈αproperl␈α␈y␈αtype␈α␈set␈αand␈αi␈α␈ts␈α|gure␈α␈s␈αwi␈α␈ll␈αbe␈αm␈α}uch
␈β∞π␈↓ α≡␈ε$bett␈α␈er.␈α	This␈αλprel␈α␈im␈α␈inary␈α	pr␈α␈eli␈α␈mi␈α␈nary␈α	v␈α␈er␈α␈sion␈α	i␈α␈s␈α	be␈α␈ing␈α	c␈α␈irc␈α␈ulated␈αλnow␈αλin␈α	hope␈α␈s␈α	that
␈β∞'␈↓ α≡␈ε$bugs␈αin␈αt␈α␈he␈αman␈α␈ual␈αand␈αthe␈α
system␈α
wil␈α␈l␈αdi␈α␈sappear␈αas␈αsoo␈α↓n␈αas␈αpossi␈α␈ble␈α␈.␈αA␈αreward
␈β∞G␈↓ α≡␈ε$of␈α25␈↓ α`␈ε$/␈↓ α`␈ε$c␈α
is␈α
grateful␈α␈ly␈α
paid␈α
to␈αt␈α␈he␈α
|rst␈α
|nder␈α
of␈αe␈α␈ach␈α
error.
␈β⊂+

␈β∧|␈↓ ∧y␈ε<()␈α}*␈α|+␈α↓,␈α|-.*
␈β¬m␈↓ βz␈ε2A␈α
SYSTEM␈αF␈α␈OR␈α
ALPHABET␈αDESIGN
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε↓}
␈βπ6␈↓ ¬U␈ε"by␈α∞mathematical␈α∂means␈α∞was␈α∂|rst␈α∞tried␈α∂in␈α∞the
␈βπ;␈↓ α␈ε$ENE␈α↓RA␈α⎇TION␈α∂O␈α␈F␈α∂TY␈α↓P␈α␈E␈α↓F␈α|A␈α␈CES
␈βπa␈↓ α"␈ε"|fteen␈α␈th␈αcen␈α␈tury;␈αit␈αbecame␈αpopular␈αin␈αthe␈αsixteen␈α␈th␈αand␈αsev␈α␈en␈α␈teen␈α␈th␈αcen-
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"turies;␈α∂and␈α∂it␈α∞was␈α∂abandoned␈α∞(for␈α∞good␈α∂reason)␈α∞during␈α∂the␈α∞eigh␈α␈teen␈α␈th␈α∞cen␈α␈tury.
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε"Perhaps␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈en␈α␈tieth␈αcen␈α␈tury␈αwill␈αturn␈αout␈αto␈αbe␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αtime␈αfor␈αthis␈αidea␈αto
␈βλc␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈e␈αa␈αcomeback,␈αno␈α␈w␈αthat␈αmathematics␈αhas␈αadvanced␈αand␈αcomputers␈αare␈αable
␈β	∞␈↓ ↓H␈ε"to␈αdo␈αthe␈αcalculations.
␈β	:␈↓ α␈ε"Modern␈α	prin␈α␈ting␈αλequipmen␈α␈t␈α	based␈α	on␈αλraster␈α	lines←in␈α	which␈αλmetal␈α	\type"␈αλhas
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"been␈α∞replaced␈α∞by␈α∂purely␈α∞com␈α␈binatorial␈α∞patterns␈α∂of␈α∞zeros␈α∞and␈α∂ones␈α∞that␈α∞specify
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"the␈α
desired␈αposition␈αof␈α
ink␈αin␈αa␈αdiscrete␈α
way←mak␈α␈es␈αmathematics␈αand␈α
computer
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"science␈α
increasingly␈α
relevan␈α␈t␈αto␈α
prin␈α␈ting.␈αWe␈α
no␈α␈w␈α
hav␈α␈e␈αthe␈α
ability␈α
to␈αgiv␈α␈e␈α
a␈α
com-
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"pletely␈αprecise␈α
de|nition␈αof␈αletter␈αshapes␈αthat␈αwill␈αproduce␈αessen␈α␈tially␈α
equivalen␈α␈t
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"results␈αλon␈α	all␈αλraster-based␈α	machines.␈αFurthermore␈αλit␈α	is␈α	possible␈αλto␈α	de|ne␈αλin|nitely
␈β=␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈y␈α
styles␈α∞of␈α
type␈α∞at␈α
once;␈α∂computers␈α
can␈α∞\draw"␈α
new␈α∞fon␈α␈ts␈α
of␈α∞characters␈α
in
␈βh␈↓ ↓H␈ε"seconds,␈α∂so␈α∂that␈α∂a␈α∂designer␈α∂is␈α∞able␈α∂to␈α∂perform␈α∂valuable␈α∂experimen␈α␈ts␈α∂that␈α∞w␈α␈ere
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"previously␈αun␈α␈thinkable.
␈β(␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β?␈↓ β[␈ε"is␈α∞a␈α∞system␈α∞for␈α∞the␈α∞design␈α∞of␈α∞alphabets␈α∞suited␈α
to␈α∞raster-based
␈βj␈↓ ↓H␈ε"devices␈απthat␈απprin␈α␈t␈απor␈αεdisplay␈απtext.␈αThe␈απcharacters␈απy␈α␈ou␈απare␈απreading␈απw␈α␈ere␈αεall␈απdesigned
␈β␈␈↓ α~␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"with␈↓ βZ␈ε",␈αin␈αa␈αcompletely␈αprecise␈αway;␈αand␈αthey␈αw␈α␈ere␈αdev␈α␈eloped␈αrather
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"hastily␈α∞by␈α
the␈α∞author␈α∞of␈α∞the␈α∞system,␈α∞who␈α∞is␈α∞a␈α∞rank␈α∞amateur␈α∞at␈α∞such␈α∞things.␈α⊃It
␈β
U␈↓ ¬}␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"seems␈α
clear␈α
that␈α
further␈α∞w␈α␈ork␈α
with␈↓ πL␈ε"has␈α∞the␈α
poten␈α␈tial␈α
of␈α
producing
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"typefaces␈αof␈αreal␈αbeauty;␈αso␈αthis␈αman␈α␈ual␈αhas␈αbeen␈αwritten␈αfor␈αpeople␈αwho␈αw␈α␈ould
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈αto␈αhelp␈αadvance␈αthe␈αart␈αof␈αmathematical␈αtype␈αdesign.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓V␈ε"2␈↓ ε=␈ε>Preface
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ α1␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βαS␈↓ α␈ε"A␈↓ β⎇␈ε"user␈αwrites␈αa␈α\program"␈αfor␈αeach␈αletter␈αor␈αother␈αsym␈α␈bol␈αthat
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"is␈αλdesired.␈αIdeally␈α	the␈α	programs␈αλwill␈α	be␈α	expressed␈α	in␈αλterms␈α	of␈α	variable␈αλparameters,
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"so␈α∂that␈α⊂a␈α⊂wide␈α⊂variety␈α⊂of␈α⊂typefaces␈α∂can␈α⊂be␈α⊂obtained,␈α⊃simply␈α⊂by␈α⊂changing␈α∂the
␈ββ>␈↓ βM␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"parameters;␈αbut␈↓ ¬→␈ε"can␈αalso␈αbe␈αused␈αto␈αde|ne␈αa␈αsingle␈αsolitary␈αfon␈α␈t,␈αor
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈αa␈αsingle␈αcharacter,␈αif␈αan␈α␈ybody␈αreally␈αwan␈α␈ts␈αto.
␈β∧⊗␈↓ ∧S␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β∧-␈↓ α␈ε"It␈αλis␈απharder␈αλto␈απwrite␈αλa␈↓ ε≤␈ε"program␈απthan␈αλto␈απdraw␈αλa␈απcharacter␈αλwith␈απpen
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε"and␈αink,␈α
but␈α
once␈α
the␈α
program␈α
has␈αbeen␈α
written␈α
y␈α␈ou␈α
can␈α
easily␈α\parameterize"
␈β¬β␈↓ ↓H␈ε"it␈αso␈αthat␈αthe␈αletter␈αshapes␈αwill␈αadapt␈αthemselv␈α␈es␈αto␈αdi{eren␈α␈t␈αspeci|cations.␈αAnd
␈β¬_␈↓ ∧≠␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αeasier␈α
to␈αwrite␈αa␈↓ ¬h␈ε"program␈α
than␈αto␈αdraw␈α
a␈αcharacter␈αten␈αtimes.
␈β¬C␈↓ αh␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β¬Z␈↓ ↓H␈ε"Therefore␈↓ ∧1␈ε"is␈α	usually␈αλused␈αλto␈α	pro␈α␈vide␈αλan␈α	en␈α␈tire␈αλfamily␈α	of␈αλrelated␈αλfon␈α␈ts.
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε"By␈αvarying␈αthe␈αprograms␈αand␈αthe␈αparameters,␈αy␈α␈ou␈αwill␈αbe␈αable␈αto␈αdetermine␈αthe
␈βε0␈↓ ↓H␈ε"most␈αpleasing␈αsettings.
␈βεF␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βε]␈↓ βV␈ε"programs␈α
are␈α	expressed␈α	in␈α
a␈α	declarativ␈α␈e␈α
algebraic␈α	language␈α	that
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε"is␈α	rather␈α
di{eren␈α␈t␈α	from␈α
ordinary␈α	computer␈α
languages,␈α
since␈α	it␈α	has␈α
been␈α	dev␈α␈eloped
␈βπ4␈↓ ↓H␈ε"especially␈α	for␈αλthe␈α	problems␈α	of␈α	type␈α	design.␈αIn␈α	this␈α	language␈α	y␈α␈ou␈α	explain␈α	where␈αλthe
␈βπ←␈↓ ↓H␈ε"major␈α
componen␈α␈ts␈α
of␈αa␈α
desired␈αshape␈α
are␈αlocated,␈α
and␈αy␈α␈ou␈α
specify␈αho␈α␈w␈α
the␈α
shape
␈βπs␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"is␈α	to␈α	be␈α
drawn␈α	using␈α	\pens"␈α
and␈α	\erasers."␈αOne␈α	of␈α
the␈α	advan␈α␈tages␈α	of
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"is␈α
that␈αit␈α
pro␈α␈vides␈α
a␈α
discipline␈α
according␈α
to␈α
which␈α
the␈α
principles␈α
of␈α
a␈αparticular
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"alphabet␈αλdesign␈αλare␈αλstated␈αλexplicitly←the␈αλunderlying␈αλin␈α␈telligence␈απdoes␈αλnot␈αλremain
␈β	␈↓ ↓H␈ε"hidden␈αin␈αthe␈α
mind␈αof␈α
the␈αdesigner,␈α
it␈αis␈α
spelled␈αout␈αin␈α
the␈αprograms.␈α∞Th␈α␈us␈αit␈αis
␈β	7␈↓ ↓H␈ε"comparativ␈α␈ely␈αeasy␈αto␈αobtain␈αconsistency␈αwhere␈αconsistency␈αis␈αdesirable,␈αand␈αto
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"extend␈αa␈αfon␈α␈t␈αto␈αnew␈αsym␈α␈bols␈αthat␈αare␈αcompatible␈αwith␈αthe␈αexisting␈αones.
␈β
∂␈↓ α␈ε"This␈α	man␈α␈ual␈αλis␈α	not␈α	a␈αλtextbook␈α	about␈α	mathematics␈α	or␈αλabout␈α	computers;␈α
but␈αλif
␈β
:␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈αεkno␈α␈w␈απthe␈αεrudimen␈α␈ts␈απof␈αεthose␈απsubjects␈αε(con␈α␈temporary␈αεhigh␈απschool␈αεmathematics,
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"together␈α
with␈α∞the␈α∞kno␈α␈wledge␈α∞of␈α∞ho␈α␈w␈α∞to␈α
use␈α∞the␈α∞text␈α∞editor␈α∞on␈α∞y␈α␈our␈α
computer),
␈β
z␈↓ ∧p␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈α∞should␈α
be␈α∞able␈α∞to␈α∞use␈↓ ε?␈ε"with␈α∞little␈α∞di}culty␈α∞after␈α∞reading␈α
what
␈β<␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈ws.␈αSome␈αparts␈αof␈αthe␈αman␈α␈ual␈αare␈αmore␈αobscure␈αthan␈αothers,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αsince
␈βP␈↓ ε|␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈βg␈↓ ↓H␈ε"the␈α
author␈α
has␈α∞tried␈α
to␈α∞satisfy␈α
experienced␈↓ λ:␈ε"ers␈α
as␈α∞w␈α␈ell␈α
as␈α
beginners
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"and␈α
casual␈αusers␈αwith␈αa␈α
single␈αman␈α␈ual.␈αTherefore␈αa␈α
special␈αsym␈α␈bol␈αhas␈αbeen␈α
used
␈β>␈↓ ↓H␈ε"to␈αwarn␈αabout␈αesoterica:␈αWhen␈αy␈α␈ou␈αsee␈αthe␈αsign
␈β
∪␈↓ ε!␈ε↓␈␈
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"at␈αthe␈αbeginning␈αof␈αa␈αparagraph,␈αwatch␈αout␈αfor␈αa␈α\dangerous␈αbend"␈αin␈αthe␈αtrain
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"of␈α
though␈α␈t←don't␈αread␈α
such␈αa␈α
paragraph␈αunless␈αy␈α␈ou␈α
need␈αto.␈αYou␈αwill␈α
be␈αable␈α
to
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧z␈ε>Table␈αof␈αContents␈↓ ␈ε"3
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ απ␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"use␈↓ βU␈ε"reasonably␈α∞w␈α␈ell,␈α∞ev␈α␈en␈α
to␈α∞design␈α
characters␈α∞lik␈α␈e␈α
the␈α
dangerous-
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"bend␈αsym␈α␈bol␈αitself,␈αwithout␈αreading␈αthe␈α|ne␈αprin␈α␈t␈αin␈αsuch␈αadvanced␈αsections.
␈ββ*␈↓ α␈ε"Computer␈αsystem␈α
man␈α␈uals␈αusually␈αmak␈α␈e␈α
dull␈αreading,␈αbut␈α
tak␈α␈e␈αheart:␈αThis
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"one␈α
con␈α␈tains␈ε.␈α
JOKES␈ε"␈α
ev␈α␈ery␈αonce␈α
in␈α
a␈αwhile,␈α
so␈αy␈α␈ou␈α
migh␈α␈t␈α
actually␈αenjo␈α␈y␈α
reading␈α
it.
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"(Most␈α	of␈α	the␈α	jok␈α␈es␈α	can␈α	only␈α	be␈α
appreciated␈α	properly␈α	if␈α	y␈α␈ou␈α	understand␈α	a␈α	technical
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αthat␈αis␈αbeing␈αmade,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er←so␈αread␈ε/␈αcarefully␈ε".)
␈β∧V␈↓ α␈ε"In␈α∞order␈α∞to␈α∞help␈α∞y␈α␈ou␈α∞in␈α␈ternalize␈α∞what␈α∞y␈α␈ou're␈α∞reading,␈α∞occasional␈ε.␈α∞EXER␈α␈CISES
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε"are␈α∂sprinkled␈α⊂through␈α∂this␈α⊂man␈α␈ual.␈α⊗It␈α⊂is␈α∂generally␈α⊂in␈α␈tended␈α∂that␈α⊂ev␈α␈ery␈α∂reader
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε"should␈α
try␈αev␈α␈ery␈αex␈α␈ercise,␈αex␈α␈cept␈α
for␈αthe␈αex␈α␈ercises␈αthat␈α
appear␈αin␈αthe␈α
\dangerous
␈β¬X␈↓ ↓H␈ε"bend"␈αareas.␈α
If␈αy␈α␈ou␈αcan't␈α
solv␈α␈e␈αthe␈αproblem,␈α
y␈α␈ou␈αcan␈αalways␈α
look␈αat␈αthe␈αansw␈α␈er
␈βεβ␈↓ ↓H␈ε"pages␈αat␈α
the␈αend␈αof␈αthe␈αman␈α␈ual.␈αBut␈αplease,␈αtry␈α|rst␈αto␈α
solv␈α␈e␈αit␈αby␈αy␈α␈ourself;␈αthen
␈βε.␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou'll␈α
learn␈αmore␈α
and␈αy␈α␈ou'll␈α
learn␈αfaster.␈αFurthermore,␈αif␈α
y␈α␈ou␈αthink␈α
y␈α␈ou␈αdo␈α
kno␈α␈w
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε"the␈α
answ␈α␈er␈α
to␈αan␈α
ex␈α␈ercise,␈αy␈α␈ou␈α
should␈α
turn␈αto␈α
the␈α
o}cial␈α
answ␈α␈er␈α(in␈α
Appendix␈α
A)
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε"and␈αcheck␈αit␈αout␈αjust␈αto␈αmak␈α␈e␈αsure.
␈β	P␈↓ ¬R␈ε=CONTE␈α␈N␈α↓T␈α␈S
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε21␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"The␈αbasics␈↓ ~␈ε"4
␈β
*␈↓ β"␈∧
*β"απC
␈β
<␈↓ ↓H␈ε22␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Curv␈α␈es␈↓ ~␈ε"8
␈β
U␈↓ αk␈∧
Uαkαπz
␈β
g␈↓ ↓H␈ε23␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Pens␈αand␈αerasers␈↓ λ␈ε"22
␈β
{␈↓ ββ␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β␈↓ ∧␈∧∧αεe
␈β∩␈↓ ↓H␈ε24␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Running␈↓ λ␈ε"29
␈β+␈↓ ∧O␈∧+∧Oαε⊗
␈β>␈↓ ↓H␈ε25␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Variables,␈αexpressions,␈αand␈αequations␈↓ λ␈ε"39
␈βW␈↓ εD␈∧WεDα∧!
␈βi␈↓ ↓H␈ε26␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Filling␈αin␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αcurv␈α␈es␈↓ λ␈ε"46
␈βα␈↓ ¬¬␈∧α¬¬α¬`
␈β∀␈↓ ↓H␈ε27␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Discreteness␈αand␈αdiscretion␈↓ λ␈ε"51
␈β-␈↓ ¬&␈∧-¬&α¬?
␈β?␈↓ ↓H␈ε28␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Subroutines␈↓ λ␈ε"55
␈βX␈↓ β6␈∧Xβ6απ/
␈βj␈↓ ↓H␈ε29␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Summary␈αof␈αthe␈αlanguage␈↓ λ␈ε"61
␈β
β␈↓ ¬∩␈∧
β¬∩α¬S
␈β
⊗␈↓ ↓6␈ε210␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Reco␈α␈v␈α␈ery␈αfrom␈αerrors␈↓ λ␈ε"69
␈β
/␈↓ ∧I␈∧
/∧Iαε≤
␈β
A␈↓ ↓@␈ε2A␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Answ␈α␈ers␈αto␈αall␈αthe␈αex␈α␈ercises␈↓ λ␈ε"81
␈β
Z␈↓ ¬,␈∧
Z¬,α¬9
␈β
l␈↓ ↓B␈ε2E␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Example␈αof␈αa␈αfon␈α␈t␈αde|nition␈↓ λ␈ε"82
␈β∞¬␈↓ ¬9␈∧∞¬¬9α¬,
␈β∞↔␈↓ ↓B␈ε2F␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Fon␈α␈t␈αinformation␈αfor␈↓ ∧C␈ε"T␈↓ ∧f␈ε"X␈↓ λ␈ε"83
␈β∞≡␈↓ ∧U␈ε"E
␈β∞0␈↓ ¬␈∧∞0¬α¬Y
␈β∞B␈↓ ↓N␈ε2I␈↓ ↓Z␈ε2.␈↓ ↓p␈ε"Index␈↓ λ␈ε"90
␈β∞[␈↓ αT␈∧∞[αTαλ⊃
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓V␈ε"4␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α1
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈1>␈α
The␈α
basics
␈βαr␈↓ ∧[␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε"To␈α⊂de|ne␈α⊂a␈α∂shape␈α⊂using␈↓ ε≤␈ε",␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂don't␈α⊂draw␈α⊂it;␈α∩y␈α␈ou␈α⊂explain␈ε/␈α⊂ho␈α␈w␈ε"␈α∂to
␈ββ4␈↓ ↓H␈ε"draw␈α⊂it.␈α_Explanation␈α⊂is␈α⊂generally␈α⊂harder␈α⊂than␈α⊂doing←for␈α⊂example,␈α⊃it's␈α⊂m␈α␈uch
␈ββI␈↓ λX␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε"easier␈α
to␈α	walk␈α
than␈α
to␈α
teach␈α
a␈α
robot␈α
ho␈α␈w␈α
to␈α
walk←but␈α
the␈↓ 
"␈ε"language
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞in␈α␈tended␈α∞to␈α∞mak␈α␈e␈α∂the␈α∞job␈α∞of␈α∂explanation␈α∞relativ␈α␈ely␈α∞painless.␈α∪Once␈α∞y␈α␈ou␈α∞hav␈α␈e
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε"explained␈αho␈α␈w␈α
to␈α
draw␈α
some␈α
shape,␈α
in␈αa␈α
general␈α
manner,␈α
the␈α
same␈αexplanation
␈β∧a␈↓ ↓H␈ε"will␈α⊂w␈α␈ork␈α⊃for␈α⊂related␈α⊃shapes,␈α⊃in␈α⊃di{eren␈α␈t␈α⊃circumstances;␈α∩so␈α⊃the␈α⊂time␈α⊃spen␈α␈t␈α⊂in
␈β∧u␈↓ 	␈␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"form␈α␈ulating␈α∂a␈α⊂precise␈α⊂explanation␈α⊂turns␈α⊂out␈α⊂to␈α∂be␈α⊂w␈α␈orth␈α⊂it.␈α_The␈α∂\␈↓ 
a␈ε"-"␈α∂of
␈β¬!␈↓ ↓Z␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β¬8␈↓ ↓H␈ε"\␈↓ β~␈ε""␈αis␈α
mean␈α␈t␈α
to␈α
indicate␈α
the␈α
fact␈α
that␈αa␈α
general␈α
explanation␈α
of␈α
ho␈α␈w␈α
to
␈β¬c␈↓ ↓H␈ε"draw␈αa␈αfon␈α␈t␈αof␈αcharacters␈αwill␈αtranscend␈αan␈α␈y␈αparticular␈αset␈αof␈αdrawings␈αfor␈αthose
␈βε∞␈↓ ↓H␈ε"characters.
␈βε9␈↓ α␈ε"To␈αλexplain␈α	ho␈α␈w␈αλto␈α	draw␈αλa␈α	shape,␈α	w␈α␈e␈αλneed␈α	a␈αλprecise␈α	way␈αλto␈α	specify␈αλvarious␈αλk␈α␈ey
␈βεM␈↓ ∧!␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βεd␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts␈α
of␈α
that␈α∞shape.␈↓ ¬o␈ε"uses␈α∞standard␈α
Cartesian␈α∞coordinates␈α
for␈α
this
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"purpose␈α∂[follo␈α␈wing␈α∞Ren␈↓ ∧4␈ε"∞␈↓ ∧5␈ε"e␈↓ ∧T␈ε"Descartes,␈α⊂whose␈α∂rev␈α␈olutionary␈α∂w␈α␈ork␈ε/␈α∂La␈α∂g␈↓ 	y␈ε/∞␈↓ 	z␈ε/e␈↓ 

␈ε/om␈↓ 
9␈ε/∞␈↓ 
:␈ε/e␈↓ 
J␈ε/trie␈ε"␈α∞in
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"1637␈αmark␈α␈ed␈αthe␈αbeginning␈αof␈αthe␈αapplication␈αof␈αalgebraic␈αmethods␈αto␈αgeometric
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"problems]:␈α
The␈α	location␈α
of␈α	a␈α	poin␈α␈t␈α	is␈α	de|ned␈α	by␈α	specifying␈α
its␈↓ λ⎇␈ε(x␈↓ 	→␈ε"coordinate,␈α	which
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈ε"is␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αunits␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αof␈αsome␈αreference␈αpoin␈α␈t,␈αand␈αits␈↓ 	←␈ε(y␈↓ 	}␈ε"coordinate,
␈βλ<␈↓ ↓H␈ε"which␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αunits␈αupwards␈αfrom␈αthe␈αreference␈αpoin␈α␈t.
␈βλh␈↓ α␈ε"For␈α∞example,␈α∂the␈α∞six␈α∞poin␈α␈ts␈α∞in␈α∞Fig.␈↓ εL␈ε"1←␈↓ πα␈ε"1␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α∞follo␈α␈wing␈↓ 	T␈ε(x␈↓ 	t␈ε"and␈↓ 
<␈ε(y␈↓ 
↑␈ε"coor-
␈β	∪␈↓ ↓H␈ε"dinates:
␈β	\␈↓ α)␈ε"(␈↓ α5␈ε(x␈↓ αT␈ε",␈↓ αd␈ε(y␈↓ β∧␈ε")␈α
=␈α
(0,␈↓ βv␈ε"100);␈↓ ¬
␈ε"(␈↓ ¬⊗␈ε(x␈↓ ¬5␈ε",␈↓ ¬E␈ε(y␈↓ ¬d␈ε")␈α
=␈α
(100,␈↓ εz␈ε"100);␈↓ λ∞␈ε"(␈↓ λ~␈ε(x␈↓ λ9␈ε",␈↓ λI␈ε(y␈↓ λi␈ε")␈α
=␈α
(200,␈↓ 	␈␈ε"100);
␈β	i␈↓ αF␈ε%1␈↓ αu␈ε%1␈↓ ¬&␈ε%2␈↓ ¬V␈ε%2␈↓ λ+␈ε%3␈↓ λZ␈ε%3
␈β
∩␈↓ α)␈ε"(␈↓ α5␈ε(x␈↓ αT␈ε",␈↓ αd␈ε(y␈↓ β∧␈ε")␈α
=␈α
(0,␈↓ ∧~␈ε"0);␈↓ ¬
␈ε"(␈↓ ¬⊗␈ε(x␈↓ ¬5␈ε",␈↓ ¬E␈ε(y␈↓ ¬d␈ε")␈α
=␈α
(100,␈↓ π≡␈ε"0);␈↓ λ∞␈ε"(␈↓ λ~␈ε(x␈↓ λ9␈ε",␈↓ λI␈ε(y␈↓ λi␈ε")␈α
=␈α
(200,␈↓ 
#␈ε"0).
␈β
∨␈↓ αF␈ε%4␈↓ αu␈ε%4␈↓ ¬&␈ε%5␈↓ ¬V␈ε%5␈↓ λ+␈ε%6␈↓ λZ␈ε%6
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"These␈αsix␈αpoin␈α␈ts␈αwill␈αbe␈αused␈αin␈αsev␈α␈eral␈αexamples␈αthat␈αfollo␈α␈w.
␈β
{␈↓ βZ␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β∩␈↓ α␈ε"All␈αpoin␈α␈ts␈αin␈↓ ¬&␈ε"programs␈αare␈αgiv␈α␈en␈αan␈αiden␈α␈tifying␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αwhich
␈β>␈↓ ↓H␈ε"should␈αbe␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈α(or␈αzero).␈αThe␈↓ εd␈ε(x␈↓ πα␈ε"and␈↓ πH␈ε(y␈↓ πg␈ε"coordinates␈αof␈αeach␈αpoin␈α␈t␈αare
␈βi␈↓ ↓H␈ε"speci|ed␈α
by␈α
so-called␈↓ ∧_␈ε(x␈↓ ∧+␈ε"-variables␈α
and␈↓ ε⊃␈ε(y␈↓ ε%␈ε"-variables;␈α
for␈α
example,␈α\␈↓ 	0␈ε(x␈↓ 	O␈ε""␈α
and␈α
\␈↓ 
A␈ε(y␈↓ 
`␈ε""␈α
are
␈βv␈↓ 	A␈ε%2␈↓ 
R␈ε%2
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"the␈αcoordinates␈αof␈αpoin␈α␈t␈α2.
␈β(␈↓ ¬8␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β?␈↓ α␈ε"In␈α
a␈α
typical␈α
application␈α∞of␈↓ εx␈ε",␈α∞y␈α␈ou␈α
prepare␈α
a␈α
rough␈α
sk␈α␈etch␈α
of␈α
the
␈βj␈↓ ↓H␈ε"shape␈α
y␈α␈ou␈α
plan␈α
to␈αde|ne,␈α
on␈αa␈α
piece␈α
of␈α
graph␈αpaper,␈α
and␈α
y␈α␈ou␈αlabel␈α
the␈α
k␈α␈ey␈α
poin␈α␈ts
␈β␈␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"on␈α⊂that␈α⊂sk␈α␈etch␈α⊂with␈α⊂an␈α␈y␈α⊂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers.␈α_Then␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂write␈α⊂a
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"program␈αthat␈αexplains␈α(i)␈αho␈α␈w␈αto␈α|gure␈α
out␈αthe␈αcoordinates␈αof␈αthose␈αk␈α␈ey␈αpoin␈α␈ts,
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"and␈α(ii)␈αho␈α␈w␈αto␈αdraw␈αthe␈αdesired␈αlines␈αand␈αcurv␈α␈es␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthose␈αpoin␈α␈ts.
␈β∞␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β∞↔␈↓ βV␈ε"programs␈α	consist␈αλof␈α	a␈α	bunch␈α	of␈α	\statemen␈α␈ts"␈α	separated␈α	by␈αλsemi-
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"colons␈α∂and␈α⊂ending␈α∂with␈α∂a␈α⊂period.␈α⊗The␈α⊂most␈α∂common␈α⊂form␈α∂of␈α⊂statemen␈α␈t␈α∂is␈α∂an
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬0␈ε>The␈αbasics␈↓ ␈ε"5
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈ββE␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α	1↑1␈α␈.␈ε#␈α⊗S␈α␈ix␈α	poin␈α}ts␈α
th␈α␈at␈α
will␈α
b␈α␈e␈α
u␈α␈sed
␈ββm␈↓ π⊂␈ε#i␈α↓n␈α¬sev␈α}eral␈αεex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αεof␈αεth␈α␈i␈α↓s␈αεc␈α␈hap␈α␈ter␈αεa␈α␈nd
␈β∧∀␈↓ π⊂␈ε#the␈αn␈α␈ext.
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε/equation␈ε"␈α∞that␈α∂expresses␈α∞one␈α∂or␈α∞more␈α∂algebraic␈α∞relationships␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∞variables.
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"For␈αexample,␈αconsider␈αthe␈αequations
␈βε=␈↓ ∧R␈ε(x␈↓ ∧{␈ε"=␈↓ ¬)␈ε(x␈↓ ¬R␈ε"=␈↓ ε␈ε(y␈↓ ε)␈ε"=␈↓ εW␈ε(y␈↓ π↓␈ε"=␈↓ π/␈ε(y␈↓ πX␈ε"=␈α
0;
␈βεJ␈↓ ∧c␈ε%1␈↓ ¬:␈ε%4␈↓ ε⊃␈ε%4␈↓ εh␈ε%5␈↓ π@␈ε%6
␈βεs␈↓ ∧@␈ε(x␈↓ ∧i␈ε"=␈↓ ¬↔␈ε(x␈↓ ¬@␈ε"=␈↓ ¬n␈ε(y␈↓ ε↔␈ε"=␈↓ εE␈ε(y␈↓ εo␈ε"=␈↓ π≥␈ε(y␈↓ πF␈ε"=␈α
100;
␈βπ␈↓ ∧Q␈ε%2␈↓ ¬(␈ε%5␈↓ ¬␈␈ε%1␈↓ εV␈ε%2␈↓ π.␈ε%3
␈βπ)␈↓ ¬C␈ε(x␈↓ ¬l␈ε"=␈↓ ε~␈ε(x␈↓ εC␈ε"=␈α
200;
␈βπ6␈↓ ¬T␈ε%3␈↓ ε+␈ε%6
␈βπt␈↓ ↓H␈ε"these␈αsu}ce␈αto␈αde|ne␈αthe␈αsix␈αpoin␈α␈ts␈αof␈αFig.␈↓ εy␈ε"1↑1␈↓ π/␈ε".
␈βλ∨␈↓ α␈ε"Poin␈α␈ts␈αare␈α
rarely␈αspeci|ed␈αin␈α
terms␈αof␈α|x␈α␈ed␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αlik␈α␈e␈α100,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
since
␈βλK␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α	will␈α	see␈α	late␈α	that␈α	this␈α	means␈α	a␈α	distance␈α	of␈α	100␈αλraster␈α	units;␈α
an␈α	alphabet␈α	de|ned
␈βλv␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃such␈α∩absolute␈α⊃terms␈α⊃w␈α␈ould␈α∩come␈α⊃out␈α∩looking␈α⊃v␈α␈ery␈α∩tin␈α␈y␈α⊃on␈α⊃high-resolution
␈β	!␈↓ ↓H␈ε"machines␈αbut␈αv␈α␈ery␈αlarge␈αon␈αmachines␈αwith␈αonly␈αa␈αfew␈αraster␈αunits␈αper␈αinch.␈αIt␈αis
␈β	L␈↓ ↓H␈ε"clearly␈αbetter␈αto␈αwrite␈αsomething␈αlik␈α␈e␈αthis:
␈β
_␈↓ βV␈ε(x␈↓ β␈␈ε"=␈↓ ∧-␈ε(x␈↓ ∧V␈ε"=␈α
0;␈↓ ¬J␈ε(x␈↓ ¬s␈ε"=␈↓ ε!␈ε(x␈↓ εJ␈ε"=␈↓ εx␈ε(d␈↓ π␈ε";␈↓ π@␈ε(x␈↓ πi␈ε"=␈↓ λ↔␈ε(x␈↓ λ@␈ε"=␈α
2␈↓ 	␈ε(d␈↓ 	∀␈ε";
␈β
%␈↓ βg␈ε%1␈↓ ∧>␈ε%4␈↓ ¬[␈ε%2␈↓ ε1␈ε%5␈↓ πQ␈ε%3␈↓ λ(␈ε%6
␈β
N␈↓ ∧β␈ε(y␈↓ ∧,␈ε"=␈↓ ∧Z␈ε(y␈↓ ¬∧␈ε"=␈↓ ¬2␈ε(y␈↓ ¬[␈ε"=␈↓ ε	␈ε(h␈↓ ε≠␈ε";␈↓ εO␈ε(y␈↓ εx␈ε"=␈↓ π&␈ε(y␈↓ πP␈ε"=␈↓ π}␈ε(y␈↓ λ'␈ε"=␈α
0;
␈β
[␈↓ ∧∀␈ε%1␈↓ ∧k␈ε%2␈↓ ¬C␈ε%3␈↓ ε`␈ε%4␈↓ π7␈ε%5␈↓ λ∂␈ε%6
␈β→␈↓ ↓H␈ε"the␈αauxiliary␈α
variables␈↓ ∧8␈ε(h␈↓ ∧W␈ε"and␈↓ ¬≥␈ε(d␈↓ ¬1␈ε",␈α
which␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
assume␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
de|ned␈α
at␈αthe
␈β-␈↓ ∧ ␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βD␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈ery␈α
beginning␈α
of␈αour␈↓ ¬k␈ε"speci|cations,␈αcan␈α
readily␈α
be␈αadjusted␈α
to␈α
giv␈α␈e
␈βo␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈αdesired␈αscaling,␈αwithout␈αchanging␈αthe␈αrest␈αof␈αthe␈αprogram.
␈β≠␈↓ α␈ε"There␈α
are␈α
lots␈α
of␈α
other␈α
ways␈α
to␈α
specify␈α
the␈α
coordinates␈α
of␈α
those␈α
six␈α
poin␈α␈ts.
␈βF␈↓ ↓H␈ε"For␈αexample,␈α
the␈α
equation␈α\␈↓ ¬λ␈ε(x␈↓ ¬2␈ε"=␈↓ ¬a␈ε(x␈↓ ε␈ε"=␈α2␈↓ εL␈ε(d␈↓ ε`␈ε""␈α
could␈αhav␈α␈e␈α
been␈αreplaced␈α
by␈α
\␈↓ 
←␈ε(x␈↓ λ␈ε"=
␈βS␈↓ ¬→␈ε%3␈↓ ¬r␈ε%6␈↓ 
o␈ε%3
␈βq␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓q␈ε"=␈↓ α∨␈ε(x␈↓ αF␈ε"+␈↓ αr␈ε(d␈↓ βε␈ε"",␈αor␈αev␈α␈en␈αby␈αan␈αimplicit␈αform␈α␈ula␈αsuch␈αas
␈β}␈↓ ↓X␈ε%6␈↓ α/␈ε%2
␈β
D␈↓ ∧R␈ε(x␈↓ ∧y␈ε6␈␈↓ ¬%␈ε(x␈↓ ¬N␈ε"=␈↓ ¬|␈ε(x␈↓ ε#␈ε6␈␈↓ εO␈ε(x␈↓ εx␈ε"=␈↓ π&␈ε(x␈↓ πM␈ε6␈␈↓ πy␈ε(x␈↓ λ_␈ε".
␈β
R␈↓ ∧c␈ε%3␈↓ ¬6␈ε%2␈↓ ε
␈ε%6␈↓ ε`␈ε%5␈↓ π7␈ε%2␈↓ λ
␈ε%1
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"The␈αlatter␈αform␈α␈ula␈αstates␈αthat␈αthe␈αhorizon␈α␈tal␈αdistance␈αfrom␈αpoin␈α␈t␈α3␈αto␈αpoin␈α␈t␈α2␈αis
␈β∞+␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"the␈α
same␈α∞as␈α∞from␈α∞poin␈α␈t␈α∞6␈α
to␈α∞poin␈α␈t␈α∞5␈α∞and␈α
from␈α∞poin␈α␈t␈α∞2␈α∞to␈α∞poin␈α␈t␈α
1.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓V␈ε"6␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α1
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈ββ[␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α∂1␈α␈↑2.␈ε#␈α!A␈α∂stra␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α∂line␈α∂d␈α␈rawn␈α∞by
␈ββi␈↓ π⊂␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∧β␈↓ λI␈ε#with␈αa␈αc␈α␈i␈α↓rc␈α␈ular␈αp␈α␈en.
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε"will␈α
solv␈α␈e␈α∞such␈α
implicit␈α∞equations␈α∞as␈α
long␈α∞as␈α
they␈α∞remain␈α
linear;␈α∂further␈α
details
␈β¬n␈↓ ↓H␈ε"about␈αequations␈αare␈αdiscussed␈αin␈αChapter␈α5.
␈βε→␈↓ α␈ε"Of␈α
course␈α
there's␈α
no␈α
poin␈α␈t␈α	in␈α
being␈α
able␈α
to␈α
de|ne␈α
poin␈α␈ts␈α
unless␈α
there␈α
is␈α	some-
␈βεE␈↓ ↓H␈ε"thing␈α
y␈α␈ou␈α
can␈αdo␈α
with␈α
them.␈αIn␈α
particular,␈αw␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈αbe␈α
able␈α
to␈αdraw␈α
a␈α
straigh␈α␈t
␈βεY␈↓ ¬J␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βεp␈↓ ↓H␈ε"line␈α∞from␈α
one␈α∞poin␈α␈t␈α∞to␈α∞another.␈↓ π→␈ε"uses␈α
\pens"␈α∞to␈α∞draw␈α∞lines,␈α∂and␈α
in
␈βπ≠␈↓ ↓H␈ε"our␈α∞|rst␈α∂examples␈α∞w␈α␈e␈α∂shall␈α∞be␈α∂using␈α∞a␈α∂circular␈α∞pen␈α∂that␈α∞is␈α∂nine␈α∞raster␈α∂units␈α∞in
␈βπF␈↓ ↓H␈ε"diameter.␈αThe␈αstatemen␈α␈ts
␈βλ↔␈↓ ¬≥␈ε2cpen␈↓ ¬e␈ε";␈α*9␈↓ ε5␈ε2draw␈↓ π
␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε6
␈βλP␈↓ αO␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βλg␈↓ ↓H␈ε"instruct␈↓ ∧≡␈ε"to␈α
tak␈α␈e␈α∞a␈α∞circular␈α
pen␈α∞(\␈↓ π#␈ε2cpen␈↓ πk␈ε"")␈α∞of␈α
width␈α∞9␈α∞and␈α
to␈α∞draw␈α
a
␈β	∪␈↓ ↓H␈ε"straigh␈α␈t␈α	line␈α
from␈α
poin␈α␈t␈α
1␈α	to␈α
poin␈α␈t␈α
6,␈α
producing␈α
Fig.␈↓ πn␈ε"1↑2␈↓ λ$␈ε".␈αWe␈α	get␈α
to␈α
Fig.␈↓ 
#␈ε"1↑3␈↓ 
b␈ε"after
␈β	>␈↓ ↓H␈ε"the␈αsubsequen␈α␈t␈αstatemen␈α␈ts
␈β
∞␈↓ ∧y␈ε2draw␈↓ ¬Q␈ε"2␈αε.␈αε.␈αε5;␈↓ εO␈ε2draw␈↓ π'␈ε"3␈αε.␈αε.␈αε4;
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"note␈α	that␈α	it␈α
is␈α	not␈α
necessary␈α	to␈α
respecify␈α	the␈α	\␈↓ πλ␈ε2cpen␈↓ πP␈ε""␈α
or␈α	the␈α
\9"␈α	when␈α
the␈α	pen␈α	does
␈β
␈↓ ↓H␈ε"not␈αchange.
␈β5␈↓ α␈ε"If␈α⊂Fig.␈↓ βα␈ε"1↑3␈↓ βH␈ε"w␈α␈ere␈α⊂be␈α⊃scaled␈α⊂in␈α⊂such␈α⊂a␈α⊂way␈α⊂that␈α⊂100␈α⊂raster␈α⊂units␈α⊂came␈α⊂out
␈β`␈↓ ↓H␈ε"exactly␈α	equal␈α	to␈α
the␈α	heigh␈α␈t␈α
of␈α	the␈α	letters␈α
in␈α	this␈α	paragraph,␈α
the␈α
character␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e
␈β
9␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈α	1↑␈α␈3.␈ε#␈α∀Af␈α↓t␈α␈er␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	more␈αλl␈α↓in␈α␈es␈α	w␈α␈e␈α	ob-
␈β
a␈↓ ↓H␈ε#ta␈α␈in␈απa␈απde␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈απsom␈α␈ethin␈α␈g␈απli␈α↓k␈α}e␈απthe␈απUn␈α␈ion
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε#J␈α␈ack␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬0␈ε>The␈αbasics␈↓ ␈ε"7
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ βk␈ε<1
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"drawn␈α
w␈α␈ould␈α
be␈↓ βR␈ε"\␈↓ ∧$␈ε""␈↓ ∧6␈ε".␈α∂Just␈α
for␈α
fun,␈α
let's␈α
try␈α
to␈α
typeset␈α
ten␈α
of␈α
them␈α
in␈α
a␈α
ro␈α␈w:
␈βαg␈↓ ↓a␈ε<1111111111
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"\␈↓ ¬\␈ε""␈↓ ¬n␈ε".␈αHo␈α␈w␈αeasy␈αit␈αis␈αto␈αdo␈αthis!*
␈ββ*␈↓ α␈ε"The␈αmost␈αimportan␈α␈t␈αthing␈αto␈αnotice␈αabout␈αFig.␈↓ πw␈ε"1↑3␈↓ λ8␈ε"is␈αthat␈αthe␈ε/␈αcen␈α␈ter␈ε"␈αof␈αthe
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"pen␈αgoes␈αfrom␈α
poin␈α␈t␈αto␈αpoin␈α␈t␈α
when␈αdrawing␈αa␈α
line.␈α
For␈αexample,␈αpoin␈α␈ts␈α
1␈αand␈α6
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"do␈α
not␈α
appear␈α∞at␈α
the␈α∞edge␈α
of␈α∞the␈α
line␈α
w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α
drawn␈α∞from␈α
1␈α
to␈α∞6;␈α∞they␈α
appear
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αmiddle␈αof␈αthe␈αstarting␈αand␈αstopping␈αpositions.␈αIn␈αother␈αw␈α␈ords,␈αw␈α␈e␈αdid␈αnot
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε"describe␈α	the␈α	boundary␈α	of␈α	the␈α	character,␈α	w␈α␈e␈α	described␈α	the␈α	pen␈α	motion.␈αThis␈α	mak␈α␈es
␈β∧k␈↓ π-␈ε<1␈↓ 	A␈ε<2
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε"it␈αeasy␈αto␈αdo␈αthings␈αlik␈α␈e␈αswitch␈αto␈αa␈α\boldface"␈↓ πf␈ε",␈αnamely␈αto␈αa␈↓ 	z␈ε",␈αmerely␈αby
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε"using␈αa␈↓ αD␈ε2cpen␈↓ β_␈ε"of␈αwidth␈α15␈αinstead␈αof␈αwidth␈α9.
␈β¬X␈↓ α␈ε"Pen␈απwidths␈απare␈απusually␈απspeci|ed␈απby␈απso-called␈↓ π1␈ε(w␈↓ πL␈ε"-variables,␈αλwhich␈απare␈απsomewhat
␈βεβ␈↓ ↓H␈ε"analogous␈α∂to␈↓ β ␈ε(x␈↓ β3␈ε"-variables␈α⊂and␈↓ ¬$␈ε(y␈↓ ¬8␈ε"-variables.␈α⊗For␈α∂example,␈α⊃the␈α∂normal␈α∂procedure
␈βε.␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αbe␈αto␈αde|ne␈↓ βu␈ε(w␈↓ ∧%␈ε"=␈α
9␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αour␈αprogram,␈αthen␈αto␈αwrite
␈βε<␈↓ ∧␈ε%1
␈βπ↓␈↓ β8␈ε2cpen␈↓ ∧␈ε";␈↓ ∧4␈ε(w␈↓ ∧d␈ε2draw␈↓ ¬<␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε6;␈↓ ε:␈ε2draw␈↓ π∩␈ε"2␈αε.␈αε.␈αε5;␈↓ λ⊂␈ε2draw␈↓ λh␈ε"3␈αε.␈αε.␈αε4;
␈βπ∞␈↓ ∧L␈ε%1
␈βπS␈↓ ↓H␈ε"by␈αchanging␈↓ β∃␈ε(w␈↓ βG␈ε"to␈α
15␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈α
then␈αget␈α
the␈αboldface␈α
sym␈α␈bol␈αwithout␈αchanging
␈βπ`␈↓ β,␈ε%1
␈βπ}␈↓ ↓H␈ε"the␈αrest␈αof␈αthe␈αprogram.
␈βλ∩␈↓ αj␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βλ)␈↓ α␈ε"Since␈↓ ∧7␈ε"draws␈αthings␈αby␈αdescribing␈αthe␈αmotion␈αof␈αa␈αpen's␈αcen␈α␈ter,
␈βλU␈↓ ↓H␈ε"it␈α
is␈α
desirable␈α
to␈αhav␈α␈e␈α
a␈α
way␈αto␈α
specify␈α
the␈α
poin␈α␈ts␈αso␈α
that␈α
the␈α
edge␈αof␈α
the␈α
pen␈α
will
␈βλi␈↓ π[␈ε<1
␈β	␈↓ ↓H␈ε"be␈α	at␈α
a␈α
kno␈α␈wn␈α	place.␈αFor␈α	example,␈αour␈α	character␈α
\␈↓ λ∀␈ε""␈α
actually␈α
extends␈α	sligh␈α␈tly
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"belo␈α␈w␈α
the␈α
baseline␈α
(␈↓ ∧α␈ε(y␈↓ ∧"␈ε"=␈α0)␈α
of␈α
normal␈α
lines␈α
of␈α
type,␈α∞because␈α
the␈α
pen␈α
of␈α
width␈α
9
␈β	V␈↓ ↓H␈ε"extends␈α4␈αunits␈αbelo␈α␈w␈αthe␈αbaseline␈αwhen␈αthe␈αcen␈α␈ter␈αof␈αthe␈α
pen␈αis␈αon␈αthe␈αbaseline.
␈β	j␈↓ βg␈ε<2
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε"And␈α∞the␈α∞boldface␈↓ ∧'␈ε"goes␈α∞do␈α␈wn␈α∞ev␈α␈en␈α∞further.␈α∩The␈α∞remedy␈α∞for␈α∞this␈α∞is␈α∞to␈α∞use␈α
a
␈β
-␈↓ ↓H␈ε"special␈α\␈↓ αN␈ε2bot␈↓ βα␈ε""␈αnotation,␈αe.g.,
␈β
X␈↓ ¬←␈ε2bot␈↓ ε"␈ε(y␈↓ εK␈ε"=␈α
0,
␈β
e␈↓ ε∪␈ε%1␈↓ ε3␈ε%4
␈β~␈↓ ↓H␈ε"which␈α∂means␈α∂that␈α⊂the␈α∂bottom␈α⊂of␈α∂the␈α⊂pen␈α∂will␈α∂be␈α⊂at␈α∂0␈α⊂when␈α∂the␈α⊂pen␈α∂of␈α∂width
␈βF␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓⎇␈ε"is␈α∂at␈α∂poin␈α␈t␈α∂4.␈α∨(The␈α∂\1"␈α∂in␈α∂\␈↓ ¬K␈ε2bot␈↓ ε
␈ε""␈α∂refers␈α⊂to␈α∂the␈α∂\1"␈α∂in␈α∂\␈↓ 	λ␈ε(w␈↓ 	.␈ε"";␈α⊃th␈α␈us,␈α∂the␈↓ 
x␈ε2bot
␈βS␈↓ ↓←␈ε%1␈↓ ¬␈␈ε%1␈↓ 	 ␈ε%1
␈βq␈↓ ↓H␈ε"notation␈α∂is␈α∂meaningful␈α⊂only␈α∂when␈α⊂the␈α∂corresponding␈↓ λ∨␈ε(w␈↓ λ:␈ε"-variable␈α⊂has␈α∂a␈α∂de|nite
␈β≤␈↓ ↓H␈ε"value.)␈α→Similarly,
␈βG␈↓ ¬R␈ε2top␈↓ ε∃␈ε(y␈↓ ε>␈ε"=␈α
100
␈βU␈↓ εε␈ε%1␈↓ ε&␈ε%1
␈β
~␈↓ ↓H␈∧
~↓Hα↓X
␈β
'␈↓ ↓H␈ε$*No␈α␈w␈αλtha␈α↓t␈αλauthors␈αλhav␈α␈e␈αλfo␈α↓r␈απthe␈αλ|rst␈αλti␈α␈me␈απthe␈αλpo␈α␈we␈α␈r␈αλto␈α	i␈α␈n␈α␈v␈α␈en␈α␈t␈αλnew␈αλsym␈α}bo␈α↓l␈α␈s␈αλwith␈αλgre␈α␈a␈α↓t␈αλe␈α␈a␈α↓se␈α␈,␈αλand
␈β
G␈↓ ↓H␈ε$to␈α	have␈αλtho␈α↓se␈αλchara␈α↓c␈α␈ters␈α	pri␈α␈n␈α␈ted␈α	in␈α	the␈α␈ir␈α	man␈α␈usc␈α␈ripts␈α	on␈α
a␈α	wide␈α	vari␈α␈ety␈α	of␈α
type␈α␈setti␈α␈ng␈α
de␈α␈vic␈α␈es,
␈β
h␈↓ ↓H␈ε$w␈α␈e␈α	have␈α	to␈α
face␈α	the␈α	questi␈α␈on␈α
of␈α
how␈α	m␈α␈uch␈α	expe␈α␈rim␈α␈en␈α␈tation␈α	is␈α	desi␈α␈ra␈α↓bl␈α␈e.␈α	Wi␈α␈ll␈α	font␈α	freaks␈α
abuse
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε$thi␈α␈s␈α	to␈α␈y␈α	by␈α	ov␈α␈e␈α␈rdo␈α↓i␈α␈ng␈α	it?␈α	I␈α↓s␈α	i␈α␈t␈α	wis␈α␈e␈α	to␈α	in␈α␈troduce␈αλnew␈α	sym␈α}bo␈α↓l␈α␈s␈α	by␈α	the␈αλtho␈α↓usands?␈α	Such␈α	questi␈α␈o␈α↓ns
␈β∞(␈↓ ↓H␈ε$are␈αλbe␈α␈yond␈αλthe␈αλscope␈αλof␈α	thi␈α␈s␈α	m␈α␈anual␈α␈;␈α	but␈αλit␈αλis␈αλe␈α␈a␈α↓sy␈αλto␈α	i␈α␈magine␈αλan␈αλepide␈α␈mi␈α␈c␈αλof␈α	fo␈α↓n␈α␈ti␈α␈tis␈αλocc␈α␈urring,
␈β∞I␈↓ ↓H␈ε$once␈α	people␈α
r␈α␈eali␈α␈ze␈α
ho␈α␈w␈αm␈α}uch␈α
fun␈α
it␈α
i␈α␈s␈αt␈α␈o␈αdes␈α␈ign␈α
thei␈α␈r␈αo␈α␈wn␈α
character␈α␈s.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓V␈ε"8␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α1
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αsay␈αthat␈αthe␈αtop␈αof␈αthe␈αpen␈αwill␈αbe␈αat␈α100␈αwhen␈αthe␈αpen␈αof␈αwidth␈↓ 
7␈ε(w␈↓ 
i␈ε"is␈αat
␈βαa␈↓ 
O␈ε%1
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α4.
␈ββ*␈↓ α␈ε"Using␈α	these␈α	ideas,␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	revise␈α	our␈αλexample␈α	program␈α	to␈α	obtain␈α	the␈αλfollo␈α␈wing
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"statemen␈α␈ts␈α(assuming␈αthat␈↓ ∧t␈ε(h␈↓ ¬ε␈ε",␈↓ ¬≤␈ε(d␈↓ ¬0␈ε",␈α
and␈↓ ε
␈ε(w␈↓ ε?␈ε"hav␈α␈e␈α
already␈αbeen␈αde|ned␈α
and␈αthat␈αthe
␈ββb␈↓ ε%␈ε%1
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"character␈αwidth␈αhas␈αbeen␈αset␈αto␈↓ ¬D␈ε(h␈↓ ¬↑␈ε6α␈ε"␈αλ2␈↓ ε≤␈ε(d␈↓ ε0␈ε"):
␈β∧R␈↓ β8␈ε(x␈↓ βa␈ε"=␈↓ ∧∂␈ε(x␈↓ ∧8␈ε"=␈α
0;␈↓ ¬,␈ε(x␈↓ ¬U␈ε"=␈↓ εβ␈ε(x␈↓ ε,␈ε"=␈↓ εZ␈ε(d␈↓ εn␈ε";␈↓ π"␈ε(x␈↓ πK␈ε"=␈↓ πy␈ε(x␈↓ λ"␈ε"=␈α
2␈↓ λb␈ε(d␈↓ λv␈ε";
␈β∧←␈↓ βI␈ε%1␈↓ ∧∨␈ε%4␈↓ ¬<␈ε%2␈↓ ε∪␈ε%5␈↓ π3␈ε%3␈↓ λ	␈ε%6
␈β¬λ␈↓ β8␈ε(y␈↓ βa␈ε"=␈↓ ∧∂␈ε(y␈↓ ∧9␈ε"=␈↓ ∧g␈ε(y␈↓ ¬ε␈ε";␈↓ ¬:␈ε(y␈↓ ¬d␈ε"=␈↓ ε∩␈ε(y␈↓ ε;␈ε"=␈↓ εi␈ε(y␈↓ πλ␈ε";
␈β¬∃␈↓ βI␈ε%1␈↓ ∧ ␈ε%2␈↓ ∧x␈ε%3␈↓ ¬K␈ε%4␈↓ ε#␈ε%5␈↓ εz␈ε%6
␈β¬>␈↓ β8␈ε2top␈↓ βz␈ε(y␈↓ ∧$␈ε"=␈↓ ∧R␈ε(h␈↓ ∧d␈ε";␈↓ ¬_␈ε2bot␈↓ ¬Z␈ε(y␈↓ εβ␈ε"=␈α
0;
␈β¬K␈↓ βl␈ε%1␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ¬L␈ε%1␈↓ ¬k␈ε%4
␈β¬t␈↓ β8␈ε2cpen␈↓ ∧␈ε";␈↓ ∧4␈ε(w␈↓ ∧d␈ε2draw␈↓ ¬<␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε6;␈↓ ε:␈ε2draw␈↓ π∩␈ε"2␈αε.␈αε.␈αε5;␈↓ λ⊂␈ε2draw␈↓ λh␈ε"3␈αε.␈αε.␈αε4.
␈βε↓␈↓ ∧L␈ε%1
␈βε.␈↓ ε∧␈ε<3␈↓ π⊃␈ε<4
␈βεE␈↓ ↓H␈ε"This␈α⊂program␈α⊃giv␈α␈es␈α⊂the␈α⊃characters␈↓ εF␈ε"and␈↓ πT␈ε"when␈↓ λ6␈ε(w␈↓ λn␈ε"=␈α∩9␈α⊂and␈↓ 
⊃␈ε(w␈↓ 
I␈ε"=␈α⊃15,
␈βεS␈↓ λN␈ε%1␈↓ 
)␈ε%1
␈βεq␈↓ ↓H␈ε"respectiv␈α␈ely;␈α	close␈αλinspection␈αλrev␈α␈eals␈αλthat␈αλthese␈αλcharacters␈αλjust␈αλtouch␈απthe␈αλbaseline,
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε"and␈αthey␈αare␈αexactly␈αas␈αtall␈αas␈αan␈α\h".
␈βπR␈↓ ↓H␈ε↓x
␈βπS␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α1.1:␈ε"␈αTen␈αof␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcharacters␈αwill␈αresult␈αin
␈βλ∪␈↓ ∧;␈ε<3333333333
␈βλ*␈↓ λ/␈ε";
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε"note␈α
that␈α
adjacen␈α␈t␈α
characters␈α∞join␈α
together,␈α
since␈α∞the␈α
character␈α
width␈α
is␈α∞2␈↓ 
a␈ε(d␈↓ 
u␈ε",␈α
so
␈β	,␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞poin␈α␈ts␈α
3␈α∞and␈α∞6␈α∞of␈α∞one␈α∞character␈α∞coincide␈α∞with␈α∞poin␈α␈ts␈α∞1␈α∞and␈α∞4␈α∞of␈α∞the␈α
next.
␈β	W␈↓ ↓H␈ε"Suppose␈αthat␈α
w␈α␈e␈αactually␈α
wan␈α␈ted␈αthe␈α
characters␈α
to␈αbe␈α
completely␈αcon|ned␈α
to␈αa
␈β
β␈↓ ↓H␈ε"rectangular␈α∞bo␈α␈x␈α∞of␈α∂width␈α∞2␈↓ ∧v␈ε(d␈↓ ¬
␈ε",␈α∂so␈α∞that␈α∂adjacen␈α␈t␈α∞characters␈α∞w␈α␈ould␈α∂come␈α∞just␈α∞sh␈α␈y
␈β
↔␈↓ β≤␈ε<5555555555
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"of␈α
touching␈α∞(␈↓ π_␈ε").␈α⊃Explain␈α
ho␈α␈w␈α∞to␈α∞modify␈α∞the␈α
ex-
␈β
B␈↓ 	.␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"ample␈α
program␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α
so␈α
that␈α
this␈α
w␈α␈ould␈α
happen,␈α
assuming␈α
that␈↓ 
x␈ε"has
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"operations␈α\␈↓ βλ␈ε2lft␈↓ β,␈ε""␈αand␈α\␈↓ ∧"␈ε2rt␈↓ ∧>␈ε""␈αanalogous␈αto␈α\␈↓ ε@␈ε2top␈↓ εt␈ε""␈αand␈α\␈↓ πj␈ε2bot␈↓ λ≡␈ε"".
␈β	␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈2>␈α
Curv␈α␈e␈α␈s
␈β?␈↓ ↓H␈ε"The␈α
sixteen␈α␈th-cen␈α␈tury␈α
methods␈αof␈α
mathematical␈α
type␈αdesign␈α
failed␈α
because␈α
ruler
␈βj␈↓ ↓H␈ε"and␈α	compass␈α	constructions␈α	w␈α␈ere␈α	inadequate␈α	to␈α	express␈α	the␈αλn␈α␈uances␈α	of␈α	good␈α	callig-
␈β}␈↓ α8␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
∃␈↓ ↓H␈ε"raph␈α␈y.␈↓ ∧α␈ε"attempts␈α
to␈α
get␈α
around␈α
this␈α	problem␈α
by␈α
using␈α
more␈α	po␈α␈w␈α␈erful
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"mathematical␈αtechniques:␈αIt␈αpro␈α␈vides␈αautomatic␈αfacilities␈αfor␈αdrawing␈α
\pleasing"
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"curv␈α␈es,␈αand␈αthis␈αchapter␈αexplains␈αho␈α␈w␈αto␈αuse␈αthem.
␈β∞↔␈↓ α␈ε"The␈↓ αW␈ε2draw␈↓ β2␈ε"command␈αin␈α␈troduced␈α
in␈α
Chapter␈α
1␈αwill␈α
produce␈α
curv␈α␈ed␈α
lines,␈αin-
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"stead␈απof␈αλstraigh␈α␈t␈απlines,␈α	when␈απit␈αλis␈απgiv␈α␈en␈απa␈αλlist␈απof␈αλmore␈απthan␈αλt␈α␈w␈α␈o␈απpoin␈α␈ts.␈αFor␈απexample,
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ ␈ε"9
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"let's␈αgo␈αback␈αto␈αthe␈αsix␈αpoin␈α␈ts␈αof␈αFig.␈↓ ε≠␈ε"1↑1␈↓ εQ␈ε",␈αand␈αconsider␈αthe␈αe{ect␈αof
␈ββ2␈↓ ∧(␈ε2cpen␈↓ ∧p␈ε";␈α*9␈↓ ¬@␈ε2draw␈↓ ε_␈ε"5␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5;
␈β∧∩␈↓ ↓H␈ε"this␈α
produces␈α
a␈α
closed␈α
curv␈α␈e␈α
from␈α
poin␈α␈t␈α
5␈α
to␈α
poin␈α␈t␈α
4␈α
to␈α
poin␈α␈t␈α
1␈α
to␈α
poin␈α␈t␈α
3␈α
to␈α
poin␈α␈t
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"6␈αto␈αpoin␈α␈t␈α5,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αFig.␈↓ ¬$␈ε"2↑1␈↓ ¬Z␈ε".
␈βπ7␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈αλ2␈α␈↑1.␈ε#␈α⊃A␈αλc␈α␈urv␈α}e␈αλtha␈α␈t␈αλpa␈α␈sses␈αλth␈α␈rou␈α␈gh
␈βπ←␈↓ π⊂␈ε#|v␈α␈e␈α
of␈αthe␈αsix␈α
exa␈α␈mple␈αp␈α␈oin␈α␈ts.
␈β	V␈↓ α␈ε"The␈αbean-shaped␈αpath␈αof␈αFig.␈↓ ¬g␈ε"2↑1␈↓ ε(␈ε"isn't␈αbad␈αlooking,␈αbut␈αit␈αmigh␈α␈t␈αnot␈α
be␈αthe
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε"curv␈α␈e␈αw␈α␈e␈αhad␈α
in␈αmind.␈α
Indeed,␈αif␈αthe␈↓ ε∃␈ε2draw␈↓ εo␈ε"command␈αhad␈α
been␈α\␈↓ 	@␈ε2draw␈↓ 
_␈ε"4␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε3"
␈β
,␈↓ ↓H␈ε"instead␈α
of␈α
the␈α
more␈α
complicated␈αexample␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈ould␈α
hav␈α␈e␈α
gotten␈α
the␈α
curv␈α␈e
␈β
W␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞Fig.␈↓ α@␈ε"2↑2␈↓ αv␈ε",␈α∂which␈α∞is␈α∂almost␈α∞surely␈α∞not␈α∂what␈α∞an␈α␈ybody␈α∞wan␈α␈ts.␈α∪Something␈α∞w␈α␈en␈α␈t
␈β
k␈↓ λ`␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βα␈↓ ↓H␈ε"wrong␈α∞here;␈α∞so␈α∞it␈α∞is␈α∞importan␈α␈t␈α∞to␈α∞get␈α∞a␈α∞clear␈α∞idea␈α∞of␈α∞ho␈α␈w␈↓ 
.␈ε"actually
␈β.␈↓ ↓H␈ε"decides␈αwhat␈αcurv␈α␈es␈αto␈αdraw.
␈β
"␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈απ2↑2␈α␈.␈ε#␈α⊂If␈απy␈α␈o␈α␈u␈απdo␈α␈n't␈απun␈α␈ders␈α␈tand␈αεho␈α␈w
␈β
0␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
J␈↓ β␈ε#dr␈α␈aws␈αcu␈α␈rv␈α␈es,␈αy␈α}ou␈α
migh␈α␈t
␈β
q␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈et␈αun␈α␈gra␈α␈ceful␈αsh␈α␈ape␈α␈s.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"10␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα:␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βαQ␈↓ βM␈ε"'s␈α∞rules␈α∞are␈α
(fortunately)␈α∞quite␈α∞simple.␈α∩The␈α∞curv␈α␈e␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts␈↓ α3␈ε(z␈↓ αY␈ε"and␈↓ β∨␈ε(z␈↓ βE␈ε"depends␈αonly␈αon␈α
four␈αthings:
␈ββ
␈↓ α?␈ε%1␈↓ β+␈ε%2
␈ββ?␈↓ ∧←␈ε"the␈αlocation␈αof␈↓ εO␈ε(z␈↓ εt␈ε"=␈α
(␈↓ π.␈ε(x␈↓ πM␈ε",␈↓ π]␈ε(y␈↓ π|␈ε");
␈ββM␈↓ ε[␈ε%1␈↓ π>␈ε%1␈↓ πn␈ε%1
␈ββj␈↓ ∧←␈ε"the␈αlocation␈αof␈↓ εO␈ε(z␈↓ εt␈ε"=␈α
(␈↓ π.␈ε(x␈↓ πM␈ε",␈↓ π]␈ε(y␈↓ π|␈ε");
␈ββx␈↓ ε[␈ε%2␈↓ π>␈ε%2␈↓ πn␈ε%2
␈β∧⊗␈↓ ∧←␈ε"the␈αangle␈αof␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αat␈↓ πp␈ε(z␈↓ λ␈ε";
␈β∧#␈↓ π|␈ε%1
␈β∧A␈↓ ∧←␈ε"the␈αangle␈αof␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αat␈↓ πp␈ε(z␈↓ λ␈ε";
␈β∧N␈↓ π|␈ε%2
␈β∧r␈↓ ¬]␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β¬	␈↓ ↓H␈ε"Once␈αthese␈αfour␈αthings␈αare␈αgiv␈α␈en,␈↓ π)␈ε"kno␈α␈ws␈αwhat␈αcurv␈α␈e␈αit␈αwill␈αdraw.
␈β¬4␈↓ α␈ε"But␈αho␈α␈w␈α
are␈αthe␈α
angles␈αat␈↓ ¬2␈ε(z␈↓ ¬Y␈ε"and␈↓ ε∨␈ε(z␈↓ εF␈ε"chosen?␈α
Again␈α
there␈αis␈α
a␈αsimple␈α
rule:␈αIf
␈β¬A␈↓ ¬>␈ε%1␈↓ ε+␈ε%2
␈β¬←␈↓ ↓H␈ε"the␈α
curv␈α␈e␈α∞goes␈α
from␈↓ ∧⊂␈ε(z␈↓ ∧8␈ε"to␈↓ ∧f␈ε(z␈↓ ¬∞␈ε"to␈↓ ¬;␈ε(z␈↓ ¬V␈ε",␈α
the␈α∞direction␈α
it␈α∞tak␈α␈es␈α
as␈α∞it␈α
passes␈α∞through␈↓ ∩␈ε(z
␈β¬m␈↓ ∧≤␈ε%0␈↓ ∧r␈ε%1␈↓ ¬G␈ε%2␈↓ ≡␈ε%1
␈βε
␈↓ ↓H␈ε"is␈α
the␈α∞same␈α∞as␈α
the␈α∞direction␈α
of␈α∞the␈α∞arc␈α
of␈α∞a␈ε/␈α∞circle␈ε"␈α
from␈↓ λ9␈ε(z␈↓ λa␈ε"to␈↓ 	∞␈ε(z␈↓ 	6␈ε"to␈↓ 	d␈ε(z␈↓ 	␈␈ε".␈α⊂Th␈α␈us,␈α∞for
␈βε_␈↓ λE␈ε%0␈↓ 	~␈ε%1␈↓ 	p␈ε%2
␈βε6␈↓ ↓H␈ε"example,␈α∞since␈α∂both␈α∞Figs.␈↓ ∧m␈ε"2↑1␈↓ ¬2␈ε"and␈↓ ¬z␈ε"2↑2␈↓ ε>␈ε"hav␈α␈e␈α∞curv␈α␈es␈α∂that␈α∞run␈α∞from␈α∞4␈α∂to␈α∞1␈α∞to␈α∞3,
␈βεa␈↓ ↓H␈ε"both␈αcurv␈α␈es␈α
hav␈α␈e␈αthe␈α
same␈α
direction␈αas␈α
they␈αpass␈α
poin␈α␈t␈α
1,␈αnamely␈α
the␈αdirection
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈αcircle␈αdetermined␈α
by␈αpoin␈α␈ts␈α
4,␈α1,␈αand␈α3.␈α⊗(It␈α
is␈αw␈α␈ell␈αkno␈α␈wn␈α
and␈αnot␈α
di}cult
␈βπ7␈↓ ↓H␈ε"to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈α∞there␈α
is␈α
a␈α
unique␈α∞circle␈α
passing␈α
through␈α∞an␈α␈y␈α
three␈α
distinct␈α
poin␈α␈ts
␈βπb␈↓ ↓H␈ε(z␈↓ ↓b␈ε",␈↓ ↓z␈ε(z␈↓ α∃␈ε",␈α∞and␈↓ αu␈ε(z␈↓ β∂␈ε",␈α∂unless␈α
these␈α∞poin␈α␈ts␈α∞lie␈α∞on␈α∞a␈α∞straigh␈α␈t␈α∞line.␈α⊃We␈α∞will␈α∞not␈α∞w␈α␈orry␈α
just
␈βπp␈↓ ↓T␈ε%0␈↓ αε␈ε%1␈↓ β↓␈ε%2
␈βλ∞␈↓ ↓H␈ε"no␈α␈w␈αabout␈αthe␈αex␈α␈ceptional␈αcases␈αwhen␈αthe␈αpoin␈α␈ts␈αare␈αcollinear␈αor␈αnot␈αdistinct.)
␈βλ9␈↓ α␈ε"An␈αimportan␈α␈t␈ε/␈αlocality␈αproperty␈ε"␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αrules␈αjust␈αstated:␈αEach
␈βλM␈↓ β␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βλd␈↓ ↓H␈ε"segmen␈α␈t␈απof␈απa␈↓ ∧T␈ε"curv␈α␈e␈απdepends␈απonly␈απon␈αλthe␈απlocations␈απof␈απthe␈απt␈α␈w␈α␈o␈απendpoin␈α␈ts
␈β	∂␈↓ ↓H␈ε"of␈αλthat␈αλsegmen␈α␈t␈αλand␈αλthe␈αλlocations␈α	of␈αλits␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλneigh␈α␈boring␈αλpoin␈α␈ts.␈αFor␈αλif␈αλthe␈αλsegmen␈α␈t
␈β	:␈↓ ↓H␈ε"runs␈α∞from␈↓ αr␈ε(z␈↓ β~␈ε"to␈↓ βH␈ε(z␈↓ βb␈ε",␈α∂and␈α∞if␈α∞the␈α∞previous␈α∞poin␈α␈t␈α∞is␈↓ π>␈ε(z␈↓ πf␈ε"and␈α∞the␈α∞next␈α∂poin␈α␈t␈α∞is␈↓ 
H␈ε(z␈↓ 
b␈ε",␈α∞the
␈β	H␈↓ α}␈ε%1␈↓ βT␈ε%2␈↓ πJ␈ε%0␈↓ 
T␈ε%3
␈β	f␈↓ ↓H␈ε"angle␈αat␈↓ αP␈ε(z␈↓ αv␈ε"is␈αdetermined␈αby␈↓ ¬λ␈ε(z␈↓ ¬"␈ε",␈↓ ¬8␈ε(z␈↓ ¬R␈ε",␈αand␈↓ ε-␈ε(z␈↓ εG␈ε",␈αwhile␈αthe␈αangle␈αat␈↓ 	␈ε(z␈↓ 	&␈ε"is␈αdetermined␈αby
␈β	s␈↓ α\␈ε%1␈↓ ¬∀␈ε%0␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ ε9␈ε%2␈↓ 	␈ε%2
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε(z␈↓ ↓b␈ε",␈↓ ↓z␈ε(z␈↓ α∀␈ε",␈α∞and␈↓ αs␈ε(z␈↓ β
␈ε".␈α⊂Other␈α
parts␈α∞of␈α
the␈α
curv␈α␈e␈α∞will␈α
hav␈α␈e␈α
no␈α
e{ect;␈α∞th␈α␈us␈α∞y␈α␈ou␈α
can␈α
|x␈α
up
␈β
≡␈↓ ↓T␈ε%1␈↓ αε␈ε%2␈↓ α␈␈ε%3
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈αsegmen␈α␈ts␈αy␈α␈ou␈αdon't␈αlik␈α␈e␈αwithout␈αharming␈αthe␈αsegmen␈α␈ts␈αy␈α␈ou␈αdo␈αlik␈α␈e.
␈β
g␈↓ α␈ε"So␈α
far␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α	discussed␈α
what␈α
the␈α
curv␈α␈e␈α
depends␈α
on,␈α
but␈α
not␈α
what␈α
the␈α	curv␈α␈e
␈β
{␈↓ αW␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"really␈α
is.␈↓ ∧_␈ε"'s␈α
curv␈α␈es␈α
satisfy␈α
an␈ε/␈α
in␈α␈variance␈α
property␈ε"␈α
in␈α
addition␈α
to␈α
their
␈β>␈↓ ↓H␈ε"locality␈αλproperty,␈α	in␈α	the␈αλfollo␈α␈wing␈α	sense:␈α
Shifting␈αλa␈α	curv␈α␈e␈αλto␈α	the␈αλleft␈αλor␈α	righ␈α␈t,␈α	or␈αλup
␈βi␈↓ ↓H␈ε"or␈αdo␈α␈wn,␈αdoes␈αnot␈αchange␈αits␈αshape,␈αand␈αrotation␈αw␈α␈on't␈αchange␈αthe␈αshape␈αeither.
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"Furthermore␈α
if␈α∞all␈α
coordinates␈α∞are␈α
m␈α␈ultiplied␈α∞by␈α
some␈α∞factor,␈α
the␈α∞curv␈α␈e␈α
simply
␈β?␈↓ ↓H␈ε"gro␈α␈ws␈α	or␈α
shrinks␈α
by␈α
that␈α	factor.␈α∀(In␈α
mathematical␈α
terms,␈α
using␈α
complex␈α	variable
␈βj␈↓ ↓H␈ε"notation,␈α⊂the␈α⊂curv␈α␈e␈α⊂through␈α⊂poin␈α␈ts␈↓ ελ␈ε(␈↓ ε≠␈ε(z␈↓ ε@␈ε"+␈↓ εo␈ε(␈␈↓ π¬␈ε",␈↓ π ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πP␈ε",␈↓ πk␈ε(␈↓ π}␈ε(z␈↓ λ'␈ε"+␈↓ λU␈ε(␈␈↓ λ{␈ε"is␈α⊂equal␈α⊂to␈↓ 
5␈ε(␈↓ 
X␈ε"times
␈βx␈↓ ε'␈ε%1␈↓ λ
␈ε+n
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞curv␈α␈e␈α
through␈α∞poin␈α␈ts␈↓ ∧a␈ε(z␈↓ ∧|␈ε",␈↓ ¬∀␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬D␈ε",␈↓ ¬]␈ε(z␈↓ ¬z␈ε",␈α∂plus␈↓ εa␈ε(␈␈↓ εw␈ε".)␈α≥Therefore␈α∞w␈α␈e␈α∞need␈α∞only␈α
describe
␈β
#␈↓ ∧m␈ε%1␈↓ ¬i␈ε+n
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"the␈α
curv␈α␈e␈α
from␈↓ βA␈ε(z␈↓ βi␈ε"to␈↓ ∧⊗␈ε(z␈↓ ∧>␈ε"when␈↓ ¬≥␈ε(z␈↓ ¬D␈ε"=␈α(␈↓ ε␈ε(x␈↓ ε∨␈ε",␈↓ ε/␈ε(y␈↓ εO␈ε")␈α=␈α(0,␈αε0)␈α∞and␈↓ λ8␈ε(z␈↓ λ←␈ε"=␈α(␈↓ 	≠␈ε(x␈↓ 	:␈ε",␈↓ 	J␈ε(y␈↓ 	j␈ε")␈α=␈α(150,␈αε0),
␈β
N␈↓ βM␈ε%1␈↓ ∧"␈ε%2␈↓ ¬)␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%1␈↓ ε@␈ε%1␈↓ λD␈ε%2␈↓ 	,␈ε%2␈↓ 	[␈ε%2
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"say,␈α∂and␈α∂when␈α∂the␈α∂curv␈α␈e␈α∂leav␈α␈es␈↓ ¬P␈ε(z␈↓ ¬z␈ε"at␈α∂a␈α∂giv␈α␈en␈α∂angle␈↓ λ
␈ε(∩␈↓ λ+␈ε"and␈α∂en␈α␈ters␈↓ 	`␈ε(z␈↓ 
	␈ε"at␈α∂a␈α∂giv␈α␈en
␈β
y␈↓ ¬\␈ε%1␈↓ 	l␈ε%2
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"angle␈↓ α#␈ε(≡␈↓ αA␈ε"with␈α
respect␈α	to␈α
the␈α
horizon␈α␈tal.␈αThese␈α	special␈α
curv␈α␈es␈α
will␈α	produce␈α
all␈α	other
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β∞B␈↓ β∪␈ε"curv␈α␈es␈αif␈αw␈α␈e␈αshift␈αthem,␈αrotate␈αthem,␈αand␈αexpand␈αor␈αcon␈α␈tract␈α
them.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"11
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαv␈↓ 	i␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈ββ⊂␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α2↑␈α␈3.␈ε#␈α~Exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αo␈α␈f␈↓ ⊗␈ε#'s
␈ββ8␈↓ π⊂␈ε#stan␈α␈dard␈αλc␈α␈urv␈α}es,␈α	l␈α↓ea␈α␈vin␈α␈g␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈αλ1␈αλat␈αλan
␈ββV␈↓ λ0␈ε8¬
␈ββ←␈↓ π⊂␈ε#ang␈α␈le␈α
of␈α
6␈↓ λ#␈ε#0␈↓ λL␈ε#from␈αthe␈α
h␈α␈orizo␈α␈n␈α␈tal␈α
a␈α␈nd
␈β∧π␈↓ π⊂␈ε#en␈α␈terin␈α␈g␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α2␈α
a␈α␈t␈α
v␈α␈ariou␈α␈s␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∧%␈↓ πU␈ε8¬
␈β∧/␈↓ π⊂␈ε#of␈α3␈↓ πH␈ε#0␈↓ πd␈ε#.
␈β¬E␈↓ 	@␈ε8¬
␈β¬N␈↓ α␈ε"Fig.␈↓ αV␈ε"2↑3␈↓ β→␈ε"sho␈α␈ws␈αtypical␈αcurv␈α␈es␈α
that␈αleav␈α␈e␈↓ π⊃␈ε(z␈↓ π8␈ε"at␈α
an␈αangle␈αof␈α
6␈↓ 	2␈ε"0␈↓ 	O␈ε",␈α
coming␈αin␈αto
␈β¬[␈↓ π≥␈ε%1
␈β¬q␈↓ ∧H␈ε8¬␈↓ ¬⊂␈ε8¬␈↓ ¬X␈ε8¬␈↓ ε ␈ε8¬␈↓ π≥␈ε8¬␈↓ 
S␈ε8¬
␈β¬y␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈↓ α&␈ε(z␈↓ αN␈ε"at␈α∞angles␈α∞of␈α∞12␈↓ ∧:␈ε"0␈↓ ∧W␈ε",␈α∂9␈↓ ¬α␈ε"0␈↓ ¬∨␈ε",␈α∞6␈↓ ¬I␈ε"0␈↓ ¬g␈ε",␈α∞3␈↓ ε⊃␈ε"0␈↓ ε/␈ε",␈α∞and␈↓ π∂␈ε"0␈↓ π-␈ε".␈α⊃When␈α
both␈α∞angles␈α∞are␈α∞6␈↓ 
E␈ε"0␈↓ 
b␈ε",␈α∞the
␈βεε␈↓ α2␈ε%2
␈βε≤␈↓ λX␈ε8¬␈↓ ∪␈ε8¬
␈βε$␈↓ ↓H␈ε"curv␈α␈e␈α
is␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αarc␈α
of␈αa␈αcircle;␈αwhen␈αone␈αangle␈α
is␈α6␈↓ λI␈ε"0␈↓ λr␈ε"and␈α
the␈αother␈αis␈α3␈↓ ¬␈ε"0␈↓ "␈ε",
␈βε8␈↓ εL␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βεO␈↓ ↓H␈ε"the␈α	curv␈α␈e␈αλis␈α	essen␈α␈tially␈α	a␈α	quarter-ellipse.␈α∩(␈↓ λ
␈ε"'s␈α	circles␈α	and␈α	ellipses␈αλaren't
␈βεz␈↓ ↓H␈ε"absolutely␈α
perfect,␈αsince␈αthey␈αare␈α
appro␈α␈ximated␈αby␈αcubic␈α
curv␈α␈es,␈αbut␈αthe␈αerror␈α
is
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈uch␈αtoo␈αsmall␈αto␈αbe␈αperceiv␈α␈ed.)␈α_At␈αother␈αangles␈αthe␈αcurv␈α␈es␈αin␈αFig.␈↓ 	z␈ε"2↑3␈↓ 
;␈ε"are␈αless
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε"familiar␈αmathematical␈αobjects,␈αbut␈αat␈αleast␈αthey␈αhav␈α␈e␈αa␈αreasonable␈αshape.
␈βπu␈↓ λq␈ε8¬
␈βπ⎇␈↓ α␈ε"Fig.␈↓ αX␈ε"2↑4␈↓ β≤␈ε"sho␈α␈ws␈α∂sev␈α␈eral␈α∞more␈α∞curv␈α␈es␈α∞that␈α∂leav␈α␈e␈↓ πz␈ε(z␈↓ λ"␈ε"at␈α∂6␈↓ λc␈ε"0␈↓ 	␈ε";␈α⊂but␈α∞this␈α∞time␈α∞the
␈βλ
␈↓ λε␈ε%1
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε"curv␈α␈es␈αhav␈α␈e␈α
been␈αforced␈α
to␈αcome␈α
in␈α␈to␈↓ ε ␈ε(z␈↓ εG␈ε"from␈ε/␈α
belo␈α␈w␈ε"␈αthe␈α
horizon␈α␈tal,␈αat␈α
angles␈αof
␈βλ5␈↓ ε,␈ε%2
␈βλK␈↓ α␈ε8¬␈↓ αs␈ε8¬␈↓ β[␈ε8¬␈↓ ¬↔␈ε8¬
␈βλS␈↓ ↓H␈ε6␈␈ε"3␈↓ ↓}␈ε"0␈↓ α≠␈ε",␈ε6␈α
␈␈ε"6␈↓ αe␈ε"0␈↓ ββ␈ε",␈ε6␈α	␈␈ε"9␈↓ βL␈ε"0␈↓ βj␈ε",␈α
and␈ε6␈α	␈␈ε"12␈↓ ¬	␈ε"0␈↓ ¬&␈ε".␈αMost␈α	of␈α	these␈α	curv␈α␈es␈α	(with␈α	the␈α	possible␈α	ex␈α␈ception
␈βλv␈↓ αu␈ε8¬
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈ε6␈α␈␈ε"6␈↓ αf␈ε"0␈↓ β⊂␈ε"one)␈α
are␈αrather␈αarbitrary,␈α
so␈αy␈α␈ou␈αare␈α
taking␈αa␈αchance␈α
if␈αy␈α␈ou␈αexpect
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β	)␈↓ β∀␈ε"to␈αchange␈αdirections␈αso␈αdrastically.
␈β	>␈↓ λw␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β	U␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∂let's␈α∞return␈α∂to␈α∞the␈α∂problem␈α∞of␈α∂Fig.␈↓ π↔␈ε"2↑2␈↓ πM␈ε";␈α⊂wh␈α␈y␈α∂did␈↓ 
F␈ε"choose
␈β
␈↓ ↓H␈ε"such␈α
an␈α
ugly␈αcurv␈α␈e␈α
when␈α
commanded␈α
to␈α\␈↓ εU␈ε2draw␈↓ π-␈ε"4␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε3"?␈αThe␈αansw␈α␈er␈α
is␈α
that␈α
no
␈β
,␈↓ ↓H␈ε"angle␈α
was␈αspeci|ed␈α
for␈α
the␈α
curv␈α␈e␈α
at␈α
its␈α
beginning␈α
poin␈α␈t␈α
4␈α
or␈α
at␈α
its␈α
ending␈αpoin␈α␈t
␈β
@␈↓ α ␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β
W␈↓ ↓H␈ε"3;␈α∞so␈↓ βn␈ε"used␈α∞the␈α
directions␈α∞from␈α
4␈α∞to␈α
1␈α∞and␈α∞from␈α
1␈α∞to␈α
3,␈α∞in␈α∞order␈α
to
␈βα␈↓ ↓H␈ε"be␈αconsisten␈α␈t␈α
with␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o-poin␈α␈t␈α
(straigh␈α␈t␈αline)␈α
case.␈α∞In␈αother␈α
w␈α␈ords,␈α
the␈αfailure
␈β⊗␈↓ ¬E␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β-␈↓ ↓H␈ε"occurred␈αbecause␈αw␈α␈e␈αdidn't␈αgiv␈α␈e␈↓ π⊃␈ε"a␈αclue␈αabout␈αho␈α␈w␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αshould
␈βr␈↓ 	i␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α2↑␈α␈4.␈ε#␈α~Exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αo␈α␈f␈↓ ⊗␈ε#'s
␈β
4␈↓ π⊂␈ε#stan␈α␈dard␈α∂cu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s,␈α⊃when␈α∂th␈α␈e␈α⊂o␈α␈utg␈α␈oing
␈β
[␈↓ π⊂␈ε#and␈α∪in␈α␈comin␈α␈g␈α∀a␈α␈ng␈α␈l␈α↓es␈α∪ha␈α␈v␈α␈e␈α∪op␈α␈po␈α␈si␈α↓te
␈β∞β␈↓ π⊂␈ε#si␈α↓g␈α␈ns.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"12␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"be␈α	started␈α
and␈α
stopped.␈ε/␈αWhen␈α	drawing␈α
curv␈α␈ed␈α
lines,␈α
it␈α
is␈α	almost␈α
always␈α	desirable
␈βαg␈↓ 	)␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βα}␈↓ ↓H␈ε/to␈α
specify␈αthe␈α
beginning␈αand␈α
ending␈α
angles␈αsomeho␈α␈w␈ε",␈αotherwise␈↓ 
t␈ε"will
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"be␈αforced␈αto␈αchoose␈αdirections␈αthat␈αhav␈α␈e␈αlittle␈αprobability␈αof␈αsuccess.
␈ββU␈↓ α␈ε"There␈αare␈αt␈α␈w␈α␈o␈αmain␈αways␈αto␈αspecify␈αdirections␈αat␈αthe␈αendpoin␈α␈ts.␈αOne␈αway␈αis
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"to␈αsupply␈α\hidden␈αpoin␈α␈ts"␈αto␈αthe␈↓ ¬W␈ε2draw␈↓ ε1␈ε"command,␈αas␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αexample:
␈β∧D␈↓ ∧x␈ε2draw␈↓ ¬P␈ε"(5␈αε.␈αε.␈αε)4␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε3(␈αε.␈αε.␈αε6).
␈β∧q␈↓ ∧P␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β¬λ␈↓ ↓H␈ε"The␈α\(5␈αε.␈αε.␈αε)"␈α
means␈αthat␈↓ ε≥␈ε"is␈α
to␈α
imagine␈αa␈α
curv␈α␈e␈αthat␈α
emanates␈αfrom
␈β¬3␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈απ5,␈αλbut␈απthe␈αλdrawing␈απdoesn't␈απactually␈απbegin␈αλun␈α␈til␈απpoin␈α␈t␈απ4;␈α	similarly,␈αλthe␈απ\(␈αε.␈αε.␈αε6)"
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε"means␈αthat␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αwill␈αstop␈αat␈αpoin␈α␈t␈α3␈αbut␈αact␈αlik␈α␈e␈αit␈αwas␈αgoing␈αon␈αto␈αpoin␈α␈t␈α6.
␈β¬r␈↓ β␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βε	␈↓ ↓H␈ε"In␈α∞this␈α∞way␈↓ ∧[␈ε"will␈α∞select␈α∞the␈α∞same␈α∞directions␈α∞at␈α∞poin␈α␈ts␈α∞4␈α∞and␈α∞3␈α∞that
␈βε5␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ere␈αchosen␈αfor␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αof␈αFig.␈↓ ¬V␈ε"2↑1␈↓ ε_␈ε"(\␈↓ ε6␈ε2draw␈↓ π∞␈ε"5␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5");␈αso␈αthe␈αresult
␈βε`␈↓ ↓H␈ε"will␈αbe␈αto␈αreproduce␈αthe␈αsegmen␈α␈t␈αof␈αFig.␈↓ εK␈ε"2↑1␈↓ π
␈ε"that␈αruns␈αfrom␈α4␈αto␈α1␈αto␈α3.
␈βπ␈↓ α␈ε"The␈αsecond␈α
way␈αto␈α
specify␈α
a␈αcurv␈α␈e's␈α
directions␈αis␈α
considerably␈αmore␈α
⎇exible:
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε"You␈α
simply␈α∞state␈α∞what␈α∞direction␈α
is␈α∞desired.␈α⊃Let's␈α∞consider␈α∞another␈α
problem,␈α∞in
␈βπa␈↓ ↓H␈ε"order␈α∂to␈α∂illustrate␈α⊂this␈α∂technique.␈α↔Suppose␈α∂w␈α␈e␈α∂wish␈α⊂to␈α∂draw␈α⊂a␈α∂beautiful␈α∂heart
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"shape.␈α
One␈α
approach␈α
is␈αto␈α
start␈α
with␈αa␈α
de|nitiv␈α␈e␈αidea␈α
of␈α
what␈αthe␈α
heart␈αshould
␈βλ!␈↓ ∧p␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T␈↓ 	<␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βλ8␈↓ ↓H␈ε"look␈α∂lik␈α␈e,␈α⊃then␈α⊂try␈α⊂to␈α∂get␈↓ ε@␈ε"to␈α⊂agree;␈α∩i.e.,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂wan␈α␈t␈↓ ␈ε"to
␈βλc␈↓ ↓H␈ε"produce␈α∂a␈α⊂drawing␈α⊂that␈α⊂matches␈α⊂the␈α⊂giv␈α␈en␈α∂idea.␈α_Since␈α⊂candy␈α⊂shops␈α∂probably
␈β	∞␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈t␈α
the␈α
ultimate␈α
authority␈α
about␈α
the␈α
proper␈α
shape␈α
a␈α
heart␈α
should␈α
tak␈α␈e,␈α
the
␈β	9␈↓ ↓H␈ε"author␈α
purchased␈α
a␈αbo␈α␈x␈α
of␈α
chocolates␈αon␈α
Feb.␈α14,␈α
1979,␈αand␈α
traced␈αthe␈α
outline␈α
of
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"the␈α
bo␈α␈x's␈αshape␈αon␈α␈to␈α
a␈αpiece␈αof␈α
graph␈αpaper␈α(after␈α
appropriately␈αdisposing␈αof␈α
the
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"bo␈α␈x's␈α	con␈α␈ten␈α␈ts).␈αIn␈α	this␈α	way␈α	the␈α	follo␈α␈wing␈α	poin␈α␈ts␈α	w␈α␈ere␈α	found␈α	to␈αλlie␈α	on␈α	an␈α	authen␈α␈tic
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"heart:
␈β
X␈↓ ¬∞␈ε(x␈↓ ¬7␈ε"=␈α
100;␈↓ εO␈ε(y␈↓ εx␈ε"=␈α
162;
␈β
e␈↓ ¬≡␈ε%1␈↓ ε`␈ε%1
␈β∞␈↓ ∧α␈ε(x␈↓ ∧+␈ε"=␈α
200␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬C␈ε(x␈↓ ¬l␈ε"=␈α
140;␈↓ π∧␈ε(y␈↓ π-␈ε"=␈↓ π[␈ε(y␈↓ λ∧␈ε"=␈α
178;
␈β≠␈↓ ∧∩␈ε%2␈↓ ¬S␈ε%8␈↓ π∃␈ε%2␈↓ πl␈ε%8
␈βD␈↓ ∧α␈ε(x␈↓ ∧+␈ε"=␈α
200␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬C␈ε(x␈↓ ¬l␈ε"=␈α
185;␈↓ π∧␈ε(y␈↓ π-␈ε"=␈↓ π[␈ε(y␈↓ λ∧␈ε"=␈α
125;
␈βQ␈↓ ∧∩␈ε%3␈↓ ¬S␈ε%7␈↓ π∃␈ε%3␈↓ πl␈ε%7
␈βz␈↓ ∧␈ε(x␈↓ ∧4␈ε"=␈α
200␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬L␈ε(x␈↓ ¬u␈ε"=␈α
161;␈↓ π
␈ε(y␈↓ π6␈ε"=␈↓ πd␈ε(y␈↓ λ
␈ε"=␈α
57;
␈βπ␈↓ ∧≠␈ε%4␈↓ ¬\␈ε%6␈↓ π≡␈ε%4␈↓ πu␈ε%6
␈β0␈↓ ¬ ␈ε(x␈↓ ¬I␈ε"=␈α
100;␈↓ εa␈ε(y␈↓ π
␈ε"=␈α
0;
␈β=␈↓ ¬0␈ε%5␈↓ εr␈ε%5
␈βd␈↓ ↓H␈ε"see␈αFig.␈↓ αL␈ε"2↑5␈↓ βα␈ε".
␈βx␈↓ ∧m␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β
∂␈↓ α␈ε"The␈αnaiv␈α␈e␈αway␈αto␈αask␈↓ ε:␈ε"for␈αthe␈αrequired␈αdrawing␈αw␈α␈ould␈αbe
␈β
S␈↓ β¬␈ε2cpen␈↓ βM␈ε";␈α*9␈↓ ∧≥␈ε2draw␈↓ ∧u␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5;␈↓ π≠␈ε2draw␈↓ πs␈ε"5␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε8␈αε.␈αε.␈αε1;
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"but␈α∂w␈α␈e␈α∂don't␈α∂expect␈α∂this␈α∂to␈α∂be␈α∂v␈α␈ery␈α∂successful,␈α∂since␈α∂it␈α∂fails␈α∂to␈α∂specify␈α∂proper
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"directions␈α∂at␈α∞the␈α∂endpoin␈α␈ts.␈α∃In␈α∂fact,␈α∂it␈α∂produces␈α∂the␈α∂lumpy␈α∂shape␈α∂of␈α∂Fig.␈↓ 
l␈ε"2↑6␈↓ "␈ε",
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"13
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈β¬β␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α2↑␈α␈5.␈ε#␈α≤Eigh␈α␈t␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αto␈αb␈α␈e␈α
u␈α␈sed␈αin
␈β¬+␈↓ π⊂␈ε#the␈αd␈α␈esign␈αo␈α␈f␈αa␈α\h␈α␈eart."
␈βπ≤␈↓ 	%␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε"something␈α∞one␈α∂w␈α␈ould␈α∞hardly␈α∂wish␈α∂to␈α∞leav␈α␈e␈α∂in␈α∂San␈α∞Francisco.␈↓ 
t␈ε"will
␈βπ↑␈↓ ↓H␈ε"certainly␈αhav␈α␈e␈αto␈αdo␈αbetter␈αthan␈αthat.
␈β
X␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈αλ2↑6␈α␈.␈ε#␈α∩The␈αλh␈α␈eart␈αλwill␈α	loo␈α␈k␈αλdisea␈α␈sed
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε#if␈αy␈α}ou␈α
rep␈α␈eat␈α
th␈α␈e␈αmista␈α␈k␈α␈e␈α
of␈αFig.␈↓ ¬(␈ε#2↑2␈↓ ¬Z␈ε#.
␈βj␈↓ α␈ε"So␈α	no␈α␈w␈αλw␈α␈e␈α	come␈α	to␈αλthe␈α	second␈α	way␈αλof␈α	pro␈α␈viding␈α	the␈αλdesired␈α	angles.␈αBy␈αλtaking
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"a␈αruler,␈αand␈αdrawing␈αa␈αstraigh␈α␈t␈αline␈αon␈αthe␈αgraph␈αpaper␈αin␈αthe␈αdirection␈αthat␈αthe
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"correct␈α
heart␈α
shape␈αtak␈α␈es␈α
at␈α
poin␈α␈t␈α1,␈α
it␈αis␈α
possible␈α
to␈α
specify␈αthe␈α
desired␈α
direction
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"by␈αλcoun␈α␈ting␈αλsquares.␈α
The␈αλauthor␈αλfound␈αλthat␈αλthe␈αλcorrect␈αλline␈αλgoes␈αλ40␈αλunits␈απupwards
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"when␈αit␈αgoes␈α50␈αunits␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t,␈αso␈αthe␈αdirection␈αat␈αpoin␈α␈t␈α1␈αis␈αspeci|ed␈αby␈αthe
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∂50␈α∞and␈α∂40.␈α∃At␈α∂poin␈α␈t␈α∂5␈α∂the␈α∂corresponding␈α∞line␈α∂is␈α∂not␈α∂so␈α∂steep,␈α⊂it␈α∞goes
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"14␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"do␈α␈wn␈αonly␈α36␈αunits␈αper␈α50␈αunits␈αto␈αthe␈αleft;␈αthe␈αdirection␈αin␈αthis␈αcase␈αis␈αspeci|ed
␈βαg␈↓ ¬I␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"by␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε6␈α
␈␈ε"50␈α
and␈ε6␈α
␈␈ε"36.␈↓ π⊗␈ε"will␈α
adopt␈α
these␈α
directions␈α
if␈αthey
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"are␈αplaced␈αin␈αbraces␈αfollo␈α␈wing␈αthe␈αnames␈αof␈αthe␈αpoin␈α␈ts:
␈β∧↓␈↓ βp␈ε2draw␈↓ ∧H␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε";
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε"this␈α
does␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αhalf␈αof␈α
the␈αheart,␈αand␈αthe␈αleft-hand␈αportion␈αis␈α
similar,␈αnamely
␈β¬0␈↓ βp␈ε2draw␈↓ ∧H␈ε"5␈ε6f␈␈ε"50,␈αε36␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε8␈αε.␈αε.␈αε1␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"40␈ε6g␈ε".
␈βελ␈↓ α␈ε"When␈α
y␈α␈ou␈α
giv␈α␈e␈α
explicit␈α
directions␈α
in␈α
this␈α
way,␈α
an␈α␈y␈α
positiv␈α␈e␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈αthe
␈βε3␈↓ ↓H␈ε"direction␈α
is␈α∞satisfactory;␈α∞\␈ε6f␈ε"5,␈αε4␈ε6g␈ε""␈α
means␈α∞the␈α
same␈α∞thing␈α∞as␈α
\␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"",␈α∞and␈α
y␈α␈ou
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε"could␈α⊂ev␈α␈en␈α⊃say␈α⊂\␈ε6f␈ε"1,␈αε0.8␈ε6g␈ε"".␈α~Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α⊃the␈α⊃signs␈α⊂of␈α⊃these␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂m␈α␈ust␈α⊃not␈α⊂be
␈βπ	␈↓ ↓H␈ε"changed;␈α⊂\␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε""␈α∞is␈α∂emphatically␈ε/␈α∂not␈ε"␈α∞the␈α∂same␈α∂as␈α∞\␈ε6f␈ε"50,␈αε36␈ε6g␈ε"",␈α⊂since␈α∞the
␈βπ4␈↓ ↓H␈ε"former␈αλmeans␈α	that␈α	the␈αλcurv␈α␈e␈α	is␈α	coming␈αλto␈α	the␈α	poin␈α␈t␈αλfrom␈α	the␈αλupper␈α	righ␈α␈t␈α	while␈αλthe
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε"latter␈α
means␈αthat␈αit␈αis␈αcoming␈αfrom␈α
the␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αleft.␈αIf␈α
the␈αdirection␈αat␈αpoin␈α␈t␈α5␈α
had
␈βπt␈↓ ∧t␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"been␈α∞speci|ed␈α∞as␈ε6␈α∂f␈ε"50,␈αε36␈ε6g␈ε",␈↓ εC␈ε"w␈α␈ould␈α∞dutifully␈α∂hav␈α␈e␈α∞drawn␈α∞something
␈βλ6␈↓ ↓H␈ε"that␈α
comes␈α
from␈αpoin␈α␈t␈α
4,␈α∞hooks␈α
around,␈α
and␈α
en␈α␈ters␈α
poin␈α␈t␈α
5␈α
from␈α
the␈αlo␈α␈w␈α␈er␈α
left;
␈βλa␈↓ ↓H␈ε"but␈αthe␈αresult␈αis␈αbest␈αnot␈αsho␈α␈wn␈αhere.␈αOn␈αthe␈αother␈αhand␈αthe␈αrigh␈α␈t-hand␈αportion
␈β	␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αcould␈αequally␈αw␈α␈ell␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αdrawn␈αin␈αrev␈α␈erse␈αorder,
␈β	d␈↓ βp␈ε2draw␈↓ ∧H␈ε"5␈ε6f␈ε"50,␈αε36␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε1␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"40␈ε6g␈ε";
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"the␈α
signs␈α∞are␈α
no␈α␈w␈α∞rev␈α␈ersed.␈α⊃A␈α∞min␈α␈us␈α
sign␈α∞in␈α
the␈↓ πP␈ε(x␈↓ πp␈ε"part␈α∞of␈α∞a␈α
direction␈α∞(the␈α
|rst
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"part)␈α
means␈α
in␈α
general␈α
that␈α
the␈αcurv␈α␈e␈α
is␈α
going␈α
left,␈α∞a␈α
plus␈α
sign␈α
means␈αthat␈α
it␈α
is
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"going␈α
righ␈α␈t,␈α
and␈α
zero␈α
means␈α
that␈α
it␈α
is␈α
going␈α
v␈α␈ertically.␈αA␈α
min␈α␈us␈α
sign␈α
in␈α
the␈↓ 
L␈ε(y␈↓ 
j␈ε"part
␈β=␈↓ ↓H␈ε"(the␈αsecond␈αpart)␈αmeans␈αthat␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αis␈αgoing␈αdo␈α␈wn,␈αa␈αplus␈αsign␈αmeans␈αthat␈αit
␈βh␈↓ ↓H␈ε"is␈αgoing␈αup,␈αand␈αzero␈αmeans␈αthat␈αit␈αis␈αgoing␈αhorizon␈α␈tally.
␈β∀␈↓ α␈ε"The␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈↓ β"␈ε2draw␈↓ ∧␈ε"commands␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂giv␈α␈e␈α⊂explicit␈α⊂directions␈α⊂at␈α⊂the␈α∂endpoin␈α␈ts,
␈β(␈↓ β∃␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β?␈↓ ↓H␈ε"while␈αtaking␈↓ ∧V␈ε"'s␈αstandard␈αdirections␈αat␈αthe␈αin␈α␈terior␈αpoin␈α␈ts␈α2,␈α3,␈α4␈αand
␈βj␈↓ ↓H␈ε"6,␈α7,␈α8.␈αUnfortunately␈αthe␈αresult␈α
(Fig.␈↓ ε#␈ε"2↑7␈↓ εY␈ε")␈αis␈αstill␈αnot␈αquite␈αrigh␈α␈t,␈αthe␈αtransition
␈β
∃␈↓ ↓H␈ε"from␈α2␈αto␈α
3␈αto␈α4␈α
being␈αsomewhat␈αdisheartening.␈α
What␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αlik␈α␈e␈α
is␈αto␈αbring
␈β
@␈↓ ↓H␈ε"the␈αcurv␈α␈e␈α
a␈α
little␈α
to␈α
the␈α
righ␈α␈t,␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
2␈αand␈α
3,␈α
and␈α
a␈α
little␈α
to␈α
the␈α
left␈αbet␈α␈w␈α␈een
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"3␈αand␈α4.
␈β∞↔␈↓ α␈ε"One␈αremedy␈αthat␈αimmediately␈αsprings␈αto␈αmind␈αis␈αto␈αadd␈αmore␈αpoin␈α␈ts.␈αAfter
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"all,␈α	there's␈αλno␈α	obvious␈αλreason␈α	wh␈α␈y␈αλexactly␈α	eigh␈α␈t␈αλpoin␈α␈ts␈α	should␈αλbe␈α	the␈αλrigh␈α␈t␈αλn␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"15
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈β∧b␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈απ2↑7␈α␈.␈ε#␈α⊂Co␈α␈rrection␈αεof␈απthe␈απerro␈α␈r␈απl␈α↓ea␈α␈ds
␈β¬	␈↓ ↓H␈ε#to␈αλa␈α	b␈α␈etter␈α	s␈α␈hap␈α␈e,␈α
b␈α␈ut␈αλsti␈α↓ll␈α	fu␈α␈rther␈α	im-
␈β¬1␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α}emen␈α}t␈αi␈α↓s␈αd␈α␈esirab␈α␈l␈α↓e␈α␈.
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞de|ne␈α∂this␈α∞shape.␈α∀It␈α∞is␈α∂a␈α∂simple␈α∞matter␈α∂to␈α∞look␈α∂at␈α∞the␈α∂correct␈α∞curv␈α␈e␈α∂on␈α∞the
␈βπH␈↓ ↓H␈ε"graph␈αpaper␈αand␈αto␈αadd␈αt␈α␈w␈α␈o␈αmore␈αpoin␈α␈ts␈αwhere␈αFig.␈↓ λ¬␈ε"2↑7␈↓ λG␈ε"is␈αin␈αerror,␈αsay
␈βλ␈↓ ∧∞␈ε(x␈↓ ∧7␈ε"=␈α
200␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬O␈ε(x␈↓ επ␈ε"=␈α
181;␈↓ ε{␈ε(y␈↓ π$␈ε"=␈↓ πR␈ε(y␈↓ λ
␈ε"=␈α
97;
␈βλ~␈↓ ∧∨␈ε%9␈↓ ¬`␈ε%10␈↓ π␈ε%9␈↓ πc␈ε%10
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αcan␈αincorporate␈αthe␈αnew␈αpoin␈α␈ts␈αby␈αsaying
␈β	⊃␈↓ βK␈ε2draw␈↓ ∧#␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε";
␈β	G␈↓ βK␈ε2draw␈↓ ∧#␈ε"1␈ε6f␈␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε8␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε10␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε".
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"The␈αresult␈αin␈αFig.␈↓ βj␈ε"2↑8␈↓ ∧,␈ε"is␈αno␈α␈w␈αsatisfactory.
␈βd␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α∞2↑8␈α␈.␈ε#␈α!A␈α∞satisfacto␈α␈ry␈α∞des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α∞can
␈β
␈↓ π⊂␈ε#be␈α∩o␈α␈btain␈α␈ed␈α∩b␈α␈y␈α∩inse␈α␈rting␈α∩t␈α␈w␈α␈o␈α∩e␈α␈xtra
␈β
3␈↓ π⊂␈ε#poin␈α}ts.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"16␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ εm␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈βαS␈↓ α␈ε"But␈α	there␈α	is␈α	a␈α	better␈α	way,␈α
and␈α	a␈α	user␈α	of␈↓ λ7␈ε"should␈α	be␈α	encouraged␈α	to
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"av␈α␈oid␈αin␈α␈troducing␈αnew␈αpoin␈α␈ts␈αwhenev␈α␈er␈αpossible.␈α
The␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈αcomes␈αwhen
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α∞realize␈α
ho␈α␈w␈α∞poin␈α␈ts␈α∞2␈α∞and␈α∞3␈α∞w␈α␈ere␈α∞actually␈α
selected␈α∞in␈α∞the␈α∞|rst␈α∞place:␈α⊂poin␈α␈t␈α
2
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"is␈αthe␈αtopmost␈αpoin␈α␈t,␈αwhere␈αthe␈αheart␈αshape␈αreaches␈αits␈αmaxim␈α␈um␈↓ 	↑␈ε(y␈↓ 	}␈ε"coordinate,
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"while␈αλpoin␈α␈t␈αλ3␈αλis␈αλthe␈αλrigh␈α␈tmost␈αλpoin␈α␈t,␈α	where␈αλthe␈αλmaxim␈α␈um␈↓ λ5␈ε(x␈↓ λO␈ε"coordinate␈αλis␈αλachiev␈α␈ed.
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthe␈αcorrect␈αdirections␈αat␈αthese␈αpoin␈α␈ts:␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αis␈αhorizon␈α␈tal␈αat␈α2
␈β∧?␈↓ βX␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε"and␈α	v␈α␈ertical␈αλat␈α	3.␈↓ ¬"␈ε"allo␈α␈ws␈α	curv␈α␈e␈α	directions␈α	to␈α	be␈α	speci|ed␈α	at␈α	all␈αλpoin␈α␈ts,
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε"not␈αonly␈αat␈αthe␈αendpoin␈α␈ts,␈αhence␈αthe␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αsolution␈αis␈αto␈αsay
␈β¬W␈↓ αt␈ε2draw␈↓ βL␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε3␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε";
␈βε
␈↓ αt␈ε2draw␈↓ βL␈ε"1␈ε6f␈␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε8␈ε6f␈␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε7␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε".
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"This␈αleads␈αto␈αFig.␈↓ βj␈ε"2↑9␈↓ ∧ ␈ε",␈αwhich␈αis␈αquite␈αsuitable␈αfor␈αone's␈αtrue␈αvalen␈α␈tine.
␈β	_␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈α2↑9␈α␈.␈ε#␈α≠In␈α␈stead␈αo␈α␈f␈αsp␈α␈ecifyin␈α␈g␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓-
␈β	@␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈nal␈α⊂po␈α␈i␈α↓n␈α}ts,␈α∩it␈α⊂is␈α⊃b␈α␈etter␈α⊂to␈α⊂sp␈α␈ecify
␈β	g␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α
the␈α
c␈α␈urv␈α}e␈αis␈α
trav␈α}ell␈α↓in␈α␈g␈α
ho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on-
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε#ta␈α␈ll␈α↓y␈α
an␈α␈d␈αv␈α␈e␈α␈rti␈α↓c␈α␈all␈α↓y␈α␈.
␈β`␈↓ α␈ε"The␈αsuccess␈αof␈αthis␈αdirection-speci|cation␈αapproach␈αsuggests␈αin␈αfact␈αthat␈αw␈α␈e
␈β␈↓ ↓H␈ε"migh␈α␈t␈α
be␈α
better␈α
o{␈α	with␈α
ev␈α␈en␈ε/␈α
few␈α␈er␈ε"␈α
poin␈α␈ts.␈αWhat␈α
w␈α␈ould␈α
happen␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
tried␈α	to␈α
get
␈β6␈↓ ↓H␈ε"by␈α	with␈α	only␈α	four␈α
poin␈α␈ts␈α	instead␈α	of␈α	eigh␈α␈t?␈αFig.␈↓ π∃␈ε"2↑10␈↓ πf␈ε"is␈α	the␈α
result␈α	of␈α	the␈α	commands
␈β
␈↓ βj␈ε2draw␈↓ ∧B␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε3␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε";
␈β
B␈↓ βj␈ε2draw␈↓ ∧B␈ε"1␈ε6f␈␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε7␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε".
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"It␈αλturns␈αλout␈α	that␈αλthis␈αλcurv␈α␈e␈αλdoesn't␈α	come␈αλup␈αλhigh␈α	enough␈αλfor␈αλpoin␈α␈t␈α	2,␈α	but␈αλpoin␈α␈t␈αλ4␈αλis
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈ery␈α	close.␈αTh␈α␈us␈α	poin␈α␈ts␈α	2␈α	and␈α	8␈α	should␈α	stay,␈α	but␈α	poin␈α␈ts␈α	4␈α	and␈α	6␈α	can␈α	be␈α	eliminated;
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"17
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"the␈αcandy␈αmak␈α␈ers␈αprobably␈αwan␈α␈ted␈αpoin␈α␈t␈α4␈αto␈αbe␈αsligh␈α␈tly␈αto␈αthe␈αleft.*
␈β¬π␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α∀2␈α␈↑10␈α␈.␈ε#␈α+Th␈α␈i␈α↓s␈α∪hea␈α␈rt␈α∀was␈α∀d␈α␈rawn
␈β¬/␈↓ π⊂␈ε#using␈απon␈α␈l␈α↓y␈απfou␈α␈r␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλeigh␈α}t␈αλgiv␈α}en␈αλd␈α␈ata
␈β¬W␈↓ π⊂␈ε#poin␈α}ts,␈α∪sp␈α␈ecifying␈α⊂the␈α⊂desired␈α⊂direc␈α␈-
␈β¬}␈↓ π⊂␈ε#ti␈α↓o␈α␈ns␈α	at␈α
p␈α␈oin␈α␈ts␈α	1␈α	an␈α␈d␈α
5␈α	an␈α␈d␈α	spe␈α␈cif␈α↓y␈α␈ing
␈βε&␈↓ π⊂␈ε#that␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αb␈α␈e␈αv␈α␈ertica␈α␈l␈αat␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈α7
␈βεM␈↓ π⊂␈ε#and␈α
3.
␈βλ'␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈βλ>␈↓ α␈ε"It␈α
isn't␈αclear␈α
what␈α
will␈αturn␈α
out␈α
to␈αbe␈α
the␈α
best␈αstrategy␈α
for␈α
cajoling␈↓  ␈ε"-
␈βλS␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈βλj␈↓ α5␈ε"in␈α␈to␈α
drawing␈α∞the␈α
shapes␈α∞that␈α
its␈α
users␈α∞hav␈α␈e␈α
in␈α∞mind;␈α∞only␈α∞time␈α
will␈α
tell.
␈β	∃␈↓ ↓H␈ε"Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞one␈α∞further␈α∞example␈α∞will␈α∞help␈α∞to␈α∞rev␈α␈eal␈α∞ho␈α␈w␈α∞poin␈α␈ts␈α∞should␈α∞be␈α∞chosen
␈β	@␈↓ ↓H␈ε"when␈αattempting␈αto␈αdraw␈αcurv␈α␈es:␈αLet␈αus␈αconsider␈αthe␈ε/␈αshoemak␈α␈er's␈αproblem␈ε".␈αThe
␈β	k␈↓ ↓H␈ε"author␈α∞made␈α
a␈α∞tracing␈α∞on␈α∞graph␈α∞paper␈α∞of␈α∞the␈α∞sole␈α∞of␈α
one␈α∞of␈α∞his␈α∞left␈α∞shoes,␈α∞and
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"this␈αled␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αdata:
␈β→␈↓ α2␈ε(x␈↓ α[␈ε"=␈α≤77;␈↓ β]␈ε(y␈↓ ∧π␈ε"=␈α
322;␈↓ ¬→␈ε(x␈↓ ¬B␈ε"=␈α
132;␈↓ εD␈ε(y␈↓ εm␈ε"=␈α
220;␈↓ π␈␈ε(x␈↓ λ(␈ε"=␈α
117;␈↓ 	*␈ε(y␈↓ 	T␈ε"=␈α
150;
␈β&␈↓ αC␈ε%1␈↓ βn␈ε%1␈↓ ¬)␈ε%2␈↓ εU␈ε%2␈↓ λ⊂␈ε%3␈↓ 	;␈ε%3
␈βO␈↓ α2␈ε(x␈↓ α[␈ε"=␈α
120;␈↓ β]␈ε(y␈↓ ∧π␈ε"=␈α
100;␈↓ ¬→␈ε(x␈↓ ¬B␈ε"=␈α
131;␈↓ εD␈ε(y␈↓ εm␈ε"=␈α≤55;␈↓ π␈␈ε(x␈↓ λ(␈ε"=␈α≤95;␈↓ 	*␈ε(y␈↓ 	T␈ε"=␈α.2;
␈β\␈↓ αC␈ε%4␈↓ βn␈ε%4␈↓ ¬)␈ε%5␈↓ εU␈ε%5␈↓ λ⊂␈ε%6␈↓ 	;␈ε%6
␈β¬␈↓ α2␈ε(x␈↓ α[␈ε"=␈α≤48;␈↓ β]␈ε(y␈↓ ∧π␈ε"=␈α≤60;␈↓ ¬→␈ε(x␈↓ ¬B␈ε"=␈α≤38;␈↓ εD␈ε(y␈↓ εm␈ε"=␈α
140;␈↓ π␈␈ε(x␈↓ λ(␈ε"=␈α≤20;␈↓ 	*␈ε(y␈↓ 	T␈ε"=␈α
200;
␈β∩␈↓ αC␈ε%7␈↓ βn␈ε%7␈↓ ¬)␈ε%8␈↓ εU␈ε%8␈↓ λ⊂␈ε%9␈↓ 	;␈ε%9
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"see␈αFig.␈↓ αL␈ε"2↑11␈↓ β∀␈ε".
␈β∞~␈↓ ↓H␈∧∞~↓Hα↓X
␈β∞'␈↓ ↓H␈ε$*Another␈α	h␈α␈ypothes␈α␈is␈α	i␈α␈s␈α	that␈α	the␈αλdire␈α␈cti␈α␈o␈α↓n␈αλa␈α↓t␈α	poi␈α␈nt␈αλ5␈α	isn'␈α␈t␈α	quite␈αλrigh␈α␈t␈α	i␈α␈n␈α	the␈α	author's␈αλda␈α↓t␈α␈a␈α
(si␈α␈nce
␈β∞G␈↓ ↓H␈ε$the␈α	box␈α
was␈αi␈α␈n␈α
fa␈α↓c␈α␈t␈α
crum␈α␈pled␈α
at␈α
poin␈α␈t␈α
5␈α↓).
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"18␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βε7␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α∂2␈α␈↑1␈α␈1.␈ε#␈α!An␈α␈oth␈α␈er␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂ba␈α␈sed
␈βε←␈↓ π⊂␈ε#on␈αth␈α␈e␈αsh␈α␈ape␈αo␈α␈f␈αa␈αsho␈α␈e.
␈β	8␈↓ α␈ε"Since␈αλthe␈αλsole's␈α	boundary␈αλis␈αλa␈αλclosed␈αλcurv␈α␈e␈α	without␈αλsharp␈αλcorners,␈α	it␈αλis␈αλnatural
␈β	L␈↓ β⊗␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	c␈↓ ↓H␈ε"to␈αtry␈αto␈αget␈↓ ∧b␈ε"to␈αdraw␈αit␈αwith␈αa␈αsingle␈↓ π↑␈ε2draw␈↓ λ7␈ε"command,␈αusing␈αhidden
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts:
␈β
@␈↓ β4␈ε2draw␈↓ ∧␈ε"(9␈αε.␈αε.␈αε)1␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε8␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε1(␈αε.␈αε.␈αε2).
␈β
␈↓ ↓H␈ε"But␈α	the␈α	result␈α
is␈α	a␈α
disaster␈α	(Fig.␈↓ ¬9␈ε"2↑12a␈↓ ε∪␈ε");␈αthe␈α	author's␈α	feet␈α
are␈α	somewhat␈α	ungainly,
␈β5␈↓ ↓H␈ε"but␈α
not␈αso␈α
gnarled␈α
as␈α
that.␈α∂The␈α
reason␈αfor␈α
this␈α
failure␈α
is␈α
what␈α
w␈α␈e␈α
alluded␈α
to␈αin
␈βJ␈↓ ∧k␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βa␈↓ ↓H␈ε"connection␈α
with␈α
Fig.␈↓ ∧≠␈ε"2↑4␈↓ ∧Q␈ε".␈↓ ε9␈ε"needs␈α
help␈α
when␈α∞y␈α␈ou␈α
wan␈α␈t␈α
the␈α
curv␈α␈e␈α
to
␈β␈↓ ↓H␈ε"change␈αdirections.
␈β9␈↓ α␈ε"Imagine␈α∂that␈α∞y␈α␈ou␈α∂are␈α∂driving␈α∞along␈α∂a␈α∂curv␈α␈ed␈α∞high␈α␈way;␈α⊂sometimes␈α∂y␈α␈ou␈α∞are
␈βd␈↓ ↓H␈ε"turning␈αλleft,␈α
sometimes␈α	y␈α␈ou␈α	are␈αλturning␈α	righ␈α␈t,␈α
and␈αλy␈α␈ou␈α	are␈α	at␈α	a␈α	so-called␈ε/␈αλin⎇ection
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε/poin␈α␈t␈ε"␈απwhen␈απy␈α␈ou␈απare␈απmomen␈α␈tarily␈απgoing␈απstraigh␈α␈t.␈αThe␈απbiggest␈απproblem␈απin␈απFig.␈↓ 
R␈ε"2↑12a
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"occurs␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α2␈α
and␈α
3,␈α
when␈α
the␈α
shoe␈α
sole␈α
has␈α
an␈α
in⎇ection␈α
poin␈α␈t␈α
but␈α
there␈αis
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"no␈αcorresponding␈αdata␈αpoin␈α␈t.␈αLet's␈αadd␈αone:
␈β∞B␈↓ ∧␈␈ε(x␈↓ ¬7␈ε"=␈α
125;␈↓ εO␈ε(y␈↓ ππ␈ε"=␈α
184;
␈β∞P␈↓ ¬⊂␈ε%10␈↓ ε`␈ε%10
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"19
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"in␈αgeneral␈αit␈αis␈αa␈αgood␈αidea␈αto␈αinclude␈αin⎇ection␈αpoin␈α␈ts␈αand␈αto␈αspecify␈αthe␈αdesired
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"direction␈αof␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αat␈αsuch␈αpoin␈α␈ts.
␈ββ,␈↓ α␈ε"It␈α⊂turns␈α⊂out␈α∂that␈α⊂all␈α⊂ten␈α⊂data␈α⊂poin␈α␈ts␈α∂in␈α⊂this␈α⊂example␈α⊂are␈α⊂either␈α∂in⎇ection
␈ββW␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts␈α∞or␈α∞places␈α∞where␈α∞the␈α∞curv␈α␈e␈α∞trav␈α␈els␈α∞horizon␈α␈tally␈α∞or␈α∞v␈α␈ertically.␈α⊃So␈α∞the␈α∞best
␈β∧α␈↓ ↓H␈ε"way␈αto␈αdraw␈αthe␈αshoe␈αsole␈αis␈αprobably␈αto␈αspecify␈αdirections␈αat␈αeach␈αpoin␈α␈t:
␈β∧←␈↓ ↓l␈ε2draw␈↓ αD␈ε"1␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε10␈ε6f␈␈ε"25,␈ε6␈αε␈␈ε"60␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε3␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈ε6f␈ε"18,␈ε6␈αε␈␈ε"60␈ε6g
␈β¬∃␈↓ β∀␈ε".␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε6␈ε6f␈␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε7␈ε6f␈ε"0,␈αε1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε8␈ε6f␈␈ε"30,␈αε60␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε9␈ε6f␈ε"0,␈αε1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε1␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε".
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"The␈αresult␈αin␈αFig.␈↓ βj␈ε"2↑12b␈↓ ∧R␈ε"does␈αindeed␈αcapture␈αthe␈αauthor's␈αsole.
␈β@␈↓ ↓H␈ε"a)␈↓ ε9b)
␈β∞∧␈↓ αa␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈αλ2-1␈α␈2.␈↓ ∧⊗␈ε#ha␈α␈s␈αλdi}c␈α␈ulty␈αλc␈α␈han␈α␈ging␈απfrom␈αλleft␈αλtu␈α␈rns␈αλto␈απri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αλtu␈α␈rns;␈α	th␈α␈e␈αλreme␈α␈dy
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#is␈αto␈αsp␈α␈ecify␈αth␈α␈e␈αpr␈α␈ope␈α␈r␈αdirection␈α
at␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αof␈αin⎇␈α␈ectio␈α␈n.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"20␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ α␈ε"Note␈αλthat␈αλwhen␈αλall␈αλof␈αλthe␈αλdirections␈αλare␈αλspeci|ed␈αλexplicitly␈αλas␈αλin␈αλthis␈αλexample,
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"the␈↓ αε␈ε2draw␈↓ α`␈ε"command␈αcould␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αsplit␈αup␈αin␈α␈to␈αindividual␈αsegmen␈α␈ts:
␈ββP␈↓ ∧;␈ε2draw␈↓ ¬∪␈ε"1␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε";
␈β∧ε␈↓ ∧;␈ε2draw␈↓ ¬∪␈ε"2␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε10␈ε6f␈␈ε"25,␈ε6␈αε␈␈ε"60␈ε6g␈ε";
␈β∧+␈↓ ¬β␈ε".
␈β∧:␈↓ ¬β␈ε".
␈β∧H␈↓ ¬β␈ε".
␈β∧}␈↓ ∧;␈ε2draw␈↓ ¬∪␈ε"9␈ε6f␈ε"0,␈αε1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε1␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε";
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε"the␈αresult␈αw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αjust␈αthe␈αsame.
␈β¬v␈↓ β2␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βε␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βε⊂␈↓ α␈ε#Here␈αεis␈αεho␈α␈w␈↓ ∧f␈ε#c␈α␈hoo␈α␈ses␈αεthe␈αεa␈α␈ng␈α␈l␈α↓e␈αεa␈α␈t␈απp␈α␈oin␈α␈t␈↓ πS␈ε)z␈↓ πq␈ε#wh␈α␈en␈αεth␈α␈e␈αεdirectio␈α␈n␈αεha␈α␈s␈αεnot␈αεb␈α␈een
␈βε≠␈↓ π↑␈ε&1
␈βε8␈↓ α␈ε#ex␈α␈plicitl␈α↓y␈α	giv␈α␈e␈α␈n,␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈α
fro␈α␈m␈↓ ¬r␈ε)z␈↓ ε∀␈ε#to␈↓ ε<␈ε)z␈↓ ε]␈ε#to␈↓ π¬␈ε)z␈↓ π≥␈ε#:␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ πl␈ε)z␈↓ λ∞␈ε#=␈α
(␈↓ λD␈ε)x␈↓ λ`␈ε#,␈↓ λo␈ε)y␈↓ 	␈ε#),␈α↓␈↓ 	F␈ε)x␈↓ 	l␈ε#=␈↓ 
↔␈ε)x␈↓ 
←␈ε7␈␈↓ π␈ε)x␈↓ #␈ε#,
␈βεC␈↓ ¬⎇␈ε&0␈↓ εG␈ε&1␈↓ π⊂␈ε&2␈↓ πx␈ε,k␈↓ λS␈ε,k␈↓ λ␈␈ε,k␈↓ 	V␈ε,k␈↓ 
&␈ε,k␈↓ 
3␈ε&+␈α↓1␈↓ ⊗␈ε,k
␈βε\␈↓ ∧T␈ε&2␈↓ ¬c␈ε&2␈↓ εh␈ε&2␈↓ λ?␈ε&2
␈βε`␈↓ ↓H␈ε#↓␈↓ ↓c␈ε)y␈↓ α
␈ε#=␈↓ α4␈ε)y␈↓ α{␈ε7␈␈↓ β ␈ε)y␈↓ β=␈ε#,␈α	an␈α␈d␈ε7␈α	j␈ε#↓␈↓ ∧3␈ε)z␈↓ ∧K␈ε7j␈↓ ∧j␈ε#=␈α	(␈α↓↓␈↓ ¬;␈ε)x␈↓ ¬X␈ε#)␈↓ ¬t␈ε#+␈α∧(↓␈↓ ε@␈ε)y␈↓ ε]␈ε#)␈↓ εt␈ε#.␈αTh␈α␈en␈αλi␈α↓f␈ε7␈αλj␈ε#↓␈↓ λ≡␈ε)z␈↓ λ6␈ε7j␈↓ λU␈ε#=␈α
0␈αλ(i.e.,␈α
if␈↓ 	}␈ε)z␈↓ 
∨␈ε#=␈↓ 
I␈ε)z␈↓ 
a␈ε#),␈α	the
␈βεj␈↓ ↓s␈ε,k␈↓ αD␈ε,k␈↓ αQ␈ε&+1␈↓ β0␈ε,k␈↓ ∧>␈ε,k␈↓ ¬K␈ε,k␈↓ εP␈ε,k␈↓ λ)␈ε&0␈↓ 
	␈ε&0␈↓ 
T␈ε&1
␈βπβ␈↓ λk␈ε&2
␈βππ␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈irection␈αis␈ε7␈αf␈ε#↓␈↓ β!␈ε)x␈↓ β=␈ε#,␈αε↓␈↓ βg␈ε)y␈↓ ∧∧␈ε7g␈ε#␈α(i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈αthe␈αdirec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfrom␈↓ ε␈␈ε)z␈↓ π"␈ε#to␈↓ πK␈ε)z␈↓ πc␈ε#).␈α
If␈ε7␈αj␈ε#␈α↓↓␈↓ λJ␈ε)z␈↓ λb␈ε7j␈↓ 	α␈ε#=␈α
0␈α(i␈α↓.e.,␈αif␈↓ 
4␈ε)z␈↓ 
U␈ε#=␈↓ ␈ε)z␈↓ _␈ε#),
␈βπ∩␈↓ β0␈ε&1␈↓ βw␈ε&1␈↓ π
␈ε&1␈↓ πW␈ε&2␈↓ λV␈ε&1␈↓ 
?␈ε&1␈↓ ␈ε&2
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αd␈α␈irection␈α
is␈ε7␈αf␈ε#↓␈↓ βY␈ε)x␈↓ βu␈ε#,␈α¬↓␈↓ ∧∨␈ε)y␈↓ ∧<␈ε7g␈ε#␈α
(i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈αth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓re␈α␈ction␈α
from␈↓ π4␈ε)z␈↓ πV␈ε#to␈↓ π␈␈ε)z␈↓ λ⊗␈ε#).␈αOth␈α␈erwise␈αth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓r␈α␈ection␈α
is
␈βπ9␈↓ βh␈ε&0␈↓ ∧/␈ε&0␈↓ π?␈ε&0␈↓ λ
␈ε&1
␈βπx␈↓ ∧F␈ε&2␈↓ ε≤␈ε&2␈↓ π[␈ε&2␈↓ 	1␈ε&2
␈βπ}␈↓ β≤␈ε7f␈ε#↓␈↓ βI␈ε)x␈↓ βj␈ε#/␈ε7␈α¬j␈ε#␈α↓↓␈↓ ∧%␈ε)z␈↓ ∧=␈ε7j␈↓ ∧Z␈ε#+␈αλ↓␈↓ ¬∨␈ε)x␈↓ ¬@␈ε#/␈ε7␈αεj␈ε#↓␈↓ ¬|␈ε)z␈↓ ε∪␈ε7j␈↓ ε)␈ε#,␈α∂↓␈↓ ε]␈ε)y␈↓ ε␈␈ε#/␈ε7␈α¬j␈ε#↓␈↓ π:␈ε)z␈↓ πR␈ε7j␈↓ πo␈ε#+␈αλ↓␈↓ λ3␈ε)y␈↓ λU␈ε#/␈ε7␈α¬j␈ε#␈α↓↓␈↓ 	⊂␈ε)z␈↓ 	(␈ε7j␈↓ 	>␈ε7g␈ε#,
␈βλ	␈↓ βX␈ε&0␈↓ ∧0␈ε&0␈↓ ¬.␈ε&1␈↓ επ␈ε&1␈↓ εm␈ε&0␈↓ πE␈ε&0␈↓ λC␈ε&1␈↓ 	≤␈ε&1
␈βλN␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αd␈α␈irection␈αof␈αthe␈αcircle␈αthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ λα␈ε)z␈↓ λ~␈ε#,␈↓ λ/␈ε)z␈↓ λG␈ε#,␈↓ λ[␈ε)z␈↓ λ␈␈ε#if␈αthese␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αaren␈α␈'t
␈βλY␈↓ λ
␈ε&0␈↓ λ:␈ε&1␈↓ λg␈ε&2
␈βλv␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈oll␈α↓in␈α␈ear.␈αTh␈α␈e␈α	direction␈αλcomp␈α␈ute␈α␈d␈α	by␈α	th␈α␈ese␈α	rules␈α	turn␈α␈s␈α
o␈α␈ut␈α	to␈α	be␈ε7␈α	f␈ε#0␈α␈,␈αε0␈ε7g␈ε#␈α	wh␈α␈en␈↓ 
~␈ε)z␈↓ 
;␈ε#=␈↓ 
f␈ε)z␈↓ 
⎇␈ε#;␈αin
␈β	␈↓ 
%␈ε&0␈↓ 
q␈ε&2
␈β	≥␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈α	de␈α␈gen␈α␈erate␈αλcase␈αλit␈α	is␈α	arb␈α␈itrarily␈α	ch␈α␈an␈α␈ged␈αλto␈ε7␈αλf␈ε#1,␈α¬0␈ε7g␈ε#.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈αλdra␈α␈wing␈αλa␈α	cu␈α␈rv␈α␈e␈αλfrom␈↓ 
n␈ε)z␈↓ ∂␈ε#to
␈β	(␈↓ 
y␈ε&1
␈β	+␈↓ β~␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β	E␈↓ ↓H␈ε)z␈↓ ↓j␈ε#to␈↓ α∩␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ αC␈ε#to␈↓ αk␈ε)z␈↓ βε␈ε#,␈↓ ∧R␈ε#will␈αset␈↓ ¬C␈ε)z␈↓ ¬d␈ε#=␈↓ ε∞␈ε)z␈↓ ε1␈ε#if␈α
no␈α
h␈α␈idd␈α␈en␈α
po␈α␈in␈α␈t␈α
i␈α↓s␈α
giv␈α}en␈α
at␈α
th␈α␈e␈αb␈α␈egin␈α␈ning␈α␈,
␈β	O␈↓ ↓S␈ε&2␈↓ αv␈ε,n␈↓ ¬N␈ε&0␈↓ ε~␈ε&1
␈β	l␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ αλ␈ε)z␈↓ αR␈ε#=␈↓ α⎇␈ε)z␈↓ β#␈ε#if␈αn␈α␈o␈α
hid␈α␈den␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
is␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
at␈α
the␈α
en␈α␈d;␈αth␈α}us,␈αe␈α␈ach␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
cur␈α␈v␈α␈e␈α
ha␈α␈s
␈β	w␈↓ α∪␈ε,n␈↓ α#␈ε&+1␈↓ βλ␈ε,n
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#a␈α
pred␈α␈ecess␈α␈or␈αan␈α␈d␈αa␈αsu␈α␈cces␈α␈sor.
␈β
N␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ α␈ε↓x
␈β
R␈↓ α≡␈ε3Ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α2␈α␈.␈α↓1␈α␈:␈ε#␈α∞Acco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈αthe␈αru␈α␈les␈α
in␈αt␈α␈he␈αpre␈α␈ced␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αpa␈α␈ragr␈α␈aph␈α␈,␈α
wh␈α␈at␈αcurv␈α}e␈αdo
␈β
z␈↓ α␈ε#y␈α␈o␈α␈u␈αge␈α␈t␈αfrom␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈man␈α␈d␈α\␈↓ ¬5␈ε3d␈α␈raw␈↓ εε␈ε#1␈α¬.␈αε.␈αε2␈α¬.␈αε.␈αε2␈α¬.␈αε.␈α¬3"?
␈β4␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β8␈↓ α␈ε#The␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αdra␈α␈wn␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ ¬u␈ε)z␈↓ ε↔␈ε#=␈α
(␈↓ εM␈ε)x␈↓ εi␈ε#,␈↓ εx␈ε)y␈↓ π∀␈ε#)␈αa␈α␈nd␈↓ πl␈ε)z␈↓ λ
␈ε#=␈α
(␈↓ λD␈ε)x␈↓ λ`␈ε#,␈↓ λn␈ε)y␈↓ 	␈ε#),␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αst␈α␈arting
␈βB␈↓ ε␈ε&1␈↓ ε\␈ε&1␈↓ πλ␈ε&1␈↓ πw␈ε&2␈↓ λS␈ε&2␈↓ λ}␈ε&2
␈β←␈↓ α␈ε#direc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	mak␈α}es␈α	an␈α	an␈α␈gle␈↓ ∧z␈ε)∩␈↓ ¬∩␈ε#a␈α␈nd␈α	th␈α␈e␈α
e␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	direct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	mak␈α}es␈α	an␈α	an␈α␈gle␈↓ 	`␈ε)≡␈↓ 	⎇␈ε#with␈α	re␈α␈spec␈α␈t
␈βπ␈↓ ↓H␈ε#to␈αthe␈αs␈α␈traigh␈α␈t␈αl␈α↓in␈α␈e␈αfrom␈↓ ∧8␈ε)z␈↓ ∧[␈ε#to␈↓ ¬¬␈ε)z␈↓ ¬≥␈ε#,␈αcan␈αbe␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈αin␈αth␈α␈e␈αlang␈α␈ua␈α␈ge␈αof␈αc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β⊃␈↓ ∧C␈ε&1␈↓ ¬⊂␈ε&2
␈β.␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈la
␈βx␈↓ β⊂␈ε&2␈↓ βj␈ε&3␈↓ ε%␈ε&2␈↓ π≡␈ε&2
␈β}␈↓ α!␈ε)z␈↓ α@␈ε#+␈αλ(3␈↓ β¬␈ε)t␈↓ β$␈ε7␈␈ε#␈αλ2␈↓ β↑␈ε)t␈↓ βv␈ε#)(␈↓ ∧
␈ε)z␈↓ ∧,␈ε7␈␈↓ ∧T␈ε)z␈↓ ∧l␈ε#)␈αλ+␈↓ ¬'␈ε)r␈↓ ¬6␈ε)t␈↓ ¬B␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ ε∞␈ε)t␈↓ ε→␈ε#)␈↓ ε1␈ε)w␈↓ ε[␈ε7␈␈↓ π∧␈ε)s␈↓ π∩␈ε)t␈↓ π*␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ πv␈ε)t␈↓ λα␈ε#)␈↓ λ
␈ε)w␈↓ λ0␈ε#,␈↓ 	↓␈ε#for␈↓ 	5␈ε#0␈ε7␈α	∀␈↓ 	y␈ε)t␈↓ 
∂␈ε7∀␈ε#␈α	1.
␈β
λ␈↓ α,␈ε&1␈↓ ∧_␈ε&2␈↓ ∧←␈ε&1␈↓ εG␈ε&1␈↓ λ#␈ε&2
␈β
M␈↓ ↓H␈ε#He␈α␈re␈↓ α∀␈ε)w␈↓ αA␈ε#a␈α␈nd␈↓ β␈ε)w␈↓ β-␈ε#a␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
sp␈α␈eci|ed␈α	d␈α␈i␈α↓re␈α␈ctions␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈α
a␈α␈t␈↓ λ∪␈ε)z␈↓ λ4␈ε#and␈↓ λt␈ε)z␈↓ 	␈ε#,␈α
no␈α␈rmalized␈α	so␈α	tha␈α␈t
␈β
X␈↓ α*␈ε&1␈↓ β⊗␈ε&2␈↓ λ≡␈ε&1␈↓ λ␈␈ε&2
␈β
u␈↓ ↓H␈ε7j␈↓ ↓Q␈ε)w␈↓ ↓t␈ε7j␈ε#␈α	=␈ε7␈α
j␈↓ α:␈ε)w␈↓ α]␈ε7j␈ε#␈α	=␈ε7␈α
j␈↓ β#␈ε)z␈↓ βB␈ε7␈␈↓ βk␈ε)z␈↓ ∧α␈ε7j␈ε#␈α↓,␈αna␈α␈mely
␈β∞␈↓ ↓g␈ε&1␈↓ αP␈ε&2␈↓ β.␈ε&2␈↓ βv␈ε&1
␈β∞?␈↓ ∧r␈ε,i␈↓ ∧⎇␈ε,∩␈↓ π3␈ε:␈␈↓ πL␈ε,i␈↓ πW␈ε,≡
␈β∞E␈↓ ∧∂␈ε)w␈↓ ∧;␈ε#=␈↓ ∧e␈ε)e␈↓ ¬	␈ε#(␈↓ ¬∀␈ε)z␈↓ ¬3␈ε7␈␈↓ ¬\␈ε)z␈↓ ¬s␈ε#),␈↓ εP␈ε)w␈↓ ε|␈ε#=␈↓ π&␈ε)e␈↓ πf␈ε#(␈↓ πq␈ε)z␈↓ λ⊃␈ε7␈␈↓ λ9␈ε)z␈↓ λQ␈ε#).
␈β∞O␈↓ ∧%␈ε&1␈↓ ¬∨␈ε&2␈↓ ¬g␈ε&1␈↓ εf␈ε&2␈↓ π⎇␈ε&2␈↓ λD␈ε&1
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬J␈ε>Curves␈↓ β␈ε"21
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈enev␈α}er␈↓ αd␈ε)r␈↓ α⎇␈ε#an␈α␈d␈↓ β>␈ε)s␈↓ βV␈ε#are␈α
pos␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α}bers,␈αth␈α␈e␈αa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αform␈α}ula␈αd␈α␈e|␈α␈nes␈α
a␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α
hav␈α␈ing
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αspe␈α␈ci␈α↓|␈α␈ed␈αd␈α␈irection␈α␈s␈α
a␈α␈t␈↓ ∧K␈ε)z␈↓ ∧o␈ε#and␈↓ ¬1␈ε)z␈↓ ¬I␈ε#;␈α
con␈α}v␈α␈erse␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α
all␈αcurv␈α}es␈αfrom␈↓ λs␈ε)z␈↓ 	↔␈ε#to␈↓ 	A␈ε)z␈↓ 	e␈ε#th␈α␈at␈αhav␈α}e␈αthe
␈ββλ␈↓ ∧W␈ε&1␈↓ ¬<␈ε&2␈↓ λ}␈ε&1␈↓ 	L␈ε&2
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#sp␈α␈eci|␈α␈ed␈α	direction␈α␈s,␈α
an␈α␈d␈α	that␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	deg␈α␈ree␈α	3␈α
o␈α␈r␈α
less␈α	as␈α
a␈α	p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
in␈↓ 	3␈ε)t␈↓ 	?␈ε#,␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α	pu␈α␈t␈α
in␈α␈to
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈α∞fo␈α␈rm␈α
for␈α
some␈↓ βh␈ε)r␈↓ ∧∧␈ε#a␈α␈nd␈↓ ∧G␈ε)s␈↓ ∧T␈ε#.␈α∩W␈α↓e␈α
sh␈α␈all␈α∞ca␈α␈ll␈↓ ε<␈ε)r␈↓ εX␈ε#an␈α␈d␈↓ π≠␈ε)s␈↓ π6␈ε#th␈α␈e␈α∞\␈α␈v␈α␈elo␈α␈ci␈α↓t␈α␈i␈α↓es␈α␈"␈α
at␈↓ 	O␈ε)z␈↓ 	t␈ε#and␈↓ 
7␈ε)z␈↓ 
O␈ε#,␈α∞since
␈ββX␈↓ 	Z␈ε&1␈↓ 
B␈ε&2
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#a␈α
lar␈α␈ge␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
of␈↓ β=␈ε)r␈↓ βY␈ε#mea␈α␈ns␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈e␈α
direc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imately␈α
e␈α␈qua␈α␈l␈α∞to␈↓ 
6␈ε)w␈↓ 
f␈ε#for␈α
a
␈ββ␈␈↓ 
L␈ε&1
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#lon␈α␈g␈αti␈α↓m␈α␈e␈α
afte␈α␈r␈α
the␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈av␈α␈e␈α␈s␈↓ ¬)␈ε)z␈↓ ¬N␈ε#a␈α␈nd␈αa␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
o␈α␈f␈↓ λβ␈ε)s␈↓ λ≡␈ε#m␈α␈ean␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈i␈α↓re␈α␈ction␈αis
␈β∧'␈↓ ¬4␈ε&1
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ately␈↓ β&␈ε)w␈↓ βT␈ε#for␈αa␈αl␈α↓o␈α␈ng␈αti␈α↓m␈α␈e␈αbe␈α␈fore␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αreach␈α␈es␈↓ λ*␈ε)z␈↓ λB␈ε#.␈α
A␈αsmall␈αv␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈city␈αme␈α␈an␈α␈s
␈β∧N␈↓ β<␈ε&2␈↓ λ5␈ε&2
␈β∧k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α
the␈α
curv␈α}e␈α∞m␈α␈ay␈α
be␈α
tak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
a␈α∞sh␈α␈arp␈α
tu␈α␈rn␈α∞a␈α␈t␈↓ π∧␈ε)z␈↓ π)␈ε#or␈↓ πU␈ε)z␈↓ πl␈ε#,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞d␈α␈i␈α↓r␈α␈ection␈α␈s␈↓ 
.␈ε)w␈↓ 
↑␈ε#or␈↓ 
␈ε)w
␈β∧v␈↓ π∂␈ε&1␈↓ π`␈ε&2␈↓ 
D␈ε&1␈↓  ␈ε&2
␈β∧y␈↓ ε␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β¬∪␈↓ ↓H␈ε#will␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α	co␈α␈mp␈α␈arativ␈α}el␈α↓y␈αλl␈α↓ittle␈α	i␈α↓n␈α␈⎇u␈α␈en␈α␈ce.␈↓ πB␈ε#c␈α␈hoo␈α␈ses␈α	v␈α␈eloc␈α␈i␈α↓ties␈α	b␈α␈y␈α	the␈α	follo␈α␈wing
␈β¬;␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈α␈ulas:
␈β¬k␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ ¬↓␈ε↓␈␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓␈
␈βε␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ ¬↓␈ε↓␈␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓␈
␈βε⊗␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ ¬↓␈ε↓␈␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓␈
␈βε↔␈↓ βS␈ε#2␈↓ βi␈ε#sin␈↓ ∧↔␈ε)≡␈↓ π␈ε#2␈↓ π"␈ε#sin␈↓ πP␈ε)∩␈↓ 	i␈ε)∩␈↓ 	␈␈ε#+␈↓ 
(␈ε)≡
␈βε+␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ ¬↓␈ε↓␈␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓␈
␈βε-␈↓ α-␈ε)r␈↓ αD␈ε#=␈↓ ¬∪␈ε#,␈↓ ¬d␈ε)s␈↓ ¬{␈ε#=␈↓ λJ␈ε#,␈↓ 	≠␈ε){␈↓ 	;␈ε#=␈↓ 
>␈ε#,
␈βε;␈↓ α␈␈∧ε;α␈α↓␈␈↓ ε5␈∧ε;ε5α↓␈␈↓ 	i␈∧ε;	iαR
␈βεA␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ ¬↓␈ε↓␈␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓␈
␈βεD␈↓ α␈␈ε"(␈↓ ∧'␈ε")␈↓ 

␈ε#2
␈βεG␈↓ β␈ε#1␈απ+␈ε7␈απj␈↓ βU␈ε#co␈α␈s␈↓ ∧π␈ε){␈↓ ∧≡␈ε7j␈↓ ∧8␈ε#si␈α↓n␈↓ ∧g␈ε){
␈βεK␈↓ ε5␈ε"(␈↓ π↑␈ε")
␈βεN␈↓ εA␈ε#1␈αλ+␈ε7␈απj␈↓ π␈ε#cos␈↓ π=␈ε){␈↓ πT␈ε7j␈↓ πo␈ε#sin␈↓ λ≥␈ε){
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αλtha␈α␈t␈↓ β∃␈ε){␈↓ β5␈ε#is␈α	n␈α␈ot␈α	to␈α␈o␈α	n␈α␈ear␈α	z␈α␈ero;␈α
o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αλthe␈αλv␈α␈eloc␈α␈i␈α↓ties␈αλare␈α	ta␈α␈k␈α␈en␈αλto␈αλbe␈↓ 
∂␈ε)r␈↓ 
&␈ε#=␈↓ 
Q␈ε)s␈↓ 
h␈ε#=␈α
2␈α␈.
␈βπM␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈ese␈απv␈α}el␈α↓o␈α␈city␈απform␈α}ulas␈απa␈α␈re␈απrath␈α␈er␈απarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry,␈αλb␈α␈ut␈απth␈α␈ey␈απh␈α␈av␈α␈e␈απb␈α␈een␈αεcho␈α␈sen␈απso␈αεthat␈απe␈α␈x␈α␈cellen␈α}t
␈βπk␈↓ ∀␈ε8¬
␈βπt␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ation␈α␈s␈α
to␈α	circles␈α
a␈α␈nd␈α	elli␈α↓p␈α␈ses␈α
a␈α␈re␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α	in␈α
t␈α␈he␈α	cases␈↓ λW␈ε)∩␈↓ λo␈ε#=␈↓ 	→␈ε)≡␈↓ 	6␈ε#a␈α␈nd␈↓ 	u␈ε)∩␈↓ 
	␈ε#+␈↓ 
0␈ε)≡␈↓ 
L␈ε#=␈α	9␈↓ π␈ε#0␈↓ #␈ε#.
␈βλ≤␈↓ ↓H␈ε#Fu␈α␈rther␈α␈more␈αthe␈αf␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αat␈α
lea␈α␈st␈α
on␈α␈e␈α
n␈α␈i␈α↓c␈α␈e␈α
ma␈α␈them␈α␈atical␈α
p␈α␈rop␈α␈erty,␈α
n␈α␈amely␈αthe
␈βλD␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈ct␈αth␈α␈at␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈ey␈αk␈α}eep␈αth␈α␈e␈αc␈α␈urv␈α}e␈α\␈α␈i␈α↓n␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s":␈αIf␈↓ π0␈ε)∩␈↓ πI␈ε#an␈α␈d␈↓ λ
␈ε)≡␈↓ λ)␈ε#a␈α␈re␈αnon␈α␈ne␈α␈gativ␈α␈e␈α␈,␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e
␈βλk␈↓ ↓H␈ε#fro␈α␈m␈↓ α→␈ε)z␈↓ α=␈ε#to␈↓ αg␈ε)z␈↓ β␈ε#wil␈α↓l␈αl␈α↓ie␈αen␈α}ti␈α↓re␈α␈l␈α↓y␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αo␈α␈r␈α
o␈α␈n␈αthe␈αli␈α↓n␈α␈es␈↓ πV␈ε)z␈↓ πv␈ε#+␈↓ λ ␈ε)t␈↓ λ,␈ε)w␈↓ λ[␈ε#an␈α␈d␈↓ 	≥␈ε)z␈↓ 	=␈ε#+␈↓ 	g␈ε)t␈↓ 	s␈ε#(␈↓ 	}␈ε)z␈↓ 
≡␈ε7␈␈↓ 
H␈ε)z␈↓ 
←␈ε#)␈α
a␈α␈nd
␈βλv␈↓ α$␈ε&1␈↓ αr␈ε&2␈↓ πa␈ε&1␈↓ λB␈ε&1␈↓ 	(␈ε&1␈↓ 
	␈ε&2␈↓ 
S␈ε&1
␈β	∪␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈n␈α␈tirely␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
or␈αon␈α
the␈αlines␈↓ ¬≥␈ε)z␈↓ ¬<␈ε7␈␈↓ ¬d␈ε)t␈↓ ¬p␈ε)w␈↓ ε≡␈ε#an␈α␈d␈↓ ε←␈ε)z␈↓ ε}␈ε7␈␈↓ π'␈ε)t␈↓ π3␈ε#(␈↓ π>␈ε)z␈↓ π]␈ε7␈␈↓ λε␈ε)z␈↓ λ≥␈ε#)␈α(␈α↓fo␈α␈r␈↓ λr␈ε)t␈↓ 	π␈ε7∃␈ε#␈α
0).
␈β	≥␈↓ ¬(␈ε&2␈↓ εε␈ε&2␈↓ εj␈ε&2␈↓ πI␈ε&2␈↓ λ⊃␈ε&1
␈β	a␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β	e␈↓ α␈ε#Actu␈α␈ally␈α
the␈α
v␈α}elocities␈↓ ∧b␈ε)r␈↓ ∧}␈ε#an␈α␈d␈↓ ¬A␈ε)s␈↓ ¬\␈ε#are␈α
a␈α␈dju␈α␈sted␈α
so␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈ey␈α
are␈α␈n't␈α
too␈α
larg␈α␈e␈α
or␈α
too
␈β	r␈↓ αm␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
␈↓ α␈ε#sma␈α␈l␈α↓l;␈↓ ∧≠␈ε#'s␈αstan␈α␈da␈α␈rd␈αm␈α␈ode␈αof␈αop␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αwill␈αensu␈α␈re␈αth␈α␈at␈α0␈α␈.␈α↓5␈ε7␈α
∀␈↓ 
1␈ε)r␈↓ 
?␈ε#,␈↓ 
N␈ε)s␈↓ 
g␈ε7∀␈ε#␈α4␈α␈.
␈β
4␈↓ ↓H␈ε#(S␈α␈mall␈α
v␈α␈alues␈α	of␈↓ β8␈ε)r␈↓ βP␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧⊂␈ε)s␈↓ ∧'␈ε#usu␈α␈ally␈α
m␈α␈ak␈α␈e␈α	the␈α	cu␈α␈rv␈α␈e␈α
t␈α␈urn␈α	too␈α	sha␈α␈rply␈α	at␈↓ 	≥␈ε)z␈↓ 	>␈ε#or␈↓ 	f␈ε)z␈↓ 	⎇␈ε#,␈αwh␈α␈il␈α↓e␈α	large
␈β
>␈↓ 	(␈ε&1␈↓ 	q␈ε&2
␈β
[␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈α␈s␈α
u␈α␈su␈α␈all␈α↓y␈αλmak␈α}e␈α	i␈α↓t␈α	wan␈α␈de␈α␈r␈α
e␈α␈rratically.)␈α∀In␈α	the␈α	c␈α␈ases␈α	cor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	to␈α	Figs.␈↓ 
<␈ε#2␈α␈↑3␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β
z␈↓ ¬,␈ε8¬
␈ββ␈↓ ↓H␈ε#2␈α␈↑4␈↓ ↓z␈ε#,␈αfo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ∧L␈ε)∩␈↓ ∧c␈ε#=␈α
6␈↓ ¬∨␈ε#0␈↓ ¬F␈ε#a␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ λW␈ε)≡␈↓ λj␈ε#,␈↓ λ}␈ε)r␈↓ 	
␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ 	a␈ε)s␈↓ 	y␈ε#acco␈α␈rding␈α
to
␈β+␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈las␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e:
␈βu␈↓ αD␈ε)≡␈↓ β%␈ε)r␈↓ ∧_␈ε)s␈↓ ¬:␈ε)≡␈↓ ε≠␈ε)r␈↓ π∞␈ε)s␈↓ λA␈ε)≡␈↓ 	"␈ε)r␈↓ 
∃␈ε)s
␈β≡␈↓ αX␈ε8¬␈↓ ¬O␈ε8¬␈↓ λU␈ε8¬
␈β'␈↓ α*␈ε#12␈↓ αK␈ε#0␈↓ α}␈ε#1␈α␈.␈α↓7␈α␈321␈↓ βp␈ε#1.732␈α␈1␈↓ ¬1␈ε#3␈↓ ¬A␈ε#0␈↓ ¬t␈ε#0.82␈α␈84␈↓ εg␈ε#1␈α␈.␈α↓4␈α␈349␈↓ λ⊗␈ε7␈␈ε#␈α↓6␈↓ λH␈ε#0␈↓ λ{␈ε#2.00␈α␈00␈↓ 	n␈ε#2␈α␈.␈α↓0␈α␈000
␈βF␈↓ αX␈ε8¬␈↓ ¬O␈ε8¬␈↓ λU␈ε8¬
␈βO␈↓ α;␈ε#9␈↓ αK␈ε#0␈↓ α}␈ε#1␈α␈.␈α↓6␈α␈448␈↓ βp␈ε#1.424␈α␈5␈↓ ¬A␈ε#0␈↓ ¬t␈ε#0.00␈α␈00␈↓ εg␈ε#1␈α␈.␈α↓8␈α␈564␈↓ λ⊗␈ε7␈␈ε#␈α↓9␈↓ λH␈ε#0␈↓ λ{␈ε#3.93␈α␈07␈↓ 	n␈ε#3␈α␈.␈α↓4␈α␈041
␈βn␈↓ αX␈ε8¬␈↓ ¬O␈ε8¬␈↓ λU␈ε8¬
␈βw␈↓ α;␈ε#6␈↓ αK␈ε#0␈↓ α}␈ε#1␈α␈.␈α↓3␈α␈333␈↓ βp␈ε#1.333␈α␈3␈↓ ¬⊂␈ε7␈␈ε#3␈↓ ¬A␈ε#0␈↓ ¬t␈ε#1.96␈α␈53␈↓ εg␈ε#3␈α␈.␈α↓4␈α␈041␈↓ λε␈ε7␈␈ε#12␈↓ λH␈ε#0␈↓ λ{␈ε#1.85␈α␈64␈↓ 	n␈ε#1␈α␈.␈α↓8␈α␈564
␈β
5␈↓ ε`␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
F␈↓ β	␈ε8¬
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈en␈↓ α+␈ε)≡␈↓ αL␈ε#=␈↓ α|␈ε#0␈↓ β&␈ε#the␈α∞v␈α␈alue␈α∞o␈α␈f␈↓ ∧i␈ε)r␈↓ ¬ε␈ε#wa␈α␈s␈α∞raised␈α∞b␈α␈y␈↓ λ≤␈ε#to␈α
0.5,␈α∂oth␈α␈erwise␈α∞the␈α∞cu␈α␈rv␈α␈e
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈uld␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αa␈αstra␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
line␈αfrom␈↓ ¬u␈ε)z␈↓ ε→␈ε#to␈↓ εD␈ε)z␈↓ εh␈ε#(no␈α␈t␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αcorre␈α␈ct␈α
d␈α␈i␈α↓re␈α␈ction␈αat␈↓ ␈ε)z␈↓ _␈ε#);
␈β∞↓␈↓ ε␈ε&1␈↓ εO␈ε&2␈↓ ␈ε&1
␈β∞∧␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∞≡␈↓ ββ␈ε#also␈α∞ga␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞messa␈α␈ge␈α∞\␈ε?S␈α␈ha␈α␈rp␈α∩tur␈α␈n␈α∩sup␈α␈pre␈α␈ss␈α␈ed␈α∩bet␈α␈wee␈α␈n␈α∩poi␈α␈nts␈α∩1
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε?a␈α␈nd␈α∩2␈α∩(r␈α∩=␈α∪.␈α␈00␈α␈00)␈ε#␈α␈".
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"22␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α2
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ ¬≥␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#The␈α␈re␈α∂is␈α∂a␈α∞way␈α∞to␈α∂ch␈α␈an␈α␈ge␈↓ εK␈ε#'s␈α∂v␈α}el␈α↓o␈α␈city␈α∞thresh␈α␈olds␈α∞by␈α∞alterin␈α␈g␈↓ 
E␈ε3ma␈α␈xv␈α␈r␈↓ #␈ε#,
␈βα}␈↓ α␈ε3min␈α␈v␈α␈r␈↓ αb␈ε#,␈↓ αx␈ε3ma␈α␈xv␈α␈s␈↓ βV␈ε#,␈α
an␈α␈d/␈α␈or␈↓ ∧\␈ε3min␈α␈v␈α␈s␈↓ ¬2␈ε#,␈α
as␈αex␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αin␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α9.␈α∂Fo␈α␈r␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α
th␈α␈e␈αcom␈α␈-
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈and␈α␈s␈α\␈↓ αB␈ε3min␈α}vr␈↓ β#␈ε#0.0;␈↓ βb␈ε3min␈α␈v␈α␈s␈↓ ∧C␈ε#0.0"␈αwill␈αa␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈αa␈α␈rbitrarily␈αsh␈α␈arp␈α
turn␈α␈s.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αusefu␈α␈l␈αin
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ertain␈α
circum␈α␈stan␈α␈ces,␈αwhe␈α␈n␈αit␈αis␈αd␈α␈esirab␈α␈l␈α↓e␈α
to␈αe␈α␈nsu␈α␈re␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αstay␈α
in␈α
bou␈α␈nd␈α␈s␈αa␈α␈s
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αabo␈α}v␈α␈e.␈α⊃Fu␈α␈rther␈α␈more␈α
y␈α}ou␈αcan␈αset␈↓ εI␈ε)r␈↓ εe␈ε#a␈α␈nd␈↓ π'␈ε)s␈↓ πB␈ε#to␈α
a␈α␈n␈α␈y␈αdesired␈αva␈α␈lue␈α
(in␈α
c␈α␈ase␈α
y␈α}ou
␈β∧α␈↓ α↑␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈αl␈α↓ik␈α}e␈↓ ∧␈ε#'s␈αc␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈α␈)␈αby␈αma␈α␈king␈↓ εE␈ε3max␈α␈vr␈↓ π/␈ε#and␈↓ πq␈ε3min␈α}vr␈↓ λS␈ε#b␈α␈e␈αth␈α␈e␈αd␈α␈esired␈↓ 
,␈ε)r␈↓ 
F␈ε#an␈α␈d␈αby
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈akin␈α␈g␈↓ α>␈ε3ma␈α␈xv␈α␈s␈↓ β(␈ε#a␈α␈nd␈↓ βh␈ε3min␈α␈v␈α␈s␈↓ ∧I␈ε#the␈αd␈α␈esired␈↓ ¬t␈ε)s␈↓ ε↓␈ε#.
␈β¬∧␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ α␈ε↓x
␈β¬λ␈↓ α≡␈ε3Ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
2.2:␈ε#␈αAccord␈α␈ing␈αto␈α
these␈α
rules,␈αwha␈α␈t␈αcurv␈α}e␈αdo␈α
y␈α␈ou␈α
get␈αfro␈α␈m␈αthe␈αse␈α␈que␈α␈nce
␈β¬/␈↓ α␈ε#of␈αco␈α␈mma␈α␈nd␈α␈s␈α\␈↓ βh␈ε3min␈α␈v␈α␈r␈↓ ∧D␈ε#0␈α␈.␈α↓0␈α␈;␈↓ ¬β␈ε3m␈α␈i␈α↓n␈α}vs␈↓ ¬↑␈ε#0.0;␈↓ ε≥␈ε3dra␈α␈w␈↓ εo␈ε#1␈α¬.␈αε.␈α¬2␈αε.␈α¬.␈αε3"␈α␈?
␈βεT␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈3>␈α
Pens␈α∞and␈α
er␈α␈asers
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"Our␈α	examples␈αλso␈α	far␈α	hav␈α␈e␈α	drawn␈α	straigh␈α␈t␈α	lines␈α	and␈α	curv␈α␈ed␈α	lines␈α	using␈α	pens␈αλshaped
␈βπ∨␈↓ ¬t␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈α
circles.␈α⊂As␈α∞y␈α␈ou␈α
migh␈α␈t␈α
suspect,␈↓ πB␈ε"also␈α∞has␈α
access␈α∞to␈α
sev␈α␈eral␈α
more
␈βπK␈↓ ¬≠␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈βπb␈↓ ↓H␈ε"kinds␈α∞of␈α∂scriv␈α␈eners'␈α∂tools.␈α∃A␈↓ εj␈ε"user's␈α∂program␈α∂is␈α∂supposed␈α∂to␈α∞select
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"the␈α
particular␈α
type␈α
of␈αpen␈α
needed,␈α
and␈αthis␈α
will␈α
be␈α
the␈αso-called␈α
curren␈α␈t␈α
pen␈α
type
␈βλ8␈↓ ↓H␈ε"un␈α␈til␈αanother␈αone␈αis␈αspeci|ed.␈αThe␈αcurren␈α␈t␈αpen␈αtype␈αmigh␈α␈t␈αbe
␈β	
␈↓ α9␈ε2cpen␈ε",␈↓ β≠␈ε"\circular␈αpen,"␈αas␈αin␈αour␈αprevious␈αexamples;
␈β	5␈↓ α9␈ε2hpen␈ε",␈↓ β≠␈ε"\horizon␈α␈tal␈αpen,"␈αhaving␈αa␈α|x␈α␈ed␈αheigh␈α␈t␈αand␈αvarying␈αwidth;
␈β	`␈↓ α9␈ε2vpen␈ε",␈↓ β≠␈ε"\v␈α␈ertical␈αpen,"␈αhaving␈αa␈α|x␈α␈ed␈αwidth␈αand␈αvarying␈αheigh␈α␈t;
␈β
␈↓ α9␈ε2lers␈ε",␈↓ β≠␈ε"\left␈αeraser,"␈αerases␈αto␈αthe␈αleft␈αof␈αthe␈αcurren␈α␈t␈αposition;
␈β
6␈↓ α9␈ε2rers␈ε",␈↓ β≠␈ε"\righ␈α␈t␈αeraser,"␈αerases␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αof␈αthe␈αcurren␈α␈t␈αposition;
␈β
b␈↓ α9␈ε2spen␈ε",␈↓ β≠␈ε"\special␈αpen,"␈αa␈αspecially␈αde|ned␈αelliptical␈αpen␈αor␈αeraser;
␈β
␈↓ α9␈ε2epen␈ε",␈↓ β≠␈ε"\explicit␈αpen,"␈αa␈αfairly␈αarbitrary␈αpen␈αor␈αeraser␈αshape.
␈βg␈↓ α␈ε"Chapter␈α∞1␈α
discussed␈α∞brie⎇y␈α∞the␈α
fact␈α∞that␈α∞pen␈α
sizes␈α∞are␈α∞generally␈α
expressed
␈β{␈↓ ββ␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"in␈α
terms␈α
of␈↓ ∧D␈ε"'s␈↓ ∧i␈ε(w␈↓ ¬∧␈ε"-variables,␈α∞namely␈α
the␈α
variables␈α∞named␈↓ 
↓␈ε(w␈↓ 
'␈ε",␈↓ 
?␈ε(w␈↓ 
e␈ε",␈↓ 
|␈ε(w␈↓ "␈ε",
␈β ␈↓ 
→␈ε%0␈↓ 
V␈ε%1␈↓ ∀␈ε%2
␈β=␈↓ ↓H␈ε"etc.␈αThe␈αcommand␈α\␈↓ ∧	␈ε(w␈↓ ∧5␈ε2draw␈↓ ¬
␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3"␈αwill,␈αfor␈α
example,␈αdraw␈αa␈αcurv␈α␈e␈α
using␈αthe
␈βK␈↓ ∧!␈ε%4
␈βi␈↓ ↓H␈ε"size-␈↓ α␈ε(w␈↓ α>␈ε"pen␈αor␈αeraser␈αof␈αthe␈αcurren␈α␈t␈αtype.
␈βv␈↓ α#␈ε%4
␈β
∃␈↓ α␈ε"Variable␈↓ β≤␈ε(w␈↓ βO␈ε"is␈αspecial:␈α
It␈α
is␈αcalled␈αthe␈ε/␈α
hairline␈αsize␈ε",␈α
and␈αit␈αm␈α␈ust␈α
be␈αgiv␈α␈en␈αan
␈β
"␈↓ β4␈ε%0
␈β
@␈↓ ↓H␈ε"explicit␈αvalue␈αbefore␈αan␈↓ ∧F␈ε2hpen␈↓ ¬∩␈ε",␈↓ ¬(␈ε2vpen␈↓ ¬t␈ε",␈↓ ε
␈ε2lers␈↓ ε@␈ε",␈αor␈↓ πα␈ε2rers␈↓ πH␈ε"is␈αused␈αin␈αan␈αdrawing,␈αsince␈↓ ε␈ε(w
␈β
M␈↓ ≡␈ε%0
␈β
k␈↓ ↓H␈ε"plays␈αan␈αimportan␈α␈t␈αr␈↓ ∧∂␈ε"∂␈↓ ∧∂␈ε"o␈↓ ∧!␈ε"le␈αin␈αthe␈αde|nition␈αof␈αthose␈αpen␈αshapes.
␈β∞↔␈↓ α␈ε"Pens␈αof␈αtypes␈↓ βh␈ε2cpen␈↓ ∧0␈ε",␈↓ ∧F␈ε2hpen␈↓ ¬∩␈ε",␈αand␈↓ ¬l␈ε2vpen␈↓ εD␈ε"are␈αellipses␈αwhose␈αax␈α␈es␈αrun␈αhorizon␈α␈tally
␈β∞+␈↓ ε
␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂v␈α␈ertically.␈α⊗The␈α∂rules␈α∂by␈α⊂which␈↓ π]␈ε"creates␈α∂a␈α⊂size-␈↓ 	>␈ε(w␈↓ 	h␈ε"pen␈α∂of␈α∂these
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧␈␈ε>Pens␈αand␈αerasers␈↓ β␈ε"23
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα{␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈αε3␈α␈↑1.␈ε#␈αCircular␈α¬pen␈α␈,␈απho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l␈αεpen␈α␈,
␈ββ#␈↓ π⊂␈ε#v␈α␈ertica␈α␈l␈αp␈α␈en.
␈β∧≡␈↓ ↓H␈ε"types␈αare␈αsimple:
␈β∧U␈↓ βS␈ε"A␈↓ βy␈ε2cpen␈↓ ∧M␈ε"of␈αsize␈↓ ¬;␈ε(w␈↓ ¬a␈ε"has␈αheigh␈α␈t␈↓ π∞␈ε(w␈↓ π5␈ε"and␈αwidth␈↓ λa␈ε(w␈↓ λ|␈ε";
␈β¬π␈↓ βS␈ε"an␈↓ ∧¬␈ε2hpen␈↓ ∧]␈ε"of␈αsize␈↓ ¬K␈ε(w␈↓ ¬q␈ε"has␈αheigh␈α␈t␈↓ π≡␈ε(w␈↓ πQ␈ε"and␈αwidth␈↓ λ⎇␈ε(w␈↓ 	↔␈ε";
␈β¬∃␈↓ π6␈ε%0
␈β¬:␈↓ βS␈ε"a␈↓ βq␈ε2vpen␈↓ ∧I␈ε"of␈αsize␈↓ ¬7␈ε(w␈↓ ¬]␈ε"has␈αheigh␈α␈t␈↓ π
␈ε(w␈↓ π1␈ε"and␈αwidth␈↓ λ]␈ε(w␈↓ 	β␈ε".
␈β¬G␈↓ λu␈ε%0
␈β¬a␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β¬x␈↓ ↓H␈ε"For␈α	example,␈α	consider␈α	Fig.␈↓ ∧o␈ε"3↑1␈↓ ¬%␈ε",␈α	which␈α	was␈α	drawn␈α	with␈α
the␈α	follo␈α␈wing
␈βε#␈↓ ↓H␈ε"program:
␈βεY␈↓ α4␈ε(x␈↓ α]␈ε"=␈α
0;␈↓ βA␈ε(x␈↓ βj␈ε"=␈α
100;␈↓ ∧r␈ε(x␈↓ ¬≠␈ε"=␈α
200;␈↓ ε#␈ε(y␈↓ εL␈ε"=␈↓ εz␈ε(y␈↓ π$␈ε"=␈↓ πR␈ε(y␈↓ π{␈ε"=␈α
0;
␈βεf␈↓ αE␈ε%1␈↓ βQ␈ε%2␈↓ ¬α␈ε%3␈↓ ε4␈ε%1␈↓ π␈ε%2␈↓ πc␈ε%3
␈βπ∧␈↓ α4␈ε(w␈↓ αd␈ε"=␈α
25;␈↓ βZ␈ε2cpen␈↓ ∧"␈ε";␈α~75␈↓ ∧t␈ε2draw␈↓ ¬L␈ε"1;␈↓ εα␈ε2hpen␈↓ εN␈ε";␈α~75␈↓ π ␈ε2draw␈↓ πx␈ε"2;␈↓ λ.␈ε2vpen␈↓ λz␈ε";␈α~75␈↓ 	L␈ε2draw␈↓ 
$␈ε"3.
␈βπ∩␈↓ αL␈ε%0
␈βπB␈↓ ↓H␈ε"(Note␈αthat␈↓ αy␈ε2draw␈↓ βR␈ε"can␈αbe␈αused␈αfor␈αsingle␈αpoin␈α␈ts␈αas␈αw␈α␈ell␈αas␈αfor␈αlines.)␈α_The␈αe{ect␈αof
␈βπm␈↓ ↓H␈ε"such␈α∞o␈α␈val-shaped␈α
pens␈α∞is␈α∞illustrated␈α∞in␈α∞Fig.␈↓ πα␈ε"3↑2a␈↓ πJ␈ε",␈α∞which␈α∞sho␈α␈ws␈α∞the␈α∞shoe␈α∞sole␈α
of
␈βλ→␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α
2␈α
drawn␈α
with␈α
an␈↓ ∧\␈ε2hpen␈↓ ¬(␈ε",␈α
and␈αin␈α
Fig.␈↓ εq␈ε"3↑2b␈↓ π;␈ε",␈α
which␈α
sho␈α␈ws␈α
Chapter␈α
2's␈α
heart
␈βλD␈↓ ↓H␈ε"shape␈αdrawn␈αwith␈αa␈↓ ∧	␈ε2vpen␈↓ ∧U␈ε".␈αIn␈αboth␈αcases␈αthe␈αpen␈αsize␈αwas␈α9␈αand␈αthe␈αhairline␈αsize
␈βλo␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(w␈↓ ↓z␈ε")␈αwas␈α3.
␈βλ|␈↓ ↓k␈ε%0
␈βZ␈↓ ↓H␈ε"a)␈↓ πm␈ε"b)
␈β
&␈↓ ¬¬␈ε3Fig.␈αλ3␈α␈↑2.␈ε#␈α∂The␈απex␈α␈am␈α␈ple
␈β
N␈↓ ¬¬␈ε#sh␈α␈ape␈α␈s␈α∪of␈α∩Cha␈α␈pter␈α∩2,
␈β
u␈↓ ¬¬␈ε#dr␈α␈awn␈αwith␈αa␈αh␈α␈orizo␈α␈n-
␈β∞≥␈↓ ¬¬␈ε#tal␈αp␈α␈en␈α(␈α↓a␈α␈)␈αan␈α␈d␈αwith␈αa
␈β∞E␈↓ ¬¬␈ε#v␈α␈e␈α␈rti␈α↓c␈α␈al␈αpen␈α
(b).
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"24␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α3
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓H␈ε↓x
␈βαS␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α3.1:␈ε"␈α∞Is␈αthere␈α
an␈α␈y␈α
di{erence␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
an␈↓ πV␈ε2hpen␈↓ λ.␈ε"of␈α
size␈↓ 	≡␈ε(w␈↓ 	P␈ε"and␈α
a␈↓ 
6␈ε2vpen␈↓ ∞␈ε"of
␈βαa␈↓ 	5␈ε%0
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"size␈↓ α␈ε(w␈↓ α2␈ε"?
␈ββ␈↓ α#␈ε%0
␈ββ;␈↓ α␈ε"Erasers␈α
can␈α	be␈α
used␈α
to␈α
\clean␈α	o{␈α
the␈α
ink"␈α
in␈α	un␈α␈wan␈α␈ted␈α
sections␈α
of␈α	previously
␈ββf␈↓ ↓H␈ε"drawn␈αlines.␈αA␈↓ β6␈ε2lers␈↓ βw␈ε"of␈αsize␈↓ ∧c␈ε(w␈↓ ¬	␈ε"is␈αa␈αrectangle␈↓ εc␈ε(w␈↓ π	␈ε"units␈αwide␈αand␈↓ λ{␈ε(w␈↓ 	,␈ε"units␈αhigh,␈αlying
␈ββt␈↓ 	∩␈ε%0
␈β∧⊃␈↓ ↓H␈ε"to␈αthe␈αleft␈αof␈αthe␈αpoin␈α␈t␈αbeing␈α
drawn␈αand␈αcen␈α␈tered␈αv␈α␈ertically␈αwith␈αrespect␈αto␈αthis
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t.␈α∞A␈↓ αX␈ε2rers␈↓ β∨␈ε"of␈α
size␈↓ ∧∂␈ε(w␈↓ ∧7␈ε"is␈α
similar,␈α
but␈α
it␈α
lies␈α
just␈α
to␈α
the␈ε/␈α
righ␈α␈t␈ε"␈α
of␈α
the␈α
poin␈α␈t␈αbeing
␈β∧Q␈↓ λ→␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε"drawn.␈αFor␈αexample,␈αFig.␈↓ ∧f␈ε"3↑3␈↓ ¬(␈ε"sho␈α␈ws␈αthe␈αresult␈αof␈αthe␈↓ 	e␈ε"program
␈β¬;␈↓ β1␈ε(x␈↓ βZ␈ε"=␈α
0;␈↓ ∧>␈ε(x␈↓ ∧g␈ε"=␈α
100;␈↓ ¬o␈ε(x␈↓ ε_␈ε"=␈α
200;␈↓ π ␈ε(y␈↓ πJ␈ε"=␈↓ πx␈ε(y␈↓ λ!␈ε"=␈↓ λO␈ε(y␈↓ λy␈ε"=␈α
0;
␈β¬I␈↓ βB␈ε%1␈↓ ∧O␈ε%2␈↓ ε␈ε%3␈↓ π1␈ε%1␈↓ λ	␈ε%2␈↓ λ`␈ε%3
␈β¬g␈↓ β1␈ε(w␈↓ βb␈ε"=␈α
25;
␈β¬t␈↓ βI␈ε%0
␈βε∩␈↓ β1␈ε2cpen␈↓ βy␈ε";␈α~150␈↓ ∧]␈ε2draw␈↓ ¬5␈ε"2;
␈βε=␈↓ β1␈ε2lers␈↓ βg␈ε";␈α~35␈↓ ∧9␈ε2draw␈↓ ¬⊃␈ε"3;
␈βεh␈↓ β1␈ε2rers␈↓ βk␈ε";␈α~35␈↓ ∧=␈ε2draw␈↓ ¬∃␈ε"1.
␈β	I␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈α	3↑␈α␈3.␈ε#␈α∀Recta␈α␈ngu␈α␈lar␈α	era␈α␈sers␈α	use␈α␈d␈α	in
␈β	p␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αmid␈α␈dle␈αof␈αa␈αlarg␈α␈e␈αcircu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αpen␈α␈.
␈βF␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βJ␈↓ α␈ε#The␈αe␈α␈l␈α↓lipse␈α␈s␈αy␈α␈ou␈αget␈αwith␈↓ ¬
␈ε3h␈α␈pe␈α␈n␈↓ ¬\␈ε#an␈α␈d␈↓ ε≡␈ε3v␈α␈pen␈↓ εp␈ε#ha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈oth␈αh␈α␈orizo␈α␈n␈α␈tal␈αan␈α␈d␈αv␈α}ertical␈αsym␈α␈-
␈βr␈↓ α␈ε#metr␈α␈y.␈αIn␈αord␈α␈er␈αto␈αg␈α␈et␈αel␈α↓lips␈α␈es␈αth␈α␈at␈αare␈αtilted␈αob␈α␈l␈α↓iq␈α␈uely␈α␈,␈αy␈α␈o␈α␈u␈αcan␈αco␈α␈nstru␈α␈ct␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈β~␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈en␈α␈s␈α
(ty␈α␈pe␈↓ αg␈ε3sp␈α␈en␈↓ β(␈ε#).␈αTh␈α␈e␈α	gen␈α␈eral␈α	form␈α	of␈α	an␈↓ ε~␈ε3sp␈α␈en␈↓ εd␈ε#de␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈α	i␈α↓s␈α	sligh␈α␈tly␈α	co␈α␈mp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ted␈α	b␈α␈ut␈α	no␈α␈t
␈βA␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈op␈α␈elessly␈αso:␈αy␈α}ou␈αsa␈α␈y
␈βh␈↓ π≤␈ε:0␈↓ πJ␈ε:0
␈βn␈↓ ¬∩␈ε3spe␈α␈n␈↓ ¬S␈ε#(␈↓ ¬↑␈ε)a␈↓ ¬n␈ε#,␈↓ ¬⎇␈ε)b␈↓ ε
␈ε#,␈↓ ε→␈ε)c␈↓ ε&␈ε#,␈↓ ε5␈ε)x␈↓ εQ␈ε#,␈↓ ε`␈ε)y␈↓ ε|␈ε#,␈↓ π␈ε)x␈↓ π)␈ε#,␈↓ π8␈ε)y␈↓ πW␈ε#)
␈βx␈↓ εD␈ε&0␈↓ εp␈ε&0
␈β⎇␈↓ π≤␈ε&0␈↓ πJ␈ε&0
␈β
0␈↓ ↓H␈ε#(o␈α␈ption␈α␈ally␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α\␈ε?␈α␈#␈ε#"␈α
i␈α↓f␈α
y␈α␈ou␈α
wan␈α}t␈αan␈α
era␈α␈ser␈αinst␈α␈ead␈α
of␈αa␈α
pe␈α␈n),␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αre␈α␈sult␈αis␈αa
␈β
W␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈en␈αo␈α␈r␈αerase␈α␈r␈αcon␈α␈si␈α↓stin␈α␈g␈αof␈αall␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α(␈↓ ¬l␈ε)_␈↓ ¬|␈ε#,␈↓ ε␈ε)⊃␈↓ ε≤␈ε#)␈αsu␈α␈ch␈α
that
␈β∞%␈↓ ∧]␈ε&2␈↓ λ?␈ε&2
␈β∞+␈↓ β[␈ε)a␈↓ βk␈ε#(␈↓ βv␈ε)_␈↓ ∧∞␈ε7␈␈↓ ∧6␈ε)x␈↓ ∧R␈ε#)␈↓ ∧q␈ε#+␈↓ ¬~␈ε)b␈↓ ¬'␈ε#(␈↓ ¬2␈ε)_␈↓ ¬J␈ε7␈␈↓ ¬r␈ε)x␈↓ ε∞␈ε#)(␈↓ ε%␈ε)⊃␈↓ ε>␈ε7␈␈↓ εf␈ε)y␈↓ πβ␈ε#)␈απ+␈↓ π>␈ε)c␈↓ πK␈ε#(␈↓ πV␈ε)⊃␈↓ πo␈ε7␈␈↓ λ↔␈ε)y␈↓ λ4␈ε#)␈↓ λU␈ε7∀␈ε#␈α	1.
␈β∞6␈↓ ∧F␈ε&0␈↓ εα␈ε&0␈↓ εv␈ε&0␈↓ λ'␈ε&0
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧␈␈ε>Pens␈αand␈αerasers␈↓ β␈ε"25
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈α∞3↑␈α␈4.␈ε#␈α∨An␈α
obliqu␈α␈e␈α∞pe␈α␈n␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α∞th␈α␈i␈α↓s
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε#sp␈α␈lend␈α␈id␈αv␈α␈alen␈α␈tin␈α␈e.
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈en␈α	later␈α	dra␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈α	wi␈α↓th␈α	th␈α␈is␈α
p␈α␈en␈α	at␈α	po␈α␈in␈α␈t␈α	(␈↓ ε>␈ε)x␈↓ εO␈ε#,␈↓ ε↑␈ε)y␈↓ εp␈ε#),␈α
i␈α↓t␈α	is␈α
o␈α␈{␈α↓se␈α␈t␈α
so␈α	th␈α␈at␈α
it␈α	actu␈α␈ally␈α	i␈α↓s␈α	p␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈βπ7␈↓ αN␈ε:0␈↓ β?␈ε:0
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈t␈α(␈↓ ↓{␈ε)x␈↓ α∀␈ε7␈␈↓ α=␈ε)x␈↓ α[␈ε#,␈↓ αj␈ε)y␈↓ β∧␈ε7␈␈↓ β,␈ε)y␈↓ βK␈ε#).␈αTh␈α␈e␈αmain␈α
para␈α␈meter␈α␈s␈↓ ε/␈ε)a␈↓ ε?␈ε#,␈↓ εS␈ε)b␈↓ εa␈ε#,␈↓ εu␈ε)c␈↓ π
␈ε#of␈↓ π4␈ε3sp␈α␈en␈↓ λ␈ε#m␈α␈u␈α␈st␈αsatisfy␈α
the␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n
␈βπJ␈↓ αN␈ε&0␈↓ β?␈ε&0
␈βλε␈↓ ε¬␈ε&2
␈βλ␈↓ ¬x␈ε)b␈↓ ε≠␈ε#<␈α	4␈↓ εV␈ε)a␈↓ εf␈ε)c␈↓ εs␈ε#.
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε#Fu␈α␈rther␈α␈more,␈αt␈α␈hey␈α
h␈α␈ad␈α
b␈α␈etter␈α
be␈α
pre␈α␈tty␈α
small␈αn␈α}um␈α}bers,␈αo␈α␈r␈αth␈α␈e␈α
pen␈α
will␈αb␈α␈e␈αto␈α␈o␈αs␈α␈mall␈αto
␈β	β␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α	se␈α␈en.␈α
When␈αλd␈α␈rawing␈αλwith␈αλan␈↓ ¬∩␈ε3spe␈α␈n␈↓ ¬\␈ε#(e.g␈α␈.␈α↓,␈↓ ε+␈ε)w␈↓ εV␈ε3dra␈α␈w␈↓ π(␈ε#1␈α¬.␈αε.␈αε2␈α␈),␈α
its␈αλ\size"␈αλ(e.g.,␈↓ 	c␈ε)w␈↓ 
¬␈ε#)␈α	is␈α	ign␈α␈ored␈α␈.
␈β	∞␈↓ εA␈ε&3␈↓ 	y␈ε&3
␈β	V␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ 	↓␈ε:0␈↓ 	d␈ε:0
␈β	Z␈↓ α␈ε#For␈α⊂simp␈α␈l␈α↓icity␈α⊂let␈α⊂u␈α␈s␈α⊂con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α⊂|rs␈α␈t␈α⊃th␈α␈e␈α⊂ca␈α␈se␈↓ π-␈ε)x␈↓ π[␈ε#=␈↓ λ∞␈ε)y␈↓ λ<␈ε#=␈↓ λo␈ε)x␈↓ 	∨␈ε#=␈↓ 	R␈ε)y␈↓ 
β␈ε#=␈α∩0␈α␈;␈α∪these
␈β	e␈↓ π=␈ε&0␈↓ λ≡␈ε&0
␈β	i␈↓ 	↓␈ε&0␈↓ 	d␈ε&0
␈β
α␈↓ α␈ε#pa␈α␈rame␈α␈ters␈αεare␈αεgen␈α␈erally␈αεus␈α␈ed␈αεon␈α␈l␈α↓y␈αεfo␈α␈r␈απ|␈α␈ne␈αεtu␈α␈ning␈αεwh␈α␈en␈αεth␈α␈e␈απd␈α␈iscreten␈α␈ess␈αεof␈απt␈α␈he␈αεraste␈α␈r
␈β
)␈↓ ↓H␈ε#is␈αλc␈α␈on␈α␈si␈α↓d␈α␈ered␈α␈.␈α
Here␈αλis␈αλa␈απp␈α␈l␈α↓u␈α␈g-in␈απf␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈απfor␈απgen␈α␈eratin␈α␈g␈αλa␈απpe␈α␈n␈αλo␈α␈f␈αλhe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈↓ 	∨␈ε)h␈↓ 	7␈ε#a␈α␈nd␈απwidth␈↓ 
O␈ε)w␈↓ 
o␈ε#tha␈α␈t
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈α
b␈α␈een␈α
ro␈α␈tated␈α
c␈α␈ou␈α␈n␈α␈terclo␈α␈ckwise␈α
by␈αan␈α
a␈α␈ngle␈α
o␈α␈f␈↓ π1␈ε)∩␈↓ πL␈ε#deg␈α␈rees:␈α∂Use␈↓ 	∂␈ε3spen␈↓ 	P␈ε#(␈↓ 	[␈ε)a␈↓ 	l␈ε#,␈↓ 	{␈ε)b␈↓ 
λ␈ε#,␈↓ 
↔␈ε)c␈↓ 
$␈ε#,␈α¬0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈)
␈β
y␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere
␈β;␈↓ βo␈ε&2␈↓ 	Y␈ε&2
␈β<␈↓ α)␈ε↓∩␈↓ ∧∪␈ε↓∪␈↓ ε;␈ε↓∩␈↓ πR␈ε↓∪␈↓ 	⊗␈ε↓∩␈↓ ↓␈ε↓∪
␈β>␈↓ αo␈ε&2␈↓ 
]␈ε&2
␈βB␈↓ αB␈ε#cos␈↓ β↓␈ε)∩␈↓ βG␈ε#sin␈↓ ∧α␈ε)∩␈↓ ε←␈ε#1␈↓ π8␈ε#1␈↓ 	0␈ε#sin␈↓ 	k␈ε)∩␈↓ 
1␈ε#c␈α␈os␈↓ 
o␈ε)∩
␈βX␈↓ ↓N␈ε)a␈↓ ↓h␈ε#=␈α
4␈↓ β~␈ε#+␈↓ ∧/␈ε#,␈↓ ¬␈ε)b␈↓ ¬↔␈ε#=␈α	(␈α↓4␈↓ ¬c␈ε#sin␈↓ ε⊃␈ε#2␈↓ ε"␈ε)∩␈↓ ε0␈ε#)␈↓ π¬␈ε7␈␈↓ πn␈ε#,␈↓ λ?␈ε)c␈↓ λU␈ε#=␈α
4␈↓ 
∧␈ε#+␈↓ ≥␈ε#.
␈βg␈↓ αB␈∧gαBαM␈↓ βG␈∧gβGαJ␈↓ εU␈∧gεUα&␈↓ π2␈∧gπ2α≡␈↓ 	0␈∧g	0αJ␈↓ 
1␈∧g
1αM
␈βn␈↓ αo␈ε&2␈↓ βm␈ε&2␈↓ εm␈ε&2␈↓ πB␈ε&2␈↓ 	[␈ε&2␈↓ 
Y␈ε&2
␈βp␈↓ αV␈ε)w␈↓ β]␈ε)h␈↓ εU␈ε)w␈↓ π2␈ε)h␈↓ 	B␈ε)w␈↓ 
H␈ε)h
␈β@␈↓ ↓H␈ε#(Whe␈α␈n␈↓ α1␈ε)h␈↓ αJ␈ε#or␈↓ αq␈ε)w␈↓ β∪␈ε#a␈α␈re␈α	sma␈α␈l␈α↓l,␈α	ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α
y␈α}ou␈αλmay␈αλha␈α␈v␈α␈e␈α	to␈αλplay␈αλwi␈α↓t␈α␈h␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	fo␈α␈rm␈α␈ula␈α	a␈αλbit␈α	in␈α	o␈α␈rde␈α␈r
␈βh␈↓ ↓H␈ε#to␈α	av␈α␈o␈α␈id␈α
th␈α␈e␈α
e{ects␈α
of␈α
ro␈α␈un␈α␈do{␈α
erro␈α␈rs.)␈α↔Fig.␈↓ εP␈ε#3↑4␈↓ π␈ε#sho␈α␈ws␈α
wh␈α␈at␈α
h␈α␈ap␈α␈pen␈α␈s␈α
when␈α	suc␈α␈h␈α
a␈α
p␈α␈en
␈β
ε␈↓ 	9␈ε8¬
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε#is␈αap␈α␈plied␈α
to␈αthe␈αh␈α␈ear␈α␈t␈αs␈α␈hap␈α␈e,␈αusin␈α␈g␈↓ ¬S␈ε)w␈↓ ¬u␈ε#=␈α
9␈α␈,␈↓ εE␈ε)h␈↓ ε↑␈ε#=␈α
3,␈αan␈α␈d␈αa␈α␈n␈αan␈α␈gle␈αof␈α3␈↓ 	,␈ε#0␈↓ 	H␈ε#.
␈β
K␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ ¬N␈ε:0␈↓ εβ␈ε:0
␈β
O␈↓ α␈ε#The␈αq␈α␈uan␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈↓ βl␈ε)a␈↓ β|␈ε#,␈↓ ∧∩␈ε)b␈↓ ∧∨␈ε#,␈↓ ∧5␈ε)c␈↓ ∧B␈ε#,␈↓ ∧X␈ε)x␈↓ ∧t␈ε#,␈↓ ¬
␈ε)y␈↓ ¬&␈ε#,␈↓ ¬<␈ε)x␈↓ ¬Z␈ε#,␈↓ ¬p␈ε)y␈↓ ε≤␈ε#a␈α␈re␈αreal␈α
n␈α}um␈α}bers,␈α
b␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αdiscrete␈α␈ness␈αof␈αthe
␈β
Y␈↓ ∧h␈ε&0␈↓ ¬~␈ε&0
␈β
\␈↓ ∧$␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
↑␈↓ ¬N␈ε&0␈↓ εβ␈ε&0
␈β
v␈↓ α␈ε#raste␈α␈r␈αi␈α↓m␈α␈plies␈αtha␈α␈t␈↓ ¬Q␈ε#'s␈αpen␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈α
the␈αset␈αo␈α␈f␈αa␈α␈l␈α↓l␈ε0␈αin␈α␈te␈α␈ger␈ε#␈αpo␈α␈in␈α␈ts␈α(␈↓ 
q␈ε)_␈↓ ↓␈ε#,␈↓ ⊂␈ε)⊃␈↓ !␈ε#)
␈β∞~␈↓ βc␈ε&2␈↓ πN␈ε&2
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈tisfying␈↓ α←␈ε)a␈↓ αo␈ε#(␈↓ αz␈ε)_␈↓ β∪␈ε7␈␈↓ β<␈ε)x␈↓ βX␈ε#)␈↓ βx␈ε#+␈↓ ∧"␈ε)b␈↓ ∧/␈ε#(␈↓ ∧:␈ε)_␈↓ ∧R␈ε7␈␈↓ ∧|␈ε)x␈↓ ¬_␈ε#)(␈↓ ¬.␈ε)⊃␈↓ ¬H␈ε7␈␈↓ ¬r␈ε)y␈↓ ε∞␈ε#)␈α	+␈↓ εK␈ε)c␈↓ εX␈ε#(␈↓ εc␈ε)⊃␈↓ ε⎇␈ε7␈␈↓ π'␈ε)y␈↓ πC␈ε#)␈↓ πf␈ε7∀␈ε#␈α1.␈α⊂Th␈α␈erefor␈α␈e␈α
it␈αi␈α↓s␈αimpo␈α␈rtan␈α}t
␈β∞(␈↓ βL␈ε&0␈↓ ¬␈ε&0␈↓ εα␈ε&0␈↓ π7␈ε&0
␈β∞+␈↓ ↓z␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈↓ β2␈ε#to␈α	de|␈α␈ne␈α
its␈↓ ∧f␈ε3cp␈α␈en␈↓ ¬(␈ε#s,␈↓ ¬I␈ε3h␈α␈pen␈↓ ε∂␈ε#s,␈α
and␈↓ εo␈ε3vp␈α␈en␈α␈s␈↓ πL␈ε#carefu␈α␈ll␈α↓y␈α	in␈α
su␈α␈ch␈α
a␈α	way␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈ey
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"26␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α3
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈av␈α}e␈α
t␈α␈he␈αcorr␈α␈ect␈αrelation␈αto␈αth␈α␈e␈αcurv␈α}e␈αbein␈α␈g␈αdra␈α␈wn.␈α∂Con␈α␈sider,␈α
fo␈α␈r␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α
a␈↓ 
B␈ε3cp␈α␈en␈↓ ⊃␈ε#o␈α␈f
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#size␈α7␈α␈,␈αwh␈α␈ich␈αloo␈α␈ks␈αlik␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwh␈α␈en␈αe␈α␈nlarg␈α␈ed:
␈ββ?␈↓ ε~␈∧β?ε~∩∩␈↓ ε/␈∧β?ε/∩∩␈↓ εE␈∧β?εE∩∩
␈ββU␈↓ ε∧␈∧βUε∧∩∩␈↓ ε~␈∧βUε~∩∩␈↓ ε/␈∧βUε/∩∩␈↓ εE␈∧βUεE∩∩␈↓ εZ␈∧βUεZ∩∩
␈ββj␈↓ ¬n␈∧βj¬n∩∩␈↓ ε∧␈∧βjε∧∩∩␈↓ ε~␈∧βjε~∩∩␈↓ ε/␈∧βjε/∩∩␈↓ εE␈∧βjεE∩∩␈↓ εZ␈∧βjεZ∩∩␈↓ εp␈∧βjεp∩∩
␈β∧␈↓ ¬n␈∧∧¬n∩∩␈↓ ε∧␈∧∧ε∧∩∩␈↓ ε~␈∧∧ε~∩∩␈↓ ε/␈∧∧ε/∩∩␈↓ εE␈∧∧εE∩∩␈↓ εZ␈∧∧εZ∩∩␈↓ εp␈∧∧εp∩∩
␈β∧⊗␈↓ ¬n␈∧∧⊗¬n∩∩␈↓ ε∧␈∧∧⊗ε∧∩∩␈↓ ε~␈∧∧⊗ε~∩∩␈↓ ε/␈∧∧⊗ε/∩∩␈↓ εE␈∧∧⊗εE∩∩␈↓ εZ␈∧∧⊗εZ∩∩␈↓ εp␈∧∧⊗εp∩∩
␈β∧+␈↓ ε∧␈∧∧+ε∧∩∩␈↓ ε~␈∧∧+ε~∩∩␈↓ ε/␈∧∧+ε/∩∩␈↓ εE␈∧∧+εE∩∩␈↓ εZ␈∧∧+εZ∩∩
␈β∧A␈↓ ε~␈∧∧Aε~∩∩␈↓ ε/␈∧∧Aε/∩∩␈↓ εE␈∧∧AεE∩∩
␈β∧k␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β¬¬␈↓ ↓H␈ε#To␈α\␈α␈plot␈αa␈αp␈α␈oin␈α␈t"␈α
w␈α↓ith␈α
this␈αpen␈α
at␈α(␈↓ ¬S␈ε)x␈↓ ¬e␈ε#,␈↓ ¬s␈ε)y␈↓ εε␈ε#),␈αwh␈α␈en␈↓ ε⎇␈ε)x␈↓ π→␈ε#an␈α␈d␈↓ πZ␈ε)y␈↓ πx␈ε#a␈α␈re␈αreal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈,
␈β¬)␈↓ ε#␈ε:0␈↓ εK␈ε:0
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈rst␈α
r␈α␈oun␈α␈ds␈α	to␈α	the␈α	n␈α␈earest␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α	(␈↓ ε∩␈ε)x␈↓ ε*␈ε#,␈↓ ε9␈ε)y␈↓ εQ␈ε#)␈α
an␈α␈d␈α	the␈α␈n␈α	black␈α}en␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈ix␈α␈els␈α
in␈α	loc␈α␈ation␈α␈s
␈β¬P␈↓ ↓d␈ε:0␈↓ αL␈ε:0
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)x␈↓ ↓r␈ε#+␈↓ α≠␈ε)_␈↓ α*␈ε#,␈↓ α9␈ε)y␈↓ αY␈ε#+␈↓ βα␈ε)⊃␈↓ β∀␈ε#)␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧
␈ε)_␈↓ ∧%␈ε#a␈α␈nd␈↓ ∧f␈ε)⊃␈↓ ¬α␈ε#run␈α
thro␈α␈ugh␈α
the␈α
37␈αsq␈α␈uare␈α
dots␈αo␈α␈f␈αthe␈αp␈α␈en␈αima␈α␈ge:
␈βε≠␈↓ ↓j␈ε#(␈↓ ↓u␈ε)_␈↓ α¬␈ε#,␈↓ α∀␈ε)⊃␈↓ α%␈ε#)␈α
=␈α	(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈α␈,␈αε3)(0,␈α¬3)(1,␈αε3␈α␈)(␈ε7␈␈ε#␈α↓2␈α␈,␈αε2)(␈ε7␈␈ε#1,␈αε2␈α␈)␈↓ ε-␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εZ␈ε#(1␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#2)(2,␈ε7␈αε␈␈ε#2)(␈ε7␈␈ε#1,␈ε7␈αε␈␈ε#3)(0␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#3)(1,␈ε7␈αε␈␈ε#3).
␈βεb␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈α
w␈α␈ork␈α␈s␈α
|␈α␈ne␈α	beca␈α␈use␈α	it␈α
giv␈α␈e␈α␈s␈α
th␈α␈ree␈α
d␈α␈ots␈α	abo␈α}v␈α␈e␈α	and␈α	b␈α␈elo␈α␈w␈α
a␈α␈nd␈α	to␈α	the␈α	l␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈α	an␈α␈d␈α
rig␈α␈h␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈βπε␈↓ ↓d␈ε:0␈↓ α␈ε:0
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)x␈↓ ↓j␈ε#,␈↓ ↓y␈ε)y␈↓ α∩␈ε#);␈αt␈α␈he␈αp␈α␈en␈αh␈α␈as␈αwidth␈α7␈α
as␈αde␈α␈si␈α↓re␈α␈d.␈αB␈α↓u␈α␈t␈αno␈α}w␈αc␈α␈on␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈αthe␈α
prob␈α␈lem␈αof␈αa␈↓ 
λ␈ε3cp␈α␈en␈↓ 
U␈ε#w␈α↓h␈α␈ose
␈βπ2␈↓ ↓H␈ε#wid␈α␈th␈αis␈αan␈ε0␈αe␈α␈v␈α␈en␈ε#␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈,␈αsa␈α␈y␈α4.␈αThe␈αd␈α␈esired␈α
pat␈α␈tern␈αo␈α␈f␈αd␈α␈ots␈αis
␈βπs␈↓ ε$␈∧πsε$∩∩␈↓ ε:␈∧πsε:∩∩
␈βλλ␈↓ ε∂␈∧λλε∂∩∩␈↓ ε$␈∧λλε$∩∩␈↓ ε:␈∧λλε:∩∩␈↓ εP␈∧λλεP∩∩
␈βλ≡␈↓ ε∂␈∧λ≡ε∂∩∩␈↓ ε$␈∧λ≡ε$∩∩␈↓ ε:␈∧λ≡ε:∩∩␈↓ εP␈∧λ≡εP∩∩
␈βλ4␈↓ ε$␈∧λ4ε$∩∩␈↓ ε:␈∧λ4ε:∩∩
␈βλt␈↓ π]␈ε:0␈↓ λ¬␈ε:0
␈βλx␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
sha␈α␈pe␈α
can␈α␈'␈α↓t␈α
be␈α
cen␈α␈te␈α␈red␈α
at␈αa␈α␈n␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α(␈↓ πL␈ε)x␈↓ πd␈ε#,␈↓ πr␈ε)y␈↓ λ␈ε#)␈αsinc␈α␈e␈αn␈α␈one␈α
of␈αits␈αd␈α␈ots␈α
i␈α↓s␈α
the
␈β	ε␈↓ α6␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈en␈α␈ter.␈↓ βc␈ε#'s␈αrem␈α␈edy␈αis␈αto␈αco␈α␈nside␈α␈r␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αpen␈αsh␈α␈ape␈αis␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αcen␈α}tered␈αa␈α␈t
␈β	D␈↓ ↓V␈ε&1␈↓ ↓y␈ε&1
␈β	G␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓g␈ε#,␈↓ α
␈ε#);␈αto␈αplot␈αa␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αwith␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈en␈αat␈α(␈↓ ε
␈ε)x␈↓ ε≤␈ε#,␈↓ ε*␈ε)y␈↓ ε=␈ε#),␈αwh␈α␈en␈↓ π4␈ε)x␈↓ πQ␈ε#an␈α␈d␈↓ λ∩␈ε)y␈↓ λ0␈ε#a␈α␈re␈αre␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈αth␈α␈e␈αidea
␈β	V␈↓ ↓V␈∧	V↓Vα
␈↓ ↓y␈∧	V↓yα
␈β	X␈↓ ↓V␈ε&2␈↓ ↓y␈ε&2
␈β	k␈↓ 
j␈ε:0␈↓ ∩␈ε:0
␈β	l␈↓ ¬G␈ε&1␈↓ ε.␈ε&1
␈β	o␈↓ ↓H␈ε#is␈αto␈αrou␈α␈nd␈αthe␈ε0␈αsh␈α␈if␈α↓t␈α␈ed␈ε#␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ ¬␈ε)x␈↓ ¬~␈ε7␈␈↓ ¬W␈ε#,␈↓ ¬f␈ε)y␈↓ ε↓␈ε7␈␈↓ ε>␈ε#)␈αto␈αthe␈αn␈α␈eares␈α␈t␈α
in␈α}teger␈αco␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ates␈α(␈↓ 
Y␈ε)x␈↓ 
q␈ε#,␈↓ 
␈␈ε)y␈↓ _␈ε#),
␈β	⎇␈↓ ¬G␈∧	⎇¬Gα
␈↓ ε.␈∧	⎇ε.α
␈β	␈␈↓ ¬G␈ε&2␈↓ ε.␈ε&2
␈β
∪␈↓ ∧p␈ε:0␈↓ ¬X␈ε:0
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
then␈α
to␈αb␈α␈l␈α↓a␈α␈ck␈α␈en␈α
pix␈α}el␈α↓s␈α(␈↓ ∧←␈ε)x␈↓ ∧}␈ε#+␈↓ ¬&␈ε)_␈↓ ¬6␈ε#,␈↓ ¬E␈ε)y␈↓ ¬e␈ε#+␈↓ ε∞␈ε)⊃␈↓ ε ␈ε#)␈αfo␈α␈r
␈β
↑␈↓ α⊂␈ε#(␈↓ α≠␈ε)_␈↓ α+␈ε#,␈↓ α:␈ε)⊃␈↓ αK␈ε#)␈α
=␈α	(0,␈αε2␈α␈)(1,␈αε2)(␈ε7␈␈ε#1,␈αε1␈α␈)(0,␈αε1␈α␈)␈α↓(1␈α␈,␈αε1)(2,␈α¬1)(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈α␈,␈αε0)(0,␈α¬0)(1,␈αε0␈α␈)(2,␈αε0)(0␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#␈α↓1␈α␈)(1,␈ε7␈αε␈␈ε#1).
␈β%␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
n␈α␈et␈α
e␈α␈{␈α↓ec␈α␈t␈α
whe␈α␈n␈α
d␈α␈rawing␈αa␈αcurv␈α}e␈α
is␈α
t␈α␈o␈α
h␈α␈av␈α␈e␈αa␈αpen␈αof␈αwi␈α↓d␈α␈th␈α4␈α
th␈α␈at␈αi␈α↓s␈αcen␈α␈te␈α␈red␈αon
␈βL␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈.
␈β↓␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β¬␈↓ α␈ε#A␈α
fu␈α␈rther␈αcom␈α␈plication␈αarises␈αfrom␈αthe␈αnee␈α␈d␈α
to␈αma␈α␈k␈α␈e␈αsure␈αtha␈α␈t␈α
ex␈α␈actly␈αthe␈αrigh␈α}t
␈β-␈↓ α␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αsatisfy␈αth␈α␈e␈αelli␈α↓p␈α␈tical␈αrelation␈α␈,␈αso␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈retized␈αp␈α␈en
␈βT␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈αp␈α␈recisely␈αwidt␈α␈h␈↓ βm␈ε)w␈↓ ∧∩␈ε#an␈α␈d␈αh␈α␈eigh␈α}t␈↓ ¬9␈ε)h␈↓ ¬J␈ε#,␈α
fo␈α␈r␈αan␈α␈y␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αp␈α␈ositi␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ 	&␈ε)w␈↓ 	K␈ε#an␈α␈d␈↓ 

␈ε)h␈↓ 
≥␈ε#.␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈↓ 
r␈ε)∞␈↓ α␈ε#(␈↓ 
␈ε)n␈↓ !␈ε#)
␈βb␈↓ λ¬␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βy␈↓ ¬(␈ε&1
␈β|␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α0␈αwhen␈↓ αk␈ε)n␈↓ β␈ε#is␈α
o␈α␈dd␈αa␈α␈nd␈↓ ∧2␈ε)∞␈↓ ∧B␈ε#(␈↓ ∧M␈ε)n␈↓ ∧a␈ε#)␈α=␈↓ ¬D␈ε#w␈α↓h␈α␈en␈↓ ε≥␈ε)n␈↓ ε=␈ε#is␈α
ev␈α}en␈α␈;␈α∞th␈α␈en␈↓ 	2␈ε#'␈α↓s␈αdiscre␈α␈te␈αpen␈αo␈α␈f
␈β
␈↓ ¬(␈∧
¬(α
␈β
␈↓ ¬(␈ε&2
␈β
!␈↓ ε⊂␈ε"(␈↓ 	
␈ε")
␈β
$␈↓ ↓H␈ε#wid␈α␈th␈↓ α&␈ε)w␈↓ αJ␈ε#an␈α␈d␈αh␈α␈eigh␈α}t␈↓ βo␈ε)h␈↓ ∧␈ε#is␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αb␈α␈y␈↓ ¬O␈ε3spe␈α␈n␈↓ ε≤␈ε)a␈↓ ε,␈ε#,␈αε0,␈↓ ε[␈ε)c␈↓ εh␈ε#,␈↓ εv␈ε)∞␈↓ πε␈ε#(␈↓ π⊃␈ε)w␈↓ π*␈ε#),␈↓ πD␈ε)∞␈↓ πT␈ε#(␈↓ π←␈ε)h␈↓ πo␈ε#),␈↓ λ	␈ε)∞␈↓ λ→␈ε#(␈↓ λ$␈ε)w␈↓ λ=␈ε#),␈↓ λW␈ε)∞␈↓ λf␈ε#(␈↓ λr␈ε)h␈↓ 	α␈ε#)␈↓ 	$␈ε#where
␈β
g␈↓ λ6␈ε↓∩␈↓ 
↓␈ε↓∪
␈β
m␈↓ β[␈ε#4␈↓ ε␈ε#4␈↓ λP␈ε#2␈↓ λa␈ε)∞␈↓ λq␈ε#(␈↓ λ|␈ε)w␈↓ 	∀␈ε#)␈↓ 	6␈ε#2␈↓ 	F␈ε)∞␈↓ 	V␈ε#(␈↓ 	a␈ε)h␈↓ 	r␈ε#)
␈β∞β␈↓ αO␈ε)a␈↓ αh␈ε#=␈↓ ∧3␈ε#,␈↓ ¬∧␈ε)c␈↓ ¬≠␈ε#=␈↓ εc␈ε#,␈↓ π4␈ε)f␈↓ πM␈ε#=␈↓ πx␈ε#m␈α␈ax␈↓ 	#␈ε#,␈↓ 
≤␈ε#.
␈β∞⊃␈↓ β↔␈∧∞⊃β↔α↓→␈↓ ¬I␈∧∞⊃¬Iα↓⊗␈↓ λP␈∧∞⊃λPαP␈↓ 	6␈∧∞⊃	6αH
␈β∞_␈↓ βr␈ε&2␈↓ ∧#␈ε&2␈↓ ε%␈ε&2␈↓ εR␈ε&2
␈β∞≠␈↓ β↔␈ε#(1␈απ+␈↓ βb␈ε)f␈↓ β␈␈ε#)␈↓ ∧
␈ε)w␈↓ ¬I␈ε#(1␈απ+␈↓ ε∃␈ε)f␈↓ ε1␈ε#)␈↓ εB␈ε)h␈↓ λk␈ε)w␈↓ 	Q␈ε)h
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧␈␈ε>Pens␈αand␈αerasers␈↓ β␈ε"27
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ λJ␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#The␈αmo␈α␈st␈α
ge␈α␈nera␈α␈l␈α
pen␈αo␈α␈r␈α
era␈α␈ser␈α
sh␈α␈ap␈α␈e␈α
y␈α}ou␈αcan␈αg␈α␈et␈α
with␈↓ 
∧␈ε#come␈α␈s␈α
from
␈βα}␈↓ α␈ε#an␈↓ α:␈ε3epe␈α␈n␈↓ βλ␈ε#sp␈α␈eci|ca␈α␈tion,␈αwhich␈α
ha␈α␈s␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈ββF␈↓ β0␈ε3epen␈↓ β|␈ε#(␈↓ ∧π␈ε)l␈↓ ∧≠␈ε#,␈↓ ∧*␈ε)r␈↓ ∧C␈ε#)(␈↓ ∧Y␈ε)l␈↓ ¬∩␈ε#,␈↓ ¬!␈ε)r␈↓ ¬`␈ε#)␈↓ ¬q␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ε≥␈ε#(␈↓ ε(␈ε)l␈↓ ε;␈ε#,␈↓ εJ␈ε)r␈↓ εb␈ε#).␈α↓(␈↓ πα␈ε)l␈↓ π.␈ε#,␈↓ π=␈ε)r␈↓ πn␈ε#)␈↓ π␈␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ+␈ε#(␈↓ λ7␈ε)l␈↓ λm␈ε#,␈↓ λ|␈ε)r␈↓ 	9␈ε#)
␈ββP␈↓ ∧∞␈ε,k␈↓ ∧6␈ε,k␈↓ ∧←␈ε,k␈↓ ∧l␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ¬-␈ε,k␈↓ ¬:␈ε:␈␈ε&1␈↓ ε.␈ε&0␈↓ εV␈ε&0␈↓ πλ␈ε:␈␈ε&1␈↓ πI␈ε:␈␈ε&1␈↓ λ=␈ε:␈␈↓ λV␈ε,m␈↓ 	λ␈ε:␈␈↓ 	!␈ε,m
␈β∧∞␈↓ ↓H␈ε#(fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α∞b␈α␈y␈α∂\␈ε?␈α␈#␈ε#"␈α∂if␈α∂y␈α}ou␈α∞wan␈α}t␈α∂it␈α∂to␈α∂b␈α␈e␈α∂a␈α␈n␈α∂er␈α␈aser).␈α⊗This␈α∂d␈α␈eno␈α␈tes␈α∂a␈α∞pen␈α∞po␈α␈siti␈α↓o␈α␈ned␈α∞a␈α␈t
␈β∧5␈↓ ↓H␈ε#(0␈α␈,␈αε0)␈α∞c␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
all␈α∞in␈α␈t␈α␈eger␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α∞(␈↓ ¬R␈ε)_␈↓ ¬b␈ε#,␈↓ ¬p␈ε)⊃␈↓ εα␈ε#)␈α∞fo␈α␈r␈↓ εQ␈ε)l␈↓ εs␈ε7∀␈↓ π"␈ε)_␈↓ π?␈ε7∀␈↓ πn␈ε)r␈↓ λ∃␈ε#and␈↓ λY␈ε)k␈↓ λv␈ε7∃␈↓ 	%␈ε)⊃␈↓ 	D␈ε7∃␈α∞␈␈↓ 
∀␈ε)m␈↓ 
1␈ε#;␈α⊂e␈α␈ach␈↓ _␈ε)l
␈β∧@␈↓ εW␈ε,⊃␈↓ πz␈ε,⊃␈↓ ≡␈ε,⊃
␈β∧]␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ α␈ε)r␈↓ α5␈ε#sho␈α␈uld␈α∂b␈α␈e␈α∂an␈α∞in␈α␈teg␈α␈er,␈α⊂with␈↓ ¬Q␈ε)l␈↓ ¬u␈ε7∀␈↓ ε&␈ε)r␈↓ ε@␈ε#.␈α↔If␈α∂the␈α␈re␈α∂are␈α∂n␈α␈o␈α∂p␈α␈oin␈α␈ts␈α∞w␈α↓ith␈↓ 
α␈ε)⊃␈↓ 
#␈ε#<␈α⊂0,␈α⊂the
␈β∧g␈↓ α_␈ε,⊃␈↓ ¬W␈ε,⊃␈↓ ε2␈ε,⊃
␈β¬∧␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈.␈α↓(␈↓ ↓m␈ε)l␈↓ α→␈ε#,␈↓ α(␈ε)r␈↓ αY␈ε#)␈↓ αj␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ β⊗␈ε#(␈↓ β!␈ε)l␈↓ βX␈ε#,␈↓ βg␈ε)r␈↓ ∧#␈ε#)"␈α∂p␈α␈art␈α∂o␈α␈f␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∞spec␈α␈i␈α↓|␈α␈cat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∂is␈α∞omitted␈α␈;␈α⊃on␈α∞th␈α␈e␈α∂o␈α␈ther␈α∞ha␈α␈nd␈α∞if
␈β¬∂␈↓ ↓s␈ε:␈␈ε&1␈↓ α3␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ β(␈ε:␈␈↓ βA␈ε,m␈↓ βs␈ε:␈␈↓ ∧␈ε,m
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε)m␈↓ ↓n␈ε#>␈α
0␈αt␈α␈here␈αsh␈α␈ou␈α␈ld␈αno␈α
spa␈α␈ce␈αafter␈αth␈α␈e␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.
␈β¬b␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β¬f␈↓ α␈ε#Fig.␈↓ αP␈ε#3↑␈α␈5␈↓ β
␈ε#sh␈α␈o␈α␈ws␈α
an␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α
in␈α
which␈↓ ε"␈ε3ep␈α␈en␈↓ εo␈ε#ha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α
use␈α␈d␈α
to␈αd␈α␈e|␈α␈ne␈α
an␈α
eras␈α␈er␈αin␈α
the
␈βε
␈↓ α␈ε#sh␈α␈ape␈αof␈αan␈αisosc␈α␈eles␈αtria␈α␈ngle,␈α5␈αu␈α␈nits␈αhigh␈αa␈α␈nd␈α9␈αu␈α␈nits␈αwi␈α↓d␈α␈e.␈αThe␈αil␈α↓lu␈α␈stration␈αwa␈α␈s
␈βε≠␈↓ ∧w␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βε5␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈ene␈α␈rated␈α
by␈α
a␈αrath␈α␈er␈αsimple␈↓ ε/␈ε#pro␈α␈gram␈α␈:
␈βεu␈↓ βε␈ε)x␈↓ β+␈ε#=␈α
0␈α␈;␈↓ ∧λ␈ε)y␈↓ ∧-␈ε#=␈ε7␈α
␈␈ε#20;␈↓ ¬<␈ε)x␈↓ ¬a␈ε#=␈α
5␈α␈0;␈↓ εN␈ε)y␈↓ εt␈ε#=␈α	0;␈↓ πP␈ε)x␈↓ πv␈ε#=␈α	10␈α␈0;␈↓ λs␈ε)y␈↓ 	→␈ε#=␈α
2␈α␈0;
␈βπ␈↓ β∃␈ε&1␈↓ ∧_␈ε&1␈↓ ¬K␈ε&2␈↓ ε↑␈ε&2␈↓ π`␈ε&3␈↓ 	β␈ε&3
␈βπ≥␈↓ βε␈ε3cp␈α␈en␈↓ βI␈ε#;␈α_15␈α␈0␈↓ ∧%␈ε3dra␈α␈w␈↓ ∧w␈ε#2␈α␈;
␈βπE␈↓ βε␈ε3ep␈α␈en␈↓ βR␈ε#(0,␈α¬0)(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈α␈,␈αε1)(␈ε7␈␈ε#2,␈αε2␈α␈)(␈ε7␈␈ε#␈α↓3␈α␈,␈αε3)(␈ε7␈␈ε#4,␈αε4␈α␈)␈ε?␈α↓#␈ε#␈α␈;
␈βπl␈↓ βε␈ε3dr␈α␈aw␈↓ βW␈ε#1␈αε.␈α¬.␈αε3.
␈β
%␈↓ ↓H␈ε3Fig.␈απ3␈α␈↑5.␈ε#␈α∞A␈αεstraigh␈α}t␈απline␈αε\d␈α␈rawn"␈αεwith
␈β
L␈↓ ↓H␈ε#a␈α
tri␈α↓a␈α␈ng␈α␈ular␈αera␈α␈ser.
␈βn␈↓ αo␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β∧␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βλ␈↓ α␈ε#When␈↓ ∧+␈ε#d␈α␈raws␈α∞with␈α∞a␈α␈n␈↓ ε∞␈ε3ep␈α␈en␈↓ εQ␈ε#,␈α∂it␈α∞ign␈α␈ores␈α∞th␈α␈e␈α∞pen␈α
size,␈α∂just␈α∞a␈α␈s␈α∞when␈α
it
␈β/␈↓ α␈ε#is␈α∞us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞a␈α␈n␈↓ β;␈ε3sp␈α␈en␈↓ β{␈ε#.␈α∀Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∂y␈α}ou␈α
can␈α
set␈↓ εc␈ε3epe␈α␈n␈α␈x␈α␈f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ λ~␈ε#and␈↓ λ↑␈ε3ep␈α␈en␈α␈y␈α␈facto␈α␈r␈↓ 
∃␈ε#to␈α
a␈α∞v␈α␈alue
␈βW␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈reate␈α␈r␈α∞th␈α␈an␈α
1␈α␈.0␈α
i␈α↓f␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
wish␈α
to␈α
en␈α␈large␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
of␈α
y␈α␈o␈α␈ur␈↓ π<␈ε3ep␈α␈en␈↓ π␈␈ε#s␈α
(or␈α
to␈α
a␈α
v␈α␈alue␈α
less␈α
th␈α␈an␈α
1.0
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#if␈α∂y␈α␈o␈α␈u␈α∂wish␈α∂to␈α∂sh␈α␈rink␈α∂th␈α␈em).␈α↔The␈α∂ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α∞or␈α∂shrin␈α␈kag␈α␈e␈α∂occ␈α␈urs␈α∂by␈↓ 	X␈ε3epe␈α␈n␈α␈x␈α␈factor␈↓ ⊃␈ε#in
␈β
&␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∂ho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l␈α⊂d␈α␈i␈α↓m␈α␈ension␈α∞and␈α∂b␈α␈y␈↓ ¬A␈ε3ep␈α␈en␈α␈y␈α␈facto␈α␈r␈↓ εz␈ε#in␈α∂th␈α␈e␈α∂v␈α␈ertica␈α␈l␈α⊂d␈α␈i␈α↓m␈α␈ension␈α␈.␈α_Two␈α∂o␈α␈the␈α␈r
␈β
J␈↓ 	⊂␈ε:0␈↓ 	y␈ε:0
␈β
N␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ara␈α␈meters␈↓ αr␈ε3epen␈α}x␈α␈c␈α␈orr␈↓ ∧	␈ε#a␈α␈nd␈↓ ∧H␈ε3epe␈α␈n␈α␈y␈α␈c␈α␈orr␈↓ ¬←␈ε#ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
se␈α␈t␈α
to␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈↓ λ␈␈ε)x␈↓ 	'␈ε#a␈α␈nd␈↓ 	f␈ε)y␈↓ 
∂␈ε#if␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
wish
␈β
]␈↓ 	⊂␈ε&0␈↓ 	y␈ε&0
␈β
q␈↓ ∧3␈ε:0␈↓ ¬≥␈ε:0
␈β
u␈↓ ↓H␈ε#to␈αλrep␈α␈lace␈αλ(␈↓ αg␈ε)x␈↓ αy␈ε#,␈↓ βλ␈ε)y␈↓ β~␈ε#)␈α	b␈α␈y␈αλ(␈↓ βf␈ε)x␈↓ β|␈ε7␈␈↓ ∧!␈ε)x␈↓ ∧?␈ε#,␈↓ ∧N␈ε)y␈↓ ∧e␈ε7␈␈↓ ¬
␈ε)y␈↓ ¬)␈ε#)␈α	b␈α␈efore␈αλrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α␈nd␈αλp␈α␈l␈α↓o␈α␈tting␈αλwith␈α	a␈α␈n␈↓ 	W␈ε3epe␈α␈n␈↓ 
~␈ε#.␈α
I␈α↓t␈αλsho␈α␈uld
␈β∞∧␈↓ ∧3␈ε&0␈↓ ¬≥␈ε&0
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αin␈α␈terest␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αc␈α␈reate␈αa␈α␈lph␈α␈abe␈α␈ts␈αwhose␈αl␈α↓e␈α␈tters␈αha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈een␈αdra␈α␈wn␈αwith␈αn␈α␈orma␈α␈l␈α
p␈α␈en
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈otion␈α␈s␈αbu␈α␈t␈αw␈α↓ith␈α
ab␈α␈norm␈α␈al␈↓ ∧b␈ε3epe␈α␈n␈↓ ¬0␈ε#sh␈α␈ape␈α␈s␈α(␈α↓tr␈α␈i␈α↓a␈α␈ngles,␈αd␈α␈i␈α↓a␈α␈mon␈α␈ds,␈αtea␈α␈rdro␈α␈ps,␈αan␈α␈d␈αso␈αo␈α␈n).
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"28␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α3
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ α␈ε↓x
␈βαV␈↓ α≡␈ε3Ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	3.2␈α␈:␈ε#␈αExp␈α␈lain␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	spec␈α␈i␈α↓fy␈α	a␈↓ εJ␈ε3lers␈↓ πε␈ε#o␈α␈f␈α
width␈α	7␈α	a␈α␈nd␈α	he␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α	5␈α	using␈α	an␈↓ 
a␈ε3e␈α␈pen␈↓ #␈ε#.
␈βαz␈↓ π→␈ε:0␈↓ πA␈ε:0␈↓ 	x␈ε:0␈↓ 
\␈ε:0
␈βα}␈↓ α␈ε#(When␈α	suc␈α␈h␈α
an␈α	eras␈α␈er␈α
is␈α
\plo␈α␈tted"␈α	at␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
(␈↓ πλ␈ε)x␈↓ π ␈ε#,␈↓ π.␈ε)y␈↓ πG␈ε#),␈αit␈α
whiten␈α␈s␈α
p␈α␈i␈α↓x␈α}els␈α
(␈↓ 	f␈ε)x␈↓ 
∧␈ε#+␈↓ 
+␈ε)_␈↓ 
;␈ε#,␈↓ 
J␈ε)y␈↓ 
i␈ε#+␈↓ ⊂␈ε)⊃␈↓ !␈ε#)
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈ε7␈α␈␈ε#␈α↓7␈ε7␈α	∀␈↓ αa␈ε)_␈↓ αz␈ε7∀␈α
␈␈ε#1␈αan␈α␈d␈ε7␈α␈␈ε#2␈ε7␈α	∀␈↓ ¬λ␈ε)⊃␈↓ ¬#␈ε7∀␈ε#␈α
+2.)
␈ββm␈↓ α␈ε"Chapter␈α1␈αmen␈α␈tioned␈αnotations␈αsuch␈αas␈α\␈↓ π∩␈ε2bot␈↓ πT␈ε(y␈↓ πt␈ε"",␈αmeaning␈αthe␈↓ 	h␈ε(y␈↓ 	|␈ε"-coordinate
␈ββz␈↓ πF␈ε%1␈↓ πe␈ε%4
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈α
bottom␈α
of␈αa␈α
pen␈α
of␈α
size␈↓ ¬-␈ε(w␈↓ ¬`␈ε"when␈α
the␈αpen␈α
itself␈α
is␈α
positioned␈αat␈↓ 
→␈ε(y␈↓ 
8␈ε".␈α∞These
␈β∧&␈↓ ¬E␈ε%1␈↓ 
*␈ε%4
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε"notations␈↓ αh␈ε2top␈↓ β(␈ε",␈↓ βA␈ε2bot␈↓ ∧␈ε",␈↓ ∧→␈ε2lft␈↓ ∧I␈ε",␈α∂and␈↓ ¬+␈ε2rt␈↓ ¬a␈ε"always␈α∞refer␈α∂to␈α∞the␈α∂curren␈α␈t␈α∞pen␈α∂type,␈α∂and␈α∞to
␈β∧Q␈↓ β≤␈ε+i␈↓ βu␈ε+i␈↓ ∧=␈ε+i␈↓ ¬G␈ε+i
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε"size␈↓ α∞␈ε(w␈↓ α@␈ε"(a␈↓ αl␈ε(w␈↓ βπ␈ε"-variable␈α∞that␈α∂m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈α∂a␈α∞kno␈α␈wn␈α∞value).␈α∀For␈α∞example,␈α∂y␈α␈ou␈α∞can't
␈β∧|␈↓ α&␈ε+i
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"say␈α\␈↓ α~␈ε2bot␈↓ α]␈ε(y␈↓ α|␈ε""␈α
unless␈α
the␈αvalue␈α
of␈↓ ¬P␈ε(w␈↓ εβ␈ε"has␈α
been␈αde|ned␈α
earlier.␈α∞If␈↓ 	4␈ε(w␈↓ 	f␈ε"=␈α9␈α
and␈αthe
␈β¬'␈↓ αN␈ε%1␈↓ αn␈ε%4␈↓ ¬h␈ε%1␈↓ 	L␈ε%1
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε"curren␈α␈t␈αtype␈αis␈↓ β;␈ε2cpen␈↓ ∧∂␈ε"or␈↓ ∧;␈ε2vpen␈↓ ¬π␈ε",␈α\␈↓ ¬/␈ε2bot␈↓ ¬q␈ε(y␈↓ ε⊂␈ε""␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto␈α\␈↓ λ=␈ε(y␈↓ λe␈ε6␈␈ε"␈αλ4".
␈β¬R␈↓ ¬c␈ε%1␈↓ εα␈ε%4␈↓ λN␈ε%4
␈βε␈↓ ↓H␈ε↓x
␈βε↓␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α
3.3:␈ε"␈αDescribe␈α
in␈α
w␈α␈ords␈α
the␈α
di{erence␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α
shapes␈α
that␈α
w␈α␈ould␈α
be
␈βε,␈↓ ↓H␈ε"drawn␈α
by␈α∞the␈α
follo␈α␈wing␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
MET␈α⎇AF␈α␈ONT␈α∞programs␈α
(without␈α
typing␈α∞them␈α
in␈α␈to
␈βεW␈↓ ↓H␈ε"the␈αcomputer):
␈βπ,␈↓ α5␈ε"Program␈α1.␈↓ β{␈ε(x␈↓ ∧$␈ε"=␈↓ ∧R␈ε(y␈↓ ∧{␈ε"=␈α
0;␈↓ ¬←␈ε(w␈↓ ε∂␈ε"=␈α
25;␈↓ π¬␈ε(w␈↓ π5␈ε"=␈α
75;␈↓ λ+␈ε2hpen␈↓ λw␈ε";␈↓ 	≠␈ε(w␈↓ 	K␈ε2draw␈↓ 
#␈ε"1.
␈βπ9␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ∧c␈ε%1␈↓ ¬w␈ε%0␈↓ π≥␈ε%1␈↓ 	3␈ε%1
␈βπW␈↓ α5␈ε"Program␈α2.␈↓ β{␈ε(x␈↓ ∧$␈ε"=␈↓ ∧R␈ε(y␈↓ ∧{␈ε"=␈↓ ¬)␈ε(y␈↓ ¬R␈ε"=␈↓ ε␈ε(y␈↓ ε*␈ε"=␈α
0;␈↓ π∞␈ε(w␈↓ π>␈ε"=␈α
25;␈↓ λ4␈ε(w␈↓ λd␈ε"=␈α
75;␈↓ 	Z␈ε2cpen␈↓ 
"␈ε";
␈βπe␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ∧c␈ε%1␈↓ ¬:␈ε%2␈↓ ε⊃␈ε%3␈↓ π&␈ε%0␈↓ λL␈ε%1
␈βλα␈↓ ∧∨␈ε2lft␈↓ ∧Q␈ε(x␈↓ ∧z␈ε"=␈↓ ¬(␈ε2lft␈↓ ¬Z␈ε(x␈↓ ¬y␈ε";␈↓ ε≥␈ε2rt␈↓ εH␈ε(x␈↓ εq␈ε"=␈↓ π∨␈ε2rt␈↓ πI␈ε(x␈↓ πh␈ε";␈↓ λ␈ε(w␈↓ λ<␈ε2draw␈↓ 	∀␈ε"2␈αε.␈αε.␈αε3.
␈βλ⊂␈↓ ∧C␈ε%1␈↓ ∧b␈ε%1␈↓ ¬L␈ε%0␈↓ ¬k␈ε%2␈↓ ε9␈ε%1␈↓ εX␈ε%1␈↓ π;␈ε%0␈↓ πZ␈ε%3␈↓ λ$␈ε%0
␈βλx␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βλ|␈↓ α␈ε#Here␈αa␈α␈re␈αth␈α␈e␈αp␈α␈recise␈αru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αfor␈αth␈α␈e␈αmea␈α␈nin␈α␈g␈αof␈↓ π(␈ε3to␈α␈p␈↓ πX␈ε#,␈↓ πm␈ε3bo␈α␈t␈↓ λ≥␈ε#,␈↓ λ3␈ε3lft␈↓ λT␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ 	+␈ε3rt␈↓ 	Q␈ε#with␈αresp␈α␈ect␈αto
␈β	#␈↓ α␈ε#a␈α
pe␈α␈n␈α
of␈α
size␈↓ βU␈ε)w␈↓ βn␈ε#,␈α∞when␈↓ ∧↑␈ε)w␈↓ ¬∧␈ε#i␈α↓s␈α
a␈α
p␈α␈ositi␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
(␈α↓a␈α␈nd␈α
wh␈α␈en␈↓ λ[␈ε)w␈↓ 	␈ε#is␈α
a␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β	.␈↓ λq␈ε&0
␈β	K␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈αin␈αth␈α␈e␈αap␈α␈pro␈α␈priat␈α␈e␈αcases).␈αThe␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αam␈α␈oun␈α}t␈αis␈αadd␈α␈ed␈α␈:
␈β
→␈↓ αo␈ε3cpe␈α␈n␈↓ ∧'␈ε3hp␈α␈en␈↓ ¬f␈ε3vp␈α␈en␈↓ π0␈ε3lers␈↓ λm␈ε3re␈α␈rs␈↓ 	y␈ε3sp␈α␈en␈↓ 
:␈ε#,␈↓ 
I␈ε3e␈α␈pen
␈β
G␈↓ 
⎇␈ε:0
␈β
K␈↓ ↓i␈ε3top␈↓ αH␈ε#(␈↓ αS␈ε)w␈↓ αs␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/2␈↓ β⎇␈ε#(␈↓ ∧λ␈ε)w␈↓ ∧2␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/␈α␈2␈↓ ¬A␈ε#(␈↓ ¬L␈ε)w␈↓ ¬l␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/␈α␈2␈↓ ε{␈ε#(␈↓ πε␈ε)w␈↓ π0␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/␈α␈2␈↓ λ:␈ε#(␈↓ λE␈ε)w␈↓ λo␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/␈α␈2␈↓ 	{␈ε)y␈↓ 
B␈ε7␈␈↓ 
j␈ε)y
␈β
V␈↓ ∧≡␈ε&0␈↓ π≤␈ε&0␈↓ λ[␈ε&0␈↓ 
␈ε&ma␈α␈x
␈β
Z␈↓ 
⎇␈ε&0
␈β
o␈↓ 
z␈ε:0
␈β
s␈↓ ↓i␈ε3b␈α␈ot␈↓ αH␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ β∀␈ε)w␈↓ β-␈ε#)/2␈↓ β⎇␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ ∧I␈ε)w␈↓ ∧l␈ε#)/␈α␈2␈↓ ¬A␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ ε
␈ε)w␈↓ ε&␈ε#)/␈α␈2␈↓ ε{␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ πG␈ε)w␈↓ πj␈ε#)/␈α␈2␈↓ λ:␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ 	ε␈ε)w␈↓ 	)␈ε#)/␈α␈2␈↓ 	}␈ε)y␈↓ 
?␈ε7␈␈↓ 
g␈ε)y
␈β
}␈↓ ∧←␈ε&0␈↓ π]␈ε&0␈↓ 	≤␈ε&0␈↓ 

␈ε&min
␈βα␈↓ 
z␈ε&0
␈β⊗␈↓ 
y␈ε:0
␈β≠␈↓ ↓x␈ε3lft␈↓ αH␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ β∀␈ε)w␈↓ β-␈ε#)/2␈↓ ∧α␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ ∧N␈ε)w␈↓ ∧g␈ε#)/2␈↓ ¬<␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ ελ␈ε)w␈↓ ε+␈ε#)/␈α␈2␈↓ π,␈ε7␈␈↓ πM␈ε)w␈↓ λ␈␈ε#1␈↓ 	}␈ε)x␈↓ 
?␈ε7␈␈↓ 
h␈ε)x
␈β%␈↓ ε≡␈ε&0␈↓ 
∞␈ε&min
␈β*␈↓ 
y␈ε&0
␈β>␈↓ 
|␈ε:0
␈βB␈↓ ↓␈␈ε3rt␈↓ αH␈ε#(␈↓ αS␈ε)w␈↓ αs␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/2␈↓ ∧α␈ε#(␈↓ ∧
␈ε)w␈↓ ∧-␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/2␈↓ ¬<␈ε#(␈↓ ¬G␈ε)w␈↓ ¬q␈ε7␈␈ε#␈αλ1)/␈α␈2␈↓ π0␈ε7␈␈ε#1␈↓ λ{␈ε)w␈↓ 	|␈ε)x␈↓ 
B␈ε7␈␈↓ 
k␈ε)x
␈βM␈↓ ¬]␈ε&0␈↓ 
␈ε&max
␈βQ␈↓ 
|␈ε&0
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε#Fo␈α␈r␈↓ αε␈ε3sp␈α␈en␈↓ αP␈ε#and␈↓ β⊂␈ε3epe␈α␈n␈↓ βS␈ε#,␈α
the␈α
q␈α␈uan␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈↓ ¬7␈ε)x␈↓ ¬p␈ε#,␈↓ ε∧␈ε)x␈↓ εC␈ε#,␈↓ εV␈ε)y␈↓ π⊂␈ε#,␈↓ π#␈ε)y␈↓ πm␈ε#d␈α␈eno␈α␈te␈α
the␈α
e␈α␈xtrem␈α␈es␈α
of␈↓ 
A␈ε)_␈↓ 
[␈ε#an␈α␈d␈↓ ≠␈ε)⊃
␈β ␈↓ ¬F␈ε&min␈↓ ε∪␈ε&max␈↓ εf␈ε&min␈↓ π3␈ε&max
␈β9␈↓ ∧Q␈ε:0␈↓ ¬;␈ε:0
␈β=␈↓ ↓H␈ε#in␈α
the␈α
discre␈α␈te␈αp␈α␈en,␈αwh␈α␈il␈α↓e␈↓ ∧?␈ε)x␈↓ ∧h␈ε#an␈α␈d␈↓ ¬(␈ε)y␈↓ ¬R␈ε#de␈α␈note␈α
th␈α␈e␈αo{sets␈α
sub␈α␈tracte␈α␈d␈αfro␈α␈m␈αth␈α␈e␈αco␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s
␈βL␈↓ ∧Q␈ε&0␈↓ ¬;␈ε&0
␈βe␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈efore␈αλrou␈α␈nd␈α␈ing␈αλan␈α␈d␈αλplo␈α␈tti␈α↓n␈α␈g.␈α
Note␈αλth␈α␈at␈αλpen␈α␈s␈α	o␈α␈f␈α	ty␈α␈pe␈↓ πB␈ε3cp␈α␈en␈↓ λ¬␈ε#,␈↓ λ↔␈ε3h␈α␈pen␈↓ λ]␈ε#,␈↓ λp␈ε3v␈α␈pe␈α␈n␈↓ 	6␈ε#,␈↓ 	H␈ε3lers␈↓ 	z␈ε#,␈↓ 
␈ε3rers␈↓ 
J␈ε#alway␈α␈s
␈β
␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈av␈α}e␈αthe␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈αth␈α␈at
␈β
8␈↓ ¬N␈ε3top␈↓ ε	␈ε3bo␈α␈t␈↓ εD␈ε)y␈↓ ε`␈ε#=␈↓ π
␈ε)y␈↓ π≥␈ε#;
␈β
C␈↓ ¬}␈ε,i␈↓ ε9␈ε,i
␈β
z␈↓ ↓H␈ε#in␈α
oth␈α␈er␈αw␈α␈ord␈α␈s␈↓ β$␈ε)y␈↓ βI␈ε#=␈↓ βt␈ε3to␈α␈p␈↓ ∧/␈ε)y␈↓ ∧V␈ε#if␈αan␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
if␈↓ ε≡␈ε)y␈↓ εD␈ε#=␈↓ εn␈ε3bo␈α␈t␈↓ π)␈ε)y␈↓ πE␈ε#.␈αS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈αth␈α␈e␈αop␈α␈eratio␈α␈ns␈↓ 
K␈ε3lft␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β∞∧␈↓ β3␈ε&1␈↓ ∧$␈ε,i␈↓ ∧>␈ε&2␈↓ ε.␈ε&2␈↓ π≡␈ε,i␈↓ π9␈ε&1
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε3rt␈↓ ↓m␈ε#a␈α␈re␈αin␈α␈v␈α␈e␈α␈rses␈αof␈αea␈α␈ch␈αo␈α␈ther,␈αfor␈αty␈α␈pes␈↓ ε␈ε3c␈α␈pen␈↓ εB␈ε#,␈↓ εW␈ε3h␈α␈pe␈α␈n␈↓ π≥␈ε#,␈↓ π1␈ε3vp␈α␈en␈↓ πx␈ε#.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓I␈↓ ¬h␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧V␈ε>Running␈↓ β␈ε"29
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ βL␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈4>␈α
Runn␈α↓ing
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε"It␈α
is␈αhigh␈αtime␈αno␈α␈w␈α
for␈αy␈α␈ou␈αto␈α
stop␈αreading␈αand␈αstart␈α
playing␈αwith␈αthe␈α
computer,
␈ββ≥␈↓ α≡␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈ββ4␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ βh␈ε"is␈α
an␈α
in␈α␈teractiv␈α␈e␈α
system␈α
that␈α
is␈α
best␈α
learned␈α
by␈α
trial␈α
and␈α
error.
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε"(In␈α
fact,␈αone␈α
of␈αthe␈αnicest␈αthings␈αabout␈α
computer␈αgraphics␈αis␈αthat␈αy␈α␈our␈αerrors␈α
are
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"often␈αmore␈αin␈α␈teresting␈αthan␈αy␈α␈our␈α\successes.")
␈β∧∨␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β∧6␈↓ α␈ε"The␈α	instructions␈α
in␈α	this␈α	chapter␈α
refer␈α	to␈α	the␈α	initial␈α
implemen␈α␈tation␈α	of␈↓  ␈ε"-
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈β∧a␈↓ α4␈ε"with␈α
Datadisk␈α
terminals␈α
on␈α
the␈α
computer␈α
at␈α
Stanford's␈α
Arti|cial␈αIntelli-
␈β∧u␈↓ λQ␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"gence␈α∂Laboratory;␈α⊃similar␈α∂rules␈α∂will␈α∂presumably␈α⊂hold␈α∂if␈↓ 
!␈ε"has␈α∂been
␈β¬8␈↓ ↓H␈ε"transported␈αto␈αother␈αen␈α␈vironmen␈α␈ts.␈αThe␈α|rst␈αthing␈αto␈αdo␈α(assuming␈αthat␈αy␈α␈ou␈αare
␈β¬c␈↓ ↓H␈ε"logged␈αin)␈αis␈αto␈αtell␈αthe␈αmonitor
␈βε9␈↓ αX␈ε5r␈α∀mf␈ε6␈α␈h␈↓ β6␈ε"carriage-return␈↓ ¬ ␈ε6i
␈βεw␈↓ β)␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T␈↓ ¬c␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"(meaning␈απRun␈↓ ∧j␈ε").␈α
After␈↓ π+␈ε"has␈αλbeen␈απloaded␈απin␈α␈to␈απthe␈απmachine,
␈βπ:␈↓ ↓H␈ε"it␈αwill␈αtype␈α\␈ε5*␈ε"␈α␈";␈αthis␈αmeans␈αit␈αwan␈α␈ts␈αy␈α␈ou␈αto␈αinstruct␈αit␈αabout␈αwhat␈αto␈αdo.
␈βπe␈↓ α␈ε"The␈αsecond␈αthing␈αto␈αdo␈αis␈αtype
␈βλ;␈↓ αX␈ε5p␈α␈roo␈α␈fmod␈α␈e;␈α∀dra␈α␈wdis␈α␈pla␈α␈y;
␈βλy␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ε"and␈αhit␈↓ αD␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ∧Q␈ε"again.␈αThe␈↓ ε∧␈ε2proofmode␈↓ π5␈ε"command␈αinstructs
␈β	<␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞y␈α␈ou␈α∞wan␈α␈t␈α∞to␈α∂prin␈α␈t␈α∞hard-copy␈α∞proofs␈α∞of␈α∂the␈α∞characters␈α∞y␈α␈ou␈α∞are␈α∞generating.
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"(Such␈αproofsheets␈αwill␈αcon␈α␈tain␈αenlarged␈αv␈α␈ersions␈αof␈αthe␈αcharacters␈αtogether␈αwith
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"labeled␈α	poin␈α␈ts,␈α
as␈α	in␈α	the␈α	illustrations␈α	of␈α	this␈α
man␈α␈ual.)␈α∩The␈↓ λM␈ε2drawdisplay␈↓ 
∀␈ε"command
␈β
&␈↓ αZ␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"instructs␈↓ ∧&␈ε"to␈α
display␈αthe␈α
curren␈α␈t␈αstate␈α
of␈αwhat␈α
has␈αbeen␈αdrawn,␈α
after
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈ery␈↓ α)␈ε2draw␈↓ ββ␈ε"command.
␈β∀␈↓ α␈ε"Before␈α∂typing␈α∞an␈α␈ything␈α∂else,␈α∂y␈α␈ou␈α∂migh␈α␈t␈α∞as␈α∂w␈α␈ell␈α∂mak␈α␈e␈α∞an␈α∂in␈α␈ten␈α␈tional␈α∞error,
␈β(␈↓ λ:␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β?␈↓ ↓H␈ε"so␈α
that␈α
y␈α␈ou␈α
w␈α␈on't␈α
be␈α
quite␈α
so␈α
frigh␈α␈tened␈α
later␈α
on␈α
when␈↓ 
π␈ε"will␈α
detect
␈βj␈↓ ↓H␈ε"unin␈α␈ten␈α␈tional␈αones.␈αTherefore␈αtype
␈β@␈↓ αX␈ε5e␈α␈rro␈α␈r;␈α∃a␈α␈not␈α␈her␈α∀err␈α␈or;
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"from␈α
no␈α␈w␈α
on␈α
the␈↓ β]␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ¬←␈ε"s␈α
at␈α
the␈α∞end␈α
of␈α
lines␈α
will␈α
usually␈α
not␈α
be␈α
men-
␈β
*␈↓ αA␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"tioned.␈↓ ∧∞␈ε"will␈αtry␈αto␈α
|gure␈αout␈αwhat␈α
y␈α␈ou␈αhad␈αin␈αmind␈α
by␈αtyping␈αthis
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"funn␈α␈y␈απline,␈α	but␈απpretty␈αλsoon␈απit␈αλwill␈αλdisco␈α␈v␈α␈er␈απthat␈αλthe␈απstatemen␈α␈t␈αλmak␈α␈es␈απno␈αλsense.␈α
The
␈β∞␈↓ λb␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ord␈α\␈ε5e␈α␈rro␈α␈r␈ε""␈αhas␈αno␈αspecial␈αmeaning␈αin␈αthe␈αlanguage,␈αso␈↓ 
.␈ε"assumes
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"that␈α	it␈α
is␈α	the␈α	name␈α
of␈α	one␈α
of␈α	y␈α␈our␈α
variables.␈αUnder␈α	this␈α
assumption,␈α
y␈α␈ou␈α	migh␈α␈t␈α	be
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"30␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α4
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"typing␈α	a␈α	statemen␈α␈t␈α
lik␈α␈e␈α	\␈ε5err␈α␈or␈α∀=␈α∃5␈ε"".␈αBut␈α	in␈α	fact␈α
y␈α␈ou␈α	typed␈α
\␈ε5;␈ε"␈α␈"␈αafter␈α	\␈ε5er␈α␈ror␈ε"␈α␈",
␈βαg␈↓ ¬6␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"and␈αthat␈α
doesn't␈αmak␈α␈e␈αsense␈αin␈↓ εw␈ε"'s␈αlanguage,␈αso␈αy␈α␈ou␈αget␈αthe␈α
follo␈α␈wing
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"response:
␈ββs␈↓ αX␈ε5!␈α∀+1␈α␈.000␈α␈0␈α∃e␈α␈rro␈α␈r␈α∃+␈α∀.00␈α␈00
␈β∧≡␈↓ αX␈ε5!␈α∀Mi␈α␈ssin␈α␈g␈α∃=␈α∀si␈α␈gn,␈α∀com␈α␈man␈α␈d␈α∃fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈β∧I␈↓ αX␈ε5(␈α␈*)␈α∀erro␈α␈r;
␈β∧t␈↓ ∧;␈ε5ano␈α␈ther␈α∀er␈α␈ror␈α␈;
␈β¬∨␈↓ αX␈ε5↑
␈β¬Z␈↓ ε`␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"The␈απ\␈ε5!␈α∀Mis␈α␈sin␈α␈g␈α∃=␈α∀sig␈α␈n␈ε""␈απtells␈απy␈α␈ou␈αλwhat␈↓ λ(␈ε"though␈α␈t␈απwas␈απwrong␈απabout
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈our␈αεstatemen␈α␈t;␈α	\␈ε5c␈α␈omm␈α␈and␈α∀flu␈α␈she␈α␈d␈ε""␈απmeans␈αεthat␈απthe␈απstatemen␈α␈t␈αεhas␈απbeen␈αεignored
␈βεG␈↓ ↓H␈ε"(the␈α
error␈α
didn't␈α
h␈α␈urt␈α
an␈α␈ything);␈αand␈α
\␈ε51.␈α␈000␈α∀er␈α␈ror␈α∀+␈α∃.␈α␈000␈α␈0␈ε""␈α
is␈α
the␈α
algebraic
␈βεr␈↓ ↓H␈ε"value␈α
of␈α
the␈α
incomplete␈α∞equation␈α
(in␈α
case␈α∞y␈α␈ou're␈α
in␈α␈terested).␈α⊂The␈α
\␈ε5(*␈α␈)␈ε""␈α
means
␈βππ␈↓ α_␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βπ≡␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ βf␈ε"was␈α∞reading␈α∞a␈α∞line␈α∞that␈α∞y␈α␈ou␈α∞typed␈α∞directly␈α∞at␈α∞y␈α␈our␈α∞terminal,
␈βπI␈↓ ↓H␈ε"not␈αa␈αline␈αfrom␈αsome␈α|le.␈αThe␈αposition␈αwhere␈αthe␈αerror␈αwas␈αdetected␈αis␈αindicated
␈βπt␈↓ ↓H␈ε"by␈α∂the␈α∂fact␈α∞that␈α∂\␈ε5anot␈α␈her␈α∀er␈α␈ror;␈ε"␈α␈"␈α⊃appears␈α∂on␈α∂a␈α∂separate␈α∞line←this␈α∂second
␈βλλ␈↓ ∧3␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε"line␈αcon␈α␈tains␈αtext␈αthat␈↓ ¬␈␈ε"hasn't␈αlook␈α␈ed␈αat␈αy␈α␈et.
␈βλ3␈↓ ∧L␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈βλJ␈↓ α␈ε"The␈α	\␈ε5↑␈ε""␈α
means␈α	that␈↓ ε↔␈ε"wan␈α␈ts␈α	y␈α␈ou␈α	to␈α
respond␈α	to␈α
the␈α	error␈α	message,
␈βλ←␈↓ ∧x␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈βλv␈↓ ↓H␈ε"but␈αsince␈αy␈α␈ou␈αhav␈α␈en't␈αused␈↓ εE␈ε"before␈αy␈α␈ou␈αdon't␈αkno␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αrespond.
␈β	!␈↓ ↓H␈ε"Type␈α\␈ε5?␈ε"␈α␈"␈α(no␈↓ β(␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ¬6␈ε"is␈αneeded)␈αand␈αit␈αwill␈αsay
␈β	i␈↓ ↓H␈ε5T␈α␈ype␈α∀<cr␈α␈>␈α∃t␈α␈o␈α∃c␈α␈onti␈α␈nue␈α␈,␈α∃<␈α␈lf>␈α∀to␈α∀fla␈α␈sh␈α∃e␈α␈rro␈α␈r␈α∃m␈α␈essa␈α␈ges␈α␈,
␈β
∀␈↓ α/␈ε51␈α∃o␈α␈r␈α∃.␈α␈..␈α∀or␈α∃9␈α∀to␈α∀ig␈α␈nore␈α∀th␈α␈e␈α∃n␈α␈ext␈α∀1␈α∃t␈α␈o␈α∃9␈α∀tok␈α␈ens␈α∀of␈α∀inp␈α␈ut,
␈β
?␈↓ α/␈ε5i␈α∃o␈α␈r␈α∃I␈α∀to␈α∀ins␈α␈ert␈α∀so␈α␈meth␈α␈ing␈α␈,␈α∃x␈α∀or␈α∀X␈α∃t␈α␈o␈α∃q␈α␈uit.
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε"OK,␈α
these␈α∞are␈α∞y␈α␈our␈α
options.␈α⊃If␈α∞y␈α␈ou␈α
type␈α∞a␈α∞digit␈α
(␈ε51␈ε"␈α∞to␈ε5␈α
9␈ε")␈α∞or␈α
the␈α∞letter␈α∞\␈ε5i␈ε"␈α␈",␈α∞y␈α␈ou
␈β%␈↓ ¬&␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β<␈↓ ↓H␈ε"get␈α
the␈α
ability␈α
to␈α
change␈α
what␈↓ εq␈ε"will␈α
read␈α
next;␈αbut␈α
these␈α
features␈α
are
␈βP␈↓ ∧e␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βg␈↓ ↓H␈ε"primarily␈α	of␈α
in␈α␈terest␈α	when␈↓ ε/␈ε"is␈α	processing␈α
input␈α	from␈α
a␈α	|le,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α	shall
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"discuss␈α
them␈α∞later.␈α⊃The␈α∞best␈α∞thing␈α
to␈α∞do␈α∞at␈α∞this␈α
poin␈α␈t␈α∞is␈α∞type␈↓ 	*␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i
␈β=␈↓ ↓H␈ε"(\␈ε5<␈α␈cr>␈ε"␈α␈"),␈α⊂since␈↓ βK␈ε6h␈ε"line-feed␈ε6i␈↓ ∧v␈ε"(\␈ε5<l␈α␈f>␈ε"")␈α∂w␈α␈ould␈α∂not␈α∂giv␈α␈e␈α∂y␈α␈ou␈α∂a␈α∂chance␈α∂to␈α∞stop␈α∂and
␈βi␈↓ ↓H␈ε"correct␈αan␈α␈y␈αfuture␈αerror␈αmessages.
␈β
∀␈↓ α␈ε"As␈αλy␈α␈ou␈απmigh␈α␈t␈αλhav␈α␈e␈αλguessed,␈αλanother␈αλerror␈αλwill␈απno␈α␈w␈αλbe␈αλdetected.␈α
But␈αλy␈α␈ou␈απprob-
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"ably␈α
didn't␈αguess␈αwhat␈α
kind␈αof␈αerror␈α
y␈α␈ou␈αw␈α␈ere␈αmaking,␈α
unless␈αy␈α␈ou'v␈α␈e␈αread␈α
Chap-
␈β
S␈↓ α"␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"ter␈αλ5.␈↓ βk␈ε"believ␈α␈es␈αλthat␈αλ\␈ε5ano␈α␈the␈α␈r␈α∃er␈α␈ror␈ε"␈α␈"␈αλis␈αλwrong␈αλbecause␈α	\␈ε5a␈α␈not␈α␈her␈ε"␈α␈"
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε"and␈απ\␈ε5er␈α␈ror␈ε"␈α␈"␈απare␈αλthe␈απnames␈απof␈απvariables,␈αλand␈απy␈α␈ou␈αλare␈απtrying␈απto␈απm␈α␈ultiply␈απthese␈απvari-
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"ables␈αλtogether␈αλ(as␈αλif␈απy␈α␈ou␈αλhad␈αλwritten␈αλ\␈ε5ano␈α␈ther␈α␈*er␈α␈ror␈ε"␈α␈"␈αλor␈αλ\␈ε5ano␈α␈ther␈α␈.er␈α␈ror␈ε"␈α␈"←
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓I␈↓ ¬h␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧V␈ε>Running␈↓ β␈ε"31
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα:␈↓ ε1␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈α	signs␈αλneed␈α	not␈α	be␈α	used␈α	in␈↓ π{␈ε"form␈α␈ulas).␈αBut␈α	it␈α	is␈α	illegal␈αλto
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiply␈αt␈α␈w␈α␈o␈αvariables␈αtogether␈αunless␈αat␈α
least␈αone␈αof␈αthem␈αhas␈αpreviously␈αbeen
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈αan␈αexplicit␈αvalue,␈αas␈αw␈α␈e␈αshall␈αsee␈αin␈αChapter␈α5,␈αhence␈αthe␈αerror␈αmessage␈αis
␈ββt␈↓ αX␈ε5!␈α∀+1␈α␈.000␈α∀an␈α␈oth␈α␈er␈α∃+␈α∀.0␈α␈000
␈β∧∨␈↓ αX␈ε5!␈α∀Un␈α␈defi␈α␈ned␈α∀fa␈α␈ctor␈α␈,␈α∃r␈α␈epl␈α␈aced␈α∀by␈α∀1.␈α␈0000␈α␈.
␈β∧J␈↓ αX␈ε5(␈α␈*)␈α∀erro␈α␈r;␈α∀ano␈α␈ther␈α∀er␈α␈ror␈α␈;
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε"(The␈αλunde|ned␈αλvalue␈α	of␈αλ\␈ε5an␈α␈oth␈α␈er␈ε""␈αλhas␈αλbeen␈α	replaced␈αλby␈αλ1.0000␈α	and␈αλthe␈αλmachine
␈β¬J␈↓ ↓H␈ε"plans␈α⊂to␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ue␈α∂evaluating␈α⊂the␈α⊂algebraic␈α⊂expression␈α⊂when␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂restart.)␈α Hit
␈β¬u␈↓ ↓H␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ βV␈ε"again.␈αAnd␈αagain.
␈βε ␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αy␈α␈ou␈αare␈αonce␈αmore␈αprompted␈αwith␈α\␈ε5*␈ε""␈αand␈αw␈α␈e␈αcan␈αproceed␈αto␈αdo␈αsome
␈βε5␈↓ α∂␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βεL␈↓ ↓H␈ε"real␈↓ βO␈ε"ing.␈α⊂For␈α
our␈α
|rst␈α
trick,␈α
let's␈α
try␈α
to␈α
produce␈α
the␈α
heart␈α
shape␈α
of
␈βεw␈↓ ↓H␈ε"Fig.␈↓ α⊃␈ε"2↑9␈↓ αG␈ε",␈αbut␈αwithout␈αusing␈αpoin␈α␈ts␈α4␈αand␈α6.␈αType␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfour␈αlines␈αone␈αat
␈βπ"␈↓ ↓H␈ε"a␈αtime␈α(without␈αerror,␈αplease):
␈βπm␈↓ αX␈ε5x␈α␈1=1␈α␈00;␈α∀y1=␈α␈162␈α␈;
␈βλ_␈↓ αX␈ε5x␈α␈2=2␈α␈00-x␈α␈8=1␈α␈40;␈α∀y2=␈α␈y8=␈α␈178␈α␈;
␈βλC␈↓ αX␈ε5x␈α␈3=2␈α␈00-x␈α␈7=1␈α␈85;␈α∀y3=␈α␈y7=␈α␈125␈α␈;
␈βλn␈↓ αX␈ε5x␈α␈5=1␈α␈00;␈α∀y5=␈α␈0;
␈β	C␈↓ ↓H␈ε"don't␈αforget␈αthe␈αsemicolons␈αafter␈αeach␈αequation.␈αNote␈αthat␈αsubscripted␈αvariables
␈β	n␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈↓ α∞␈ε(x␈↓ α<␈ε"are␈α∂typed␈α∂simply␈α∂as␈α∂\␈ε5x2␈ε"";␈α⊃this␈α∂w␈α␈orks␈α∂with␈↓ π{␈ε(w␈↓ λ⊗␈ε"-variables,␈↓ 	H␈ε(x␈↓ 	Z␈ε"-variables,␈↓ ␈ε(y␈↓  ␈ε"-
␈β	|␈↓ α≡␈ε%2
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"variables,␈αand␈αwith␈α
constructions␈αlik␈α␈e␈↓ ε≠␈ε2bot␈↓ ε↑␈ε(y␈↓ πλ␈ε"(which␈αw␈α␈ould␈αbe␈α
typed␈α\␈ε5bot␈α␈1y4␈ε"␈α␈").
␈β
'␈↓ εO␈ε%1␈↓ εo␈ε%4
␈β
.␈↓ εe␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
E␈↓ α␈ε"At␈αthis␈αpoin␈α␈t␈α
y␈α␈ou␈αmigh␈α␈t␈αwan␈α␈t␈α
to␈αsee␈αif␈↓ λ0␈ε"was␈αreally␈αsmart␈α
enough
␈β
p␈↓ ↓H␈ε"to␈α
|gure␈α
out␈αthe␈α
value␈α
of␈↓ ∧V␈ε(x␈↓ ∧␈␈ε"from␈αthe␈α
equation␈ε5␈α
200␈α␈-x8␈α␈=140␈ε"␈α␈.␈αSo␈α
type␈α
\␈ε5x8;␈ε""␈α
and
␈β
⎇␈↓ ∧f␈ε%8
␈β≠␈↓ ↓H␈ε"hit␈↓ α␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ∧α␈ε".␈αThis␈αproduces␈αan␈αerror␈αmessage␈αw␈α␈e'v␈α␈e␈αseen␈αbefore,␈αnamely
␈βi␈↓ αX␈ε5!␈α∀+6␈α␈0.00␈α␈00
␈β∀␈↓ αX␈ε5!␈α∀Mi␈α␈ssin␈α␈g␈α∃=␈α∀si␈α␈gn,␈α∀com␈α␈man␈α␈d␈α∃fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈β?␈↓ αX␈ε5(␈α␈*)␈α∀x8;
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε"but␈α⊂it␈α⊂also␈α⊂reports␈α⊂the␈α⊃value␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂incomplete␈α⊂equation␈↓ λh␈ε(x␈↓ 	π␈ε",␈α⊃namely␈α⊂60␈α⊂(as␈α⊂it
␈β
!␈↓ λx␈ε%8
␈β
(␈↓ ε∃␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"should␈α
be).␈α∩In␈α∞this␈α
way␈α∞y␈α␈ou␈α∞can␈α∞use␈↓ πc␈ε"as␈α∞a␈α∞handy␈α∞on-line␈α
computer
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"in␈αcase␈αy␈α␈ou'v␈α␈e␈αmisplaced␈αy␈α␈our␈αpock␈α␈et␈αcalculator;␈αtry␈αtyping␈α\␈ε5sq␈α␈rt␈α∀2;␈ε""␈αand␈αsee
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε"what␈α	happens.␈α∀(Whoops,␈α
type␈↓ ¬*␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ π6␈ε"|rst,␈α
to␈α
get␈α	out␈α
of␈α	error-reco␈α␈v␈α␈ery
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"mode.)
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"32␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α4
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ α␈ε"In␈α∂the␈α∂midst␈α∂of␈α∂all␈α∂these␈α∞digressions␈α∂about␈α∂errors,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∂been␈α∂trying␈α∞to
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"draw␈α	a␈α	heart␈α	shape;␈αand␈α	in␈α	fact,␈α
w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α	made␈α
progress,␈α	since␈α
the␈α	shape␈α	is␈α	almost
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"ready␈αto␈αbe␈αdrawn.␈αType
␈ββs␈↓ αX␈ε5w␈α␈0=3␈α␈;␈α∃vp␈α␈en;␈α∀9␈α∀draw␈α∀1{␈α␈50,␈α␈40}.␈α␈.2{␈α␈1,0␈α␈};
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈αshould␈α
no␈α␈w␈αsee␈α
a␈αblip␈α
on␈αy␈α␈our␈αscreen.␈α∞Believ␈α␈e␈αit␈α
or␈αnot,␈α
that's␈αthe␈α
arc␈αfrom
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α1␈αto␈αpoin␈α␈t␈α2.␈αThe␈αwhole␈αheart␈αwill␈αappear␈αafter␈αy␈α␈ou␈αtype␈αt␈α␈w␈α␈o␈αmore␈αlines,
␈β¬*␈↓ αX␈ε5d␈α␈raw␈α∀2{1␈α␈,0}␈α␈..3␈α␈{0,-␈α␈1}.␈α␈.5{␈α␈-50,␈α␈-36␈α␈};
␈β¬U␈↓ αX␈ε5d␈α␈raw␈α∀1{-␈α␈50,␈α␈40}␈α␈..8{␈α␈-1,␈α␈0}.␈α␈.7{0␈α␈,-1␈α␈}..␈α␈5{50␈α␈,-3␈α␈6};
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈t?
␈βεJ␈↓ α␈ε"Notice␈α
that␈α∞the␈α
k␈α␈ey␈α
poin␈α␈ts␈α∞(␈↓ ¬K␈ε(x␈↓ ¬g␈ε",␈↓ ¬w␈ε(y␈↓ ε∪␈ε")␈α
in␈α∞the␈α
heart␈α
|gure␈α∞don't␈α
appear␈α
on␈α
y␈α␈our
␈βεW␈↓ ¬[␈ε+i␈↓ ελ␈ε+i
␈βεu␈↓ ↓H␈ε"screen␈α(although␈αthey␈αwill␈αappear␈αin␈αy␈α␈our␈αproof␈αcopy).␈αThe␈αfollo␈α␈wing␈αstatemen␈α␈ts
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε"will␈α
draw␈αsome␈αthin␈α
auxiliary␈αlines␈αso␈α
that␈αy␈α␈ou␈αcan␈αiden␈α␈tify␈α
poin␈α␈ts␈α2,␈α3,␈α7,␈αand␈α
8:
␈βπj␈↓ αX␈ε5c␈α␈pen␈α␈;␈α∃1␈α∀dra␈α␈w␈α∃2␈α␈..5;␈α∀dr␈α␈aw␈α∀8..5␈α␈;␈α∃d␈α␈raw␈α∀3..␈α␈7;
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε"in␈α	general,␈α
some␈α	guidelines␈α
lik␈α␈e␈α	this␈α
can␈α	be␈α
incorporated␈α	in␈α␈to␈α
y␈α␈our␈α	drawings␈α	while
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈α∞are␈α∞designing␈α∞characters,␈α∂thereby␈α∞pro␈α␈viding␈α∂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞reference␈α∞poin␈α␈ts␈α∞as
␈β	
␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈απw␈α␈ork␈αλon␈αλline.␈αThe␈αλexample␈απalphabet␈αλroutines␈αλdescribed␈αλin␈αλAppendix␈αλE␈απinclude
␈β	5␈↓ ↓H␈ε"background␈αgrids␈αto␈αfacilitate␈αthe␈αdesign␈αprocess.
␈β	`␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αεthe␈απheart␈αεshape␈απis␈αεcomplete;␈αλtype␈απa␈αεperiod␈απ(\␈ε5.␈ε"␈α␈")␈αand␈αεhit␈↓ 	 ␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ "␈ε".
␈β
␈↓ ↓H␈ε"(The␈α	period␈α	could␈α
also␈α	hav␈α␈e␈α	been␈α
substituted␈α	for␈α	the␈α
semicolon␈α	at␈α	the␈α
end␈α	of␈α	y␈α␈our
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"previous␈α
statemen␈α␈t.)␈α∀At␈α
this␈α
poin␈α␈t←or␈α
perhaps␈α
w␈α␈e␈α
should␈α
say␈α
\at␈α	this␈α
period"←
␈β
K␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β
b␈↓ β∃␈ε"prepares␈α
the␈α
proof␈αcopy␈α
of␈α
what␈αhas␈α
been␈α
drawn,␈α
since␈↓ 
ε␈ε2proofmode
␈β
␈↓ ↓H␈ε"was␈α
requested;␈αthen␈αit␈α
gets␈αready␈α
for␈αanother␈α
drawing.␈αAll␈α
of␈αthe␈↓ 	=␈ε(x␈↓ 	P␈ε"-variables␈α
and
␈β8␈↓ ↓H␈ε(y␈↓ ↓\␈ε"-variables␈αthat␈α
hav␈α␈e␈α
been␈α
de|ned␈αso␈α
far␈α
no␈α␈w␈αbecome␈α
unde|ned␈α
again;␈α
but␈αthe
␈βd␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓b␈ε"-variables␈α(and␈αan␈α␈y␈αother␈αvariables,␈αif␈αthere␈αhad␈αbeen␈αan␈α␈y)␈αretain␈αtheir␈αvalues.
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"The␈α
picture␈αof␈α
a␈αheart␈α
remains␈αon␈α
y␈α␈our␈αscreen,␈α
but␈αit␈α
will␈αvanish␈α
when␈αthe␈α
result
␈β:␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αnext␈↓ βα␈ε2draw␈↓ β\␈ε"command␈αis␈αdisplay␈α␈ed.
␈βe␈↓ α␈ε"You␈αcan␈αtest␈αthe␈αfact␈αthat␈↓ ¬4␈ε(w␈↓ ¬f␈ε"is␈αstill␈αequal␈αto␈α3␈αby␈αtyping
␈βs␈↓ ¬L␈ε%0
␈β
/␈↓ αX␈ε5w␈α␈0=3␈α␈;
␈β
b␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β
y␈↓ β∀␈ε"will␈αrespond␈α\␈ε5Red␈α␈unda␈α␈nt␈α∀equ␈α␈atio␈α␈n.␈ε""␈αYou␈αcan␈αalso␈αtry␈αtyping
␈β∞B␈↓ αX␈ε55␈α␈w0=␈α␈6;
␈β⊂'

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓I␈↓ ¬h␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧V␈ε>Running␈↓ β␈ε"33
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα:␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βαQ␈↓ β∪␈ε"will␈αrespond␈α\␈ε5I␈α␈nco␈α␈nsis␈α␈ten␈α␈t␈α∃e␈α␈quat␈α␈ion␈α␈.␈ε""␈α↔(If␈αy␈α␈ou␈αreally␈αwan␈α␈t␈αto
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"change␈↓ α@␈ε(w␈↓ αr␈ε"y␈α␈ou␈αcan␈αsay,␈αfor␈αexample,
␈ββ
␈↓ αW␈ε%0
␈ββ<␈↓ αX␈ε5n␈α␈ew␈α∀w0;␈α∀5w0␈α␈=6;
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"then␈↓ α_␈ε(w␈↓ αH␈ε"will␈α
become␈α
1.2,␈αwhich␈α
will␈α
be␈α
rounded␈α
to␈α
1␈α
when␈α
pens␈α
are␈α
made.␈αThings
␈β∧	␈↓ α/␈ε%0
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈αthis␈αwill␈αbe␈αexplained␈αlater␈αin␈αmore␈αdetail.)
␈β∧;␈↓ εa␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∧R␈↓ α␈ε"At␈αthis␈αpoin␈α␈t␈α
y␈α␈ou␈αkno␈α␈w␈αenough␈αabout␈↓ λ,␈ε"to␈αtry␈αa␈αfew␈α
experimen␈α␈ts
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"on␈αλy␈α␈our␈α	o␈α␈wn.␈α
Perhaps␈α	y␈α␈ou␈αλw␈α␈ould␈α	lik␈α␈e␈αλto␈α	play␈αλwith␈α	it␈αλbefore␈α	|nishing␈αλthis␈α	run.␈α
Just
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"remem␈α␈ber␈αλto␈αλtype␈α	semicolons␈αλafter␈αλeach␈α	statemen␈α␈t,␈α	ex␈α␈cept␈αλthat␈α	the␈αλlast␈αλstatemen␈α␈t
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"of␈α
an␈α␈y␈α∞particular␈α
drawing␈α∞should␈α
be␈α∞follo␈α␈w␈α␈ed␈α∞by␈α
a␈α∞period.␈α⊂The␈α∞statemen␈α␈ts␈α
y␈α␈ou
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"kno␈α␈w␈αabout␈αso␈αfar␈αare␈α(i)␈αequations,␈α(ii)␈αpen␈αtype␈αspeci|cations,␈α(iii)␈↓ 	y␈ε2draw␈↓ 
G␈ε".
␈βε∪␈↓ εl␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βε*␈↓ α␈ε"When␈α
y␈α␈ou're␈α
all␈α
done,␈αtype␈α
\␈ε5en␈α␈d␈ε""␈α
and␈↓ λ7␈ε"should␈α
stop.␈αAfterwards
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"something␈α
lik␈α␈e␈α
\␈ε5.r␈α∀xgp␈α␈syn␈α␈;mf␈α␈put.␈α␈xgp␈α␈/L␈ε""␈α
will␈α
sho␈α␈w␈α
up␈αon␈α
y␈α␈our␈α
terminal.␈αHit
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ βV␈ε"and␈αy␈α␈our␈αproof␈αsheets␈αwill␈αbe␈αprin␈α␈ted␈αon␈αthe␈αX␈α␈GP␈αprin␈α␈ter.
␈βπ,␈↓ α␈ε"After␈α∞each␈α∞run␈α∂a␈α∞record␈α∞of␈α∞what␈α∞y␈α␈ou␈α∂typed␈α∞and␈α∞what␈α∞error␈α∞messages␈α∞w␈α␈ere
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"issued␈α
will␈α
appear␈α
on␈α
y␈α␈our␈α
|le␈ε5␈αe␈α␈rro␈α␈rs.␈α␈tmp␈ε";␈α
y␈α␈ou␈αcan␈α
read␈α
this␈α
|le␈α
to␈α
remind␈α
y␈α␈ou
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"about␈αan␈α␈y␈αerrors␈αthat␈αy␈α␈ou␈αw␈α␈ould␈αlik␈α␈e␈αto␈αav␈α␈oid␈αnext␈αtime.
␈βλ.␈↓ α␈ε"That␈α|nishes␈αExperimen␈α␈t␈αNum␈α␈ber␈αOne.␈αAre␈αy␈α␈ou␈αready␈αfor␈αNum␈α␈ber␈αTw␈α␈o?␈αIf
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"not,␈αno␈α␈w's␈αa␈αgood␈αtime␈αto␈αtak␈α␈e␈αa␈αbreak␈αand␈αput␈αthis␈αman␈α␈ual␈αdo␈α␈wn␈αfor␈αawhile.
␈β	⊂␈↓ α␈ε"Experimen␈α␈t␈αλNum␈α␈ber␈αλTw␈α␈o␈α	should␈αλbe␈αλfun,␈α	since␈αλy␈α␈ou␈αλwill␈α	learn␈αλ(a)␈αλho␈α␈w␈αλto␈αλcreate
␈β	;␈↓ ↓H␈ε"a␈α
new␈α
\fon␈α␈t␈αof␈α
type"␈α
that␈α
can␈αbe␈α
used␈α
in␈αprin␈α␈ting␈α
future␈α
documen␈α␈ts,␈αand␈α
(b)␈α
ho␈α␈w
␈β	O␈↓ α/␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β	f␈↓ ↓H␈ε"to␈αget␈↓ β|␈ε"to␈αread␈αfrom␈αa␈α|le␈αinstead␈αof␈αfrom␈αthe␈αterminal.␈αThe␈αfon␈α␈t␈αto
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"be␈αcreated␈αconsists␈αof␈αsev␈α␈en␈αcharacters,
␈β
:␈↓ αp␈ε<a␈↓ ∧∧␈ε<b␈↓ ¬∀␈ε<c␈↓ ε(␈ε<d␈↓ π8␈ε<e␈↓ λD␈ε<f
␈β
Q␈↓ α&␈ε"a␈α
=␈↓ β8␈ε"b␈α
=␈↓ ∧L␈ε"c␈α
=␈↓ ¬\␈ε"d␈α
=␈↓ εp␈ε"e␈α
=␈↓ λ␈ε"f␈α
=␈↓ 	␈ε"z␈α
=␈ε6␈α
h␈↓ 	`␈ε"blank␈↓ 
8␈ε6i␈ε",
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε"each␈α∞of␈α∂which␈α∂is␈α∂10␈α∞poin␈α␈ts␈α∂square␈α∂(in␈α∂prin␈α␈ters'␈α∞units).␈α∀We␈α∂shall␈α∂name␈α∂the␈α∞fon␈α␈t
␈β<␈↓ ↓H␈ε5D␈α␈RAG␈α␈ON␈ε",␈αsince␈αit␈α
can␈αbe␈αused␈α
to␈αtypeset␈αso-called␈α\dragon␈α
curv␈α␈es"␈α[cf.␈αC.␈αDavis
␈βg␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞D.␈α∞E.␈α∂Kn␈α␈uth,␈ε/␈α∞J.␈α∂Recreational␈α∞Math.␈ε2␈α∞3␈ε"␈α∂(1970),␈α∂66↑81,␈α∞133↑149;␈α⊂see␈α∞also␈α∞D.
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"E.␈α∞Kn␈α␈uth␈α∞and␈α∞J.␈α∞C.␈α∂Kn␈α␈uth,␈ε/␈α∞J.␈α∞Recreational␈α∂Math.␈ε2␈α∞6␈ε"␈α∞(1973),␈α∂165↑167].␈α∩For␈α∞ex-
␈β=␈↓ ↓H␈ε"ample,␈α∩the␈↓ β¬␈ε"T␈↓ β(␈ε"X␈↓ βS␈ε"program␈α⊃in␈α⊃Fig.␈↓ ¬f␈ε"4↑1␈↓ ε-␈ε"can␈α⊃be␈α⊃used␈α⊃with␈α⊃y␈α␈our␈α⊃fon␈α␈t␈α⊃to␈α⊃produce
␈βD␈↓ β_␈ε"E
␈βi␈↓ ↓H␈ε"Fig.␈↓ α∃␈ε"4↑2␈↓ αK␈ε",␈α∂which␈α∂is␈α∂a␈α∂dragon␈α∂curv␈α␈e␈α∂of␈α∂order␈α∂9.␈α∃Another␈α∂thing␈α∂y␈α␈ou␈α∂can␈α∞do␈α∂with
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε5D␈α␈RAG␈α␈ON␈ε"␈αis␈α
(i)␈αmak␈α␈e␈αa␈αborder␈αof␈α\␈ε5d␈α␈ada␈↓ ε≥␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εM␈ε5da\␈α␈par␈ε""␈α
at␈αthe␈αtop␈αof␈αa␈α
page;␈αthen␈α
(ii)
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"type␈α
an␈α␈y␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
pairs␈αof␈α
lines␈αhaving␈αthe␈α
form␈α\␈ε5cx␈α␈x␈↓ λ1␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λa␈ε5xb␈α␈\pa␈α␈r␈ε""␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈α
by
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"\␈ε5d␈α␈xx␈↓ α≡␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αN␈ε5x␈α␈a\pa␈α␈r␈ε"",␈α∞where␈α
the␈ε5␈α∞x␈ε"␈α␈'s␈α∞represen␈α␈t␈α
an␈α␈y␈α∞random␈α
mixture␈α∞of␈ε5␈α
e␈ε"'s␈α
and␈ε5␈α∞f␈ε"␈α␈'s,
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε"all␈αof␈α
these␈αlines␈αhaving␈αthe␈αsame␈αlength␈αas␈αthe␈α|rst␈αline;␈αthen␈α(iii)␈α|nish␈αup␈α
with
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"the␈αline␈α\␈ε5c␈α␈bcb␈↓ β4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βd␈ε5cb\p␈α␈ar␈ε"".␈α→(Try␈αit!)
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"34␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α4
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαH␈↓ ↓+␈ε?\:b␈α␈←d␈α␈rag␈α␈on[␈↓ ∧=␈ε?]␈↓ ε*␈ε?df␈α␈bzd␈α␈fe␈α␈ffb␈α␈cbz␈α␈dad␈α␈fb␈α␈cbz␈α␈dad␈α␈fb␈α␈cb\␈α␈par
␈βαJ␈↓ αx␈ε8h␈ε$your␈α
|le␈α	a␈α↓re␈α␈a␈ε8i
␈βαh␈↓ ↓+␈ε?\ba␈α␈se␈α␈lin␈α␈esk␈α␈ip␈α∩0p␈α␈t␈α∪\␈α␈lin␈α␈es␈α␈kip␈α∩0p␈α␈t␈↓ ε*␈ε?ce␈α␈ade␈α␈ee␈α␈fea␈α␈zzz␈α␈cef␈α␈ea␈α␈zzz␈α␈cef␈α␈ea␈α␈\pa␈α␈r
␈ββ	␈↓ ↓+␈ε?zzz␈α␈zz␈α␈daz␈α␈zda␈α␈\pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?df␈α␈efe␈α␈fe␈α␈fff␈α␈ada␈α␈def␈α␈ff␈α␈ada␈α␈def␈α␈ff␈α␈ada␈α␈da\␈α␈pa␈α␈r
␈ββ)␈↓ ↓+␈ε?zzz␈α␈zd␈α␈fbz␈α␈dfb␈α␈\pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?cb␈α␈cee␈α␈bc␈α␈eeb␈α␈cee␈α␈fee␈α␈ef␈α␈eee␈α␈bce␈α␈eb␈α␈cee␈α␈fea␈α␈\p␈α␈ar
␈ββI␈↓ ↓+␈ε?zzz␈α␈zc␈α␈ead␈α␈eea␈α␈da\␈α␈pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈dfb␈α␈zd␈α␈fbz␈α␈dff␈α␈fef␈α␈ff␈α␈ffb␈α␈zdf␈α␈bz␈α␈dff␈α␈bcb␈α␈\p␈α␈ar
␈ββj␈↓ ↓+␈ε?zzz␈α␈zd␈α␈feb␈α␈cbc␈α␈fb\␈α␈pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈cbz␈α␈zc␈α␈bzz␈α␈cbc␈α␈eef␈α␈ee␈α␈efa␈α␈zcb␈α␈zz␈α␈cbc␈α␈a\p␈α␈ar
␈β∧
␈↓ ↓+␈ε?zda␈α␈zc␈α␈fea␈α␈zzz␈α␈ca\␈α␈pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzz␈α␈zzd␈α␈fef␈α␈ef␈α␈efb␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzd␈α␈fa\␈α␈pa␈α␈r
␈β∧+␈↓ ↓+␈ε?dfb␈α␈zd␈α␈bcb␈α␈zzz␈α␈db\␈α␈pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzd␈α␈azc␈α␈fee␈α␈eb␈α␈cea␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzc␈α␈fea␈α␈\p␈α␈ar
␈β∧K␈↓ ↓+␈ε?cea␈α␈de␈α␈azz␈α␈zzc␈α␈b\p␈α␈ar␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zdf␈α␈bzd␈α␈fef␈α␈bz␈α␈dfb␈α␈zzz␈α␈zd␈α␈zzd␈α␈bcb␈α␈\p␈α␈ar
␈β∧k␈↓ ↓+␈ε?dfe␈α␈fe␈α␈fa\␈α␈par␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zce␈α␈ade␈α␈eef␈α␈az␈α␈cbz␈α␈zzz␈α␈zc␈α␈ade␈α␈a\p␈α␈ar
␈β¬␈↓ ↓+␈ε?cbc␈α␈ee␈α␈fea␈α␈\pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zdf␈α␈efe␈α␈fef␈α␈bz␈α␈zzz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈cbc␈α␈b\p␈α␈ar
␈β¬,␈↓ ↓+␈ε?zzd␈α␈ff␈α␈bcb␈α␈\pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zcb␈α␈cee␈α␈bce␈α␈a\␈α␈par
␈β¬M␈↓ ↓+␈ε?zzc␈α␈bc␈α␈a\p␈α␈ar␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzz␈α␈dfb␈α␈zdf␈α␈b\␈α␈par
␈β¬m␈↓ ↓+␈ε?zzz␈α␈zd␈α␈fad␈α␈ada␈α␈zzz␈α␈zd␈α␈ada␈α␈zzz␈α␈zd␈α␈ada␈α␈\pa␈α␈r␈↓ ε*␈ε?zz␈α␈zzz␈α␈zz␈α␈zzz␈α␈cbz␈α␈zcb␈α␈\p␈α␈ar
␈βε
␈↓ ↓+␈ε?zda␈α␈zc␈α␈fee␈α␈efe␈α␈azz␈α␈zc␈α␈efe␈α␈azz␈α␈zc␈α␈efe␈α␈a\p␈α␈ar␈↓ ε*␈ε?\v␈α␈fil␈α␈l\␈α␈end
␈βεG␈↓ α/␈ε3Fig.␈α4↑␈α␈1.␈ε#␈α~A␈↓ βk␈ε#T␈↓ ∧␈ε#X␈↓ ∧/␈ε#prog␈α␈ram␈αth␈α␈at␈αwil␈α↓l␈αtyp␈α␈eset␈αth␈α␈e␈αfamo␈α␈us␈α\d␈α␈rago␈α␈n␈αcu␈α␈rv␈α␈e."
␈βεN␈↓ β⎇␈ε#E
␈βπ0␈↓ α␈ε"In␈α⊂order␈α⊃to␈α⊂get␈α⊂ready␈α⊃for␈α⊂Experimen␈α␈t␈α⊃Num␈α␈ber␈α⊂Tw␈α␈o,␈α⊃prepare␈α⊃a␈α⊂|le␈α⊂called
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε5D␈α␈RAG␈α␈ON.M␈α␈F␈ε"␈αthat␈αcon␈α␈tains␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αdata:
␈βλ?␈↓ ↓d␈ε?"Th␈α␈e␈α∪D␈α␈ra␈α␈gon␈α∩Fo␈α␈nt,␈α∩c␈α␈rea␈α␈ted␈α∩b␈α␈y␈ε7␈α∪h␈↓ ε␈ε#y␈α}our␈αn␈α␈am␈α␈e␈↓ π&␈ε7i␈ε?";
␈βλ`␈↓ ↓d␈ε?fnt␈α␈mod␈α␈e;␈α∩%␈α∩thi␈α␈s␈α∪c␈α␈au␈α␈ses␈α∩a␈α∩fo␈α␈nt␈α∩for␈α∩t␈α␈he␈α∩XGP␈α∩to␈α∩b␈α␈e␈α∪p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed
␈β	␈↓ ↓d␈ε?tfx␈α␈mod␈α␈e;␈α∩%␈α∩thi␈α␈s␈α∪c␈α␈au␈α␈ses␈α∩a␈α∩TE␈α␈X␈α∪i␈α␈nfo␈α␈rm␈α␈ati␈α␈on␈α∩fil␈α␈e␈α∩to␈α∩be␈α∩pr␈α␈odu␈α␈ced
␈β	!␈↓ ↓d␈ε?tit␈α␈let␈α␈ra␈α␈ce;␈α∩%␈α∩thi␈α␈s␈α∩pri␈α␈nts␈α∩o␈α␈ut␈α∩quo␈α␈te␈α␈d␈α∪s␈α␈tri␈α␈ngs␈α∩w␈α␈hen␈α∩th␈α␈ey␈α∩oc␈α␈cur
␈β	A␈↓ ↓d␈ε?poi␈α␈nts␈α␈=1␈α␈0;␈α∩%␈α∪c␈α␈han␈α␈ge␈α∩th␈α␈is␈α∩if␈α∩yo␈α␈u␈α∪w␈α␈an␈α␈t␈α∪a␈α∩di␈α␈ffe␈α␈re␈α␈nt␈α∩siz␈α␈e␈α∩fon␈α␈t
␈β	a␈↓ ↓d␈ε?pix␈α␈els␈α␈=3␈α␈.6;␈α∩%␈α∩ras␈α␈te␈α␈r␈α∪u␈α␈nit␈α␈s␈α∩per␈α∩po␈α␈in␈α␈t␈α∪f␈α␈or␈α∩TEX␈α∩o␈α␈n␈α∪t␈α␈he␈α∩XG␈α␈P
␈β
α␈↓ ↓d␈ε?w0=␈α␈pix␈α␈el␈α␈s+1␈α␈;␈α∪%␈α∩ha␈α␈ir␈α␈lin␈α␈e␈α∪s␈α␈iz␈α␈e␈α∪i␈α␈s␈α∪o␈α␈ne␈α∩po␈α␈int␈α∩pl␈α␈us␈α∩on␈α␈e␈α∪r␈α␈as␈α␈ter␈α∩un␈α␈it
␈β
"␈↓ ↓d␈ε?cpe␈α␈n;␈α∩ma␈α␈xht␈α∩to␈α␈p0␈α∩po␈α␈int␈α␈s.p␈α␈ix␈α␈els␈α␈.␈α∪%␈α∩t␈α␈all␈α␈est␈α∩ou␈α␈tp␈α␈ut␈α∩in␈α∩ra␈α␈ste␈α␈r␈α∪u␈α␈nit␈α␈s
␈β
J␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈β
j␈↓ ↓d␈ε?"a:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩W␈α∩to␈α∩S";
␈β␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈a;
␈β+␈↓ ↓d␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∩4{1␈α␈,0}␈α␈..3␈α␈{0␈α␈,-1␈α␈}.
␈βS␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈βs␈↓ ↓d␈ε?"b:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩W␈α∩to␈α∩N";
␈β∪␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈b;
␈β4␈↓ ↓d␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∩4{1␈α␈,0}␈α␈..1␈α␈{0␈α␈,1}␈α␈.
␈β[␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈β|␈↓ ↓d␈ε?"c:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩N␈α∩to␈α∩E";
␈β
≤␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈c;
␈β
=␈↓ ↓d␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∩1{0␈α␈,-1␈α␈}..␈α␈2{␈α␈1,0␈α␈}.
␈β
d␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈β∞¬␈↓ ↓d␈ε?"d:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩S␈α∩to␈α∩E";
␈β∞%␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈d;
␈β∞E␈↓ ↓d␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∩3{0␈α␈,1}␈α␈..2␈α␈{1␈α␈,0}␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓I␈↓ ¬h␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧V␈ε>Running␈↓ β␈ε"35
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈β¬_␈↓ λ ␈ε3F␈α↓ig.␈α4↑2␈α␈.␈ε#␈α≥Dr␈α␈ago␈α␈n␈αcurv␈α}e␈α
o␈α␈f
␈β¬?␈↓ λ ␈ε#orde␈α␈r␈α	9,␈α	typ␈α␈eset␈α	b␈α␈y␈αλF␈α↓ig␈α␈.␈↓ 
z␈ε#4↑1
␈β¬g␈↓ λ ␈ε#(␈α↓a␈α␈nd␈α
redu␈α␈ced␈α
in␈αsize).
␈βπq␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈βλ∩␈↓ ↓d␈ε?"e:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩W␈α∩to␈α∩S␈α∪a␈α␈nd␈α∩fr␈α␈om␈α∩N␈α∩to␈α∩E";
␈βλ2␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈e;
␈βλS␈↓ ↓d␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∩4{1␈α␈,0}␈α␈..3␈α␈{0␈α␈,-1␈α␈};␈α∩dr␈α␈aw␈α∩1{0␈α␈,-␈α␈1}.␈α␈.2{␈α␈1,0␈α␈}.
␈βλz␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈β	≠␈↓ ↓d␈ε?"f:␈α∩Fr␈α␈om␈α∩W␈α∩to␈α∩N␈α∪a␈α␈nd␈α∩fr␈α␈om␈α∩S␈α∩to␈α∩E";
␈β	;␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈f;
␈β	←␈↓ ↓d␈ε↓x
␈β	c␈↓ ↓v␈ε3E␈α↓x␈α}ercise␈α4.1␈α␈:␈ε#␈αFigu␈α␈re␈αou␈α␈t␈αwhat␈αb␈α␈elon␈α␈gs␈αhe␈α␈re␈↓ εn␈ε#.␈αε.␈αε.
␈β

␈↓ ↓X␈ε7h␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α
ne␈α␈w␈α|␈α␈le␈αpa␈α␈ge␈ε7i
␈β
+␈↓ ↓d␈ε?"z:␈α∩Bl␈α␈an␈α␈k";
␈β
K␈↓ ↓d␈ε?inp␈α␈ut␈α∩dr␈α␈ag;␈α∩ch␈α␈arc␈α␈od␈α␈e␈α∪␈
␈α␈z.
␈β␈↓ λ?␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β#␈↓ ↓H␈ε"(Material␈α
beginning␈α∞with␈α∞the␈α
sym␈α␈bol␈α∞\␈ε5%␈ε""␈α∞is␈α
ignored␈α∞by␈↓ 	␈␈ε",␈α∞up␈α∞to␈α
the
␈βN␈↓ ↓H␈ε"end␈αof␈αa␈αline;␈αsuch␈αcommen␈α␈ts␈αoften␈αpro␈α␈vide␈αuseful␈αdocumen␈α␈tation.)␈α_Let␈αus␈αhope
␈βy␈↓ ↓H␈ε"that␈αy␈α␈ou␈αdon't␈αthink␈αpreparing␈α
this␈αlongish␈α|le␈αwas␈αa␈α
drag,␈αbecause␈αthere␈αis␈αy␈α␈et
␈β%␈↓ ↓H␈ε"one␈α
other␈α
|le␈α
that␈α
needs␈αto␈α
be␈α
created,␈αa␈α
shortish␈α
one␈α
called␈ε5␈α
DRA␈α␈G.MF␈ε"␈α	con␈α␈taining
␈βP␈↓ ↓H␈ε"the␈αfollo␈α␈wing:
␈β
β␈↓ αA␈ε?%␈α∩C␈α␈omm␈α␈on␈α∩rou␈α␈ti␈α␈ne␈α∩for␈α∩t␈α␈he␈α∩DRA␈α␈GON␈α∩c␈α␈har␈α␈act␈α␈er␈α␈s
␈β
#␈↓ αA␈ε?y␈α␈1=␈α␈x2=␈α␈poi␈α␈nts␈α␈.p␈α␈ixe␈α␈ls;
␈β
D␈↓ αA␈ε?x␈α␈1=␈α␈x3=␈α␈y2=␈α␈y4=␈α␈1/␈α␈2␈α∪y␈α␈1;
␈β
d␈↓ αA␈ε?y␈α␈3=␈α␈x4=␈α␈0;
␈β∞¬␈↓ αA␈ε?e␈α␈rr␈α␈or;␈α∩2.␈α␈0␈α∪i␈α␈nt␈α␈ent␈α␈ion␈α␈al␈α∩er␈α␈ror␈α␈s␈α∪t␈α␈o␈α∩be␈α∩rem␈α␈ov␈α␈ed␈α∩lat␈α␈er␈α␈;
␈β∞%␈↓ αA␈ε?c␈α␈pe␈α␈n;
␈β∞E␈↓ αA␈ε?c␈α␈ha␈α␈rht␈α∩po␈α␈int␈α␈s;␈α∩ch␈α␈arw␈α␈d␈α∩poi␈α␈nts␈α␈;␈α∪c␈α␈ha␈α␈rdp␈α∩0;␈α∩c␈α␈har␈α␈dw␈α∩ro␈α␈und␈α∩x2␈α␈;
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"36␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α4
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα;␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βαR␈↓ β→␈ε"is␈α⊂ask␈α␈ed␈α⊃to␈α⊃read␈α⊂this␈α⊃|le␈α⊂sev␈α␈en␈α⊃times␈α⊂by␈α⊃the␈α⊂commands␈α⊃\␈ε5in␈α␈put
␈βα}␈↓ ↓H␈ε5d␈α␈rag␈ε"␈α␈"␈αin␈ε5␈αD␈α␈RAG␈α␈ON.M␈α␈F␈ε",␈αsince␈ε5␈αDRA␈α␈G.M␈α␈F␈ε"␈αcon␈α␈tains␈αinformation␈αthat␈αis␈αuseful␈αfor␈αall
␈ββ)␈↓ ↓H␈ε"sev␈α␈en␈αcharacters.␈αThe␈ε5␈αch␈α␈arh␈α␈t␈ε",␈ε5␈αch␈α␈arw␈α␈d␈ε",␈αand␈ε5␈αchar␈α␈dp␈ε"␈αcommands␈αon␈αthe␈αbottom
␈ββT␈↓ ↓H␈ε"line␈α	are␈α	for␈↓ αw␈ε"T␈↓ β≠␈ε"X␈↓ β5␈ε"'s␈α	bene|t,␈α
telling␈α	the␈α
character's␈α	heigh␈α␈t,␈α
width,␈α
and␈α	depth␈α	in␈α	units
␈ββ[␈↓ β
␈ε"E
␈ββ␈␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂poin␈α␈ts.␈α_The␈ε5␈α⊂c␈α␈har␈α␈dw␈ε"␈α⊂command␈α∂giv␈α␈es␈α⊂the␈α⊂character's␈α⊂appro␈α␈ximate␈α⊂width␈α∂in
␈β∧*␈↓ ↓H␈ε"raster␈α
units.␈α∩It␈α∞is␈α∞more␈α∞in␈α␈teresting␈α
to␈α∞draw␈α∞the␈α∞characters␈α∞than␈α∞to␈α∞supply␈α
such
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε"information,␈αbut␈αthe␈αinformation␈αis␈αnecessary␈αwhen␈αa␈αfon␈α␈t␈αis␈αbeing␈αmade.
␈β¬↓␈↓ α␈ε"OK,␈α∂no␈α␈w␈α∂y␈α␈ou're␈α∂ready␈α∂for␈α∂the␈α∂real␈α∂action␈α∂to␈α∂tak␈α␈e␈α∂place.␈α∃Type␈α∂\␈ε5r␈α∀mf␈ε"␈α␈"␈α∂to
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε"the␈α
operating␈α
system;␈α∞and␈α
when␈α
y␈α␈ou␈α∞get␈α
the␈α
\␈ε5*␈ε"",␈α
type␈α
\␈ε5inp␈α␈ut␈α∃d␈α␈rag␈α␈on␈ε"".␈α∂The
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αdata␈αshould␈αsoon␈αappear␈αon␈αy␈α␈our␈αscreen:
␈βε"␈↓ ↓t␈ε5(␈α␈drag␈α␈on.␈α␈mf␈α∀1␈α∃2␈α∀3
␈βεM␈↓ ↓t␈ε5a␈α␈:␈α∃Fr␈α␈om␈α∀W␈α∃t␈α␈o␈α∃S.␈α␈..␈α∀(dr␈α␈ag.m␈α␈f␈α∃1␈α∀2
␈βεy␈↓ ↓t␈ε5!␈α∀+␈α∃1␈α␈.00␈α␈0␈α∃e␈α␈rror␈α∀+␈α∀.00␈α␈00
␈βπ$␈↓ ↓t␈ε5!␈α∀Mis␈α␈sin␈α␈g␈α∃=␈α∀sig␈α␈n,␈α∀com␈α␈mand␈α∀fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈βπO␈↓ ↓t␈ε5p␈α␈.2,l␈α␈.5␈α∀err␈α␈or;
␈βπz␈↓ ∧*␈ε52.0␈α∀in␈α␈tent␈α␈ion␈α␈al␈α∀erro␈α␈rs␈α∀to␈α∀be␈α∃r␈α␈emo␈α␈ved␈α∀lat␈α␈er;
␈βλ%␈↓ ↓t␈ε5↑
␈βλy␈↓ ↓H␈ε"(If␈α
something␈α
else␈α
sho␈α␈ws␈α
up,␈α
y␈α␈ou␈α
migh␈α␈t␈α
hav␈α␈e␈α
forgotten␈α
a␈α
semicolon␈α
or␈α
made␈α
some
␈β	$␈↓ ↓H␈ε"other␈α
typing␈α
mistak␈α␈e.␈α⊂Chapter␈α
10␈α
con␈α␈tains␈α
a␈α
complete␈α∞list␈α
of␈α
error␈α
messages␈α
in
␈β	8␈↓ β≥␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β	O␈↓ ↓H␈ε"case␈α
y␈α␈ou␈α|nd␈↓ ∧↑␈ε"'s␈αremarks␈αinscrutable.)␈α⊗The␈αscreen␈αdata␈αsho␈α␈wn␈α
abo␈α␈v␈α␈e
␈β	d␈↓ β↓␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β	{␈↓ ↓H␈ε"means␈αthat␈↓ ∧M␈ε"has␈αbegun␈αto␈αread␈α|le␈ε5␈αD␈α␈RAG␈α␈ON.M␈α␈F␈ε";␈αin␈αfact␈αit␈αhas␈α
gotten
␈β
&␈↓ ↓H␈ε"up␈α∂to␈α∂page␈α∂3␈α∂and␈α∂passed␈α∂the␈α⊂quoted␈α∂statemen␈α␈t␈ε5␈α∂"␈α␈a:␈α∃F␈α␈rom␈α∀W␈α∀to␈α∃S␈α␈"␈ε".␈α∃Then␈α∂it
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε"began␈αto␈αread␈ε5␈αD␈α␈RAG␈α␈.MF␈ε",␈αwhere␈αan␈αerror␈αwas␈αencoun␈α␈tered␈αon␈αpage␈α2,␈αline␈α5.*
␈β
|␈↓ α␈ε"We␈α∞inserted␈α∞an␈α∞in␈α␈ten␈α␈tional␈α∞error␈α
in␈α␈to␈α∞|le␈ε5␈α∞DRA␈α␈G.M␈α␈F␈ε"␈α∞in␈α∞order␈α∞to␈α∞get␈α∞used␈α
to
␈β⊂␈↓ ∧%␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β'␈↓ ↓H␈ε"error␈αcorrection␈αwhen␈↓ ¬r␈ε"is␈αreading␈αfrom␈αa␈α|le.␈αType␈α\␈ε53␈ε""␈αno␈α␈w,␈αjust␈αto
␈βS␈↓ ↓H␈ε"see␈α
what␈α∞happens.␈α⊃When␈α∞y␈α␈ou␈α
type␈α∞a␈α∞digit␈α
from␈α∞1␈α∞to␈α
9␈α∞in␈α
response␈α∞to␈α∞an␈α
error,
␈βg␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β}␈↓ β⊗␈ε"will␈α
delete␈α
this␈α
man␈α␈y␈α
so-called␈α
tok␈α␈ens␈α
from␈α∞the␈α
input.␈α∂In␈α
this␈α
case
␈β)␈↓ ↓H␈ε"the␈αresult␈αafter␈αdeleting␈αthree␈αtok␈α␈ens␈αis
␈βq␈↓ ↓t␈ε5p␈α␈.2,l␈α␈.5␈α∀err␈α␈or;␈α∀2.0␈α∀in␈α␈tent␈α␈ion␈α␈al␈α∀erro␈α␈rs
␈β
≤␈↓ λε␈ε5to␈α∀be␈α∃r␈α␈emo␈α␈ved␈α∀lat␈α␈er;
␈β
G␈↓ ↓t␈ε5↑
␈β∞∃␈↓ ↓H␈∧∞∃↓Hα↓X
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε$*Page␈α
n␈α␈um␈α␈be␈α␈rs␈αare␈α
one␈α
hi␈α␈g␈α↓he␈α␈r␈α
o␈α↓n␈α
Stanfo␈α↓r␈α␈d's␈α
syste␈α␈m␈α
than␈αt␈α␈hey␈α
mi␈α␈g␈α↓h␈α␈t␈α
be␈α
at␈α
o␈α↓t␈α␈her␈α
place␈α␈s,␈α
si␈α␈nce
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε$the␈α	system␈α	edi␈α␈to␈α↓r␈α
suppl␈α␈ie␈α␈s␈α
a␈αdi␈α␈rec␈α␈to␈α↓ry␈α
page␈α
call␈α␈ed␈α
page␈α
1␈α↓.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓I␈↓ ¬h␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧V␈ε>Running␈↓ β␈ε"37
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε"so␈αεy␈α␈ou␈αεcan␈απsee␈αεthat␈αεthe␈απconstan␈α␈t␈αε\␈ε52.0␈ε"␈α␈"␈απis␈αεconsidered␈αεto␈απbe␈αεa␈αεsingle␈απtok␈α␈en␈αε(not␈αεthree),
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"and␈α⊂that␈α⊃\␈ε5i␈α␈nte␈α␈ntio␈α␈nal␈ε"␈α␈"␈α⊃and␈α⊂\␈ε5err␈α␈ors␈ε""␈α⊂w␈α␈ere␈α⊂the␈α⊃other␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊃tok␈α␈ens␈α⊂deleted.
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε"Generally␈αλspeaking,␈α	a␈αλtok␈α␈en␈αλis␈αλa␈αλvariable␈αλname␈α	or␈αλa␈αλconstan␈α␈t␈αλor␈αλa␈αλspecial␈αλcharacter
␈ββS␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈α
a␈α
semicolon.␈α~(Furthermore␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
dots␈α
in␈α
a␈α
command␈α
lik␈α␈e␈α
\␈ε5dra␈α␈w␈α∃1␈α␈..2␈ε"␈α␈"
␈ββ}␈↓ ↓H␈ε"coun␈α␈t␈αas␈αa␈αsingle␈αtok␈α␈en.)
␈β∧∩␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β∧)␈↓ α␈ε"At␈αthis␈αpoin␈α␈t␈αit␈αw␈α␈ould␈αbe␈αa␈αgood␈αidea␈αfor␈αy␈α␈ou␈αto␈αtype␈α\␈ε5e␈ε"".␈αThis␈αtells␈↓  ␈ε"-
␈β∧>␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈β∧U␈↓ α5␈ε"that␈α∞y␈α␈ou␈α∂wish␈α∞to␈α∞terminate␈α∞the␈α∞presen␈α␈t␈α∞run␈α∞and␈α∞that␈α∞y␈α␈ou␈α∞wish␈α∞to␈α∞mak␈α␈e
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"a␈α
correction␈α
at␈α∞the␈α
curren␈α␈t␈α
place␈α∞in␈α
the␈α
curren␈α␈t␈α∞|le.␈α∂Soon␈α∞after␈α
typing␈α
\␈ε5e␈ε""␈α
y␈α␈ou
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε"will␈α
|nd␈α
that␈α
the␈α
system␈α
editor␈α
has␈α
started,␈α
and␈α
the␈α
cursor␈α
sho␈α␈ws␈α
that␈α
y␈α␈ou␈α
are
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε"positioned␈αat␈αpage␈α2,␈αline␈α5␈αof␈ε5␈αD␈α␈RAG␈α␈.MF␈ε",␈αthe␈αplace␈αwhere␈αthe␈α
error␈αwas␈αdetected.
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε"Delete␈αthis␈αo{ending␈αline␈αfrom␈αthe␈α|le␈αand␈αexit␈αfrom␈αthe␈αeditor.
␈βε-␈↓ α␈ε"Are␈α
y␈α␈ou␈α	con␈α␈tin␈α␈uing␈α
to␈α	follo␈α␈w␈α
these␈α	instructions␈α
faithfully?␈αPlease␈α	stick␈α
to␈α	the
␈βεX␈↓ ↓H␈ε"job␈α
just␈α
a␈α
little␈α
longer,␈α
then␈α
y␈α␈ou'll␈α
be␈α
on␈α
y␈α␈our␈α
o␈α␈wn.␈α∂The␈α
next␈αthing␈α
y␈α␈ou␈α
should
␈βπβ␈↓ ↓H␈ε"do␈αis␈αtype␈α\␈ε5r␈α∀mf␈ε"␈α␈"␈αagain;␈α
then␈αtype
␈βπW␈↓ ↓l␈ε5i␈α␈npu␈α␈t␈α∃mu␈α␈mbl␈α␈e
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε"(and␈↓ α≤␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ∧≡␈ε").␈α∃This␈α∂will␈α∂produce␈α∂y␈α␈et␈α∞another␈α∂error␈α∂message,␈α⊂but␈α∂it␈α∞is
␈βλU␈↓ ↓H␈ε"useful␈α
for␈αy␈α␈ou␈αto␈α
learn␈αho␈α␈w␈αto␈α
reco␈α␈v␈α␈er␈αfrom␈αthe␈α
wrong-|le-name␈αerror␈αsince␈α
some
␈βλj␈↓ ∧-␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε"people␈α
don't␈α∞feel␈α∞that␈↓ ¬n␈ε"'s␈α
reco␈α␈v␈α␈ery␈α∞procedure␈α∞is␈α∞completely␈α
obvious.
␈β	,␈↓ ↓H␈ε"What␈αy␈α␈ou␈αshould␈αdo␈αin␈αresponse␈αto
␈β	w␈↓ ↓l␈ε5!␈α∀Lo␈α␈okup␈α∀fa␈α␈ile␈α␈d␈α∃on␈α∀fi␈α␈le␈α∀mumb␈α␈le.␈α␈mf.
␈β
"␈↓ ↓l␈ε5(␈α␈*)␈α∀inpu␈α␈t␈α∃m␈α␈umb␈α␈le
␈β
M␈↓ ↓l␈ε5↑
␈β
␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β!␈↓ ↓H␈ε"is␈αλ(a)␈αλtype␈αλ\␈ε5i␈ε"␈α␈"␈αλ(meaning␈αλthat␈α	y␈α␈ou␈αλwan␈α␈t␈αλto␈αλinsert␈αλsomething␈αλin␈α␈to␈αλwhat
␈βL␈↓ ↓H␈ε"is␈αreading),␈αthen␈α(b)␈αtype␈α\␈ε5dr␈α␈ago␈α␈n␈ε""␈α(the␈αcorrect␈α|le␈αname).␈αThis␈αough␈α␈t␈αto␈αw␈α␈ork.
␈βw␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈απy␈α␈ou␈απmigh␈α␈t␈απthink␈απev␈α␈erything␈απwill␈απgo␈απsmoothly,␈αλbut␈απthe␈απauthor␈αεhas␈απplanned
␈β"␈↓ ↓H␈ε"one␈αmore␈αinstructiv␈α␈e␈αerror␈αfor␈αy␈α␈ou.␈αThe␈αmessage␈αthat␈αy␈α␈ou␈αget␈αis
␈βm␈↓ ↓l␈ε5!␈α∀In␈α␈put␈α∀pag␈α␈e␈α∃e␈α␈nded␈α∀wh␈α␈ile␈α∀sca␈α␈nni␈α␈ng␈α∀"a:␈α∀Fro␈α␈m␈α∃W␈α∀to␈α∀S".
␈β
_␈↓ ↓l␈ε5p␈α␈.2,␈α␈l.6
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"Actually␈α
this␈αisn't␈αan␈αerror,␈αit's␈αjust␈αa␈α
warning␈αthat␈αan␈αerror␈αmay␈αhav␈α␈e␈α
occurred,
␈β∞␈↓ ∧"␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"since␈αnormal␈αusage␈αof␈↓ ¬m␈ε"will␈αnot␈αend␈αa␈α|le␈αin␈αthe␈αmiddle␈αof␈αprocessing
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"a␈α
character.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈αused␈α
the␈α
short␈ε5␈α
DRA␈α␈G␈ε"␈α
|le␈α
in␈αthis␈α
example␈α
to␈α
av␈α␈oid␈α
repeating
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"38␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α4
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"four␈αlines␈α
of␈αcode␈α
in␈αsev␈α␈en␈α
places,␈αbut␈α
in␈αpractice␈α
it␈αis␈α
better␈αto␈α
accomplish␈αthis
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"by␈α
using␈αsubroutines␈α
(which␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈en't␈α
learned␈αy␈α␈et)␈α
or␈αby␈α
copying␈αthe␈α
four␈α
lines
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈to␈α	the␈ε5␈αλDRAG␈α␈ON␈ε"␈α	|le␈αλsev␈α␈en␈α	times␈α	using␈α	the␈α	system␈α	text␈α	editor.␈αSince␈α	the␈α	|le␈αλended
␈ββ>␈↓ εW␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"before␈ε5␈α	"a:␈α∀Fro␈α␈m␈α∃W␈α∀to␈α∀S"␈ε"␈α	was␈α
|nished,␈↓ λ!␈ε"has␈α
issued␈α
a␈α
warning␈α	that
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"an␈α∞error␈α∂migh␈α␈t␈α∞hav␈α␈e␈α∂occurred.␈α∀To␈α∂reco␈α␈v␈α␈er,␈α∂y␈α␈ou␈α∞can␈α∂either␈α∂(a)␈α∞hit␈α∂the␈α∞line-feed
␈β∧∀␈↓ βV␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"k␈α␈ey␈α
no␈α␈w␈α(so␈α
that␈↓ ¬!␈ε"wan't␈αstop␈α
on␈αfuture␈αerrors␈α
the␈αnext␈α
six␈αtimes␈α
this
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε"happens),␈α
or␈α∞(b)␈α
type␈α∞\␈ε5i␈ε""␈α
and␈α
then␈α∞type␈α
\␈ε5no␈α∀page␈α␈war␈α␈nin␈α␈g;␈ε""␈α∞this␈α
suppresses
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε"the␈α
warning␈αmessages␈αat␈αthe␈αend␈α
of␈α|le␈αpages.␈α⊗(If␈αa␈ε5␈αn␈α␈o␈αpa␈α␈gew␈α␈arni␈α␈ng␈ε"␈α
command
␈β¬⊗␈↓ 	ε␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε"had␈αλbeen␈αλincluded␈αλnear␈α	the␈αλbeginning␈αλof␈α	y␈α␈our␈ε5␈αλDR␈α␈AGO␈α␈N.M␈α␈F␈ε"␈αλ|le,␈↓ 
O␈ε"w␈α␈ould
␈β¬X␈↓ ↓H␈ε"not␈αhav␈α␈e␈αstopped␈αto␈αgiv␈α␈e␈αy␈α␈ou␈αthis␈αmessage␈αin␈αthe␈α|rst␈αplace.)
␈β¬l␈↓ β¬␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βεβ␈↓ α␈ε"Finally␈↓ ∧O␈ε"will␈α	|nish␈α	reading␈α	the␈α	last␈α
page␈α	of␈ε5␈α	DR␈α␈AGO␈α␈N.M␈α␈F␈ε";␈α	it␈α	puts␈α	a
␈βε.␈↓ ↓H␈ε"\␈ε5)␈ε"␈α␈"␈α	on␈α	y␈α␈our␈αλscreen␈α	when␈α	this␈α	happens.␈α
You␈α	can␈α	no␈α␈w␈α	type␈αλ\␈ε5end␈ε"␈α␈"␈α	and␈α	the␈αλprogram
␈βεC␈↓ 	T␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε"will␈α∞stop.␈α∀If␈α∂y␈α␈ou␈α∞hav␈α␈e␈α∂carefully␈α∂follo␈α␈w␈α␈ed␈α∞the␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∞instructions,␈↓ ∀␈ε"'s
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε"closing␈αw␈α␈ords␈αto␈αy␈α␈ou␈αwill␈αbe
␈βπP␈↓ ↓l␈ε5I␈α␈mag␈α␈es␈α∃w␈α␈rit␈α␈ten␈α∀on␈α∀DRA␈α␈GON␈α␈.FNT
␈βπ{␈↓ ↓l␈ε5T␈α␈EX␈α∀info␈α␈rma␈α␈tio␈α␈n␈α∃wr␈α␈itt␈α␈en␈α∀on␈α∃D␈α␈RAG␈α␈ON.␈α␈TFX
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"so␈αy␈α␈ou␈αwill␈αbe␈αable␈αto␈αuse␈ε5␈αD␈α␈RAG␈α␈ON␈ε"␈αas␈αa␈αfon␈α␈t␈αwith␈αy␈α␈our␈αnext␈↓ λw␈ε"T␈↓ 	~␈ε"X␈↓ 	@␈ε"program.
␈βλX␈↓ 	
␈ε"E
␈β	π␈↓ α␈ε"Note␈α	that␈α
the␈α	process␈α	of␈α
preparing␈α	a␈α	complete␈α
fon␈α␈t␈α	is␈α	v␈α␈ery␈α	m␈α␈uch␈α
lik␈α␈e␈α	the␈α	task
␈β	2␈↓ ↓H␈ε"of␈αwriting␈αa␈α
medium-size␈αcomputer␈α
program␈αor␈α
technical␈αpaper.␈α
It␈α
tak␈α␈es␈αa␈αlittle
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"while␈αto␈αget␈αa␈αcorrect␈αcomputer␈α
|le␈αset␈αup,␈αand␈αy␈α␈ou␈αhav␈α␈e␈αto␈αdot␈αthe␈α
i's␈αand␈αcross
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"the␈αt's␈α(perhaps␈α
literally);␈αbut␈α
once␈αy␈α␈ou␈α
hav␈α␈e␈αreached␈αthis␈α
poin␈α␈t␈αit␈α
is␈αfairly␈αeasy
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"to␈αmak␈α␈e␈αchanges␈αand␈αto␈αdev␈α␈elop␈αbigger␈αand␈αbetter␈αthings.
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈ε↓x
␈β∞↔␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α4.2:␈ε"␈αSince␈αthis␈αwas␈αa␈αlong␈αchapter,␈αy␈α␈ou␈αshould␈αgo␈αoutside␈αno␈α␈w␈αand␈αget
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"some␈ε/␈αreal␈↓ αh␈ε"ex␈α␈ercise.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ βh␈ε>Variables,␈αexpressions,␈αand␈αequations␈↓ β␈ε"39
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈5>␈α
Var␈α␈iabl␈α↓e␈α␈s␈α↓,␈α
e␈α␈x␈α↓pr␈α␈ess␈α↓ions,␈α
an␈α↓d␈α
e␈α␈quat␈α↓ions
␈βαr␈↓ λt␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε"The␈α
examples␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞seen␈α∞so␈α
far␈α∞giv␈α␈e␈α∞some␈α∞idea␈α∞of␈α
what␈↓ 
C␈ε"can␈α
do
␈ββ≥␈↓ ∧s␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈ββ4␈↓ ↓H␈ε"in␈α
simple␈αcases,␈αbut␈αin␈αfact␈↓ ε>␈ε"kno␈α␈ws␈αa␈αlot␈αmore␈αmathematics␈αthan␈α
the
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε"abo␈α␈v␈α␈e␈α∞examples␈α∂imply.␈α∃In␈α∂this␈α∂chapter␈α∞w␈α␈e␈α∂shall␈α∂discuss␈α∂exactly␈α∂what␈α∂types␈α∞of
␈ββt␈↓ ∧~␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"things␈αare␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈αin␈↓ ¬f␈ε"equations.
␈β∧6␈↓ α␈ε"The␈α∞basic␈α∞componen␈α␈ts␈α
of␈α∞an␈α∞equation␈α
are␈ε/␈α∞variables␈↓ λE␈ε"and␈ε/␈α∞constan␈α␈ts␈↓ 
!␈ε",␈α∞both␈α
of
␈β∧a␈↓ ↓H␈ε"which␈α	tak␈α␈e␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α	as␈α
values←they␈α	need␈α
not␈α
be␈α	in␈α␈tegers.␈αSince␈α	the␈α
rules␈α	for
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈ts␈α
are␈αsimplest,␈αw␈α␈e␈αshall␈α
discuss␈αthem␈α|rst.␈αA␈αconstan␈α␈t␈α
usually␈αhas␈αone␈α
of
␈β¬8␈↓ ↓H␈ε"the␈αforms
␈βε␈↓ ↓i␈ε6h␈↓ ↓u␈ε"digit␈αstring␈↓ β#␈ε6i␈↓ βw␈ε"or␈↓ ∧←␈ε6h␈↓ ∧k␈ε"digit␈αstring␈↓ ε→␈ε6i␈ε5.␈ε6h␈↓ εF␈ε"digit␈αstring␈↓ πt␈ε6i␈↓ λH␈ε"or␈↓ 	0␈ε5.␈ε6h␈↓ 	Q␈ε"digit␈αstring␈↓ 
␈␈ε6i
␈βεa␈↓ ↓H␈ε"denoting␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αin␈αdecimal␈αnotation.␈α_(A␈ε6␈αh␈ε"digit␈αstring␈ε6i␈ε"␈αis␈αa␈αsequence␈αof␈αone␈αor
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"more␈α
of␈α
the␈α
ten␈α
characters␈ε5␈α
0␈ε"␈α␈,␈ε5␈α∞1␈ε"␈α␈,␈↓ ¬Q␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε↓␈ε",␈ε5␈α
9␈ε"␈α␈.)␈α≠Or␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
may␈α
hav␈α␈e␈α
one␈α
of␈α
the
␈βπ7␈↓ ↓H␈ε"abo␈α␈v␈α␈e␈αforms␈αpreceded␈αby␈αan␈αapostrophe,␈αin␈αwhich␈αcase␈αit␈αrepresen␈α␈ts␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αin
␈βπb␈↓ ↓H␈ε"octal␈αnotation.␈αFor␈αexample,␈α\␈ε5∞1␈α␈00␈ε""␈αis␈αthe␈αsame␈αas␈α\␈ε564␈ε"";␈α\␈ε5∞␈α␈10.4␈ε"␈α␈"␈αis␈αthe␈αsame
␈βλ∞␈↓ ↓H␈ε"as␈α∞\␈ε58.5␈ε"␈α␈";␈α⊂etc.␈α∪One␈α∂further␈α∞form␈α∂of␈α∞constan␈α␈t␈α∂is␈α∞possible:␈α⊃A␈ε/␈α∂rev␈α␈erse␈α∞apostrophe
␈βλ9␈↓ ↓H␈ε"(i.e.,␈αa␈α
single␈αopen-quote␈αmark)␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈α
an␈α␈y␈αcharacter␈αdenotes␈αthe␈α7-bit␈α
code
␈βλd␈↓ ↓H␈ε"for␈α
that␈αcharacter.␈αFor␈α
example,␈α\␈ε5␈
a␈ε"␈α␈"␈αis␈αthe␈α
same␈αas␈α\␈ε5∞␈α␈141␈ε"".␈αThis␈αnotation␈α
was
␈β	∂␈↓ ↓H␈ε"used␈α
to␈α∞iden␈α␈tify␈α∞the␈↓ ∧⊂␈ε2charcode␈↓ ¬~␈ε"s,␈α∞i.e.,␈α∞the␈α∞fon␈α␈t␈α∞positions␈α∞of␈α∞the␈α
characters,␈α∂in␈α
the
␈β	:␈↓ ↓H␈ε5D␈α␈RAG␈α␈ON␈ε"␈αexample␈αof␈αChapter␈α4.
␈β	O␈↓ ¬?␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	f␈↓ α␈ε"A␈α∪variable␈α∀is␈α∪speci|ed␈α∀in␈↓ π∪␈ε"programs␈α∪by␈α∀typing␈α∪its␈α∪so-called
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε6h␈ε"iden␈α␈ti|er␈ε6i␈ε",␈αwhich␈α
is␈αa␈α
sequence␈αof␈αone␈α
or␈αmore␈α
of␈αthe␈α26␈α
letters␈ε5␈αa␈ε",␈ε5␈α
b␈ε",␈↓ 	x␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
(␈ε",␈ε5␈αz␈ε",␈α
with
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"upper-case␈αand␈α
lo␈α␈w␈α␈er-case␈αletters␈αconsidered␈αequivalen␈α␈t.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthe␈ε/␈α|rst␈ε"␈α
letter
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈α
not␈αbe␈α
\␈ε5w␈ε"",␈α
\␈ε5x␈ε"",␈α
or␈α
\␈ε5y␈ε"␈α␈",␈α∞since␈αthese␈α
are␈α
reserv␈α␈ed␈α
for␈α
the␈↓ 	(␈ε(w␈↓ 	C␈ε(x␈↓ 	U␈ε(y␈↓ 	j␈ε"-variables␈αof
␈β
{␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β∩␈↓ βλ␈ε".␈α∞Furthermore␈α
some␈α
letter␈α∞strings␈α
lik␈α␈e␈↓ πk␈ε2top␈↓ λ,␈ε"and␈↓ λt␈ε2draw␈↓ 	O␈ε"hav␈α␈e␈α
a␈α
special
␈β>␈↓ ↓H␈ε"meaning␈αthat␈αprecludes␈αtheir␈α
being␈αused␈αas␈αvariables;␈α
all␈αsuch␈α\reserv␈α␈ed␈αw␈α␈ords"
␈βi␈↓ ↓H␈ε"are␈αlisted␈αin␈αboldface␈αtype␈αin␈αthe␈αindex␈αto␈αthis␈αman␈α␈ual␈α(Appendix␈αI).
␈β∀␈↓ α␈ε"A␈αvariable␈αmay␈αalso␈αhav␈α␈e␈αthe␈αform␈ε5␈αw␈ε6h␈ε"digit␈αstring␈ε6i␈ε",␈ε5␈αx␈ε6␈α␈h␈ε"digit␈αstring␈ε6i␈ε",␈αor␈ε5␈αy␈ε6␈α␈h␈ε"digit
␈β?␈↓ ↓H␈ε"string␈ε6i␈ε",␈αin␈αwhich␈αcase␈αit␈α
is␈αsaid␈αto␈αbe␈αa␈↓ ε0␈ε(w␈↓ εJ␈ε"-variable␈α
(in␈α␈tended␈αfor␈αpen␈αwidths),␈αan
␈βj␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓Z␈ε"-variable␈α(in␈α␈tended␈αfor␈↓ ∧G␈ε(x␈↓ ∧f␈ε"coordinates␈αof␈αpoin␈α␈ts),␈αor␈αa␈↓ λ_␈ε(y␈↓ λ,␈ε"-variable␈α(in␈α␈tended␈αfor␈↓ _␈ε(y
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"coordinates␈α	of␈α
poin␈α␈ts).␈αWe␈α
sometimes␈α	use␈α
the␈α
term␈↓ π←␈ε(w␈↓ πz␈ε(x␈↓ λ
␈ε(y␈↓ λ!␈ε"-variable␈α
to␈α	stand␈α
for␈α	an␈α␈y
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"variable␈αof␈αthese␈αthree␈αtypes.␈αNote␈αthat␈αvariables␈ε5␈αx3␈ε"␈αand␈ε5␈αy3␈ε"␈αare␈αrelated␈αto␈αeach
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"other␈αbecause␈α
they␈αare␈α
the␈αcoordinates␈α
of␈αpoin␈α␈t␈α
3;␈αbut␈α
they␈αhav␈α␈e␈α
no␈αconnection
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"to␈αvariable␈ε5␈αw␈α␈3␈ε".␈αIn␈αthe␈αexamples␈αof␈αthis␈αman␈α␈ual␈αw␈α␈e␈αoften␈αuse␈αthe␈αnotation␈↓ 
H␈ε(x␈↓ 
r␈ε"and
␈β∞%␈↓ 
Y␈ε%3
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓z␈ε"for␈αwhat␈αw␈α␈ould␈αactually␈αbe␈αtyped␈α\␈ε5x3␈ε"␈α␈"␈αand␈α\␈ε5w3␈ε"".
␈β∞P␈↓ ↓←␈ε%3
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"40␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α5
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαU␈↓ α␈ε#Actu␈α␈ally␈απa␈↓ β'␈ε)w␈↓ β@␈ε)x␈↓ βR␈ε)y␈↓ βd␈ε#-va␈α␈riable␈απcan␈αεhav␈α}e␈απthe␈απsligh␈α␈tly␈απm␈α␈ore␈απgen␈α␈eral␈απform␈ε?␈απw␈ε7h␈ε#ind␈α␈ex␈ε7␈α␈i␈ε#,␈ε?␈α	x␈ε7␈α␈h␈ε#␈α↓in␈α␈dex␈ε7␈α␈i␈ε#,
␈βα⎇␈↓ α␈ε#or␈ε?␈αλy␈ε7␈α␈h␈ε#i␈α↓n␈α␈dex␈ε7␈α␈i␈ε#,␈α	whe␈α␈re␈ε7␈αλh␈ε#i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈ε7i␈ε#␈αλis␈α	e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αλa␈αλd␈α␈igit␈αλstring␈αλo␈α␈r␈αλthe␈αλn␈α␈ame␈αλo␈α␈f␈α	a␈α␈n␈αλind␈α␈ex␈απpara␈α␈mete␈α␈r
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#to␈α
a␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈,␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αsha␈α␈ll␈αse␈α␈e␈αin␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α8.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α\␈ε?x␈α␈j␈ε#"␈αa␈α␈nd␈α
\␈ε?yj␈ε#␈α␈"␈αsta␈α␈nd␈α
for␈αthe␈α
coo␈α␈r-
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈inat␈α␈es␈αo␈α␈f␈αp␈α␈oin␈α␈t␈ε?␈α
j␈ε#,␈α
i␈α↓n␈α␈side␈α
of␈α
a␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α
h␈α␈avin␈α␈g␈ε?␈α
j␈ε#␈α
as␈α
an␈α
ind␈α␈ex␈α
p␈α␈ara␈α␈meter;␈αt␈α␈yp␈α␈ogra␈α␈ph␈α␈i␈α↓c
␈ββt␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈tio␈α␈ns␈αl␈α↓ik␈α}e␈↓ β:␈ε)x␈↓ βa␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧"␈ε3top␈↓ ∧]␈ε)y␈↓ ¬∧␈ε#are␈αu␈α␈sed␈αfor␈αwha␈α␈t␈αwo␈α␈uld␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αb␈α␈e␈αtyp␈α␈ed␈αas␈α\␈ε?x␈α␈i␈ε#"␈αa␈α␈nd
␈ββ}␈↓ βJ␈ε,j␈↓ ∧R␈ε,i␈↓ ∧m␈ε,j
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε#\␈ε?␈α␈top␈α∩i␈α∩yj␈ε#␈α␈".
␈β∧R␈↓ α␈ε"It␈αis␈αimportan␈α␈t␈αto␈αk␈α␈eep␈αin␈αmind␈αthat␈αvariable␈αnames␈αare␈αcomposed␈αof␈αletters
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈ε"only,␈α∞unless␈α∞they␈α
are␈↓ ∧!␈ε(w␈↓ ∧<␈ε(x␈↓ ∧O␈ε(y␈↓ ∧c␈ε"-variables.␈α⊃You␈α
can't␈α∞hav␈α␈e␈α∞variables␈α∞called␈α
\␈ε5s1␈ε""␈α
and
␈β¬∩␈↓ α*␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"\␈ε5s␈α␈2␈ε"",␈↓ βu␈ε"will␈αthink␈αy␈α␈ou␈αare␈α
talking␈αabout␈↓ πs␈ε(s␈↓ λ␈ε"times␈α1␈αand␈↓ 	L␈ε(s␈↓ 	f␈ε"times␈α2.␈αOne
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"way␈αout␈αis␈αto␈αuse␈αroman␈αn␈α␈umerals␈αlik␈α␈e␈α\␈ε5s␈α␈i␈ε""␈αand␈α\␈ε5sii␈ε"␈α␈".
␈β¬h␈↓ εg␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β¬␈␈↓ α␈ε"Stanford's␈α∞curren␈α␈t␈α
implemen␈α␈tation␈α∞of␈↓ λ5␈ε"will␈α∞not␈α∞distinguish␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈α⊃iden␈α␈ti|ers␈α⊃that␈α⊃begin␈α∩with␈α⊃the␈α⊃same␈α⊃sev␈α␈en␈α⊃letters,␈α∪unless␈α⊃they␈α⊃hav␈α␈e
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈α
lengths;␈α
other␈α
implemen␈α␈tations␈α∞may␈α
be␈α
ev␈α␈en␈α
more␈α
fussy,␈α
requiring␈α
for
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"example␈α	that␈α
the␈α
|rst␈α	six␈α
letters␈α
be␈α	distinct.␈αTherefore,␈αalthough␈α	y␈α␈ou␈α
are␈α	allo␈α␈w␈α␈ed
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞in␈α␈v␈α␈en␈α␈t␈α∞long␈α∞descriptiv␈α␈e␈α∞names␈α∞for␈α∞variables,␈α∞don't␈α∞try␈α∞to␈α∞use␈α∞distinct␈α∞names
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈α\␈ε5h␈α␈eig␈α␈htof␈α␈a␈ε""␈αand␈α\␈ε5he␈α␈igh␈α␈tofb␈ε"␈α␈"␈αin␈αthe␈αsame␈αprogram.
␈βλα␈↓ α␈ε"No␈αspaces␈α
should␈αappear␈α
within␈αthe␈α
name␈αof␈α
a␈αvariable␈α
or␈αa␈α
constan␈α␈t;␈αother-
␈βλ⊗␈↓ α→␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε"wise␈↓ βi␈ε"may␈α⊂get␈α∂confused.␈α⊗For␈α⊂example,␈α⊂\␈ε5al␈α∀ph␈α␈a␈ε""␈α⊂w␈α␈ould␈α∂look␈α∂lik␈α␈e
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈αvariables,␈αand␈α\␈ε53.␈α∀14␈ε""␈αw␈α␈ould␈αlook␈αlik␈α␈e␈αa␈α
period␈αinstead␈αof␈αa␈αdecimal␈αpoin␈α␈t
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αthe␈α3.
␈β	_␈↓ ∧i␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β	/␈↓ α␈ε"At␈αthe␈αbeginning␈αof␈αa␈↓ ε6␈ε"program,␈αvariables␈αhav␈α␈e␈αno␈αvalues;␈αthey
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"get␈αvalues␈αby␈αappearing␈αin␈ε/␈αequations␈↓ επ␈ε".␈αIt␈αtak␈α␈es␈αten␈αequations␈αto␈αde|ne␈αthe␈αvalues
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε"of␈α	ten␈α
variables,␈α
and␈α
if␈α
y␈α␈ou␈α
hav␈α␈e␈α	giv␈α␈en␈α
only␈α
nine␈α
equations␈α	it␈α
migh␈α␈t␈α
turn␈α
out␈α	that
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"none␈αof␈αthe␈αten␈αvariables␈αhas␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.␈αFor␈αexample,␈αif␈αthe␈αequations␈αare
␈β
w␈↓ β#␈ε(x␈↓ βL␈ε"=␈↓ βz␈ε(x␈↓ ∧#␈ε"=␈↓ ∧Q␈ε(x␈↓ ∧z␈ε"=␈↓ ¬(␈ε(x␈↓ ¬Q␈ε"=␈↓ ¬␈␈ε(x␈↓ ε(␈ε"=␈↓ εV␈ε(x␈↓ ε␈␈ε"=␈↓ π-␈ε(x␈↓ πV␈ε"=␈↓ λ∧␈ε(x␈↓ λ-␈ε"=␈↓ λ[␈ε(x␈↓ 	∧␈ε"=␈↓ 	2␈ε(x
␈β¬␈↓ β4␈ε%0␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ∧b␈ε%2␈↓ ¬9␈ε%3␈↓ ε⊂␈ε%4␈↓ εg␈ε%5␈↓ π>␈ε%6␈↓ λ∃␈ε%7␈↓ λl␈ε%8␈↓ 	B␈ε%9
␈β>␈↓ ↓H␈ε"(which␈α∞coun␈α␈ts␈α
as␈α∞nine␈α∞equations,␈α∂since␈α∞there␈α
are␈α∞nine␈α∞=␈α∞signs),␈α∂w␈α␈e␈α∞don't␈α
kno␈α␈w
␈βi␈↓ ↓H␈ε"what␈αan␈α␈y␈αof␈αthe␈↓ βO␈ε(x␈↓ βa␈ε"'s␈αis.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αa␈αfurther␈αequation␈α
lik␈α␈e
␈β0␈↓ ¬\␈ε(x␈↓ εβ␈ε"+␈↓ ε/␈ε(x␈↓ εX␈ε"=␈α
1
␈β>␈↓ ¬m␈ε%0␈↓ ε@␈ε%1
␈β`␈↓ αl␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βt␈↓ α␈ε%1
␈βw␈↓ ↓H␈ε"will␈αcause␈↓ ∧8␈ε"to␈αdeduce␈αthat␈αall␈αten␈αof␈αthese␈αvariables␈αare␈αequal␈αto␈↓ ∃␈ε".
␈β
π␈↓ α␈∧
παα∂
␈β
␈↓ α␈ε%2
␈β
␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β
"␈↓ βX␈ε"always␈αdetermines␈αthe␈αvalues␈αof␈αas␈αman␈α␈y␈αvariables␈αas␈αpossible,
␈β
M␈↓ ↓H␈ε"based␈αλon␈α	the␈αλequations␈α	it␈αλhas␈α	seen␈α	so␈αλfar.␈αFor␈α	example,␈α	consider␈αλthe␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλequations
␈β∞
␈↓ ¬-␈ε(y␈↓ ¬T␈ε"+␈↓ ε␈ε(y␈↓ ε(␈ε"+␈↓ εT␈ε(y␈↓ ε⎇␈ε"=␈α
3;
␈β∞~␈↓ ¬>␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%2␈↓ εe␈ε%3
␈β∞C␈↓ ¬-␈ε(y␈↓ ¬T␈ε6␈␈↓ ε␈ε(y␈↓ ε(␈ε6␈␈↓ εT␈ε(y␈↓ ε⎇␈ε"=␈α
1;
␈β∞P␈↓ ¬>␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%2␈↓ εe␈ε%3
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ βh␈ε>Variables,␈αexpressions,␈αand␈αequations␈↓ β␈ε"41
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα:␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βαQ␈↓ β⊗␈ε"will␈α∂deduce␈α∞(correctly)␈α∞that␈↓ εW␈ε(y␈↓ π∧␈ε"=␈α
2,␈α∂but␈α∞all␈α∞it␈α∞will␈α∞kno␈α␈w␈α∞about␈↓ 
␈ε(y
␈βα←␈↓ εh␈ε%1␈↓ ≡␈ε%2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∂␈ε(y␈↓ α;␈ε"is␈α∞that␈↓ β0␈ε(y␈↓ βX␈ε"+␈↓ ∧¬␈ε(y␈↓ ∧0␈ε"=␈α1.␈α⊂At␈α
an␈α␈y␈α
poin␈α␈t␈α
in␈α
a␈α
program␈α∞a␈α
variable␈α
is␈α
said␈α
to␈α
be
␈ββ
␈↓ α ␈ε%3␈↓ βA␈ε%2␈↓ ∧⊗␈ε%3
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε"\kno␈α␈wn"␈αor␈α\unkno␈α␈wn,"␈αdepending␈αon␈αwhether␈αor␈αnot␈αits␈αvalue␈αcan␈αbe␈αdeduced
␈ββS␈↓ ↓H␈ε"uniquely␈α
from␈αthe␈α
equations␈α
that␈α
hav␈α␈e␈α
been␈α
stated␈α
so␈α
far.*␈α
Sometimes␈α
y␈α␈ou␈αwill
␈ββ}␈↓ ↓H␈ε"hav␈α␈e␈α
to␈α
be␈α
sure␈α
that␈α
a␈α
certain␈α
variable␈α
is␈α
kno␈α␈wn;␈α
for␈α
example,␈α
when␈α
drawing␈α
a
␈β∧)␈↓ ↓H␈ε"curv␈α␈e,␈αthe␈↓ αq␈ε(x␈↓ ββ␈ε"-␈αand␈↓ βa␈ε(y␈↓ βv␈ε"-variables␈αfor␈αall␈αpoin␈α␈ts␈αon␈αthat␈αcurv␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αbe␈αkno␈α␈wn.
␈β∧f␈↓ ∧l␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∧|␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β¬␈↓ α␈ε#You␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αw␈α␈ond␈α␈er␈αho␈α}w␈↓ ε%␈ε#k␈α}eeps␈αits␈αkn␈α␈o␈α␈wledg␈α␈e␈αu␈α␈p-to␈α␈-date␈αb␈α␈ased␈αo␈α␈n␈αthe
␈β¬'␈↓ α␈ε#pa␈α␈rtial␈α∂in␈α␈f␈α↓o␈α␈rmat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞i␈α↓t␈α∞rec␈α␈eiv␈α␈es␈α∞from␈α∞miscellan␈α␈eou␈α␈s␈α∂e␈α␈qua␈α␈tions.␈α∃Th␈α␈e␈α∂d␈α␈eta␈α␈i␈α↓ls␈α∞aren␈α␈'t
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈all␈α↓y␈α	v␈α␈e␈α␈ry␈α
imp␈α␈ortan␈α}t␈α
when␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α
u␈α␈se␈α
the␈α	l␈α↓a␈α␈ngu␈α␈ag␈α␈e,␈αb␈α␈ut␈α
th␈α␈ey␈α	may␈α	help␈α	i␈α↓n␈α	un␈α␈der␈α␈stand␈α␈ing
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈me␈α∞error␈α∞messag␈α␈es.␈α⊗If␈α∂th␈α␈ere␈α∂a␈α␈re␈↓ ¬M␈ε)n␈↓ ¬o␈ε#varia␈α␈bles␈α∂a␈α␈nd␈α∞if␈↓ πg␈ε)m␈↓ λ∪␈ε#eq␈α␈uatio␈α␈ns␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∂a␈α␈pp␈α␈eared␈α∞so
␈βε∧␈↓ αε␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈r,␈↓ β?␈ε#will␈α
c␈α␈l␈α↓a␈α␈ssify␈↓ ∧t␈ε)n␈↓ ¬⊂␈ε7␈␈↓ ¬9␈ε)m␈↓ ¬b␈ε#of␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nk␈α␈no␈α}wn␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αas␈α\␈α␈ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t."␈α
The
␈βεF␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ther␈↓ α≡␈ε)m␈↓ αF␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les␈αa␈α␈re␈α
exp␈α␈ressed␈α
a␈α␈s␈αline␈α␈ar␈α
com␈α␈b␈α␈inatio␈α␈ns␈α
of␈α
the␈α
ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
on␈α␈es;␈αif␈αth␈α␈is
␈βεm␈↓ ↓H␈ε#line␈α␈ar␈α
com␈α}bina␈α␈tion␈α
h␈α␈as␈α
a␈α	con␈α␈stan␈α}t␈α
valu␈α␈e,␈αth␈α␈e␈α
v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α
is␈α
\␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn"␈α␈,␈αo␈α␈therwise␈α
it␈α
is␈α
called
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t."␈αEv␈α␈ery␈α
new␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αsay␈α
the␈α(␈↓ εH␈ε)m␈↓ εl␈ε#+␈αλ1)st,␈αcan␈α
be␈αre␈α␈wri␈α↓tt␈α␈en␈αin␈αth␈α␈e␈αform
␈βπn␈↓ ∧H␈ε)c␈↓ ∧h␈ε#+␈↓ ¬⊃␈ε)c␈↓ ¬)␈ε)v␈↓ ¬L␈ε#+␈↓ ¬u␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε#␈ε#+␈↓ εL␈ε)c␈↓ π_␈ε)v␈↓ πq␈ε#=␈α
0
␈βπx␈↓ ∧T␈ε&0␈↓ ¬≥␈ε&1␈↓ ¬8␈ε&1␈↓ εX␈ε,n␈↓ εh␈ε:␈␈↓ π↓␈ε,m␈↓ π'␈ε,n␈↓ π7␈ε:␈␈↓ πQ␈ε,m
␈βλG␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈απthe␈↓ α[␈ε)c␈↓ αg␈ε#'␈α↓s␈απare␈αλc␈α␈ons␈α␈tan␈α␈ts␈απan␈α␈d␈↓ ¬π␈ε)v␈↓ ¬"␈ε#,␈↓ ¬4␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬`␈ε#,␈↓ ¬r␈ε)v␈↓ εI␈ε#are␈απthe␈απind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈αλv␈α␈ariab␈α␈les.␈α
If␈↓ 
≡␈ε)c␈↓ 
A␈ε#=␈α	0␈αλfo␈α␈r
␈βλQ␈↓ ¬∃␈ε&1␈↓ ε␈ε,n␈↓ ε⊃␈ε:␈␈↓ ε*␈ε,m␈↓ 
*␈ε,k
␈βλn␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓u␈ε)k␈↓ α∞␈ε#>␈α
0␈α␈,␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈ew␈α
e␈α␈qua␈α␈tion␈α	i␈α↓s␈α	rejecte␈α␈d;␈α
i␈α↓t␈α	i␈α↓s␈α	either␈α	red␈α␈un␈α␈dan␈α}t␈α
(if␈↓ λh␈ε)c␈↓ 	
␈ε#=␈α
0␈α␈)␈α
or␈α	i␈α↓n␈α␈con␈α␈sisten␈α}t
␈βλy␈↓ λt␈ε&0
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε#(if␈↓ ↓t␈ε)c␈↓ α→␈ε7≤␈ε#␈α
0).␈α⊃Othe␈α␈rwi␈α↓se␈αone␈αof␈α
the␈α
v␈α␈ariab␈α␈les␈↓ εN␈ε)v␈↓ εw␈ε#ha␈α␈vin␈α␈g␈α
max␈α␈im␈α␈um␈ε7␈α
j␈↓ 	∞␈ε)c␈↓ 	'␈ε7j␈ε#␈α
i␈α↓s␈α
se␈α␈l␈α↓e␈α␈cted␈α␈.␈α∩Th␈α␈is
␈β	 ␈↓ α␈ε&0␈↓ ε]␈ε,k␈↓ 	~␈ε,k
␈β	=␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈α
cea␈α␈ses␈α
to␈α	be␈α
in␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈α
an␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
eq␈α␈uatio␈α␈n␈α
is␈α
u␈α␈sed␈α
to␈α	ex␈α␈press␈α	i␈α↓t␈α
in␈α	terms␈α
o␈α␈f␈α
the
␈β	e␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈mainin␈α␈g␈αλin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αλva␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈↓ ¬!␈ε)v␈↓ ¬=␈ε#,␈↓ ¬N␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬{␈ε#,␈↓ ε
␈ε)v␈↓ εN␈ε#,␈↓ ε`␈ε)v␈↓ π"␈ε#,␈↓ π3␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π`␈ε#,␈↓ πr␈ε)v␈↓ λA␈ε#;␈α	sev␈α}eral␈αλof␈απthe␈αλd␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈β	p␈↓ ¬0␈ε&1␈↓ ε≠␈ε,k␈↓ ε)␈ε:␈␈ε&1␈↓ εo␈ε,k␈↓ ε|␈ε&+1␈↓ λ␈ε,n␈↓ λ⊃␈ε:␈␈↓ λ*␈ε,m
␈β

␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les␈αmigh␈α}t␈αn␈α␈o␈α␈w␈αb␈α␈ecom␈α␈e␈αkn␈α␈o␈α␈wn.
␈β
F␈↓ ¬~␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
\␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β
`␈↓ α␈ε#You␈α∂ca␈α␈n␈α∂ex␈α␈perimen␈α}t␈α⊂with␈↓ εG␈ε#'s␈α⊂eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n-solv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂mech␈α␈an␈α␈ism␈α⊂b␈α␈y␈α∂typ␈α␈ing
␈βλ␈↓ α␈ε#\␈ε?e␈α␈qtr␈α␈ac␈α␈e;␈ε#"␈α
n␈α␈ear␈α	the␈α
b␈α␈egin␈α␈ning␈α	of␈α
y␈α}our␈α	pro␈α␈gam;␈α
this␈α
c␈α␈ause␈α␈s␈α
the␈α	i␈α↓n␈α}terp␈α␈reter␈α
to␈α	tell
␈β/␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈αth␈α␈e␈αvalu␈α␈es␈αo␈α␈f␈αa␈α␈l␈α↓l␈αva␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈αwhen␈αt␈α␈hey␈αb␈α␈eco␈α␈me␈αkn␈α␈o␈α␈wn.␈αAno␈α␈ther␈αway␈αt␈α␈o␈αe␈α␈xp␈α␈erimen␈α}t
␈β=␈↓ ∧∨␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βW␈↓ ↓H␈ε#is␈α∞to␈α
u␈α␈se␈α∞th␈α␈e␈α∞fac␈α␈t␈α∞tha␈α␈t␈↓ ¬Z␈ε#typ␈α␈es␈α∞o␈α␈ut␈α
the␈α
valu␈α␈e␈α∞of␈α
an␈α
exp␈α␈ression␈α
wh␈α␈en␈α
there
␈β}␈↓ ↓H␈ε#is␈α∂n␈α␈o␈α∂eq␈α␈ua␈α␈l␈α↓s␈α∞si␈α↓g␈α␈n␈α∂in␈α∞a␈α∂sta␈α␈temen␈α}t;␈α⊃for␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂after␈α∂\␈ε?␈α␈y1+␈α␈y2␈α␈+y3␈α␈=3;␈α∩y␈α␈1-y␈α␈2-y␈α␈3=1␈α␈;␈ε#"
␈β&␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α∂can␈α∂ty␈α␈pe␈α∂\␈ε?y1␈α␈;␈α∪y␈α␈2;␈α∩y3␈α␈;␈ε#"←th␈α␈e␈α⊂resu␈α␈lt␈α⊂wi␈α↓ll␈α⊂b␈α␈e␈α⊂th␈α␈ree␈α⊂h␈α␈armless␈α∂error␈α∂messa␈α␈ges␈α⊂in
␈βN␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich␈αy␈α␈o␈α␈u␈αl␈α↓ea␈α␈rn␈αtha␈α␈t␈↓ ∧	␈ε)y␈↓ ∧1␈ε#=␈α2␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈at␈↓ εε␈ε)y␈↓ ε/␈ε#an␈α␈d␈↓ εq␈ε)y␈↓ π~␈ε#respe␈α␈ctiv␈α␈ely␈αh␈α␈av␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
cu␈α␈rren␈α}t␈α
v␈α␈alue␈α␈s
␈βX␈↓ ∧_␈ε&1␈↓ ε⊗␈ε&2␈↓ π↓␈ε&3
␈β[␈↓ ¬u␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βu␈↓ ↓H␈ε7␈␈↓ ↓i␈ε)y␈↓ α␈ε#+␈απ1␈α␈.␈α↓0␈α␈00␈α
a␈α␈nd␈↓ βH␈ε)y␈↓ βe␈ε#.␈α↔(In␈α	othe␈α␈r␈α
wo␈α␈rds,␈↓ π-␈ε#h␈α␈as␈α
ch␈α␈osen␈α	to␈α
ma␈α␈k␈α␈e␈↓ 	P␈ε)y␈↓ 	v␈ε#dep␈α␈en␈α␈dep␈α␈en␈α}t
␈β
␈↓ ↓y␈ε&3␈↓ βX␈ε&3␈↓ 	`␈ε&2
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ αλ␈ε)y␈↓ α0␈ε#ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t.)
␈β
'␈↓ α_␈ε&3
␈β
l␈↓ βi␈ε<op␈α␈q␈α␈rs␈α␈tuq
␈β
{␈↓ ↓H␈∧
{↓Hα↓X
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε$*This␈αf␈α↓e␈α␈ature␈α
m␈α␈a␈α↓k␈α␈e␈α␈s␈↓ ¬⊂␈ε$di{e␈α␈ren␈α␈t␈α
from␈α
m␈α␈ost␈α
other␈α
c␈α␈o␈α↓m␈α␈puter␈α
l␈α␈ang␈α↓uages;␈α∞i␈α␈t␈α
te␈α␈nds␈α
to
␈β∞)␈↓ ↓H␈ε$m␈α␈ake␈α	y␈α␈our␈α	pro␈α↓grams␈α	\dec␈α␈larativ␈α␈e"␈α	more␈α	than␈α
\i␈α␈mpe␈α␈ra␈α↓ti␈α␈v␈α␈e"␈α
i␈α␈n␈α	tha␈α↓t␈α	y␈α␈ou␈α
say␈α	w␈α↓hat␈α	rel␈α␈ationships
␈β∞I␈↓ ↓H␈ε$y␈α␈ou␈α
wa␈α↓n␈α␈t␈α
to␈α
a␈α↓c␈α␈hie␈α␈v␈α␈e␈α
inste␈α␈ad␈αof␈α
how␈α
y␈α␈o␈α↓u␈α
wan␈α␈t␈α
to␈αc␈α␈o␈α↓m␈α␈pute␈α
the␈α
val␈α␈ues␈α
that␈α
a␈α↓c␈α␈hie␈α␈ve␈α	them␈α␈.
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"42␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α5
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ α␈ε"From␈αvariables␈αand␈αconstan␈α␈ts␈α
y␈α␈ou␈αcan␈αbuild␈αup␈αmore␈αcomplicated␈αform␈α␈ulas
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"called␈ε/␈α∞expressions␈↓ β`␈ε".␈α∩In␈α∞order␈α∞to␈α∞state␈α∞the␈α∞rules␈α∞for␈α∞expressions␈α∞clearly␈α∞and␈α∞com-
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"pletely,␈αw␈α␈e␈αshall␈αdiscuss␈αthem␈αin␈αa␈αrather␈αformal␈αmanner.␈αIn␈αorder␈αto␈αstate␈αthem
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"in␈αan␈αunderstandable␈αway,␈αw␈α␈e␈αshall␈αalso␈αdiscuss␈αinformal␈αexamples.
␈β∧β␈↓ α␈ε"Expressions␈α
come␈αin␈α
sev␈α␈eral␈α
⎇av␈α␈ors,␈αdepending␈α
on␈αho␈α␈w␈α
complicated␈α
they␈α
are
␈β∧.␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂ho␈α␈w␈α⊂they␈α∂in␈α␈teract␈α⊂with␈α∂their␈α⊂en␈α␈vironmen␈α␈t.␈α↔A␈ε/␈α∂primary␈ε"␈α⊂expression␈α∂is,␈α⊃in␈α∂a
␈β∧Y␈↓ ↓H␈ε"sense,␈αa␈αbasic␈αbuilding␈αblock;␈αit␈αis␈αone␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αthings:
␈β¬~␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε"a␈αvariable␈α(whether␈αkno␈α␈wn␈αor␈αunkno␈α␈wn).
␈β¬\␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε"a␈αconstan␈α␈t.
␈βε≥␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2nrand␈↓ αh␈ε",␈αdenoting␈α
a␈α
random␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
with␈αthe␈α
normal␈α
distribution,␈α
having
␈βεH␈↓ αI␈ε"mean␈α0␈αand␈αstandard␈αdeviation␈α1.
␈βπ	␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2sqrt␈↓ αT␈ε6h␈ε"term␈ε6i␈ε",␈αdenoting␈αthe␈αsquare␈αroot␈αof␈αthe␈αvalue␈αof␈αthe␈αterm␈α(e.g.,␈↓ 
7␈ε2sqrt␈↓ 
}␈ε".09
␈βπ5␈↓ αI␈ε"=␈α.3).␈αThe␈αterm␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈βπv␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2cosd␈↓ α←␈ε6h␈ε"term␈ε6i␈ε",␈α∂denoting␈α∞the␈α∂cosine␈α∂of␈α∞the␈α∂value␈α∞of␈α∂the␈α∂term␈α∞in␈α∂degrees␈α∞(e.g.,
␈βλ!␈↓ αI␈ε2cosd␈↓ β→␈ε"30␈α=␈α.5).␈αThe␈αterm␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈βλb␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2sind␈↓ αU␈ε6h␈ε"term␈ε6i␈ε",␈α	denoting␈αλthe␈α	sine␈αλof␈α	the␈αλvalue␈αλof␈α	the␈αλterm␈α	in␈αλdegrees␈α	(e.g.,␈↓ 
@␈ε2sind␈↓ λ␈ε"60
␈β	
␈↓ αI␈ε"=␈α.5).␈αThe␈αterm␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈β	O␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2round␈↓ αr␈ε6h␈ε"term␈ε6i␈ε",␈αdenoting␈α
the␈α
value␈α
of␈α
the␈α
term␈α
rounded␈α
to␈α
the␈α
nearest␈α
in␈α␈teger;
␈β	z␈↓ αI␈ε"an␈αin␈α␈teger␈αplus␈α
.5␈αis␈αrounded␈αupwards␈α
(e.g.,␈↓ πt␈ε2round␈↓ λ[␈ε"3.14␈α=␈α3.0;␈↓ 
_␈ε2round␈↓ 
}␈ε"1.5
␈β
%␈↓ αI␈ε"=␈α2.0;␈↓ β=␈ε2round␈↓ ∧%␈ε6␈␈ε"1.5␈α=␈ε6␈α␈␈ε"1.0).␈αThe␈αterm␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈β
f␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2good␈↓ αV␈ε6h␈ε"index␈ε6ih␈ε"term␈ε6i␈ε",␈α∂denoting␈α∂the␈α∞value␈α∂of␈α∂the␈α∞term␈α∂rounded␈α∞to␈α∂the␈α∞nearest
␈β∩␈↓ αI␈ε"\good"␈α
value,␈α
depending␈αon␈α
the␈αvalue␈α
of␈↓ πX␈ε(w␈↓ λπ␈ε"(see␈α
Chapter␈α
7),␈αwhere␈↓ 
z␈ε(i␈↓ ∀␈ε"is
␈β∨␈↓ πo␈ε+i
␈β=␈↓ αI␈ε"the␈αvalue␈αof␈αthe␈ε6␈αh␈ε"index␈ε6i␈ε".␈αThe␈αterm␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈β}␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε2lft␈↓ α0␈ε6h␈ε"index␈ε6ih␈ε"term␈ε6i␈ε",␈↓ ∧*␈ε2rt␈↓ ∧F␈ε6h␈ε"index␈ε6ih␈ε"term␈ε6i␈ε",␈↓ ε@␈ε2top␈↓ εt␈ε6h␈ε"index␈ε6ih␈ε"term␈ε6i␈ε",␈α!or␈↓ 	≡␈ε2bot␈↓ 	R␈ε6h␈ε"index␈ε6ih␈ε"term␈ε6i␈ε",
␈β)␈↓ αI␈ε"denoting␈α
the␈αvalue␈αof␈α
the␈αterm␈αplus␈α
or␈αmin␈α␈us␈αa␈αcorrection␈α
based␈αon␈αthe
␈βT␈↓ αI␈ε"curren␈α␈t␈αpen␈αand␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ ε⊗␈ε(w␈↓ εE␈ε"(see␈αChapter␈α3),␈αwhere␈↓ 	4␈ε(i␈↓ 	M␈ε"is␈αthe␈αvalue␈αof
␈βb␈↓ ε.␈ε+i
␈β
␈↓ αI␈ε"the␈ε6␈αh␈ε"index␈ε6i␈ε".␈αThe␈αterm␈αneed␈αnot␈αhav␈α␈e␈αa␈αkno␈α␈wn␈αvalue.
␈β
A␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε"an␈αexpression␈αenclosed␈αin␈α
paren␈α␈theses,␈αdenoting␈αthe␈αvalue␈αof␈αthe␈αexpression
␈β
l␈↓ αI␈ε"as␈α
a␈αunit␈α
in␈α
a␈α
larger␈α
expression.␈αFor␈α
example,␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
see␈α
that␈α
\␈ε52(u␈α␈+v)␈ε"␈α␈"
␈β∞↔␈↓ αI␈ε"means␈αsomething␈α
di{eren␈α␈t␈αfrom␈α\␈ε52u␈α␈+v␈ε"",␈αbut␈αthe␈αlatter␈αdenotes␈αexactly
␈β∞B␈↓ αI␈ε"the␈αsame␈αthing␈αas␈α\␈ε5(2u␈α␈)+v␈ε"␈α␈".
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ βh␈ε>Variables,␈αexpressions,␈αand␈αequations␈↓ β␈ε"43
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε"In␈α⊂these␈α⊃rules␈α⊂\␈ε6h␈ε"index␈ε6i␈ε""␈α⊃means␈α⊂either␈α⊃a␈ε6␈α⊂h␈ε"digit␈α⊃string␈ε6i␈ε",␈α⊃represen␈α␈ting␈α⊃an␈α⊂in␈α␈teger
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"subscript,␈α∞or␈α
the␈α∞name␈α
of␈α∞an␈α
index␈α∞parameter␈α∞to␈α
a␈α∞subroutine␈α
(see␈α∞Chapter␈α
8);
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε"\␈ε6h␈ε"term␈ε6i␈ε""␈α
means␈αan␈α
expression␈αof␈α
the␈αsecond␈α
⎇av␈α␈or,␈αwhich␈αw␈α␈e␈α
shall␈αdescribe␈α
next.
␈ββV␈↓ α␈ε"A␈ε/␈α
term␈ε"␈α
expression␈α
is,␈α∞in␈α
a␈α
sense,␈α
a␈α
building␈α
block␈α∞for␈α
sums;␈α
it␈α
is␈α
somewhat
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈αa␈αprimary␈αbut␈αit␈αalso␈αincludes␈αproducts␈αand␈αquotien␈α␈ts.␈αFormally␈αspeaking,␈αa
␈β∧,␈↓ ↓H␈ε"term␈α
is␈α
a␈α
primary␈α∞follo␈α␈w␈α␈ed␈α
by␈α
zero␈α
or␈α
more␈α∞occurrences␈α
of␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
things
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε"as␈αman␈α␈y␈αtimes␈αas␈αpossible␈αin␈αa␈αgiv␈α␈en␈αcon␈α␈text:
␈β¬→␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε5*␈ε6h␈ε"primary␈ε6i␈ε"␈αor␈ε5␈α
.␈ε6h␈ε"primary␈ε6i␈ε"␈αor␈α
simply␈ε6␈α
h␈ε"primary␈ε6i␈ε",␈α
denoting␈αthe␈α
product␈α
of␈αthe
␈β¬D␈↓ αI␈ε"value␈αof␈αthe␈αterm␈αso␈αfar␈αand␈αthe␈αvalue␈αof␈αthe␈αprimary.␈α→(At␈αleast␈αone␈αof
␈β¬p␈↓ αI␈ε"these␈αλfactors␈απm␈α␈ust␈αλhav␈α␈e␈αλa␈απkno␈α␈wn␈αλvalue;␈α	i.e.,␈α	y␈α␈ou␈απcan't␈αλsay␈απ\␈ε5alph␈α␈a*b␈α␈eta␈ε"␈α␈"
␈βε≠␈↓ αI␈ε"when␈ε5␈α∞a␈α␈lph␈α␈a␈ε"'s␈α∞value␈α
is␈α∞unkno␈α␈wn␈α
unless␈ε5␈α
beta␈ε"␈α␈'s␈α∞value␈α
is␈α∞kno␈α␈wn.␈α≠When
␈βεF␈↓ αI␈ε"m␈α␈ultiplication␈αis␈α
indicated␈α
by␈α
\␈ε5.␈ε"",␈αno␈α
space␈α
should␈αappear␈α
after␈α
the␈α
dot,
␈βεq␈↓ αI␈ε"and␈αthe␈αprimary␈αshould␈αnot␈αbe␈αa␈αdecimal␈αconstan␈α␈t.
␈βπ3␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε5/␈ε6h␈ε"primary␈ε6i␈ε",␈α∞denoting␈α∞the␈α∂value␈α∞of␈α∞the␈α∞term␈α∞so␈α∞far␈α∞divided␈α∞by␈α∞the␈α∞value␈α∞of
␈βπ↑␈↓ αI␈ε"the␈α
primary.␈α≤(The␈α
primary␈α
m␈α␈ust␈α
hav␈α␈e␈α
a␈α
kno␈α␈wn␈α
value␈α
and␈α
it␈α
m␈α␈ust␈α
not
␈βλ	␈↓ αI␈ε"be␈αzero.)
␈βλK␈↓ ↓n␈ε6∂␈↓ α␈ε5[␈ε6h␈ε"expression␈↓ β]␈ε6i␈ε",␈ε6h␈ε"expression␈↓ ¬0␈ε6i␈ε5]␈ε"␈α␈,␈αdenoting␈↓ εx␈ε(v␈↓ π≤␈ε"+␈↓ πF␈ε(␈↓ πZ␈ε"(␈↓ πf␈ε(v␈↓ λ␈ε6␈␈↓ λ5␈ε(v␈↓ λS␈ε"),␈αwhere␈↓ 	[␈ε(␈↓ 	y␈ε"is␈αthe␈α
value
␈βλX␈↓ βO␈ε%1␈↓ ¬!␈ε%2␈↓ πλ␈ε%1␈↓ πv␈ε%2␈↓ λE␈ε%1
␈βλv␈↓ αI␈ε"of␈α∞the␈α
term␈α∞so␈α∞far,␈↓ ∧}␈ε(v␈↓ ¬*␈ε"is␈α
the␈α∞value␈α
of␈α∞the␈α∞|rst␈α
expression,␈α∞and␈↓ 
)␈ε(v␈↓ 
U␈ε"is␈α
the
␈β	β␈↓ ¬∞␈ε%1␈↓ 
9␈ε%2
␈β	!␈↓ αI␈ε"value␈αof␈αthe␈αsecond.␈α↔(Either␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ πW␈ε(␈↓ πv␈ε"or␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ 	f␈ε(v␈↓ 
␈ε6␈␈↓ 
6␈ε(v␈↓ 
←␈ε"m␈α␈ust
␈β	/␈↓ 	v␈ε%2␈↓ 
F␈ε%1
␈β	L␈↓ αI␈ε"be␈αkno␈α␈wn.)
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"For␈α
example,␈α
\␈ε5a␈α␈*b/␈α␈c␈ε""␈α
is␈α
a␈α
term␈α
meaning␈↓ εi␈ε(a␈↓ πλ␈ε"times␈↓ πi␈ε(b␈↓ λ∧␈ε"divided␈α
by␈↓ 	:␈ε(c␈↓ 	H␈ε".␈α∂One␈α
can␈αalso
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"write␈αit␈α
as␈α
\␈ε5a.␈α␈b/c␈ε""␈αor␈α
\␈ε5a␈α∀b/c␈ε"";␈α
the␈α
space␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
\␈ε5a␈ε""␈α
and␈α\␈ε5b␈ε""␈α
is␈α
essen␈α␈tial␈αin
␈β
d␈↓ ↓H␈ε"the␈αlast␈αexample,␈αsince␈α\␈ε5ab␈α␈/c␈ε""␈αmeans␈αthe␈αquotien␈α␈t␈αof␈αvariable␈↓ 	#␈ε/ab␈↓ 	X␈ε"by␈αvariable␈↓ ∀␈ε(c␈↓ "␈ε".
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"Note␈αalso␈αthat␈α\␈ε5a/␈α␈b*c␈ε""␈αhas␈αthe␈αsame␈αmeaning␈αas␈α\␈ε5(a/␈α␈b)*c␈ε"␈α␈",␈αnot␈α
\␈ε5a␈α␈/(b␈α␈*c)␈ε"␈α␈".
␈β;␈↓ ↓H␈ε"Some␈α∞computer␈α∞languages␈α∞treat␈α∞this␈α∞expression␈α∞one␈α∞way␈α∞and␈α∞some␈α∞treat␈α∞it␈α∞the
␈βO␈↓ βM␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βf␈↓ ↓H␈ε"other␈α⊂way,␈α∩but␈↓ ¬≡␈ε"prefers␈α⊃the␈α⊃former␈α⊃for␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊃reasons:␈α"(i)␈α⊂Division
␈βz␈↓ ↓s␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε"in␈↓ βA␈ε"is␈α
most␈α
often␈α
used␈α∞when␈α
dividing␈α
an␈α
in␈α␈teger␈α∞by␈α
an␈α
in␈α␈teger,␈α
and
␈β<␈↓ ↓H␈ε"cases␈α
lik␈α␈e␈α
\␈↓ αs␈ε52/3␈α∀c␈↓ β[␈ε""␈α
are␈α
v␈α␈ery␈αcommon.␈αIt␈αis␈α
desirable␈α
to␈α
av␈α␈oid␈αparen␈α␈theses␈α
in␈α
such
␈βh␈↓ ↓H␈ε"common␈αcases.␈α~(ii)␈αThis␈αrule␈α
is␈αeasily␈αremem␈α␈bered,␈α
since␈αterms␈αare␈αconsisten␈α␈tly
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε"evaluated␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α␈t␈αin␈αall␈αcases.
␈β
A␈↓ α␈ε"The␈α⊂construction␈ε6␈α∂h␈ε"term␈ε6i␈ε5[␈ε6h␈ε"expression␈↓ ε←␈ε6i␈ε5,␈ε6␈α␈h␈ε"expression␈↓ λ<␈ε6i␈ε5]␈ε"␈α∂deserv␈α␈es␈α⊂special␈α∂dis-
␈β
N␈↓ εP␈ε%1␈↓ λ-␈ε%2
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"cussion␈αsince␈αit␈αis␈αan␈αoperation␈αthat␈αoccurs␈αfrequen␈α␈tly␈αin␈αfon␈α␈t␈αdesign␈αbut␈αthere␈αis
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"no␈α	existing␈α	notation␈α	for␈α	it␈α	in␈α	traditional␈α	mathematics.␈αIn␈α	general,␈α
\␈↓ 	O␈ε(␈↓ 	c␈ε"[␈↓ 	m␈ε(u␈↓ 
β␈ε",␈↓ 
∪␈ε(v␈↓ 
%␈ε"]"␈α	means
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"\␈↓ ↓Z␈ε(␈↓ ↓z␈ε"of␈α
the␈α
way␈αfrom␈↓ ∧π␈ε(u␈↓ ∧*␈ε"to␈↓ ∧V␈ε(v␈↓ ∧i␈ε"";␈α
th␈α␈us␈α
\␈ε52/␈α␈3[x␈α␈1,x␈α␈2]␈ε""␈α
means␈αthe␈α
value␈α
obtained␈αby
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"44␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α5
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈ββ7␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α5↑␈α␈1.␈ε#␈α~Th␈α␈e␈αc␈α␈oord␈α␈inat␈α␈es␈αo␈α␈f␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α5
␈ββ←␈↓ π⊂␈ε#can␈α
b␈α␈e␈α
read␈α␈il␈α↓y␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈α
from␈α
th␈α␈ose
␈ββl␈↓ 
J␈ε<hi␈α␈j␈α}k
␈β∧ε␈↓ π⊂␈ε#of␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈α1,␈α2␈α␈,␈α3,␈αa␈α␈nd␈α4,␈αu␈α␈sing␈↓ !␈ε#-
␈β∧∀␈↓ π⊂␈ε<l␈α␈m␈α↓nj
␈β∧.␈↓ πr␈ε#e␈α␈qua␈α␈tions.
␈β¬]␈↓ ↓H␈ε"starting␈α	at␈↓ αu␈ε(x␈↓ β≡␈ε"and␈α	going␈α
t␈α␈w␈α␈o-thirds␈α
of␈α	the␈α
distance␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ λ]␈ε(x␈↓ 	ε␈ε"and␈↓ 	J␈ε(x␈↓ 	i␈ε".␈αIf␈↓ 
∨␈ε(x␈↓ 
H␈ε"=␈α
100
␈β¬k␈↓ βε␈ε%1␈↓ λn␈ε%1␈↓ 	Z␈ε%2␈↓ 
0␈ε%1
␈βελ␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(x␈↓ α7␈ε"=␈α
160,␈αthis␈αis␈α140;␈αif␈↓ ¬	␈ε(x␈↓ ¬2␈ε"=␈α
160␈αand␈↓ εh␈ε(x␈↓ π⊃␈ε"=␈α
100␈αit␈αis␈α120.
␈βε⊗␈↓ α≡␈ε%2␈↓ ¬→␈ε%1␈↓ εx␈ε%2
␈βε<␈↓ ↓H␈ε↓x
␈βε=␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α⊂5.1:␈ε"␈α∃What␈α⊂is␈α⊃the␈α⊂value␈α⊂of␈α⊃0[␈↓ ε:␈ε(x␈↓ εY␈ε",␈↓ εi␈ε(x␈↓ πλ␈ε"]?␈α→Of␈α⊂3/2[␈↓ λ1␈ε(x␈↓ λP␈ε",␈↓ λ`␈ε(x␈↓ λ␈␈ε"]?␈α~Ho␈α␈w␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂y␈α␈ou
␈βεK␈↓ εJ␈ε%1␈↓ εy␈ε%2␈↓ λB␈ε%1␈↓ λq␈ε%2
␈βεi␈↓ ↓H␈ε"express␈α
of␈αthe␈α
value␈αof␈α
the␈αpoin␈α␈t␈α
midway␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ πX␈ε(x␈↓ λ↓␈ε"and␈↓ λF␈ε(x␈↓ λe␈ε",␈α
using␈αthis␈α
notation?
␈βεv␈↓ πh␈ε%1␈↓ λV␈ε%2
␈βπ≥␈↓ α␈ε"One␈α	of␈αλthe␈α	in␈α␈teresting␈αλapplications␈α	of␈αλthe␈α	brack␈α␈et␈α	notation␈αλis␈α	to␈αλ|nd␈α	the␈αλpoin␈α␈t
␈βπI␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(x␈↓ ↓s␈ε",␈↓ αβ␈ε(y␈↓ α"␈ε")␈α∞where␈α∞the␈α∞line␈α
from␈α∞(␈↓ ¬∂␈ε(x␈↓ ¬.␈ε",␈↓ ¬>␈ε(y␈↓ ¬↑␈ε")␈α∞to␈α
(␈↓ ε1␈ε(x␈↓ εP␈ε",␈↓ ε`␈ε(y␈↓ π␈ε")␈α∞in␈α␈tersects␈α∞the␈α
line␈α∞from␈α∞(␈↓ 
$␈ε(x␈↓ 
C␈ε",␈↓ 
S␈ε(y␈↓ 
s␈ε")␈α
to
␈βπV␈↓ ↓d␈ε%5␈↓ α∀␈ε%5␈↓ ¬ ␈ε%1␈↓ ¬O␈ε%1␈↓ εB␈ε%2␈↓ εq␈ε%2␈↓ 
5␈ε%3␈↓ 
d␈ε%3
␈βπt␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(x␈↓ ↓s␈ε",␈↓ αβ␈ε(y␈↓ α"␈ε"),␈α
assuming␈α
that␈α
poin␈α␈ts␈α
1,␈α
2,␈α
3,␈α
and␈α
4␈α
are␈α
already␈α
kno␈α␈wn␈α
(see␈α	Fig.␈↓ 
↔␈ε"5↑1␈↓ 
M␈ε").␈αThe
␈βλ↓␈↓ ↓d␈ε%4␈↓ α∀␈ε%4
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αequations␈αcan␈αbe␈αwritten,␈αin␈α␈v␈α␈olving␈αt␈α␈w␈α␈o␈αvariables␈↓ λm␈ε/alpha␈↓ 	R␈ε"and␈↓ 
_␈ε/beta␈↓ 
j␈ε"that
␈βλJ␈↓ ↓H␈ε"are␈αnot␈αused␈αelsewhere:
␈β	∂␈↓ ∧:␈ε(x␈↓ ∧c␈ε"=␈↓ ¬⊃␈ε/alpha␈↓ ¬k␈ε"[␈↓ ¬u␈ε(x␈↓ ε∪␈ε",␈↓ ε#␈ε(x␈↓ εB␈ε"]␈α
=␈↓ π∧␈ε/beta␈↓ πL␈ε"[␈↓ πV␈ε(x␈↓ πu␈ε",␈↓ λ¬␈ε(x␈↓ λ$␈ε"];
␈β	≤␈↓ ∧K␈ε%5␈↓ ε¬␈ε%1␈↓ ε4␈ε%2␈↓ πg␈ε%3␈↓ λ⊗␈ε%4
␈β	E␈↓ ∧:␈ε(y␈↓ ∧c␈ε"=␈↓ ¬⊃␈ε/alpha␈↓ ¬k␈ε"[␈↓ ¬u␈ε(y␈↓ ε∀␈ε",␈↓ ε$␈ε(y␈↓ εD␈ε"]␈α
=␈↓ πε␈ε/beta␈↓ πM␈ε"[␈↓ πW␈ε(y␈↓ πw␈ε",␈↓ λπ␈ε(y␈↓ λ&␈ε"];
␈β	R␈↓ ∧K␈ε%5␈↓ εε␈ε%1␈↓ ε5␈ε%2␈↓ πh␈ε%3␈↓ λ_␈ε%4
␈β	z␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β
⊃␈↓ β⊗␈ε"will␈α
solv␈α␈e␈α∞for␈↓ ∧o␈ε/alpha␈↓ ¬I␈ε",␈↓ ¬a␈ε/beta␈↓ ε(␈ε",␈↓ ε@␈ε(x␈↓ ε←␈ε",␈α∞and␈↓ π>␈ε(y␈↓ π↑␈ε".␈α⊂The␈α∞reasoning␈α
behind␈α
these
␈β
≡␈↓ εQ␈ε%5␈↓ πO␈ε%5
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"equations␈αis␈αthat␈αthere␈αis␈αsome␈αfraction␈↓ ε3␈ε(␈↓ εR␈ε"such␈αthat␈↓ πp␈ε(x␈↓ λ~␈ε"is␈↓ λ=␈ε(␈↓ λ\␈ε"of␈αthe␈αway␈αfrom␈↓ 
b␈ε(x␈↓ ␈ε"to
␈β
I␈↓ λ↓␈ε%5␈↓ 
s␈ε%1
␈β
g␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓s␈ε"and␈↓ α9␈ε(y␈↓ αd␈ε"is␈↓ βλ␈ε(␈↓ β(␈ε"of␈αthe␈α
way␈αfrom␈↓ ¬3␈ε(y␈↓ ¬↑␈ε"to␈↓ ε
␈ε(y␈↓ ε*␈ε";␈αsimilarly␈αthere␈αis␈αsome␈αfraction␈αrelating
␈β
u␈↓ ↓X␈ε%2␈↓ αJ␈ε%5␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ ε≠␈ε%2
␈β∩␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓t␈ε"to␈↓ α"␈ε(x␈↓ αO␈ε"and␈↓ β⊗␈ε(x␈↓ βC␈ε"as␈↓ βq␈ε(y␈↓ ∧≡␈ε"is␈α∞related␈α
to␈↓ ¬k␈ε(y␈↓ ε_␈ε"and␈↓ ε`␈ε(y␈↓ ε␈␈ε".␈α⊃We␈α∞don't␈α∞care␈α
what␈↓ 	e␈ε(␈↓ 
π␈ε"and␈↓ 
N␈ε(␈␈↓ 
r␈ε"are;
␈β ␈↓ ↓X␈ε%5␈↓ α3␈ε%3␈↓ β'␈ε%4␈↓ ∧α␈ε%5␈↓ ¬|␈ε%3␈↓ εq␈ε%4
␈β'␈↓ ∧n␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β>␈↓ ↓H␈ε"but␈α
it␈α∞doesn't␈α
h␈α␈urt␈α∞to␈α
ask␈↓ ε<␈ε"to␈α∞compute␈α
more␈α∞values␈α
than␈α∞w␈α␈e␈α
really
␈βi␈↓ ↓H␈ε"need,␈αas␈αlong␈αas␈αit␈αalso␈αcomputes␈αthe␈αdesired␈αvalues␈↓ πw␈ε(x␈↓ λ!␈ε"and␈↓ λf␈ε(y␈↓ 	ε␈ε".␈α↔(Note:␈αIf␈αy␈α␈ou␈αare
␈βv␈↓ λπ␈ε%5␈↓ λw␈ε%5
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"applying␈αthis␈α
trick␈α
more␈αthan␈α
once,␈α
it␈αis␈α
necessary␈αto␈α
say␈α
\␈ε5n␈α␈ew␈α∀alph␈α␈a,b␈α␈eta␈ε"␈α␈";
␈β?␈↓ ↓H␈ε"this␈α∂allo␈α␈ws␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂to␈α∂reuse␈α⊂the␈α⊂same␈α∂auxiliary␈α⊂variables␈↓ λ/␈ε/alpha␈↓ 	_␈ε"and␈↓ 	b␈ε/beta␈↓ 
9␈ε"in␈α∂each
␈βj␈↓ ↓H␈ε"place.␈αSee␈αChapter␈α9␈αfor␈αthe␈αrules␈αof␈ε5␈αn␈α␈ew␈ε".)
␈β
⊗␈↓ α␈ε"Finally␈αλw␈α␈e␈α	come␈αλto␈α	expressions␈αλof␈αλthe␈α	third␈αλ⎇av␈α␈or:␈ε/␈α
general␈↓ 	␈ε"expressions.␈α
These
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"consist␈αλof␈αλa␈αλterm␈αλfollo␈α␈w␈α␈ed␈αλby␈αλzero␈αλor␈αλmore␈αλoccurrences␈α	of␈αλ\␈ε5+␈ε6␈απh␈ε"term␈ε6i␈ε""␈α	or␈αλ\␈ε5-␈ε6␈απh␈ε"term␈ε6i␈ε"",
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"meaning␈α∞to␈α∞add␈α∂or␈α∞subtract␈α∞the␈α∂value␈α∞of␈α∞the␈α∂term␈α∞follo␈α␈wing␈α∞the␈α∂plus␈α∞or␈α∞min␈α␈us
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"sign␈αto␈αor␈αfrom␈αthe␈αvalue␈αof␈αthe␈αexpression␈αso␈αfar.␈αA␈αgeneral␈αexpression␈αcan␈αalso
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"begin␈αwith␈αa␈αplus␈αsign␈αor␈αa␈αmin␈α␈us␈αsign,␈αin␈αwhich␈αcase␈αw␈α␈e␈αin␈α␈terpret␈αit␈αas␈αif␈αit␈αhad
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ βh␈ε>Variables,␈αexpressions,␈αand␈αequations␈↓ β␈ε"45
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε"been␈α
preceded␈α
by␈αthe␈α
constan␈α␈t␈α
\␈ε50␈ε"".␈α∃(For␈αexample,␈α
the␈αexpression␈α
\␈ε6␈␈ε"2␈↓ 
~␈ε(y␈↓ 
?␈ε"+␈αε3␈↓ 
{␈ε(y␈↓ ~␈ε""
␈βα←␈↓ 
+␈ε%1␈↓ ␈ε%2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε"means␈αλthe␈αλsame␈α	thing␈αλas␈α	\0␈ε6␈αβ␈␈ε"␈αβ2␈↓ ¬&␈ε(y␈↓ ¬H␈ε"+␈α∧3␈↓ εα␈ε(y␈↓ ε!␈ε"",␈α	which␈αλmeans,␈α
\Tak␈α␈e␈αλzero,␈α	then␈αλsubtract
␈ββ
␈↓ ¬7␈ε%1␈↓ ε∪␈ε%2
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈wice␈α
the␈α	value␈α
of␈↓ βd␈ε(y␈↓ ∧∧␈ε",␈α
then␈α
add␈α
three␈α
times␈α
the␈α
value␈α
of␈↓ λ&␈ε(y␈↓ λE␈ε".")␈α∀Lik␈α␈e␈α
terms,␈α
general
␈ββ5␈↓ βu␈ε%1␈↓ λ7␈ε%2
␈ββS␈↓ ↓H␈ε"expressions␈αare␈αevaluated␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α␈t.
␈β∧⊂␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β∧∀␈↓ α␈ε#Rea␈α␈ders␈α	fam␈α␈i␈α↓liar␈α	with␈α	BNF␈α	no␈α␈tation␈αλmay␈αλap␈α␈prec␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈α	the␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α	sum␈α␈mary␈αλof␈α	the
␈β∧"␈↓ ∧≥␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∧<␈↓ α␈ε#sy␈α␈n␈α␈tac␈α␈ti␈α↓c␈αru␈α␈les␈αfor␈↓ ¬V␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les,␈αexp␈α␈ression␈α␈s,␈αa␈α␈nd␈α
equ␈α␈ation␈α␈s:
␈β¬␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#dig␈α␈i␈α↓t␈ε7i␈↓ αK␈ε7 ␈ε#␈α
0␈ε7␈αλj␈ε#␈α
1␈ε7␈α	j␈ε#␈α	2␈ε7␈α	j␈ε#␈α
3␈ε7␈α	j␈ε#␈α	4␈ε7␈α	j␈ε#␈α
5␈ε7␈αλj␈ε#␈α
6␈ε7␈α	j␈ε#␈α	7␈ε7␈α	j␈ε#␈α
8␈ε7␈α	j␈ε#␈α	9
␈β¬3␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#dig␈α␈i␈α↓t␈αstrin␈α␈g␈ε7i␈↓ β)␈ε7 ␈↓ βT␈ε7h␈ε#d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈ε7i␈↓ ∧6␈ε7j␈↓ ∧H␈ε7h␈ε#␈α↓d␈α␈igit␈αstring␈ε7␈α␈i␈↓ ε␈ε7h␈ε#d␈α␈igit␈ε7i
␈β¬[␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#no␈α␈n␈αwx␈α␈y␈ε7i␈↓ βε␈ε7 ␈↓ β1␈ε)a␈↓ βJ␈ε7j␈↓ β]␈ε)b␈↓ βs␈ε7j␈↓ ∧ε␈ε)c␈↓ ∧≤␈ε7j␈↓ ∧/␈ε)d␈↓ ∧J␈ε7j␈↓ ∧]␈ε)e␈↓ ∧s␈ε7j␈↓ ¬ε␈ε)f␈↓ ¬∨␈ε7j␈↓ ¬1␈ε)g␈↓ ¬J␈ε7j␈↓ ¬]␈ε)h␈↓ ¬v␈ε7j␈↓ ε	␈ε)i␈↓ ε∨␈ε7j␈↓ ε1␈ε)j␈↓ εI␈ε7j␈↓ ε\␈ε)k␈↓ εv␈ε7j␈↓ πλ␈ε)l␈↓ π≠␈ε7j␈↓ π-␈ε)m␈↓ πT␈ε7j␈↓ πf␈ε)n␈↓ λβ␈ε7j␈↓ λ⊗␈ε)o␈↓ λ-␈ε7j␈↓ λ?␈ε)p␈↓ λZ␈ε7j␈↓ λl␈ε)q␈↓ 	∧␈ε7j␈↓ 	↔␈ε)r␈↓ 	.␈ε7j␈↓ 	A␈ε)s␈↓ 	X␈ε7j␈↓ 	j␈ε)t␈↓ 
␈ε7j␈↓ 
∩␈ε)u␈↓ 
/␈ε7j␈↓ 
B␈ε)v␈↓ 
]␈ε7j␈↓ 
o␈ε)z
␈βεα␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#wxy␈ε7␈α␈i␈↓ αE␈ε7 ␈↓ αp␈ε)w␈↓ β∩␈ε7j␈↓ β%␈ε)x␈↓ β?␈ε7j␈↓ βR␈ε)y
␈βε*␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#letter␈ε7i␈↓ αV␈ε7 ␈↓ β↓␈ε7h␈ε#n␈α␈on␈α
w␈α↓x␈α␈y␈ε7i␈↓ ∧≡␈ε7j␈↓ ∧0␈ε7h␈ε#w␈α↓x␈α␈y␈ε7i
␈βεR␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#iden␈α}ti|er␈ε7i␈↓ β	␈ε7 ␈↓ β4␈ε7h␈ε#n␈α␈on␈α
wxy␈ε7␈α␈i␈↓ ∧Q␈ε7j␈↓ ∧c␈ε7h␈ε#i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓|␈α␈er␈ε7i␈↓ ¬z␈ε7h␈ε#letter␈ε7i
␈βεy␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#ind␈α␈ex␈ε7i␈↓ αX␈ε7 ␈↓ βα␈ε7h␈ε#␈α↓d␈α␈igit␈αstring␈ε7i␈↓ ∧C␈ε7j␈↓ ∧U␈ε7h␈ε#i␈α↓d␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈ε7i
␈βπ!␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#va␈α␈riable␈ε7i␈↓ α⎇␈ε7 ␈↓ β'␈ε7h␈ε#␈α↓id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈ε7i␈↓ ∧H␈ε7j␈↓ ∧Z␈ε7h␈ε#wxy␈ε7␈α␈i␈↓ ¬-␈ε7h␈ε#i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈ε7i
␈βπH␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#rad␈α␈ix␈ε7i␈↓ αT␈ε7 ␈ε#␈α
∞␈ε7␈α	j␈↓ β+␈ε7h␈ε#emp␈α␈ty␈ε7i
␈βπp␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#co␈α␈nstan␈α}t␈ε7i␈↓ ββ␈ε7 ␈↓ β.␈ε7h␈ε#rad␈α␈ix␈ε7i␈↓ ∧⊂␈ε7h␈ε#digit␈αstrin␈α␈g␈ε7i␈↓ ¬P␈ε7j␈↓ ¬c␈ε7h␈ε#rad␈α␈ix␈ε7i␈↓ εE␈ε7h␈ε#dig␈α␈i␈α↓t␈αstrin␈α␈g␈ε7i␈↓ π|␈ε?.␈↓ λ∂␈ε7h␈ε#d␈α␈i␈α↓g␈α␈it␈αs␈α␈tri␈α↓n␈α␈g␈ε7i␈↓ 	O␈ε7j
␈βλ_␈↓ ¬\␈ε7h␈ε#␈α↓r␈α␈adix␈ε7␈α␈i␈↓ ε>␈ε?.␈↓ εQ␈ε7h␈ε#digit␈αstring␈ε7␈α␈i␈↓ λ∩␈ε7j␈ε#␈α	␈
␈↓ λ5␈ε7h␈ε#a␈α␈scii␈αch␈α␈ara␈α␈cter␈ε7i
␈βλ?␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#un␈α␈ary␈α
op␈α␈erato␈α␈r␈ε7i␈↓ βc␈ε7 ␈↓ ∧
␈ε3sqrt␈↓ ∧N␈ε7j␈↓ ∧`␈ε3cosd␈↓ ¬)␈ε7j␈↓ ¬;␈ε3sind␈↓ ε␈ε7j␈↓ ε∩␈ε3rou␈α␈nd␈↓ εp␈ε7j␈↓ πβ␈ε3go␈α␈od␈↓ πG␈ε7h␈ε#i␈α↓n␈α␈dex␈ε7␈α␈i␈↓ λ6␈ε7j␈↓ λI␈ε7h␈ε#d␈α␈i␈α↓re␈α␈ction␈ε7i␈↓ 	←␈ε7h␈ε#ind␈α␈ex␈ε7␈α␈i
␈βλg␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#direc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈↓ βλ␈ε7 ␈↓ β3␈ε3lft␈↓ β]␈ε7j␈↓ βp␈ε3rt␈↓ ∧∪␈ε7j␈↓ ∧%␈ε3top␈↓ ∧←␈ε7j␈↓ ∧q␈ε3bo␈α␈t
␈β	∞␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#pr␈α␈i␈α↓m␈α␈ary␈ε7i␈↓ α⎇␈ε7 ␈↓ β'␈ε7h␈ε#␈α↓v␈α␈ariab␈α␈le␈ε7i␈↓ ∧;␈ε7j␈↓ ∧N␈ε7h␈ε#con␈α␈stan␈α}t␈ε7i␈↓ ¬h␈ε7j␈↓ ¬{␈ε3n␈α␈rand␈↓ εY␈ε7j␈↓ εl␈ε7h␈ε#u␈α␈nary␈α
op␈α␈erato␈α␈r␈ε7i␈↓ λ\␈ε7h␈ε#term␈ε7i␈↓ 	@␈ε7j␈ε#␈α
(␈↓ 	↑␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈↓ 
␈ε#)
␈β	6␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈αo␈α␈r␈αdivision␈α
si␈α↓g␈α␈n␈ε7i␈↓ ¬<␈ε7 ␈α
β␈α	j␈ε#␈α	.␈ε7␈α
j␈↓ ε8␈ε7h␈ε#emp␈α␈ty␈ε7i␈↓ π4␈ε7j␈ε#␈α	/
␈β	↑␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#term␈ε7␈α␈i␈↓ αM␈ε7 ␈↓ αw␈ε7h␈ε#primary␈ε7␈α␈i␈↓ ∧␈ε7j␈↓ ∧≡␈ε7h␈ε#term␈ε7␈α␈i␈↓ ∧y␈ε7h␈ε#m␈α}ultiplication␈α
or␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αsign␈ε7␈α␈i␈↓ λB␈ε7h␈ε#␈α↓p␈α␈rimary␈ε7␈α␈i␈↓ 	V␈ε7j
␈β
¬␈↓ ¬\␈ε7h␈ε#␈α↓t␈α␈erm␈ε7i␈↓ ε7␈ε#[␈↓ ε@␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ πl␈ε#,␈↓ π{␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ 	'␈ε#]
␈β
-␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#ad␈α␈dition␈α
or␈αsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αsign␈ε7␈α␈i␈↓ ¬≡␈ε7 ␈ε#␈α	+␈ε7␈α
j␈α	␈
␈β
T␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#ex␈α␈press␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈↓ β≡␈ε7 ␈↓ βI␈ε7h␈ε#term␈ε7␈α␈i␈↓ ∧-␈ε7j␈↓ ∧?␈ε7h␈ε#ad␈α␈dition␈αo␈α␈r␈αsub␈α␈tractio␈α␈n␈αsign␈ε7␈α␈i␈↓ πk␈ε7h␈ε#te␈α␈rm␈ε7i␈↓ λN␈ε7j
␈β
|␈↓ ¬\␈ε7h␈ε#␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ πλ␈ε7h␈ε#␈α↓a␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αor␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈α
si␈α↓g␈α␈n␈ε7i␈↓ 
4␈ε7h␈ε#term␈ε7␈α␈i
␈β$␈↓ ↓i␈ε7h␈ε#eq␈α␈uatio␈α␈n␈αstate␈α␈men␈α␈t␈ε7␈α␈i␈↓ ∧∨␈ε7 ␈↓ ∧I␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ ¬␈␈ε#=␈↓ ε)␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ π←␈ε7j
␈βK␈↓ ¬\␈ε7h␈ε#␈α↓e␈α␈qu␈α␈ation␈αst␈α␈ateme␈α␈n␈α␈t␈ε7i␈↓ λ∩␈ε#=␈↓ λ=␈ε7h␈ε#ex␈α␈pres␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈ε7i
␈β2␈↓ α␈ε"Before␈α∞w␈α␈e␈α∞close␈α
this␈α∞discussion␈α∞of␈α∞expressions,␈α∞a␈α∞few␈α∞things␈α∞deserv␈α␈e␈α
special
␈β]␈↓ ↓H␈ε"emphasis:
␈β⎇␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β
∀␈↓ ↓b␈ε"1)␈↓ α␈ε"Blank␈απspaces,␈↓ βd␈ε6h␈ε"tab␈ε6i␈↓ ∧0␈ε"s,␈αλand␈↓ ¬⊃␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ π∪␈ε"s␈απusually␈αλhav␈α␈e␈απno␈απe{ect␈αλon␈απa␈↓  ␈ε"-
␈β
(␈↓ α␈ε<F␈α}ON␈α␈T
␈β
?␈↓ αr␈ε"program␈αεex␈α␈cept␈απfor␈αεthe␈απfact␈αεthat␈αεthey␈απmay␈αεnot␈απappear␈αεwithin␈αεiden␈α␈ti|ers,
␈β
j␈↓ α␈ε"constan␈α␈ts,␈α∂or␈α∞|le␈α∂names,␈α∂and␈α∞the␈α∂fact␈α∞that␈α∞they␈α∂giv␈α␈e␈α∞a␈α∂special␈α∞meaning␈α∞to
␈β∞∃␈↓ α␈ε"each␈α
\␈ε5.␈ε""␈α∂that␈α
they␈α
follo␈α␈w.␈α⊂A␈α
character␈α
that␈α
has␈α
no␈α
special␈α
meaning␈α
in␈α
the
␈β∞*␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β∞A␈↓ βV␈ε"language␈α	(e.g.,␈α
\␈ε5?␈ε""␈αor␈α	\␈ε5$␈ε""␈α	or␈α	\␈ε5⎇␈ε"")␈α	is␈α	treated␈α	as␈α
if␈α	it␈α	w␈α␈ere␈α	a␈α	blank
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"46␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α5
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ α␈ε"space.␈α⊃(Of␈αλcourse,␈α
blank␈αλspaces␈α	and␈αλother␈α	characters␈αλdo␈α	represen␈α␈t␈αλthemselv␈α␈es
␈βα⎇␈↓ α␈ε"when␈α	they␈α
immediately␈α	follo␈α␈w␈α	a␈α	␈
␈α
mark␈α	or␈α	when␈α
they␈α	appear␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α	quotes
␈ββ(␈↓ α␈ε"in␈αtitles.)
␈ββI␈↓ πv␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈ββ`␈↓ ↓b␈ε"2)␈↓ α␈ε"The␈α∞sym␈α␈bol␈α
\␈ε5.␈ε""␈α⊂m␈α␈ust␈α∞be␈α
used␈α∞carefully,␈α∞since␈↓ 	D␈ε"in␈α␈terprets␈α∞it␈α
in
␈β∧␈↓ α␈ε"four␈αdi{eren␈α␈t␈αways␈αdepending␈αon␈αthe␈αimmediate␈αcon␈α␈text:
␈β∧D␈↓ α.␈ε"i)␈↓ αP␈ε"If␈α⊂\␈ε5.␈ε""␈α↔is␈α⊂follo␈α␈w␈α␈ed␈α⊂by␈α∂a␈α⊂blank␈α⊂space␈α⊂(or␈↓ π`␈ε6h␈ε"tab␈ε6i␈↓ λ<␈ε"or␈↓ λl␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ 
n␈ε"),␈α⊂it
␈β∧X␈↓ λ;␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β∧o␈↓ αP␈ε"denotes␈α⊃a␈α⊂period␈α⊂or␈α⊂\full␈α⊂stop"␈α⊂(the␈α⊂end␈α⊂of␈α⊂a␈↓ 
␈ε"routine␈α⊂or
␈β¬~␈↓ αP␈ε"subroutine).
␈β¬R␈↓ α$␈ε"ii)␈↓ αP␈ε"If␈α\␈ε5.␈ε""␈αis␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αa␈αdigit␈α(0␈αto␈α9),␈αit␈αdenotes␈αa␈αdecimal␈αpoin␈α␈t.
␈βε
␈↓ α~␈ε"iii)␈↓ αP␈ε"If␈α\␈ε5.␈ε""␈αis␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈α
by␈αanother␈α\␈ε5.␈ε"",␈αit␈αdenotes␈αthe␈α\␈αε.␈αε.␈αε"␈αsym␈α␈bol␈αin␈αa␈↓ 
↑␈ε2draw
␈βε6␈↓ αP␈ε"(or␈↓ βλ␈ε2ddraw␈↓ βj␈ε")␈αcommand.
␈βεn␈↓ α~␈ε"iv)␈↓ αP␈ε"Otherwise␈α\␈ε5.␈ε""␈αdenotes␈αm␈α␈ultiplication.
␈βπ&␈↓ ↓b␈ε"3)␈↓ α␈ε"You␈α∂don't␈α∂need␈α⊂paren␈α␈theses␈α∂in␈α∂expressions␈α∂lik␈α␈e␈α∂\␈↓ λ≤␈ε2round␈↓ 	π␈ε"2␈↓ 	→␈ε(z␈↓ 	(␈ε""␈α⊂or␈α∂\␈↓ 
␈ε2sqrt␈↓ 
V␈ε(u␈↓ 
l␈ε"/␈↓ 
}␈ε(v␈↓ ⊂␈ε"".
␈βπ2␈↓ α␈ε↓␈
␈βπQ␈↓ α~␈ε"Most␈α
computer␈αlanguages␈α
require␈αy␈α␈ou␈α
to␈αwrite␈α
\␈↓ λ∧␈ε2round␈↓ λ`␈ε"(2␈↓ λ}␈ε(z␈↓ 	
␈ε")"␈αand␈α
\␈↓ 
␈ε2sqrt␈↓ 
H␈ε"(␈↓ 
T␈ε(u␈↓ 
j␈ε"/␈↓ 
|␈ε(v␈↓ ∞␈ε")"
␈βπ]␈↓ ∧9␈ε↓↓
␈βπ⎇␈↓ α␈ε"and␈αev␈α␈en␈α\␈↓ β7␈ε2sqrt␈↓ βs␈ε"(2)".
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε↓x
␈βλ5␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α∞5.2:␈ε"␈α⊃Does␈α∞\␈ε5sq␈α␈rt␈α∀x1+x␈α␈2␈ε""␈α∞mean␈α∂the␈α∞same␈α∞as␈α≡(a)␈α∞\␈ε5(s␈α␈qrt␈α∀x1)␈α␈+x2␈ε"␈α␈"?
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"(b)␈α_\␈ε5s␈α␈qrt␈α␈(x1+␈α␈x2)␈ε"␈α␈"?␈α~(c)␈α\␈ε5s␈α␈qrt␈α∀x1␈α␈(+x2␈α␈)␈ε""?
␈β	h␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈6>␈α
Fillin␈α↓g␈α
in␈α
bet␈α␈w␈α␈e␈α␈en␈α
curv␈α␈e␈α␈s
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε"Letter␈αforms␈αin␈αmodern␈αalphabets␈αare␈αbased␈αprimarily␈αon␈αthe␈αcalligraph␈α␈y␈αof␈α|ne
␈β
J␈↓ ↓H␈ε"penmen␈αin␈α
bygone␈αages;␈α
but␈αthey␈α
hav␈α␈e␈αgone␈α
through␈αa␈α
long␈αev␈α␈olution␈α
so␈αthat␈αa
␈β
u␈↓ ↓H␈ε"great␈α
man␈α␈y␈α
letters␈α
are␈α
quite␈α
di{eren␈α␈t␈α
from␈α
what␈α
y␈α␈ou␈α
w␈α␈ould␈α	get␈α
using␈α
a␈α
|x␈α␈ed␈α
pen.
␈β!␈↓ ↓H␈ε"Furthermore,␈αreal␈αpens␈α
and␈αbrushes␈αchange␈α
their␈αshape␈αdepending␈α
on␈αho␈α␈w␈αhard
␈βL␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈α	press␈α	and␈α	on␈α
what␈α	direction␈α	y␈α␈ou␈α	are␈α
mo␈α␈ving,␈α	as␈α
y␈α␈ou␈α	write␈α	or␈α	pain␈α␈t.␈αTherefore
␈β`␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βw␈↓ β∪␈ε"has␈αpro␈α␈visions␈α
for␈αproducing␈α
shapes␈αin␈αwhich␈α
the␈αpen␈α
seems␈αto␈α
vary
␈β"␈↓ ↓H␈ε"its␈αproportions␈αas␈αit␈αmo␈α␈v␈α␈es.
␈βN␈↓ α␈ε"The␈α
basic␈αway␈α
to␈α
accomplish␈αsuch␈α
special␈α
e{ects␈αis␈α
to␈α
use␈αthe␈↓ 	L␈ε2ddraw␈↓ 
8␈ε"(double
␈βy␈↓ ↓H␈ε"draw)␈α
command,␈α
which␈α∞is␈α
lik␈α␈e␈↓ ¬1␈ε2draw␈↓ ε␈ε"but␈α
y␈α␈ou␈α
specify␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
curv␈α␈es␈α
instead␈α
of␈α
one.
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"When␈αy␈α␈ou␈αsay
␈β
Q␈↓ ∧'␈ε(w␈↓ ∧W␈ε2ddraw␈↓ ¬C␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε4,␈α5␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε8
␈β
←␈↓ ∧?␈ε%5
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"(for␈α⊂example),␈α⊃the␈α⊂e{ect␈α⊂is␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂to␈α⊂tak␈α␈e␈α⊂the␈α⊂curren␈α␈t␈α⊂pen␈α⊂of␈α⊂size␈↓ 
<␈ε(w␈↓ 
r␈ε"and
␈β∞%␈↓ 
T␈ε%5
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞draw␈α∂the␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞curv␈α␈es␈α∂1␈αε.␈αε.␈αε2␈αε.␈αε.␈αε3␈αε.␈αε.␈αε4␈α∂and␈α∂5␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε7␈αε.␈αε.␈αε8,␈α∂then␈α∂to␈α∞|ll␈α∂in␈α∂the␈α∞space
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧D␈ε>Filling␈αin␈αbetween␈αcurves␈↓ β␈ε"47
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"bet␈α␈w␈α␈een␈α	them.␈αThis␈α
|lling-in␈α	process␈α
is␈α
achiev␈α␈ed␈α
by␈α
drawing␈α
in␈α␈terpolating␈α	curv␈α␈es
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"that␈α
are␈αequally␈α
spaced␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈αcorresponding␈α
pairs␈αof␈α
poin␈α␈ts␈α1␈αand␈α
5,␈α2␈α
and
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"6,␈α3␈αand␈α7,␈α4␈αand␈α8.
␈ββV␈↓ α␈ε"Both␈αλcurv␈α␈es␈α	in␈αλa␈↓ ∧
␈ε2ddraw␈↓ ∧w␈ε"command␈α	are␈αλspeci|ed␈α	exactly␈αλas␈α	in␈↓ 	&␈ε2draw␈↓ 	|␈ε"commands,
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε"with␈απoptional␈απdirections␈απincluded␈αλin␈απbraces␈απat␈απeach␈αλpoin␈α␈t,␈αλand␈απwith␈απoptional␈απhidden
␈β∧-␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts␈αλin␈α	paren␈α␈theses␈α	at␈αλthe␈α	beginning␈α	or␈αλend;␈α
the␈α	only␈α	pro␈α␈viso␈αλis␈α	that␈α	both␈αλcurv␈α␈es
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈α
hav␈α␈e␈α
exactly␈α
the␈α
same␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
poin␈α␈ts␈α
(not␈α
coun␈α␈ting␈α
hidden␈α
ones).␈α∂You
␈β¬β␈↓ ↓H␈ε"can␈αλsay␈αλ\␈↓ αT␈ε2ddraw␈↓ β@␈ε"1,␈αε2"␈αλ(which␈αλturns␈αλout␈α	to␈αλbe␈αλequivalen␈α␈t␈αλto␈αλ\␈↓ λL␈ε2draw␈↓ 	$␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε2"␈αλsince␈αλthere
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε"is␈α
only␈αone␈αpoin␈α␈t␈α
in␈αeach␈α\curv␈α␈e"),␈αbut␈α
y␈α␈ou␈αcan't␈αsay␈α
\␈↓ λ⊗␈ε2draw␈↓ λn␈ε"1␈αε.␈αε.␈αε2(␈αε.␈αε.␈αε3),␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈αε.␈αε.␈αε6"
␈β¬Y␈↓ ↓H␈ε"(since␈αthat's␈αa␈αt␈α␈w␈α␈o-poin␈α␈t␈αcurv␈α␈e␈αwith␈αa␈αthree-poin␈α␈t␈αone).
␈βεε␈↓ α␈ε"Suppose,␈α∞for␈α
example,␈α∞that␈α
y␈α␈ou␈α
wish␈α
to␈α∞|ll␈α
in␈α
the␈α∞heart␈α
shape␈α
discussed␈α
in
␈βε1␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α2.␈α
Assuming␈αthat␈α
the␈αpoin␈α␈ts␈αhav␈α␈e␈αbeen␈α
de|ned␈αas␈αin␈α
that␈αchapter,␈αand
␈βε\␈↓ ↓H␈ε"assuming␈αthat␈↓ β1␈ε2cpen␈↓ ∧¬␈ε"has␈αbeen␈αselected,␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αcommands␈αcan␈αbe␈αissued␈αto
␈βεp␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βππ␈↓ βλ␈ε":
␈βπT␈↓ αA␈ε%1␈↓ ∧5␈ε%1
␈βπW␈↓ ↓f␈ε(x␈↓ α∂␈ε"=␈↓ αS␈ε"[␈↓ α]␈ε(x␈↓ α|␈ε",␈↓ β␈ε(x␈↓ β+␈ε"];␈↓ βY␈ε(y␈↓ ∧β␈ε"=␈↓ ∧G␈ε"[␈↓ ∧Q␈ε(y␈↓ ∧q␈ε",␈↓ ¬↓␈ε(y␈↓ ¬ ␈ε"];
␈βπd␈↓ ↓w␈ε%9␈↓ αn␈ε%1␈↓ β≥␈ε%3␈↓ βj␈ε%9␈↓ ∧b␈ε%1␈↓ ¬∩␈ε%5
␈βπg␈↓ αA␈∧πgαAα∂␈↓ ∧5␈∧πg∧5α∂
␈βπj␈↓ αA␈ε%3␈↓ ∧5␈ε%3
␈βλα␈↓ ↓f␈ε"9␈↓ αα␈ε2ddraw␈↓ αn␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε3␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε",␈α9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9;
␈βλ-␈↓ ↓f␈ε2ddraw␈↓ αR␈ε"1␈ε6f␈␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε8␈ε6f␈␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε7␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε",␈α9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9.
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε"The␈α
outside␈α∞boundary␈α
of␈α
the␈α∞resulting␈α
shape␈α∞will␈α
be␈α∞precisely␈α
that␈α∞of␈α
Fig.␈↓ 
l␈ε"2↑9␈↓ "␈ε",
␈β	≤␈↓ λe␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α⎇ONT
␈β	3␈↓ ↓H␈ε"while␈α	the␈α	in␈α␈terior␈α	will␈α	be␈α
solid␈α	black.␈αFig.␈↓ εJ␈ε"6↑1␈↓ π	␈ε"indicates␈α	ho␈α␈w␈↓ 
.␈ε"actually
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"does␈α
this,␈α
by␈α
sho␈α␈wing␈α
the␈α
set␈α
of␈α
paths␈α
that␈α
a␈↓ π≥␈ε2cpen␈↓ πr␈ε"of␈α
diameter␈α
9␈αw␈α␈ould␈α
tak␈α␈e␈α
to
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"|ll␈α
in␈α
the␈α
middle;␈α∞these␈α
paths␈α∞are␈α
illustrated␈α
with␈α
a␈↓ λε␈ε2cpen␈↓ λ\␈ε"of␈α
diameter␈α
1␈α
so␈α
that
␈β
5␈↓ ↓H␈ε"gaps␈αare␈αapparen␈α␈t.
␈βy␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α⊂6↑␈α␈1.␈ε#␈α#The␈α∂hea␈α␈rt␈α⊂shap␈α␈e␈α⊂(or␈α⊂a␈α␈n␈α␈y
␈β
 ␈↓ π⊂␈ε#othe␈α␈r␈αεsha␈α␈pe␈α␈)␈αεcan␈α¬be␈α¬|lled␈α¬i␈α↓n␈α¬b␈α␈y␈αε\␈α␈do␈α␈ub␈α␈l␈α↓e
␈β
H␈↓ π⊂␈ε#drawin␈α␈g."
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"48␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α6
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ α␈ε"There␈α⊃was,␈α∩of␈α⊃course,␈α∪no␈α⊂need␈α⊃for␈α⊃the␈α⊃example␈α⊃program␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e␈α⊃to␈α⊃de|ne
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
9␈α∞as␈α∞it␈α∞did;␈α∂the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈↓ ∧k␈ε2ddraw␈↓ ¬Z␈ε"commands␈α∞w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α∞w␈α␈ork␈α␈ed␈α∞equally␈α∞w␈α␈ell␈α
if
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"\9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9␈αε.␈αε.␈αε9"␈αhad␈αbeen␈α
replaced␈αby␈α
\1␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε1"␈αor␈α\1␈αε.␈αε.␈αε1␈αε.␈αε.␈αε5␈αε.␈αε.␈αε5␈αε.␈αε.␈αε5"
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"or␈α	a␈α
host␈α	of␈α
other␈α
possibilities.␈αThe␈α
o{-cen␈α␈ter␈α	poin␈α␈t␈α
9␈α	was␈α
merely␈α
chosen␈α	to␈α
giv␈α␈e␈α	a
␈ββi␈↓ λ∂␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"nice-looking␈α
illustration␈α	that␈α
sho␈α␈ws␈α
a␈α
bit␈α
more␈α
of␈α
ho␈α␈w␈↓ 	Z␈ε"draws␈α	curv␈α␈es.
␈β∧5␈↓ ↓H␈ε↓x
␈β∧6␈↓ ↓Z␈ε2Ex␈α␈ercise␈α6.1:␈ε"␈αOn␈αthe␈αother␈αhand,␈αthe␈αcommand
␈β¬␈↓ ↓l␈ε"9␈↓ αλ␈ε2ddraw␈↓ αt␈ε"1␈ε6f␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε3␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g␈ε",
␈β¬B␈↓ ∧↑␈ε"1␈ε6f␈␈ε"50,␈αε40␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε8␈ε6f␈␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε7␈ε6f␈ε"0,␈ε6␈αε␈␈ε"1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε6␈αε.␈αε.␈αε5␈ε6f␈ε"50,␈ε6␈αε␈␈ε"36␈ε6g
␈βε→␈↓ ↓H␈ε"does␈ε/␈α⊂not␈ε"␈α⊂draw␈α⊂a␈α⊂|lled-in␈α⊂heart␈α⊂shape,␈α⊃although␈α⊂it␈α⊂migh␈α␈t␈α⊂seem␈α⊂at␈α⊂|rst␈α⊂that␈α⊂it
␈βεD␈↓ ↓H␈ε"should.␈αWh␈α␈y␈αdoesn't␈αit?
␈βπ␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βπ∧␈↓ α␈ε#Mo␈α␈re␈α∞pre␈α␈cisely,␈α∂su␈α␈pp␈α␈ose␈↓ ∧y␈ε3d␈α␈draw␈↓ ¬b␈ε#is␈α∞giv␈α}en␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞c␈α␈urv␈α}es␈α∞tha␈α␈t␈α∞run␈α
throu␈α␈gh␈α
the␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α␈s
␈βπ,␈↓ α␈ε#(␈↓ α↔␈ε)z␈↓ α/␈ε#,␈↓ α>␈ε)z␈↓ αU␈ε#,␈↓ αd␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β⊃␈ε#,␈↓ β∨␈ε)z␈↓ β;␈ε#)␈αλan␈α␈d␈αλ(␈↓ ∧∀␈ε#∂␈↓ ∧↔␈ε)z␈↓ ∧.␈ε#,␈↓ ∧:␈ε#∂␈↓ ∧=␈ε)z␈↓ ∧U␈ε#,␈↓ ∧d␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊂␈ε#,␈↓ ¬≤␈ε#∂␈↓ ¬∨␈ε)z␈↓ ¬:␈ε#).␈αTh␈α␈e␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈↓ π9␈ε)z␈↓ πG␈ε#(␈↓ πR␈ε)t␈↓ π↑␈ε#)␈αλan␈α␈d␈↓ λ.␈ε#∂␈↓ λ/␈ε)z␈↓ λ=␈ε#(␈↓ λH␈ε)t␈↓ λT␈ε#)␈αλa␈α␈re␈αλcom␈α␈pu␈α␈ted␈αλa␈α␈s␈αλusu␈α␈al,
␈βπ6␈↓ α"␈ε&1␈↓ αI␈ε&2␈↓ β*␈ε,n␈↓ ∧"␈ε&1␈↓ ∧H␈ε&2␈↓ ¬*␈ε,n
␈βπS␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈αλthe␈αλcu␈α␈rv␈α␈es␈αλ(␈↓ β8␈ε)k␈↓ βH␈ε#/␈↓ βY␈ε)m␈↓ βv␈ε#)[␈↓ ∧
␈ε)z␈↓ ∧_␈ε#(␈↓ ∧#␈ε)t␈↓ ∧/␈ε#),␈↓ ∧G␈ε#∂␈↓ ∧I␈ε)z␈↓ ∧W␈ε#(␈↓ ∧b␈ε)t␈↓ ∧n␈ε#)]␈α	a␈α␈re␈α	d␈α␈rawn␈αλfor␈α	0␈ε7␈α	∀␈↓ π→␈ε)k␈↓ π3␈ε7∀␈↓ π]␈ε)m␈↓ π{␈ε#,␈α	whe␈α␈re␈↓ λk␈ε)m␈↓ 	⊃␈ε#is␈α	co␈α␈mpu␈α␈ted␈αλin␈α	su␈α␈ch
␈βπ{␈↓ ↓H␈ε#a␈αway␈αth␈α␈at␈αthe␈αin␈α␈terior␈αis␈α
p␈α␈roba␈α␈bly␈α(bu␈α␈t␈α
n␈α␈ot␈αalway␈α␈s)␈α
|lled␈αin␈αby␈αth␈α␈i␈α↓s␈αmea␈α␈ns.␈α⊂Fina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈βλ#␈↓ ↓H␈ε#str␈α␈aigh␈α␈t␈α	line␈α␈s␈α	are␈α	d␈α␈rawn␈α	fro␈α␈m␈↓ ∧q␈ε)z␈↓ ¬∩␈ε#to␈↓ ¬6␈ε#∂␈↓ ¬8␈ε)z␈↓ ¬Y␈ε#an␈α␈d␈α	from␈↓ εe␈ε)z␈↓ π
␈ε#to␈↓ π.␈ε#∂␈↓ π0␈ε)z␈↓ πL␈ε#.␈αTh␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ 	≥␈ε)m␈↓ 	D␈ε#is␈α	d␈α␈etermin␈α␈ed␈α	a␈α␈s
␈βλ-␈↓ ∧|␈ε&1␈↓ ¬D␈ε&1␈↓ εp␈ε,n␈↓ π<␈ε,n
␈βλJ␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws:␈α
For␈α	each␈↓ βF␈ε)j␈↓ β↑␈ε#bet␈α␈w␈α␈e␈α␈en␈α	1␈α	and␈↓ ¬6␈ε)n␈↓ ¬S␈ε#w␈α␈e␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈α	↓␈↓ π$␈ε)x␈↓ πI␈ε#=␈↓ πs␈ε)x␈↓ λ∀␈ε7␈␈↓ λ:␈ε#∂␈↓ λ:␈ε)x␈↓ λ←␈ε#and␈α	↓␈↓ 	:␈ε)y␈↓ 	←␈ε#=␈↓ 

␈ε)y␈↓ 
+␈ε7␈␈↓ 
Q␈ε#∂␈↓ 
R␈ε)y␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈βλU␈↓ π3␈ε,j␈↓ λα␈ε,j␈↓ λJ␈ε,j␈↓ 	J␈ε,j␈↓ 
~␈ε,j
␈βλY␈↓ 
a␈ε,j
␈βλr␈↓ ↓H␈ε)m␈↓ ↓p␈ε#,␈αwhere␈↓ αe␈ε)m␈↓ β_␈ε#de␈α␈pen␈α␈ds␈αo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αcurre␈α␈n␈α␈t␈αpe␈α␈n␈αty␈α␈pe␈αa␈α␈nd␈αs␈α␈i␈α↓ze␈↓ π⎇␈ε)w␈↓ λ!␈ε#acco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈las
␈βλ|␈↓ ↓d␈ε,j␈↓ β↓␈ε,j
␈β	;␈↓ ↓E␈ε3cp␈α␈en␈↓ αλ␈ε#,␈↓ α⊗␈ε3spen␈↓ αW␈ε#,␈↓ αf␈ε3ep␈α␈en␈↓ ∧E␈ε3hp␈α␈en␈↓ π$␈ε3v␈α␈pen␈↓ 	`␈ε3lers␈↓ 
∩␈ε#,␈↓ 
!␈ε3re␈α␈rs
␈β	←␈↓ ↓R␈ε↓p
␈β	p␈↓ 	a␈ε↓␈␈↓ 
"␈ε↓␈␈↓ 
=␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓␈
␈β	y␈↓ βJ␈ε↓s␈↓ βn␈∧	yβnαα~␈↓ ε(␈ε↓s␈↓ εL␈∧	yεLαα~
␈β	z␈↓ ↓v␈∧	z↓vα↓%
␈β
↓␈↓ α#␈ε&2␈↓ β∞␈ε&2
␈β
β␈↓ ↓v␈ε#↓␈↓ α∩␈ε)x␈↓ α7␈ε#+␈αλ↓␈↓ α|␈ε)y␈↓ ∧X␈ε&2␈↓ ¬z␈ε&2␈↓ π7␈ε&2␈↓ λY␈ε&2
␈β
ε␈↓ 	a␈ε↓␈␈↓ 
"␈ε↓␈␈↓ 
=␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓␈
␈β
␈↓ βn␈ε↓∩␈↓ ∧B␈ε↓∪␈↓ ¬⊂␈ε↓∩␈↓ ¬d␈ε↓∪␈↓ εL␈ε↓∩␈↓ π!␈ε↓∪␈↓ πn␈ε↓∩␈↓ λC␈ε↓∪␈↓ 	K␈ε↓∩␈↓ 
␈ε↓∪
␈β
⊃␈↓ ∧π␈ε#↓␈↓ ∧#␈ε)x␈↓ ¬)␈ε#↓␈↓ ¬E␈ε)y␈↓ εf␈ε#↓␈↓ πα␈ε)x␈↓ λλ␈ε#↓␈↓ λ$␈ε)y␈↓ 	q␈ε#↓␈↓ 

␈ε)x␈↓ 
L␈ε#↓␈↓ 
h␈ε)y
␈β
≠␈↓ 	a␈ε↓␈␈↓ 
"␈ε↓␈␈↓ 
=␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓␈
␈β
≤␈↓ ∧3␈ε,j␈↓ ¬U␈ε,j␈↓ π⊃␈ε,j␈↓ λ3␈ε,j
␈β
'␈↓ ∧g␈ε#+␈↓ πE␈ε#+␈↓ 	π␈ε#ma␈α␈x␈↓ 
.␈ε#,␈↓ &␈ε#.
␈β
1␈↓ 	a␈ε↓␈␈↓ 
"␈ε↓␈␈↓ 
=␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓␈
␈β
5␈↓ ↓R␈∧
5↓Rα↓I␈↓ ∧π␈∧
5∧πα8␈↓ ¬)␈∧
5¬)α8␈↓ εf␈∧
5εfα8␈↓ λλ␈∧
5λλα8␈↓ 	q␈∧
5	qα.␈↓ 
L␈∧
5
Lα/
␈β
?␈↓ α*␈ε)w␈↓ ∧↔␈ε)w␈↓ ¬4␈ε)w␈↓ εp␈ε)w␈↓ λ↔␈ε)w␈↓ 	{␈ε)w␈↓ 
R␈ε)w
␈β
J␈↓ ¬J␈ε&0␈↓ πε␈ε&0␈↓ 
h␈ε&0
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#It␈α
follo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈ε7␈α
d␈↓ β+␈ε)m␈↓ βY␈ε#+␈απ1␈ε7␈α␈e␈ε#␈α
equ␈α␈ally-spa␈α␈ced␈α	pen␈α	imag␈α␈es␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ λ.␈ε)z␈↓ λO␈ε#an␈α␈d␈↓ 	␈ε#∂␈↓ 	∂␈ε)z␈↓ 	0␈ε#w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	tou␈α␈ch␈α
e␈α␈ach
␈β≤␈↓ βG␈ε,j␈↓ λ9␈ε,j␈↓ 	~␈ε,j
␈β9␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ther␈α␈,␈α∂ma␈α␈king␈α
a␈α
co␈α␈nn␈α␈ected␈α
set,␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α
we␈α␈ren't␈α
rou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
to␈α∞a␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈crete␈α
raster.␈α≡(Th␈α␈i␈α↓s␈α
is
␈βa␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αon␈α␈ly␈αcase␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈α\cu␈α␈rren␈α}t␈αsize␈α␈"␈αis␈αre␈α␈l␈α↓e␈α␈van␈α}t␈αfor␈αpe␈α␈ns␈αof␈αty␈α␈pe␈↓ 	∀␈ε3sp␈α␈en␈↓ 	`␈ε#a␈α␈nd␈↓ 
!␈ε3e␈α␈pen␈↓ 
c␈ε#;␈αy␈α}ou
␈β	␈↓ ↓H␈ε#sh␈α␈ou␈α␈ld␈αspecify␈αa␈αsize␈αsmall␈α
e␈α␈nou␈α␈gh␈αth␈α␈at␈α|ll-i␈α↓n␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αoc␈α␈cur␈αpro␈α␈perly␈αif␈α
th␈α␈e␈αpen␈αw␈α␈ere␈αa
␈β0␈↓ ↓H␈ε3c␈α␈pen␈↓ α_␈ε#inste␈α␈ad,␈α∞bu␈α␈t␈α∞n␈α␈ot␈α∞so␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α∞t␈α␈hat␈α
the␈α
|lli␈α↓n␈α␈g-in␈α
tak␈α}es␈α∞ex␈α␈treme␈α␈l␈α↓y␈α
lon␈α␈g.)␈α∨Th␈α␈e␈α∞a␈α␈ctua␈α␈l
␈βX␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈α
of␈↓ αG␈ε)m␈↓ αp␈ε#is␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αto␈α
be
␈β
'␈↓ ¬␈ε7b␈↓ ¬∪␈ε)s␈↓ ¬,␈ε#m␈α␈ax␈↓ ¬k␈ε#(␈↓ ¬v␈ε)m␈↓ ε∨␈ε#,␈↓ ε.␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ εZ␈ε#,␈↓ εi␈ε)m␈↓ π∃␈ε#)␈ε7␈αεc␈ε#␈απ+␈αλ1
␈β
2␈↓ ε∩␈ε&1␈↓ π¬␈ε,n
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α%␈ε)s␈↓ α;␈ε#is␈αλa␈απ\safety␈απfacto␈α␈r"␈αλth␈α␈at␈αλis␈αλno␈α␈rmally␈αλe␈α␈qua␈α␈l␈αλto␈αλ2.␈α
You␈απcan␈απcha␈α␈ng␈α␈e␈αλthe␈απsafety␈απfacto␈α␈r
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α	say␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	\␈↓ αm␈ε3safe␈α␈tyfac␈α␈tor␈↓ ∧#␈ε#2␈α␈.5",␈α
for␈α	exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αif␈α
it␈α	turn␈α␈s␈α
o␈α␈ut␈α	that␈α	2.0␈α	isn't␈α
sa␈α␈fe␈α
en␈α␈ou␈α␈gh␈α␈,␈α
bu␈α␈t
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈α
y␈α␈ou␈α
w␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈αe␈α␈v␈α␈er␈αn␈α␈eed␈αto␈α
do␈αth␈α␈is␈αun␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αare␈αqu␈α␈ite␈αun␈α}usu␈α␈al.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧D␈ε>Filling␈αin␈αbetween␈αcurves␈↓ β␈ε"49
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ α␈ε↓x
␈βαV␈↓ α≡␈ε3Ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈απ6.2:␈ε#␈α	Ho␈α␈w␈αλd␈α␈o␈απy␈α␈ou␈απth␈α␈ink␈απth␈α␈e␈αλau␈α␈tho␈α␈r␈αλp␈α␈rod␈α␈uce␈α␈d␈αλFig.␈↓ λJ␈ε#6␈α␈↑1␈↓ λ{␈ε#,␈α	us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλa␈απsin␈α␈gle␈↓ 
R␈ε3d␈α␈dra␈α␈w
␈βαd␈↓ ε+␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βα}␈↓ α␈ε#co␈α␈mman␈α␈d?␈α→(It␈αwas␈αn␈α␈ecess␈α␈ary␈αto␈α
fool␈↓ πd␈ε#in␈α}to␈αdra␈α␈wing␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αtha␈α␈t␈αdidn␈α␈'t
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈all␈α↓y␈α
|ll␈αi␈α↓n␈α
the␈α
i␈α↓n␈α}terior.)
␈ββb␈↓ α␈ε"Fig.␈↓ αV␈ε"6↑2␈↓ β↔␈ε"is␈αanother␈αexample␈αof␈↓ ¬v␈ε2ddraw␈↓ εX␈ε",␈αa␈αsort␈αof␈αcalligraphic␈αe{ect␈αproduced
␈β∧
␈↓ ↓H␈ε"with␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprogram:
␈β∧Z␈↓ β4␈ε(x␈↓ β]␈ε"=␈α
5;␈↓ ∧Q␈ε(y␈↓ ∧{␈ε"=␈α
10;␈↓ ε↓␈ε(x␈↓ ε)␈ε"=␈α
300;␈↓ πA␈ε(y␈↓ πV␈ε"2␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"5;
␈β∧g␈↓ βE␈ε%1␈↓ ∧b␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%2
␈β¬¬␈↓ β4␈ε(x␈↓ β]␈ε"=␈α
0;␈↓ ∧Q␈ε(y␈↓ ∧{␈ε"=␈α
0;␈↓ ¬o␈ε(x␈↓ ε↔␈ε"=␈α
298;␈↓ π/␈ε(y␈↓ πY␈ε"=␈α
10;
␈β¬∪␈↓ βE␈ε%3␈↓ ∧b␈ε%3␈↓ ¬␈␈ε%4␈↓ π@␈ε%4
␈β¬0␈↓ β4␈ε2cpen␈↓ β|␈ε";␈α*9␈↓ ∧L␈ε2ddraw␈↓ ¬8␈ε"1␈ε6f␈↓ ¬\␈ε(x␈↓ ¬o␈ε"2␈ε6␈αλ␈␈↓ ε5␈ε(x␈↓ εH␈ε"1,␈αε2(␈↓ πλ␈ε(y␈↓ π≤␈ε"2␈ε6␈αλ␈␈↓ πb␈ε(y␈↓ πv␈ε"1)␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε2␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε",
␈β¬\␈↓ ¬␈ε"3␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈αε4␈ε6f␈↓ ε@␈ε(x␈↓ εS␈ε"4␈ε6␈αλ␈␈↓ π→␈ε(x␈↓ π,␈ε"3,␈αε2(␈↓ πl␈ε(y␈↓ λ␈ε"4␈ε6␈αλ␈␈↓ λF␈ε(y␈↓ λZ␈ε"3)␈ε6g␈ε".
␈βε0␈↓ ↓H␈ε"In␈αthis␈αcase␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈↓ ∧λ␈ε2ddraw␈↓ ∧j␈ε"n␈αlines␈αactually␈αcross␈αeach␈αother.
␈βπW␈↓ λD␈ε3F␈α↓ig.␈α
6␈α␈↑2.␈ε#␈α≥Ty␈α␈pical␈α
e{ec␈α␈t
␈βπ␈␈↓ λD␈ε#obta␈α␈inab␈α␈le␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ 
3␈ε3dd␈α␈raw␈↓ ∞␈ε#.
␈βλT␈↓ α␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈βλk␈↓ β]␈ε"also␈α⊂pro␈α␈vides␈α⊃a␈α⊂mechanism␈α⊂for␈α⊃dynamically␈α⊂varying␈α⊂the␈α⊂pen
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"width␈α∂while␈α∂drawing␈α∂lines␈α∂or␈α∂curv␈α␈es,␈α⊂using␈α⊂a␈α∂generalized␈↓ λ`␈ε2draw␈↓ 	=␈ε"command.␈α∃For
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"example,␈αy␈α␈ou␈αcan␈αsay
␈β
⊗␈↓ ∧6␈ε2hpen␈↓ ¬α␈ε";␈↓ ¬6␈ε2draw␈↓ ε∞␈ε6j␈↓ ε_␈ε(w␈↓ ε>␈ε6j␈ε"1␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈↓ π
␈ε(w␈↓ π0␈ε6j␈ε"2␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈↓ π|␈ε(w␈↓ λ"␈ε6j␈ε"3
␈β
#␈↓ ε0␈ε%0␈↓ π"␈ε%1␈↓ λ∀␈ε%0
␈β
S␈↓ α∂␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ β]␈ε"will␈α
draw␈α
a␈α
curv␈α␈e␈α
from␈α∞poin␈α␈t␈α
1␈α
to␈α
poin␈α␈t␈α
2␈α∞to␈α
poin␈α␈t␈α
3,␈α
starting
␈β∃␈↓ ↓H␈ε"with␈α	an␈↓ αF␈ε2hpen␈↓ β≠␈ε"of␈αλsize␈↓ ∧α␈ε(w␈↓ ∧2␈ε"but␈α	changing␈αλthe␈α	size␈α	gradually␈α	to␈↓ λG␈ε(w␈↓ λv␈ε"and␈α	than␈α	back␈α	to␈↓ ε␈ε(w
␈β#␈↓ ∧~␈ε%0␈↓ λ←␈ε%1␈↓ ≡␈ε%0
␈β@␈↓ ↓H␈ε"again.␈αYou␈αcan␈αalso␈αspecify␈αdirections␈α
for␈αthe␈αcurv␈α␈e␈αafter␈αthe␈αpoin␈α␈t␈α
speci|cations
␈βl␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αusual␈αway,␈αfor␈αexample␈αby␈αsaying
␈β@␈↓ βm␈ε2draw␈↓ ∧E␈ε6j␈↓ ∧O␈ε(w␈↓ ∧u␈ε6j␈ε"1␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈↓ ε→␈ε(w␈↓ ε?␈ε6j␈ε"2␈ε6f␈ε"0,␈αε1␈ε6g␈ε"␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈↓ πc␈ε(w␈↓ λ	␈ε6j␈ε"3␈ε6f␈ε"1,␈αε0␈ε6g␈ε";
␈βM␈↓ ∧g␈ε%0␈↓ ε1␈ε%1␈↓ π{␈ε%0
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε"but␈α
w␈α␈e␈α∞shall␈α∞ignore␈α∞this␈α∞fact␈α
in␈α∞order␈α∞to␈α∞simplify␈α∞the␈α
follo␈α␈wing␈α∞discussion.␈α⊃The
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"general␈αrule␈αfor␈↓ βA␈ε2draw␈↓ ∧~␈ε"is␈αthat␈αy␈α␈ou␈αcan␈αspecify␈αa␈αpen␈αsize␈αenclosed␈αin␈α\␈ε6j␈ε""␈αsigns␈αjust
␈β
j␈↓ ↓H␈ε/before␈ε"␈αgiving␈αa␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αand␈αy␈α␈ou␈αcan␈αspecify␈αa␈αcurv␈α␈e␈αdirection␈αenclosed␈αin
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε"\␈ε6f␈ε""␈αλand␈α	\␈ε6g␈ε""␈αλjust␈ε/␈α	after␈ε"␈α	giving␈αλa␈α	poin␈α␈t␈αλn␈α␈um␈α␈ber.␈α⊃(See␈α	Figs.␈α	8↑1␈αλand␈α	8↑2␈αλin␈α	Chapter␈αλ8
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"for␈αexamples␈αof␈αthis␈αfeature.)
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"50␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α6
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ α␈ε"If␈α
y␈α␈ou␈α
don't␈α
specify␈αa␈α
new␈α
pen␈α
size␈α
at␈α
a␈α
poin␈α␈t,␈αthe␈α
pen␈α
size␈α
from␈α
the␈α
previous
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αis␈αused;␈αif␈αy␈α␈ou␈αdon't␈αspecify␈αa␈αnew␈αpen␈αsize␈αat␈αthe␈ε/␈α|rst␈ε"␈αpoin␈α␈t,␈αthe␈αso-called
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε"\curren␈α␈t␈α	pen␈α
size"␈α	is␈α
used.␈αThe␈α	curren␈α␈t␈α
pen␈α	size␈α
is␈α	set␈α
to␈α	zero␈α
whenev␈α␈er␈α	a␈α
new␈α	pen
␈ββU␈↓ ↓H␈ε"type␈α
is␈α
speci|ed,␈α
and␈α
it␈α
is␈α
changed␈α
to␈α
the␈α
value␈α
of␈α
an␈α␈y␈α
expression␈αthat␈α
appears
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"immediately␈α	before␈↓ β|␈ε2draw␈↓ ∧S␈ε"or␈↓ ∧|␈ε2ddraw␈↓ ¬↑␈ε";␈α
it␈α	is␈α	not␈α	changed␈α	by␈α	values␈αλin␈α	\␈ε6j␈ε""␈α	signs␈α	within
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"a␈↓ ↓f␈ε2draw␈↓ α@␈ε"command.␈αTh␈α␈us,␈αfor␈αexample,␈αconsider␈αthe␈αcommands
␈β∧c␈↓ ∧)␈ε"9␈↓ ∧E␈ε2draw␈↓ ¬≥␈ε"1␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈ε"5␈ε6j␈ε"2␈αε.␈αε.␈αε3;␈↓ εy␈ε2draw␈↓ πQ␈ε"4␈αε.␈αε.␈ε6␈αεj␈ε"8␈ε6j␈ε"5;
␈β¬≠␈↓ ↓H␈ε"the␈αpen␈α
size␈αat␈α
poin␈α␈t␈α1␈α
is␈α9,␈α
at␈αpoin␈α␈ts␈α
2␈αand␈α
3␈αit␈α
is␈α5,␈α
at␈αpoin␈α␈t␈α
4␈αit␈α
is␈α9␈α
again,␈αat
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α5␈αit␈αis␈α8,␈αand␈αafter␈αthese␈αt␈α␈w␈α␈o␈αstatemen␈α␈ts␈αthe␈αcurren␈α␈t␈αpen␈αsize␈αis␈αstill␈α9.
␈β¬v␈↓ ↓H␈ε/Importan␈α␈t␈α	note:␈ε"␈α∪This␈α
generalized␈α	v␈α␈ersion␈α
of␈↓ εx␈ε2draw␈↓ πP␈ε"is␈α	allo␈α␈w␈α␈ed␈α
only␈α	when␈α	the␈α
pen␈α	is
␈βε!␈↓ ↓H␈ε"of␈α	type␈↓ α=␈ε2hpen␈↓ β	␈ε",␈↓ β≥␈ε2vpen␈↓ βi␈ε",␈↓ β|␈ε2lers␈↓ ∧2␈ε",␈α
or␈↓ ∧o␈ε2rers␈↓ ¬)␈ε";␈α
y␈α␈ou␈α	can't␈α	vary␈α	the␈αλsize␈α	of␈α	a␈↓ λd␈ε2cpen␈↓ 	,␈ε",␈α
and␈α	it␈αλw␈α␈ouldn't
␈βεL␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈e␈α
sense␈α
to␈α
vary␈α
the␈α
size␈α
of␈α
an␈↓ ¬Q␈ε2spen␈↓ ε!␈ε"or␈↓ εK␈ε2epen␈↓ π∪␈ε".␈αFurthermore␈α
the␈α
changing␈α
of␈α
pen
␈βε`␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βεw␈↓ ↓H␈ε"widths␈α∞is␈α
illegal␈α∞in␈↓ βy␈ε2ddraw␈↓ ∧i␈ε"commands;␈α∂in␈α∞fact,␈α∞as␈α∞explained␈α∞belo␈α␈w,
␈βπ#␈↓ ↓H␈ε"actually␈α	implemen␈α␈ts␈α	variable-width␈↓ ¬x␈ε2draw␈↓ εO␈ε"commands␈α	by␈α	reducing␈α	them␈α	to␈↓ 
@␈ε2ddraw␈↓ "␈ε".
␈βπQ␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βπU␈↓ α␈ε#The␈αλpen␈αλwidth␈αλvaries␈α	s␈α␈moot␈α␈hly␈α	a␈α␈ccord␈α␈ing␈α	t␈α␈o␈α	a␈α	cu␈α␈bic␈α	sp␈α␈li␈α↓n␈α␈e␈α	fu␈α␈nction␈↓ 	Z␈ε)w␈↓ 	s␈ε#(␈↓ 	}␈ε)t␈↓ 

␈ε#)␈α	an␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s
␈βπ⎇␈↓ α␈ε#to␈αλth␈α␈e␈αλf␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ βv␈ε)x␈↓ ∧π␈ε#(␈↓ ∧∩␈ε)t␈↓ ∧≡␈ε#)␈α	a␈α␈nd␈↓ ∧p␈ε)y␈↓ ¬α␈ε#(␈↓ ¬
␈ε)t␈↓ ¬→␈ε#)␈αλused␈απto␈αλcon␈α}trol␈αλpen␈απmotion␈α␈.␈α
Su␈α␈pp␈α␈ose␈αλw␈α␈e␈αλare␈αλd␈α␈rawing␈αλa
␈βλ%␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈urv␈α}e␈α	from␈↓ αm␈ε)z␈↓ β
␈ε#to␈↓ β4␈ε)z␈↓ βT␈ε#to␈↓ β{␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧+␈ε#to␈↓ ∧Q␈ε)z␈↓ ∧m␈ε#,␈α	an␈α␈d␈α	let␈↓ ¬l␈ε)z␈↓ ε␈ε#an␈α␈d␈↓ εK␈ε)z␈↓ π∃␈ε#b␈α␈e␈α	the␈αλhidd␈α␈en␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α	at␈α	th␈α␈e␈α	b␈α␈eginn␈α␈ing
␈βλ/␈↓ αx␈ε&1␈↓ β?␈ε&2␈↓ ∧\␈ε,n␈↓ ¬w␈ε&0␈↓ εV␈ε,n␈↓ εf␈ε&+1
␈βλL␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈αλe␈α␈nd␈αλo␈α␈f␈α	th␈α␈e␈α	p␈α␈ath␈α␈,␈α	where␈↓ ∧O␈ε)z␈↓ ∧p␈ε#=␈↓ ¬~␈ε)z␈↓ ¬:␈ε#an␈α␈d/o␈α␈r␈↓ ε'␈ε)z␈↓ εq␈ε#=␈↓ π≤␈ε)z␈↓ π?␈ε#i␈α↓f␈αλh␈α␈i␈α↓d␈α␈den␈απpoin␈α}ts␈α	w␈α␈er␈α␈e␈α	n␈α␈ot␈αλspe␈α␈ci|ed␈α␈.
␈βλW␈↓ ∧Z␈ε&0␈↓ ¬%␈ε&1␈↓ ε2␈ε,n␈↓ εB␈ε&+1␈↓ π'␈ε,n
␈βλt␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly␈α
w␈α␈e␈α
wil␈α↓l␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
p␈α␈en␈αsi␈α↓z␈α␈es␈↓ ¬+␈ε)w␈↓ ¬N␈ε#,␈↓ ¬e␈ε)w␈↓ επ␈ε#,␈↓ ε≡␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εK␈ε#,␈↓ εa␈ε)w␈↓ πλ␈ε#,␈↓ π∨␈ε)w␈↓ πk␈ε#;␈α∞if␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α
th␈α␈e␈α
pe␈α␈n␈α
sizes␈α
ar␈α␈e␈α
equ␈α␈al,
␈βλ}␈↓ ¬A␈ε&0␈↓ ¬{␈ε&1␈↓ εx␈ε,n␈↓ π5␈ε,n␈↓ πE␈ε&+1
␈β	≠␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ αβ␈ε3dra␈α␈w␈↓ αY␈ε#co␈α␈mma␈α␈nd␈α
p␈α␈roce␈α␈eds␈α
as␈α
d␈α␈escribed␈αi␈α↓n␈α
C␈α␈hap␈α␈ter␈α
2,␈α∞oth␈α␈erwise␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
to␈α
de|␈α␈ne
␈β	?␈↓ π∪␈ε:0␈↓ λβ␈ε:0
␈β	C␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αv␈α␈ariation␈α
in␈αp␈α␈en␈α
size.␈αFi␈α↓rst␈α
the␈α
deriv␈α␈ativ␈α␈es␈α
(␈↓ ε{␈ε)w␈↓ π ␈ε#,␈↓ π/␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π[␈ε#,␈↓ πj␈ε)w␈↓ λ∪␈ε#),␈αwhich␈α
ex␈α␈press␈α
the␈αra␈α␈tes␈αo␈α␈f
␈β	R␈↓ π∪␈ε&1␈↓ λβ␈ε,n
␈β	k␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈han␈α␈ge␈αin␈αpen␈αwi␈α↓d␈α␈th␈αa␈α␈s␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αpass␈α␈es␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α(␈↓ π⊃␈ε)z␈↓ π)␈ε#,␈↓ π8␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ πd␈ε#,␈↓ πs␈ε)z␈↓ λ∞␈ε#)␈α↓,␈αare␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αa␈α␈s␈αfollo␈α␈ws:
␈β	u␈↓ π≤␈ε&1␈↓ π}␈ε,n
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε#If␈α
no␈α
e␈α␈xp␈α␈l␈α↓icit␈α
pen␈α	si␈α↓z␈α␈e␈α
w␈α↓a␈α␈s␈α
giv␈α␈en␈α
a␈α␈t␈↓ ¬F␈ε)z␈↓ ¬↑␈ε#,␈α
or␈α
if␈αa␈α
\␈ε?#␈ε#␈α␈"␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs␈α
j␈α↓u␈α␈st␈α
befo␈α␈re␈α
the␈α
sec␈α␈ond␈α	\␈ε?|␈ε#"␈α
o␈α␈f
␈β
≥␈↓ ¬R␈ε,j
␈β
6␈↓ ε(␈ε:0
␈β
:␈↓ ↓H␈ε#a␈α
size␈αsp␈α␈eci|ca␈α␈tion␈αa␈α␈t␈αtha␈α␈t␈αpo␈α␈in␈α␈t,␈αw␈α␈e␈αlet␈↓ ε∂␈ε)w␈↓ ε=␈ε#=␈α
0␈α␈.␈α→(The␈ε?␈α#␈ε#␈α
mark␈α
sign␈α␈i␈α↓|␈α␈es␈αsta␈α␈ble␈αp␈α␈en␈αsize
␈β
I␈↓ ε(␈ε,j
␈β
a␈↓ ↓H␈ε#in␈αt␈α␈he␈αv␈α␈i␈α↓c␈α␈i␈α↓n␈α␈ity␈αof␈αth␈α␈at␈αp␈α␈oin␈α␈t.␈αFor␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,
␈β⊗␈↓ ∧0␈ε3d␈α␈raw␈↓ ¬↓␈ε7j␈↓ ¬
␈ε)s␈↓ ¬_␈ε?#␈ε7j␈ε#1␈α¬.␈αε.␈αε2␈α¬.␈αε.␈ε7␈αεj␈ε#2/␈α␈3[␈↓ ε`␈ε)s␈↓ εn␈ε#,␈↓ ε⎇␈ε)t␈↓ π	␈ε#]␈ε7j␈ε#3␈α¬.␈αε.␈ε7␈αεj␈↓ πX␈ε)t␈↓ πd␈ε?#␈ε7j␈ε#4␈α¬.␈αε.␈αε5
␈βJ␈↓ ↓H␈ε#will␈α
dra␈α␈w␈α
a␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈α	with␈α
p␈α␈en␈α	si␈α↓z␈α␈e␈↓ ¬⊂␈ε)s␈↓ ¬(␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α	po␈α␈in␈α␈ts␈α
1␈α	an␈α␈d␈α
2␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α	pe␈α␈n␈α
size␈↓ 	@␈ε)t␈↓ 	V␈ε#be␈α␈tw␈α␈e␈α␈en␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α␈s
␈βq␈↓ ↓H␈ε#4␈αa␈α␈nd␈α5␈α␈;␈α∞th␈α␈e␈α
p␈α␈en␈αsize␈αwil␈α↓l␈αbe␈αstab␈α␈le␈α
a␈α␈t␈α
p␈α␈oin␈α␈ts␈α1,␈α
2␈α␈,␈α
4,␈α
an␈α␈d␈α5,␈α
a␈α␈nd␈αit␈α
will␈α
v␈α␈ary␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈β→␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈ts␈α2␈αan␈α␈d␈α4␈αin␈αsu␈α␈ch␈αa␈αway␈αth␈α␈at␈α2/␈α␈3␈αof␈αthe␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αoccu␈α␈rs␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α2␈αand␈α3.)
␈β=␈↓ ε␈ε:0␈↓ 
	␈ε:0
␈βA␈↓ ↓H␈ε#Ot␈α␈herwise␈α	let␈αλ↓␈↓ β,␈ε)w␈↓ βW␈ε#=␈↓ ∧α␈ε)w␈↓ ∧N␈ε7␈␈↓ ∧t␈ε)w␈↓ ¬⊗␈ε#;␈α
th␈α␈en␈↓ ¬r␈ε)w␈↓ ε ␈ε#=␈α
↓␈↓ εg␈ε)w␈↓ π∩␈ε#if␈α	↓␈↓ πK␈ε)z␈↓ λ⊃␈ε#=␈α	0,␈α	othe␈α␈rwi␈α↓se␈↓ 	p␈ε)w␈↓ 
≡␈ε#=␈α
↓␈↓ 
d␈ε)w
␈βK␈↓ βB␈ε,j␈↓ ∧_␈ε,j␈↓ ∧$␈ε&+1␈↓ ¬
␈ε,j␈↓ ε⎇␈ε,j␈↓ πV␈ε,j␈↓ πb␈ε:␈␈ε&1␈↓ 
{␈ε,j␈↓ π␈ε:␈␈ε&1
␈βP␈↓ ε␈ε,j␈↓ 
	␈ε,j
␈βh␈↓ ↓H␈ε#if␈α↓␈↓ αβ␈ε)z␈↓ α#␈ε#=␈α
0,␈αot␈α␈herwise
␈βs␈↓ α∞␈ε,j
␈β{␈↓ π∃␈ε↓∞
␈β
↔␈↓ α{␈ε:0␈↓ ¬&␈ε&2␈↓ εw␈ε&2␈↓ λH␈ε&2␈↓ 	k␈ε&2
␈β
→␈↓ β:␈ε"(␈↓ πβ␈ε")␈↓ π/␈ε"(␈↓ 	x␈ε")
␈β
≤␈↓ αb␈ε)w␈↓ β⊂␈ε#=␈↓ βF␈ε#↓␈↓ βb␈ε)w␈↓ ∧*␈ε#/␈ε7j␈ε#↓␈↓ ∧`␈ε)z␈↓ ¬≥␈ε7j␈↓ ¬:␈ε#+␈αλ↓␈↓ ¬}␈ε)w␈↓ ε!␈ε#/␈ε7␈α␈j␈ε#↓␈↓ εV␈ε)z␈↓ εm␈ε7j␈↓ π;␈ε#1/␈ε7␈α␈j␈ε#␈α↓↓␈↓ λ↓␈ε)z␈↓ λ>␈ε7j␈↓ λ\␈ε#+␈απ1/␈ε7j␈ε#↓␈↓ 	K␈ε)z␈↓ 	b␈ε7j␈↓ 
	␈ε#.
␈β
'␈↓ βx␈ε,j␈↓ ∧∧␈ε:␈␈ε&1␈↓ ∧k␈ε,j␈↓ ∧w␈ε:␈␈ε&1␈↓ ε∀␈ε,j␈↓ εa␈ε,j␈↓ λ␈ε,j␈↓ λ→␈ε:␈␈ε&1␈↓ 	V␈ε,j
␈β
,␈↓ α{␈ε,j
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλpen␈αλsize␈↓ βα␈ε)w␈↓ β$␈ε#(␈↓ β/␈ε)t␈↓ β;␈ε#),␈α
a␈α␈s␈α	th␈α␈e␈αλcurv␈α}e␈↓ ¬
␈ε)z␈↓ ¬~␈ε#(␈↓ ¬%␈ε)t␈↓ ¬1␈ε#)␈α	of␈αλCha␈α␈pter␈αλ2␈αλis␈α	d␈α␈rawn␈αλfrom␈↓ λR␈ε)z␈↓ λr␈ε#to␈↓ 	_␈ε)z␈↓ 	]␈ε#for␈αλ0␈ε7␈α	∀␈↓ 
S␈ε)t␈↓ 
h␈ε7∀␈ε#␈α
1␈α␈,
␈β
[␈↓ β_␈ε,j␈↓ λ]␈ε,j␈↓ 	#␈ε,j␈↓ 	/␈ε&+1
␈β
x␈↓ ↓H␈ε#is␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈la
␈β∞'␈↓ ∧t␈ε&2␈↓ ¬M␈ε&3␈↓ πA␈ε&2␈↓ πg␈ε:0␈↓ λ/␈ε&2␈↓ 	7␈ε:0
␈β∞-␈↓ βα␈ε)w␈↓ β$␈ε#(␈↓ β/␈ε)t␈↓ β;␈ε#)␈α	=␈↓ βz␈ε)w␈↓ ∧#␈ε#+␈αλ(3␈↓ ∧h␈ε)t␈↓ ¬λ␈ε7␈␈ε#␈απ2␈↓ ¬A␈ε)t␈↓ ¬Z␈ε#)↓␈↓ ε␈ε)w␈↓ ε*␈ε#+␈↓ εS␈ε)t␈↓ ε←␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ π*␈ε)t␈↓ π6␈ε#)␈↓ πN␈ε)w␈↓ πz␈ε7␈␈↓ λ#␈ε)t␈↓ λ<␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ 	π␈ε)t␈↓ 	∪␈ε#)␈↓ 	≡␈ε)w␈↓ 	i␈ε#.
␈β∞7␈↓ β_␈ε,j␈↓ ∧⊂␈ε,j␈↓ ε↔␈ε,j
␈β∞<␈↓ πg␈ε,j␈↓ 	7␈ε,j␈↓ 	C␈ε&+1
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧2␈ε>Discreteness␈αand␈αdiscretion␈↓ β␈ε"51
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#When␈α
th␈α␈e␈α
pen␈α
size␈α
va␈α␈ries,␈αa␈↓ ¬%␈ε3dra␈α␈w␈↓ ¬x␈ε#co␈α␈mman␈α␈d␈α
is␈αess␈α␈en␈α␈tially␈α
red␈α␈uced␈α
to␈↓ 	s␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ 
X␈ε#in␈α
the
␈βα}␈↓ α␈ε#follo␈α␈wing␈απwa␈α␈y:␈α	F␈α↓irst␈απth␈α␈e␈απfun␈α␈ctions␈↓ ¬s␈ε)w␈↓ ε␈ε#(␈↓ ε↔␈ε)t␈↓ ε"␈ε#)␈α↓,␈↓ ε?␈ε)x␈↓ εP␈ε#(␈↓ ε[␈ε)t␈↓ εg␈ε#),␈↓ π∧␈ε)y␈↓ π⊗␈ε#(␈↓ π!␈ε)t␈↓ π-␈ε#)␈απdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈ing␈απp␈α␈en␈απsize␈απa␈α␈nd␈απp␈α␈en␈απm␈α␈otion
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈α	dete␈α␈rmined␈α	a␈α␈s␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed␈α	ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈.␈αThe␈α	min␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α	pe␈α␈n␈α	wi␈α↓d␈α␈th,␈α
i.e,␈↓ λv␈ε)w␈↓ λz␈ε#∂␈↓ 	_␈ε#=␈↓ 	B␈ε#min␈↓ 	z␈ε#(␈↓ 
¬␈ε)w␈↓ 
(␈ε#,␈↓ 
6␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
c␈ε#,␈↓ 
r␈ε)w␈↓ _␈ε#),
␈ββ0␈↓ 
≠␈ε&1␈↓ λ␈ε,n
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#in␈αλalso␈α	d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α␈.␈αA␈α	p␈α␈en␈α	o␈α␈f␈α	size␈↓ ¬"␈ε)w␈↓ ¬&␈ε#∂␈↓ ¬C␈ε#w␈α↓ill␈α	no␈α}w␈α	be␈αλused␈αλto␈α	|␈α␈ll␈α	i␈α↓n␈αλth␈α␈e␈α	cu␈α␈rv␈α␈e␈α	with␈αλthe␈αλmeth␈α␈od
␈ββr␈↓ ∧B␈ε"(␈↓ ¬E␈ε")␈↓ ε∨␈ε"(␈↓ π!␈ε")
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓o␈ε3dd␈α␈raw␈↓ αJ␈ε#;␈α
th␈α␈e␈αt␈α␈w␈α␈o␈αcur␈α␈v␈α␈es␈↓ ∧N␈ε)x␈↓ ∧←␈ε#(␈↓ ∧j␈ε)t␈↓ ∧v␈ε#),␈↓ ¬⊂␈ε)y␈↓ ¬#␈ε#(␈↓ ¬.␈ε)t␈↓ ¬:␈ε#)␈↓ ¬]␈ε#an␈α␈d␈↓ ε+␈ε#∂␈↓ ε+␈ε)x␈↓ ε<␈ε#(␈↓ εG␈ε)t␈↓ εS␈ε#),␈↓ εm␈ε)y␈↓ εn␈ε#∂␈↓ ε␈␈ε#(␈↓ π
␈ε)t␈↓ π⊗␈ε#)␈↓ π:␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αwhich␈↓ 	≠␈ε3dd␈α␈raw␈↓ 	v␈ε#ing␈αwill␈αtak␈α␈e
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈lace␈αa␈α␈re␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αas␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws,␈αde␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈αon␈α
the␈αp␈α␈en␈αty␈α␈pe␈α␈:
␈β∧P␈↓ β*␈ε3hp␈α␈en␈↓ ¬Q␈ε3v␈α␈pen␈↓ πw␈ε3l␈α↓e␈α␈rs␈↓ 
β␈ε3re␈α␈rs
␈β¬
␈↓ β3␈ε&1␈↓ βC␈ε"(␈↓ ∧D␈ε")
␈β¬
␈↓ ↓d␈ε)x␈↓ ↓u␈ε#(␈↓ α␈ε)t␈↓ α␈ε#)␈ε7␈α
 ␈↓ αK␈ε)x␈↓ α]␈ε#(␈↓ αh␈ε)t␈↓ αt␈ε#)␈ε7␈απ␈␈↓ βO␈ε)w␈↓ βh␈ε#(␈↓ βs␈ε)t␈↓ β␈␈ε#)␈ε7␈␈↓ ∧+␈ε)w␈↓ ∧/␈ε#∂␈↓ ¬Z␈ε)x␈↓ ¬l␈ε#(␈↓ ¬w␈ε)t␈↓ εβ␈ε#)␈↓ πw␈ε)x␈↓ λλ␈ε#(␈↓ λ∪␈ε)t␈↓ λ∨␈ε#)␈↓ 
∧␈ε)x␈↓ 
∃␈ε#(␈↓ 
 ␈ε)t␈↓ 
,␈ε#)
␈β¬≠␈↓ β3␈∧¬≠β3α
␈β¬≥␈↓ β3␈ε&2
␈β¬<␈↓ ¬Y␈ε&1
␈β¬=␈↓ ¬j␈ε"(␈↓ εk␈ε")
␈β¬@␈↓ ↓c␈ε)y␈↓ ↓u␈ε#(␈↓ α␈ε)t␈↓ α␈ε#)␈ε7␈α
 ␈↓ β3␈ε)y␈↓ βF␈ε#(␈↓ βQ␈ε)t␈↓ β]␈ε#)␈↓ ∧q␈ε)y␈↓ ¬∧␈ε#(␈↓ ¬∂␈ε)t␈↓ ¬≠␈ε#)␈ε7␈απ␈␈↓ ¬v␈ε)w␈↓ ε∂␈ε#(␈↓ ε~␈ε)t␈↓ ε&␈ε#)␈ε7␈␈↓ εR␈ε)w␈↓ εV␈ε#∂␈↓ πv␈ε)y␈↓ λλ␈ε#(␈↓ λ∀␈ε)t␈↓ λ∨␈ε#)␈↓ 
β␈ε)y␈↓ 
⊗␈ε#(␈↓ 
!␈ε)t␈↓ 
-␈ε#)
␈β¬N␈↓ ¬Y␈∧¬N¬Yα
␈β¬P␈↓ ¬Y␈ε&2
␈β¬o␈↓ β3␈ε&1␈↓ βC␈ε"(␈↓ ∧D␈ε")␈↓ π|␈ε"(␈↓ λ⎇␈ε")
␈β¬r␈↓ ↓d␈ε#∂␈↓ ↓d␈ε)x␈↓ ↓u␈ε#(␈↓ α␈ε)t␈↓ α␈ε#)␈ε7␈α
 ␈↓ αK␈ε)x␈↓ α]␈ε#(␈↓ αh␈ε)t␈↓ αt␈ε#)␈απ+␈↓ βO␈ε)w␈↓ βh␈ε#(␈↓ βs␈ε)t␈↓ β␈␈ε#)␈ε7␈␈↓ ∧+␈ε)w␈↓ ∧/␈ε#∂␈↓ ¬Z␈ε)x␈↓ ¬l␈ε#(␈↓ ¬w␈ε)t␈↓ εβ␈ε#)␈↓ π_␈ε)x␈↓ π)␈ε#(␈↓ π5␈ε)t␈↓ π@␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈↓ λλ␈ε)w␈↓ λ ␈ε#(␈↓ λ+␈ε)t␈↓ λ7␈ε#)␈ε7␈␈↓ λd␈ε)w␈↓ λh␈ε#∂␈↓ 	*␈ε)x␈↓ 	;␈ε#(␈↓ 	F␈ε)t␈↓ 	R␈ε#)␈αλ+␈↓ 

␈ε)w␈↓ 
&␈ε#(␈↓ 
1␈ε)t␈↓ 
=␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈↓ 
x␈ε)w␈↓ 
|␈ε#∂
␈βε␈↓ β3␈∧εβ3α
␈βεα␈↓ β3␈ε&2
␈βε!␈↓ ¬Y␈ε&1␈↓ ¬j␈ε"(␈↓ εk␈ε")
␈βε$␈↓ ↓c␈ε)y␈↓ ↓d␈ε#∂␈↓ ↓u␈ε#(␈↓ α␈ε)t␈↓ α␈ε#)␈ε7␈α
 ␈↓ β3␈ε)y␈↓ βF␈ε#(␈↓ βQ␈ε)t␈↓ β]␈ε#)␈↓ ∧q␈ε)y␈↓ ¬∧␈ε#(␈↓ ¬∂␈ε)t␈↓ ¬≠␈ε#)␈απ+␈↓ ¬v␈ε)w␈↓ ε∂␈ε#(␈↓ ε~␈ε)t␈↓ ε&␈ε#)␈ε7␈␈↓ εR␈ε)w␈↓ εV␈ε#∂␈↓ πv␈ε)y␈↓ λλ␈ε#(␈↓ λ∀␈ε)t␈↓ λ∨␈ε#)␈↓ 
β␈ε)y␈↓ 
⊗␈ε#(␈↓ 
!␈ε)t␈↓ 
-␈ε#)
␈βε3␈↓ ¬Y␈∧ε3¬Yα
␈βε5␈↓ ¬Y␈ε&2
␈βεg␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈␈
␈βεk␈↓ αM␈ε#If␈αλt␈α␈he␈απpen␈απm␈α␈otion␈απis␈απbeing␈απtra␈α␈nsfo␈α␈rmed␈απb␈α␈y␈απmean␈α␈s␈απof␈↓ λ%␈ε3trx␈α␈x␈↓ λd␈ε#,␈↓ λu␈ε3trx␈α␈y␈↓ 	4␈ε#,␈↓ 	E␈ε3i␈α↓n␈α␈cx␈↓ 
α␈ε#,␈↓ 
∀␈ε3try␈α␈x␈↓ 
S␈ε#,␈↓ 
d␈ε3tryy␈↓ #␈ε#,
␈βπ∪␈↓ αM␈ε#o␈α␈r␈↓ αr␈ε3i␈α↓n␈α␈cy␈↓ β7␈ε#(see␈αλCh␈α␈ap␈α␈ter␈αλ9),␈αλthe␈αλtr␈α␈ansfo␈α␈rmation␈απap␈α␈plies␈αλto␈απthe␈απorigina␈α␈l␈αλcom␈α␈pu␈α␈tation
␈βπ:␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓q␈ε)x␈↓ αα␈ε#(␈↓ α
␈ε)t␈↓ α→␈ε#)␈α∞a␈α␈nd␈↓ αu␈ε)y␈↓ βπ␈ε#(␈↓ β∩␈ε)t␈↓ β≡␈ε#)␈α∞b␈α␈ut␈α
no␈α␈t␈α∞t␈α␈o␈α
the␈α
corr␈α␈ection␈α␈s␈α∞b␈α␈y␈↓ εw␈ε)w␈↓ π⊂␈ε#(␈↓ π≠␈ε)t␈↓ π'␈ε#)␈ε7␈α	␈␈↓ πe␈ε)w␈↓ πi␈ε#∂␈↓ λ␈ε#bein␈α␈g␈α
app␈α␈li␈α↓e␈α␈d␈α
here␈α␈.␈α∪In␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈βπb␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈rds,␈αtran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈αto␈αth␈α␈e␈αpa␈α␈ths␈αta␈α␈k␈α␈en␈αby␈αpen␈α␈s,␈α
n␈α␈ot␈αto␈αthe␈αp␈α␈en␈αsh␈α␈ap␈α␈es;␈α
y␈α}ou
␈βλ	␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈an␈αu␈α␈se␈↓ α>␈ε3dd␈α␈raw␈↓ β$␈ε#b␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈↓ ∧≤␈ε3dra␈α␈w␈↓ ∧o␈ε#to␈αge␈α␈t␈αt␈α␈he␈αe{ect␈αo␈α␈f␈αa␈α
rotat␈α␈ed␈↓ λ→␈ε3h␈α␈pen␈↓ λ←␈ε#.
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈7>␈α
Discre␈α␈teness␈α∞and␈α
di␈α↓scr␈α␈etion
␈β	#␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β	:␈↓ β∩␈ε"does␈αall␈α
of␈α
its␈α
drawing␈α
on␈α
a␈α
|nite␈α
grid␈α
whose␈α
square␈α
pix␈α␈els␈α
are␈α
either
␈β	f␈↓ ↓H␈ε"black␈α
or␈α∞white;␈α∞it␈α
does␈α∞not␈α
actually␈α
draw␈α∞con␈α␈tin␈α␈uous␈α
curv␈α␈es,␈α∞it␈α∞deals␈α
only␈α
with
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximations␈α
to␈α
such␈α
curv␈α␈es.␈αSuch␈α
discreteness␈α
is␈α
not␈αa␈α
sev␈α␈ere␈α
limitation␈α
if␈α
the
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"resolution␈α	is␈α	|ne␈α	enough,␈α
i.e.,␈α
if␈α	there␈α
are␈α	su}cien␈α␈tly␈α	man␈α␈y␈α
pix␈α␈els␈α	per␈α	square␈α	unit,
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"since␈α	ph␈α␈ysical␈αλproperties␈α	of␈α	ink␈α	will␈α	smoothe␈α	out␈α	the␈α	rough␈α	edges␈α	when␈α	material␈αλis
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"prin␈α␈ted.␈αIn␈α
fact,␈α
the␈α
h␈α␈uman␈α
ey␈α␈e␈α
is␈α
itself␈α
composed␈α
of␈α
discrete␈α
receptors.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,
␈β'␈↓ β↔␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β>␈↓ ↓H␈ε"the␈αλresults␈α	of␈↓ ∧`␈ε"migh␈α␈t␈α	not␈αλlook␈α	v␈α␈ery␈αλgood␈α	when␈αλthe␈α	resolution␈αλis␈αλcoarse,
␈βi␈↓ ↓H␈ε"unless␈αy␈α␈ou␈αare␈αcareful␈αabout␈αho␈α␈w␈αthings␈αare␈αrounded␈αto␈αthe␈αraster.␈αThe␈αpurpose
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"of␈α
this␈α∞chapter␈α∞is␈α∞to␈α∞explain␈α∞the␈α
principles␈α∞of␈α∞\discreet␈α∞rounding,"␈α∞i.e.,␈α∞tasteful
␈β(␈↓ ε*␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β?␈↓ ↓H␈ε"application␈α	of␈α
mathematics␈α
so␈α
that␈α
the␈↓ πu␈ε"output␈α
will␈α
look␈α	satisfactory
␈βj␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈αwhen␈αthe␈αresolution␈αis␈αcoarse.
␈β
⊗␈↓ α␈ε"The␈α
rest␈αof␈α
this␈α
chapter␈αis␈α
mark␈α␈ed␈α
with␈αdangerous␈α
bend␈α
signs,␈αsince␈α
a␈α
no␈α␈vice
␈β
*␈↓ α7␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"user␈α	of␈↓ ∧↓␈ε"will␈α	not␈α	wish␈α	to␈αλw␈α␈orry␈α	about␈α	such␈α	things.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
an␈αλexpert
␈β
U␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈β
l␈↓ βπ␈ε"er␈α
will␈α
tak␈α␈e␈α
care␈α
to␈α
round␈α
things␈α
properly␈α
ev␈α␈en␈α
when␈α
preparing␈α	high-
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"resolution␈α	fon␈α␈ts,␈α
since␈α	the␈α	subtle␈α
re|nemen␈α␈ts␈α	w␈α␈e␈α	are␈α	about␈α
to␈α	discuss␈α	will␈α	impro␈α␈v␈α␈e
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"the␈αquality␈αof␈αthe␈αoutput␈αwhen␈αit␈αis␈αview␈α␈ed␈αwith␈αdiscerning␈αey␈α␈es.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"52␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α7
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#Ch␈α␈apte␈α␈r␈α	3␈αλme␈α␈n␈α␈tion␈α␈ed␈αλth␈α␈e␈α	fa␈α␈ct␈α	th␈α␈at␈αλpe␈α␈ns␈αλare␈αλdigitized␈αλb␈α␈efore␈αλcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈α	a␈α␈re␈α	d␈α␈rawn␈α␈.␈αTh␈α␈is
␈βα}␈↓ α␈ε#is␈α
impo␈α␈rtan␈α}t␈α
when␈α	lo␈α␈w␈α
reso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α	i␈α↓s␈α
c␈α␈onsid␈α␈ered␈α␈,␈αo␈α␈therwise␈α
v␈α}ertical␈α
lines␈α	that␈α	wo␈α␈uld
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α	3.4␈α	ra␈α␈ster␈α	u␈α␈nits␈α	wide␈α	(say␈α␈)␈α	i␈α↓f␈α	d␈α␈rawn␈αλto␈α	in|␈α␈nite␈α	p␈α␈recision␈α	w␈α␈o␈α␈uld␈α	b␈α␈e␈α	rou␈α␈nd␈α␈ed␈α	so␈α␈metime␈α␈s
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#to␈α3␈αun␈α␈its␈α
wide,␈α
som␈α␈etimes␈α
t␈α␈o␈α
4␈αun␈α␈its␈α
wide,␈α
d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
o␈α␈n␈αwhere␈αthe␈α␈y␈α
h␈α␈ap␈α␈pe␈α␈n␈α
to␈αfall.
␈ββ[␈↓ βi␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈α∂loo␈α␈ks␈α∞ba␈α␈d,␈α∂so␈↓ ¬%␈ε#reso␈α␈lv␈α␈es␈α∞the␈α∞p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α∞by␈α∞d␈α␈rawing␈α∞with␈α∞a␈α∞p␈α␈en␈α∞th␈α␈at␈α∞is
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α3␈αu␈α␈nits␈αwide␈αo␈α␈r␈αalway␈α␈s␈α4␈αun␈α␈its␈αwi␈α↓d␈α␈e.
␈β∧?␈↓ ¬ε␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∧U␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β∧V␈↓ 	s␈ε"(␈↓ 
v␈ε")
␈β∧Y␈↓ α␈ε#Ch␈α␈apte␈α␈r␈α
3␈α
a␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α
h␈α␈i␈α↓n␈α}ted␈αat␈↓ ε3␈ε#'s␈α
meth␈α␈od␈αof␈α
d␈α␈rawing␈αa␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈↓ 	␈␈ε)x␈↓ 
⊃␈ε#(␈↓ 
≤␈ε)t␈↓ 
(␈ε#),␈↓ 
A␈ε)y␈↓ 
T␈ε#(␈↓ 
←␈ε)t␈↓ 
k␈ε#)␈↓ ∂␈ε#a␈α␈s
␈β∧|␈↓ εf␈ε:0␈↓ πV␈ε:0
␈β¬␈↓ α␈ε)t␈↓ α%␈ε#va␈α␈ri␈α↓e␈α␈s,␈α∂n␈α␈am␈α␈ely␈α
(a)␈α
to␈α
sub␈α␈tract␈α
o{sets␈↓ εU␈ε)x␈↓ π␈ε#an␈α␈d␈↓ πC␈ε)y␈↓ πp␈ε#fro␈α␈m␈α
the␈↓ λ⎇␈ε)x␈↓ 	≤␈ε#a␈α␈nd␈↓ 	←␈ε)y␈↓ 	␈␈ε#c␈α␈oord␈α␈ina␈α␈tes,
␈β¬∂␈↓ εf␈ε&0␈↓ πV␈ε&0
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ep␈α␈end␈α␈ing␈α	o␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	pen␈αλbein␈α␈g␈α	use␈α␈d,␈α
th␈α␈ereb␈α␈y␈α	co␈α␈mp␈α␈ensa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α	for␈α	th␈α␈e␈α	fact␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	pe␈α␈n␈α	sh␈α␈ape
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
be␈α
sh␈α␈if␈α↓t␈α␈ed␈α
by␈α	a␈α
no␈α␈n-in␈α␈teg␈α␈er␈α
amo␈α␈un␈α}t␈αwith␈α
res␈α␈pect␈α
to␈α
th␈α␈e␈α
raster;␈α
then␈α	(␈α↓b␈α␈)␈α
to␈α
rou␈α␈nd
␈β¬s␈↓ αB␈ε:0␈↓ βM␈ε:0
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ βZ␈ε")
␈β¬w␈↓ ↓T␈ε)x␈↓ ↓e␈ε#(␈↓ ↓p␈ε)t␈↓ ↓|␈ε#)␈ε7␈α∧␈␈↓ α0␈ε)x␈↓ αN␈ε#,␈↓ α]␈ε)y␈↓ αp␈ε#(␈↓ α{␈ε)t␈↓ βπ␈ε#)␈ε7␈α∧␈␈↓ β;␈ε)y␈↓ βo␈ε#to␈αλa␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλof␈α	in␈α}teger␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α	(␈↓ π0␈ε)x␈↓ πA␈ε#,␈↓ πP␈ε)y␈↓ πb␈ε#);␈α
an␈α␈d␈αλ|n␈α␈ally␈αλ(c)␈α	for␈αλeac␈α␈h␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βεε␈↓ αB␈ε&0␈↓ βM␈ε&0
␈βε∨␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ α*␈ε)x␈↓ α<␈ε#,␈↓ αJ␈ε)y␈↓ α]␈ε#)␈α
a␈α␈t␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α
th␈α␈e␈αcurv␈α}e␈α
is␈α
t␈α␈o␈α
b␈α␈e␈α
\␈α␈plotte␈α␈d,"␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈ix␈α␈els␈α
(␈↓ λV␈ε)x␈↓ λp␈ε#+␈↓ 	→␈ε)_␈↓ 	)␈ε#,␈↓ 	8␈ε)y␈↓ 	S␈ε#+␈↓ 	|␈ε)⊃␈↓ 
∞␈ε#)␈α
a␈α␈re␈α
m␈α␈ade
␈βεF␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αb␈α␈l␈α↓a␈α␈ck␈α
or␈αwh␈α␈i␈α↓te␈α␈,␈αd␈α␈ep␈α␈end␈α␈ing␈α
on␈α
wheth␈α␈er␈αa␈α
pen␈α
or␈α
eraser␈α
i␈α↓s␈αin␈α}v␈α␈olv␈α}ed,␈αfor␈α
all␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βεn␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈ts␈α(␈↓ α6␈ε)_␈↓ αF␈ε#,␈↓ αT␈ε)⊃␈↓ αf␈ε#)␈αin␈αth␈α␈e␈αpen␈α
sha␈α␈pe.
␈βπ⊂␈↓ β∂␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βπ&␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βπ*␈↓ α␈ε#Actu␈α␈ally␈↓ ∧D␈ε#d␈α␈oes␈απo␈α␈pe␈α␈ration␈αε(␈α↓c␈α␈)␈αλa␈α␈t␈απhigh␈α␈er␈απsp␈α␈eed␈α␈s␈απthat␈απth␈α␈is␈απdesc␈α␈ri␈α↓p␈α␈tion␈αεwo␈α␈uld
␈βπR␈↓ α␈ε#imply␈α␈,␈αsinc␈α␈e␈α
i␈α↓t␈α
k␈α␈no␈α}ws␈α
i␈α↓f␈α
it␈α
ha␈α␈s␈αr␈α␈each␈α␈ed␈α
(␈↓ εE␈ε)x␈↓ εV␈ε#,␈↓ εe␈ε)y␈↓ εw␈ε#)␈αfro␈α␈m␈α
an␈α	adja␈α␈cen␈α␈t␈α
p␈α␈oin␈α␈t,␈α
in␈α
which␈α	case
␈βπy␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ost␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
pix␈α␈e␈α␈l␈α↓s␈α
(␈↓ β↑␈ε)x␈↓ βu␈ε#+␈↓ ∧≤␈ε)_␈↓ ∧,␈ε#,␈↓ ∧;␈ε)y␈↓ ∧T␈ε#+␈↓ ∧{␈ε)⊃␈↓ ¬
␈ε#)␈α
a␈α␈re␈α
alrea␈α␈dy␈α
k␈α␈no␈α}wn␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
bla␈α␈ck␈α
o␈α␈r␈α
w␈α↓h␈α␈ite.␈αFor␈α
ex␈α␈amp␈α␈le,
␈βλπ␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βλ!␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈απmo␈α␈v␈α␈ing␈απa␈απpen␈απo␈α␈ne␈απstep␈απup␈α␈ward␈α␈s,␈α	on␈α␈ly␈απi␈α↓ts␈απtop␈απed␈α␈ge␈απnee␈α␈ds␈απto␈αλb␈α␈e␈αλp␈α␈ain␈α␈t␈α␈ed.
␈βλH␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αgain␈α␈s␈αspee␈α␈d␈αb␈α␈y␈αcom␈α}binin␈α␈g␈αsev␈α}eral␈αho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l␈αa␈α␈nd␈α
v␈α␈ertica␈α␈l␈αst␈α␈eps␈αin␈α␈to␈α
a␈αsing␈α␈l␈α↓e␈αste␈α␈p.
␈βλk␈↓ π≠␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β	↓␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β	¬␈↓ α␈ε#Wha␈α␈t␈α
Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α3␈αfail␈α↓e␈α␈d␈αto␈αde␈α␈scribe␈αwas␈αh␈α␈o␈α␈w␈↓ λT␈ε#cho␈α␈oses␈αth␈α␈e␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈αo␈α␈f
␈β	)␈↓ πε␈ε"(␈↓ λ	␈ε")
␈β	,␈↓ α␈ε#po␈α␈in␈α␈ts␈α
(␈↓ αy␈ε)x␈↓ β␈ε#,␈↓ β→␈ε)y␈↓ β,␈ε#)␈α
tha␈α␈t␈α
are␈α
to␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
curv␈α}e␈↓ π∩␈ε)x␈↓ π#␈ε#(␈↓ π/␈ε)t␈↓ π:␈ε#)␈α↓,␈↓ πT␈ε)y␈↓ πg␈ε#(␈↓ πr␈ε)t␈↓ π}␈ε#)␈↓ λ∃␈ε#.␈αThe␈α	rule␈α
is␈α
essen␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈α
t␈α␈his:
␈β	P␈↓ 	≤␈ε:0␈↓ 
/␈ε:0
␈β	Q␈↓ λ≠␈ε"(␈↓ 
<␈ε")
␈β	T␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αin␈α}teger␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α(␈↓ β]␈ε)x␈↓ βn␈ε#,␈↓ β⎇␈ε)y␈↓ ∧∂␈ε#)␈αis␈αp␈α␈l␈α↓o␈α␈tted␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈αth␈α␈e␈αcurv␈α}e␈↓ λ'␈ε)x␈↓ λ8␈ε#(␈↓ λC␈ε)t␈↓ λO␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈↓ 	␈ε)x␈↓ 	)␈ε#,␈↓ 	8␈ε)y␈↓ 	J␈ε#(␈↓ 	U␈ε)t␈↓ 	a␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈↓ 
≥␈ε)y␈↓ 
T␈ε#p␈α␈asse␈α␈s
␈β	c␈↓ 	≤␈ε&0␈↓ 
/␈ε&0
␈β	{␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈rou␈α␈gh␈α
the␈αd␈α␈i␈α↓a␈α␈mon␈α␈d-sh␈α␈ap␈α␈ed␈αre␈α␈gion␈αwh␈α␈ose␈αfo␈α␈ur␈αco␈α␈rner␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αa␈α␈re
␈β
A␈↓ ε`␈ε&1
␈β
D␈↓ ¬o␈ε#(␈↓ ¬z␈ε)x␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε~␈ε)y␈↓ ε4␈ε#+␈↓ εq␈ε#)
␈β
S␈↓ ε`␈∧
Sε`α
␈β
U␈↓ ε`␈ε&2
␈β⊂␈↓ ¬2␈ε&1␈↓ πL␈ε&1
␈β∀␈↓ ∧b␈ε#(␈↓ ∧m␈ε)x␈↓ ¬ε␈ε7␈␈↓ ¬C␈ε#,␈↓ ¬Q␈ε)y␈↓ ¬d␈ε#)␈↓ ε|␈ε#(␈↓ ππ␈ε)x␈↓ π ␈ε#+␈↓ π\␈ε#,␈↓ πk␈ε)y␈↓ π}␈ε#).
␈β"␈↓ ¬2␈∧"¬2α
␈↓ πL␈∧"πLα
␈β$␈↓ ¬2␈ε&2␈↓ πL␈ε&2
␈β←␈↓ ε`␈ε&1
␈βc␈↓ ¬o␈ε#(␈↓ ¬z␈ε)x␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε~␈ε)y␈↓ ε4␈ε7␈␈↓ εq␈ε#)
␈βq␈↓ ε`␈∧qε`α
␈βs␈↓ ε`␈ε&2
␈β0␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αru␈α␈le␈αimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈αth␈α␈at␈α
i␈α↓f␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈urv␈α␈e␈α
is␈α
trav␈α}ell␈α↓in␈α␈g␈αin␈α
a␈α
b␈α␈asically␈α
h␈α␈orizon␈α}tal␈αd␈α␈irection␈α
(with
␈βX␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓d␈ε#ch␈α␈an␈α␈ging␈α
more␈α
rap␈α␈i␈α↓d␈α␈ly␈αth␈α␈an␈↓ ¬β␈ε)y␈↓ ¬⊗␈ε#),␈αthe␈α␈re␈αis␈αon␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αp␈α␈l␈α↓o␈α␈tted␈α
i␈α↓n␈α
ea␈α␈ch␈αc␈α␈olumn␈α␈,␈αwhile␈αif␈αit
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#is␈αgo␈α␈ing␈αin␈αa␈αba␈α␈sically␈αv␈α␈e␈α␈rti␈α↓c␈α␈al␈αdirectio␈α␈n␈α(with␈↓ εn␈ε)y␈↓ π␈ε#cha␈α␈ng␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αmo␈α␈re␈αrap␈α␈idly␈αth␈α␈an␈↓ 
0␈ε)x␈↓ 
B␈ε#),␈αthere
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#is␈α∞on␈α␈e␈α∂p␈α␈oin␈α␈t␈α∞plot␈α␈ted␈α∞in␈α∞each␈α∞ro␈α}w.␈α⊗Furt␈α␈herm␈α␈ore␈α∞the␈α∞rule␈α∞lead␈α␈s␈α∂to␈α∞p␈α␈rop␈α␈er␈α∂b␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈α∂a␈α␈t
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∂e␈α␈nd␈α␈poin␈α}ts:␈α∪If␈α∂a␈α∞cu␈α␈rv␈α␈e␈α∞i␈α↓s␈α∞bro␈α␈k␈α␈en␈α∞u␈α␈p␈α∂in␈α␈t␈α␈o␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞segm␈α␈en␈α␈ts,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le␈α∂b␈α␈y␈α∂in␈α␈serting
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#in␈α}termed␈α␈iate␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αi␈α↓n␈αa␈↓ ∧1␈ε3dra␈α␈w␈↓ ¬¬␈ε#comm␈α␈an␈α␈d,␈αy␈α␈o␈α␈u␈αw␈α␈o␈α␈n't␈αb␈α␈e␈αplo␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈αsp␈α␈urio␈α␈us␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αwhere
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αt␈α␈wo␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αjoin␈α␈.␈α≠(␈ε0Ex␈α␈c␈α␈eptio␈α␈n:␈ε#␈α~If␈αan␈αe␈α␈n␈α␈tire␈↓ εq␈ε3d␈α␈raw␈↓ πD␈ε#com␈α␈man␈α␈d␈αha␈α␈s␈αb␈α␈een␈αpro␈α␈cesse␈α␈d␈αbu␈α␈t
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈o␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α∞was␈α∞p␈α␈lotted␈α␈,␈α∂beca␈α␈use␈α∞fo␈α␈r␈α∞exa␈α␈mple␈α∞th␈α␈e␈α∞com␈α␈man␈α␈d␈α∞wa␈α␈s␈α∂t␈α␈rying␈α
to␈α∞dra␈α␈w␈α∞a␈α∞tin␈α␈y
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧2␈ε>Discreteness␈αand␈αdiscretion␈↓ β␈ε"53
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαQ␈↓ π7␈ε&1␈↓ λ∃␈ε&1
␈βαT␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈i␈α↓rc␈α␈l␈α↓e␈α
wh␈α␈ose␈α
coo␈α␈rdina␈α␈tes␈α
we␈α␈re␈α
all␈αv␈α␈e␈α␈ry␈α
close␈α
to␈α
(␈↓ εt␈ε)a␈↓ π␈ε#+␈↓ πG␈ε#,␈↓ πV␈ε)b␈↓ πj␈ε#+␈↓ λ%␈ε#)␈αfor␈α
som␈α␈e␈αin␈α}tegers␈↓ 
;␈ε)a␈↓ 
V␈ε#an␈α␈d␈↓ ⊗␈ε)b␈↓ #␈ε#,
␈βαb␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j␈↓ π7␈∧αbπ7α
␈↓ λ∃␈∧αbλ∃α
␈βαd␈↓ π7␈ε&2␈↓ λ∃␈ε&2
␈βα|␈↓ β∧␈ε#will␈α∂p␈α␈l␈α↓o␈α␈t␈α∂on␈α␈e␈α∞poin␈α}t,␈α⊂ob␈α␈tain␈α␈ed␈α∞by␈α∞ro␈α␈un␈α␈ding␈α∞th␈α␈e␈α∂|␈α␈rst␈α∂s␈α␈peci|␈α␈ed␈α∞po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈↓ 
i␈ε)z␈↓ ∂␈ε#to
␈ββε␈↓ 
t␈ε&1
␈ββ#␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈αco␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s.␈αEac␈α␈h␈↓ ∧B␈ε3d␈α␈raw␈↓ ¬∃␈ε#ther␈α␈efore␈αp␈α␈l␈α↓o␈α␈ts␈αat␈αleast␈αo␈α␈nce␈α␈.␈α↓)
␈ββ\␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈ββ`␈↓ α␈ε#The␈αdiamo␈α␈nd␈αrule␈αfor␈αp␈α␈lotting␈αcurv␈α}es␈αis␈αam␈α␈b␈α␈iguo␈α␈us␈αin␈αo␈α␈ne␈αre␈α␈spec␈α␈t:␈α∞It␈αd␈α␈oesn␈α␈'t␈αsay
␈β∧π␈↓ α␈ε#wha␈α␈t␈α
ha␈α␈pp␈α␈ens␈αon␈αthe␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ary␈αof␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈i␈α↓a␈α␈mon␈α␈d.␈α⊂F␈α↓o␈α␈r␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∞if␈α
a␈α
h␈α␈orizon␈α}tal␈α
o␈α␈r
␈β∧,␈↓ 
∩␈ε&1
␈β∧/␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈early␈αho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l␈αcurv␈α}e␈αh␈α␈app␈α␈en␈α␈s␈αto␈αp␈α␈ass␈αex␈α␈act␈α␈l␈α↓y␈αthro␈α␈ug␈α␈h␈αth␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ 	+␈ε)x␈↓ 	<␈ε#,␈↓ 	K␈ε)y␈↓ 	f␈ε#+␈↓ 
#␈ε#),␈αwhen␈↓ ≠␈ε)x
␈β∧=␈↓ ∧ ␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j␈↓ 
∩␈∧∧=
∩α
␈β∧?␈↓ 
∩␈ε&2
␈β∧W␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ αλ␈ε)y␈↓ α&␈ε#a␈α␈re␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αwil␈α↓l␈↓ ¬X␈ε#plot␈α(␈↓ ε(␈ε)x␈↓ ε9␈ε#,␈↓ εH␈ε)y␈↓ εa␈ε#+␈αλ1)␈αo␈α␈r␈α(␈↓ πd␈ε)x␈↓ πv␈ε#,␈↓ λ∧␈ε)y␈↓ λ↔␈ε#)?␈αThe␈α
an␈α␈sw␈α␈er␈αis,␈αso␈α␈metime␈α␈s
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)x␈↓ ↓i␈ε#+␈α∧1,␈↓ α.␈ε)y␈↓ α@␈ε#)␈α	an␈α␈d␈α	so␈α␈metime␈α␈s␈α	(␈↓ ∧<␈ε)x␈↓ ∧N␈ε#,␈↓ ∧]␈ε)y␈↓ ∧o␈ε#),␈α
d␈α␈ep␈α␈end␈α␈ing␈αλon␈αλthe␈α	c␈α␈urv␈α}e␈α	be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	d␈α␈rawn␈α␈.␈αTh␈α␈e␈α	rea␈α␈son␈αλi␈α↓s␈αλtha␈α␈t
␈β¬&␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈α
b␈α␈eha␈α␈vior␈αis␈α
wha␈α␈t␈α
y␈α}ou␈αwan␈α}t,␈α
altho␈α␈ugh␈αy␈α}ou␈αma␈α␈y␈αnot␈αrea␈α␈l␈α↓ize␈αit␈α
at␈α|rs␈α␈t:␈α∂If␈αthe␈αsame
␈β¬M␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ecision␈αλw␈α␈ere␈α	ma␈α␈de␈α	ea␈α␈ch␈αλti␈α↓m␈α␈e,␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	p␈α␈ath␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	resu␈α␈l␈α↓t␈αλwo␈α␈uld␈αλbe␈α	u␈α␈nd␈α␈esirab␈α␈l␈α↓e
␈β¬u␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈eca␈α␈use␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈α
w␈α␈ou␈α␈ld␈αturn␈αo␈α␈ut␈αto␈αbe␈αun␈α␈sy␈α␈mmetrica␈α␈l␈α↓:␈α∞th␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈αh␈α␈alf␈α
of␈αan␈α`o'␈αmigh␈α}t
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε#loo␈α␈k␈αsl␈α↓ig␈α␈h␈α␈tly␈αdi{eren␈α␈t␈αfrom␈αthe␈αrigh␈α}t␈α
ha␈α␈lf␈α↓,␈α
a␈α␈nd␈αth␈α␈e␈α
top␈αh␈α␈alf␈α
m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
lo␈α␈ok␈αdi{eren␈α}t␈α
from
␈βε*␈↓ ∧≤␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βεD␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αbo␈α␈ttom.␈α∞There␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈↓ ¬J␈ε#'s␈αrou␈α␈nd␈α␈ing␈αru␈α␈l␈α↓e␈αis␈αsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈αre⎇e␈α␈ction␈αsy␈α␈mmet␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈βεl␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αpre␈α␈serv␈α␈e␈α␈d:
␈βπ≠␈↓ λX␈ε"(␈↓ 	[␈ε")
␈βπ≡␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#If␈↓ α,␈ε)m␈↓ αT␈ε#is␈α
an␈α	i␈α↓n␈α}teger␈α
th␈α␈en␈α
p␈α␈oin␈α}t␈α(␈↓ ¬:␈ε)x␈↓ ¬K␈ε#,␈↓ ¬Z␈ε)y␈↓ ¬l␈ε#)␈αis␈α
p␈α␈l␈α↓o␈α␈tted␈α
fo␈α␈r␈αt␈α␈he␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈↓ λd␈ε)x␈↓ λu␈ε#(␈↓ 	␈ε)t␈↓ 	␈ε#),␈↓ 	&␈ε)y␈↓ 	8␈ε#(␈↓ 	D␈ε)t␈↓ 	O␈ε#)␈↓ 	q␈ε#if␈α
an␈α␈d␈α
on␈α␈ly␈α
if
␈βπB␈↓ ελ␈ε"(␈↓ πY␈ε")
␈βπE␈↓ α␈ε#(␈↓ α↔␈ε)m␈↓ α<␈ε7␈␈↓ αe␈ε)x␈↓ αv␈ε#,␈↓ β¬␈ε)y␈↓ β↔␈ε#)␈αi␈α↓s␈αp␈α␈lotted␈α
for␈αthe␈αc␈α␈urv␈α}e␈↓ ε∀␈ε)m␈↓ ε9␈ε7␈␈↓ εb␈ε)x␈↓ εs␈ε#(␈↓ ε}␈ε)t␈↓ π
␈ε#),␈↓ π$␈ε)y␈↓ π6␈ε#(␈↓ πB␈ε)t␈↓ πM␈ε#)␈↓ πe␈ε#.
␈βπt␈↓ λV␈ε"(␈↓ 	X␈ε")
␈βπw␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)n␈↓ αL␈ε#is␈αa␈α␈n␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αthe␈α␈n␈αp␈α␈oin␈α}t␈α(␈↓ ¬4␈ε)x␈↓ ¬F␈ε#,␈↓ ¬T␈ε)y␈↓ ¬g␈ε#)␈αis␈αp␈α␈lotted␈α
for␈α
the␈α
cur␈α␈v␈α␈e␈↓ λb␈ε)x␈↓ λs␈ε#(␈↓ λ}␈ε)t␈↓ 	
␈ε#),␈↓ 	$␈ε)y␈↓ 	6␈ε#(␈↓ 	A␈ε)t␈↓ 	M␈ε#)␈↓ 	o␈ε#if␈αan␈α␈d␈α
only␈α
if
␈βλ≤␈↓ ¬␈␈ε"(␈↓ πF␈ε")
␈βλ∨␈↓ α␈ε#(␈↓ α↔␈ε)x␈↓ α)␈ε#,␈↓ α7␈ε)n␈↓ αS␈ε7␈␈↓ α{␈ε)y␈↓ β∞␈ε#)␈αis␈αplotted␈α
for␈αth␈α␈e␈αcurv␈α}e␈↓ ε␈ε)x␈↓ ε≤␈ε#(␈↓ ε(␈ε)t␈↓ ε3␈ε#)␈α↓,␈↓ εM␈ε)n␈↓ εi␈ε7␈␈↓ π⊃␈ε)y␈↓ π$␈ε#(␈↓ π/␈ε)t␈↓ π;␈ε#)␈↓ πR␈ε#.
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α␈e␈αon␈α␈l␈α↓y␈αex␈α␈ce␈α␈ption␈α␈s␈αoccu␈α␈r␈αwhen␈αi␈α↓t␈αis␈αessen␈α}tiall␈α↓y␈αi␈α↓m␈α␈po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αto␈αsatisfy␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition␈α␈s,
␈βλv␈↓ ∧7␈ε"(␈↓ ¬:␈ε")
␈βλy␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α∞when␈α∂th␈α␈e␈α∂cu␈α␈rv␈α␈e␈↓ ∧C␈ε)x␈↓ ∧T␈ε#(␈↓ ∧`␈ε)t␈↓ ∧k␈ε#)␈α↓,␈↓ ¬¬␈ε)y␈↓ ¬_␈ε#(␈↓ ¬#␈ε)t␈↓ ¬/␈ε#)␈↓ ¬U␈ε#in␈α∂(a)␈α∂i␈α↓s␈α∂a␈α∂v␈α}ertical␈α∂l␈α↓in␈α␈e␈α⊂with␈↓ 	␈ε)x␈↓ 	≤␈ε#(␈↓ 	'␈ε)t␈↓ 	3␈ε#)␈α⊂=␈↓ 
␈ε#co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ␈ε#=
␈β	≥␈↓ αX␈ε&1␈↓ ε	␈ε"(␈↓ π␈ε")
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈↓ α/␈ε#+␈↓ αh␈ε#,␈α	or␈αλsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈rl␈α↓y␈αλwh␈α␈en␈αλthe␈αλcu␈α␈rv␈α␈e␈↓ ε∃␈ε)x␈↓ ε&␈ε#(␈↓ ε2␈ε)t␈↓ ε=␈ε#)␈α↓,␈↓ εW␈ε)y␈↓ εj␈ε#(␈↓ εu␈ε)t␈↓ π↓␈ε#)␈↓ π ␈ε#i␈α↓n␈αλ(b␈α␈)␈α	is␈α	a␈αλh␈α␈orizon␈α}tal␈α	line␈αλwith␈↓ 
M␈ε)y␈↓ 
`␈ε#(␈↓ 
k␈ε)t␈↓ 
w␈ε#)␈α	=
␈β	.␈↓ αX␈∧	.αXα
␈β	0␈↓ αX␈ε&2
␈β	D␈↓ ∧∧␈ε&1
␈β	H␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈↓ αL␈ε#=␈↓ αv␈ε#i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ β\␈ε#+␈↓ ∧∀␈ε#.)␈α⊂In␈απoth␈α␈er␈αλw␈α␈o␈α␈rds,␈αλy␈α␈ou␈απc␈α␈an␈απalmo␈α␈st␈αλa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈απensu␈α␈re␈απsym␈α␈metry␈απof␈απthe
␈β	V␈↓ ∧∧␈∧	V∧∧α
␈β	X␈↓ ∧∧␈ε&2
␈β	o␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈din␈α␈g␈α
o␈α␈pera␈α␈tion␈α	if␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α	si␈α↓m␈α␈ply␈α	mak␈α}e␈α	the␈α	curv␈α}e␈α	symm␈α␈etric␈α
with␈α	resp␈α␈ect␈α	to␈α
a␈α␈n␈α	in␈α␈teg␈α␈er.
␈β	⎇␈↓ ¬3␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλpre␈α␈cise␈αλroun␈α␈din␈α␈g␈αλrule␈αλu␈α␈sed␈αλb␈α␈y␈↓ εi␈ε#will␈α	n␈α␈ot␈αλbe␈αλe␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈ined␈απhere,␈α	sin␈α␈ce␈αλon␈α␈ly␈αλthe
␈β
?␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈mme␈α␈try␈α	pr␈α␈i␈α↓n␈α␈ciple␈α	ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α	is␈α	impo␈α␈rtan␈α}t␈α
in␈α	p␈α␈rac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e.␈αS␈α␈ymm␈α␈etry␈α	is␈α	ach␈α␈i␈α↓e␈α␈v␈α␈ed␈α	b␈α␈y␈α	in␈α␈te␈α␈rna␈α␈l␈α↓ly
␈β
f␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}erting␈α
ev␈α}ery␈α
cu␈α␈rv␈α␈e␈α
to␈α
su␈α␈bin␈α␈te␈α␈rva␈α␈l␈α↓s␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈α∞so␈α␈me␈α
sub␈α␈set␈α
of␈α
the␈α
tran␈α␈sform␈α␈ation␈α␈s
␈β
␈↓ 
∪␈ε:0␈↓ ∧␈ε:0
␈β∞␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓Y␈ε#(␈↓ ↓d␈ε)t␈↓ ↓p␈ε#)␈ε7␈α!␈α␈␈↓ αT␈ε)x␈↓ αe␈ε#(␈↓ αp␈ε)t␈↓ α|␈ε#),␈↓ β≥␈ε)y␈↓ β/␈ε#(␈↓ β:␈ε)t␈↓ βF␈ε#)␈ε7␈α!␈α␈␈↓ ∧*␈ε)y␈↓ ∧<␈ε#(␈↓ ∧G␈ε)t␈↓ ∧S␈ε#),␈↓ ∧t␈ε)x␈↓ ¬¬␈ε#(␈↓ ¬⊂␈ε)t␈↓ ¬≤␈ε#)␈ε7␈α$␈↓ ¬↑␈ε)y␈↓ ¬q␈ε#(␈↓ ¬|␈ε)t␈↓ ελ␈ε#)␈αp␈α␈rodu␈α␈ces␈αa␈αcurv␈α}e␈αsatisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α0␈ε7␈α∀␈↓ 
↓␈ε)y␈↓ 
→␈ε#(␈↓ 
%␈ε)t␈↓ 
0␈ε#)␈ε7␈α∀␈↓ 
s␈ε)x␈↓ 
␈ε#(␈↓ ∃␈ε)t␈↓ !␈ε#)
␈β5␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈rou␈α␈gh␈α␈ou␈α␈t␈α
each␈αsu␈α␈bin␈α␈te␈α␈rva␈α␈l␈α↓.␈α⊂A␈α
pa␈α␈rticular␈αroun␈α␈din␈α␈g␈α
ru␈α␈le␈α
is␈α
use␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈α
curv␈α}es␈α
sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈βY␈↓ α∨␈ε:0␈↓ β␈ε:0
␈β]␈↓ ↓H␈ε#0␈ε7␈α	∀␈↓ α␈ε)y␈↓ α%␈ε#(␈↓ α0␈ε)t␈↓ α<␈ε#)␈ε7␈α	∀␈↓ α{␈ε)x␈↓ β∩␈ε#(␈↓ β≡␈ε)t␈↓ β)␈ε#)␈α↓,␈αth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αa␈α␈re␈αun␈α}tran␈α␈sforme␈α␈d␈αag␈α␈ain.
␈β␈␈↓ πc␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∃␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β→␈↓ α␈ε#The␈α␈re␈α∩is␈α∩a␈α␈n␈α∩a␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈α∩k␈α␈i␈α↓n␈α␈d␈α⊃of␈α∩sy␈α␈mmetry␈α⊃th␈α␈at␈↓ 	"␈ε#ca␈α␈nn␈α␈ot␈α∩g␈α␈ua␈α␈ran␈α␈te␈α␈e:
␈βA␈↓ α␈ε#The␈α
result␈α∞of␈α∞\␈↓ βm␈ε3draw␈↓ ∧D␈ε#1␈α¬.␈αε.␈αε2␈α¬.␈αε.␈α¬3"␈α∞mig␈α␈h␈α␈t␈α∞no␈α␈t␈α∞be␈α∞p␈α␈recisely␈α∞th␈α␈e␈α∞sam␈α␈e␈α∞as␈α∞th␈α␈e␈α∞resu␈α␈l␈α↓t␈α∞o␈α␈f
␈βi␈↓ ↓H␈ε#\␈↓ ↓X␈ε3dra␈α␈w␈↓ α+␈ε#3␈α¬.␈αε.␈αε2␈α¬.␈αε.␈αε1"␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈αthe␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αmigh␈α}t␈αbe␈αs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α}t␈αwhen␈αa␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αi␈α↓s␈αb␈α␈eing
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈rawn␈α
i␈α↓n␈α
the␈αo␈α␈pp␈α␈osite␈αd␈α␈i␈α↓re␈α␈ction.
␈β
3␈↓ β[␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β
I␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β
M␈↓ α␈ε#The␈α
f␈α↓a␈α␈ct␈αtha␈α␈t␈↓ ¬	␈ε#'s␈αrou␈α␈nd␈α␈ing␈αru␈α␈le␈αpre␈α␈serv␈α␈e␈α␈s␈αc␈α␈ertain␈αs␈α␈ymm␈α␈etries␈αi␈α↓s␈αh␈α␈elpfu␈α␈l
␈β
t␈↓ α␈ε#in␈α
pr␈α␈actice,␈α∞y␈α}et␈α
i␈α↓t␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
re␈α␈mem␈α␈b␈α␈ered␈α
th␈α␈at␈α
so␈α␈me␈α
asy␈α␈mmetry␈αis␈α∞in␈α␈here␈α␈n␈α␈t␈α
in␈α
the
␈β∞→␈↓ εn␈ε"(␈↓ πp␈ε")
␈β∞≤␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈ct␈αtha␈α␈t␈αrou␈α␈nd␈α␈ing␈αd␈α␈oes␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈↓ εz␈ε)x␈↓ π␈ε#(␈↓ π⊗␈ε)t␈↓ π"␈ε#),␈↓ π<␈ε)y␈↓ πN␈ε#(␈↓ πY␈ε)t␈↓ πe␈ε#)␈↓ λπ␈ε#wi␈α↓ll␈αno␈α␈t,␈αi␈α↓n␈α
gen␈α␈era␈α␈l␈α↓,␈αloo␈α␈k␈αjus␈α␈t
␈β∞@␈↓ β_␈ε"(␈↓ ∧␈ε&1␈↓ ¬∪␈ε&1␈↓ ¬#␈ε")
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε#lik␈α␈e␈αt␈α␈he␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈↓ β$␈ε)x␈↓ β6␈ε#(␈↓ βA␈ε)t␈↓ βM␈ε#)␈απ+␈↓ ∧≤␈ε#,␈↓ ∧+␈ε)y␈↓ ∧=␈ε#(␈↓ ∧H␈ε)t␈↓ ∧T␈ε#)␈αλ+␈↓ ¬/␈ε#,␈αsay,␈αa␈α␈f␈α↓te␈α␈r␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g;␈αso␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈estion␈α
arises,␈αdo␈α
some
␈β∞R␈↓ ∧␈∧∞R∧α
␈↓ ¬∪␈∧∞R¬∪α
␈β∞T␈↓ ∧␈ε&3␈↓ ¬∪␈ε&3
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"54␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α7
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈ββQ␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α
7↑␈α␈1.␈ε#␈α↔The␈α
e␈α␈{␈α↓ec␈α␈ts␈α
of␈α
rou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
are
␈ββy␈↓ π⊂␈ε#most␈αλnot␈α␈i␈α↓ce␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈αλat␈αλthe␈αλextre␈α␈me␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α␈s
␈β∧ ␈↓ π⊂␈ε#of␈αa␈αcu␈α␈rv␈α␈e.
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈urv␈α}es␈α∞loo␈α␈k␈α
m␈α␈u␈α␈ch␈α
be␈α␈tter␈α
than␈αothe␈α␈rs?␈α∩The␈α
an␈α␈sw␈α␈er␈α
i␈α↓s␈α
y␈α}es,␈α∞bu␈α␈t␈α∞th␈α␈e␈α
only␈α
re␈α␈all␈α↓y␈α
c␈α␈ri␈α↓t␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈β¬|␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈laces␈αsee␈α␈m␈αt␈α␈o␈αbe␈αwhe␈α␈re␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αrea␈α␈che␈α␈s␈αa␈αh␈α␈orizo␈α␈n␈α␈tal␈αor␈αv␈α␈e␈α␈rti␈α↓c␈α␈al␈αe␈α␈xtrem␈α␈e␈α(␈α↓wh␈α␈en␈αit␈αis
␈βε$␈↓ ↓H␈ε#tra␈α␈v␈α␈elling␈α	str␈α␈aigh␈α␈t␈α	u␈α␈p␈α	or␈α	d␈α␈o␈α␈wn␈α␈,␈α
or␈α	whe␈α␈n␈α	it␈α	i␈α↓s␈α	p␈α␈erfectly␈α	h␈α␈orizo␈α␈n␈α␈ta␈α␈l␈α↓,␈α
if␈α	on␈α␈ly␈α	for␈α	an␈αλi␈α↓n␈α␈stan␈α}t).
␈βεK␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈en␈α
a␈α
c␈α␈urv␈α}e␈α
turn␈α␈s␈α
a␈α
cor␈α␈ner␈α
in␈α
su␈α␈ch␈α
p␈α␈laces,␈α
i␈α↓ts␈α
o␈α␈utsid␈α␈e␈α
edg␈α␈e␈α
may␈αl␈α↓o␈α␈ok␈αtoo␈α
⎇␈α␈at␈α
afte␈α␈r
␈βεs␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈din␈α␈g␈α(ev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αreso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
i␈α↓s␈αfa␈α␈i␈α↓rly␈α
goo␈α␈d),␈αun␈α␈less␈αth␈α␈e␈αturn␈α␈ing␈αp␈α␈oin␈α}t␈αi␈α↓s␈αse␈α␈l␈α↓e␈α␈cted
␈βπ~␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈tely.␈α
Fo␈α␈r␈απexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αλF␈α↓ig␈α␈.␈↓ ¬"␈ε#7↑1␈↓ ¬[␈ε#sho␈α}ws␈απthr␈α␈ee␈απcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈απplott␈α␈ed␈απwith␈αεan␈↓ 	I␈ε3h␈α␈pen␈↓ 
⊗␈ε#of␈απwid␈α␈th␈απ9␈α␈,
␈βπB␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈απthe␈απha␈α␈i␈α↓rline␈απsize␈↓ ∧α␈ε)w␈↓ ∧,␈ε#is␈αλ3␈α␈.␈αEac␈α␈h␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλth␈α␈ree␈αλcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αλis␈αλesse␈α␈n␈α␈tially␈αλt␈α␈he␈απsame,␈αλstartin␈α␈g␈αλa␈α␈t
␈βπM␈↓ ∧_␈ε&0
␈βπj␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)x␈↓ ↓i␈ε#+␈α¬10,␈α¬50)␈α	with␈α	a␈α	slop␈α␈e␈α	of␈ε7␈α	f␈␈ε#1,␈ε7␈αε␈␈ε#1␈ε7g␈ε#␈α␈,␈α
the␈α␈n␈α	com␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	d␈α␈o␈α␈wn␈α	an␈α␈d␈α	left␈α	to␈α	p␈α␈oin␈α␈ts␈α	(␈↓ 
∩␈ε)x␈↓ 
$␈ε#,␈α¬0)␈α	where
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αd␈α␈irection␈αis␈ε7␈αf␈ε#␈α␈0,␈ε7␈αε␈␈ε#1␈ε7g␈ε#␈α␈,␈αthen␈αg␈α␈oing␈αdo␈α}wn␈αa␈α␈nd␈αrigh␈α}t␈αto␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α(␈↓ λR␈ε)x␈↓ λk␈ε#+␈αλ10␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#50)␈αwhere␈αthe
␈βλ9␈↓ ↓H␈ε#slo␈α␈pe␈α	i␈α↓s␈ε7␈α	f␈ε#+1,␈ε7␈α¬␈␈ε#␈α↓1␈ε7␈α␈g␈ε#.␈αTh␈α␈e␈α
o␈α␈nly␈α	di{eren␈α␈ce␈α
is␈α	tha␈α␈t␈↓ εg␈ε)x␈↓ πα␈ε#=␈α	0␈α	(an␈α	in␈α␈teg␈α␈er)␈α
in␈α	th␈α␈e␈α
lefth␈α␈and␈α	c␈α␈urv␈α}e;
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓c␈ε#=␈α
50.49␈α␈99␈α(almo␈α␈st␈αh␈α␈alfway␈αafter␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger)␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈αm␈α␈i␈α↓d␈α␈dle␈αcu␈α␈rv␈α␈e;␈αa␈α␈nd␈↓ 	h␈ε)x␈↓ 
β␈ε#=␈α1␈α␈00.5␈α␈001
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε#(a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αhalfway␈αb␈α␈efore␈αan␈αin␈α}teger␈α␈)␈α
in␈αthe␈αrigh␈α}t-␈α↓h␈α␈an␈α␈d␈αcu␈α␈rv␈α␈e.␈α∂The␈αmidd␈α␈le␈α
c␈α␈urv␈α}e␈α
h␈α␈as␈αan
␈β	0␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈nfo␈α␈rtun␈α␈ate␈αg␈α␈l␈α↓itch␈α
at␈↓ ∧∧␈ε)y␈↓ ∧ ␈ε#=␈α	0,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈th␈α␈an␈α␈d␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αloo␈α␈ks␈αto␈α␈o␈α⎇a␈α␈t␈αnea␈α␈r␈↓ 	o␈ε)y␈↓ 
␈ε#=␈α
0␈α␈.
␈β	e␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β	i␈↓ α␈ε#We␈αcan␈α
con␈α␈clud␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αa␈αcur␈α␈v␈α␈e␈αgo␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αfro␈α␈m␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αto␈αleft␈αa␈α␈nd␈αb␈α␈ack␈α
ag␈α␈ain␈αh␈α␈as␈αa␈αgo␈α␈od
␈β
⊂␈↓ α␈ε#po␈α␈siti␈α↓o␈α␈n␈αwith␈αresp␈α␈ect␈αto␈αth␈α␈e␈αraster␈αif␈αi␈α↓ts␈αex␈α␈treme␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αoc␈α␈curs␈αa␈α␈t␈αa␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er,␈αwh␈α␈en
␈β
8␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈n␈↓ ↓t␈ε3h␈α␈pen␈↓ αC␈ε#w␈α↓ith␈αλan␈α	o␈α␈dd␈α	wid␈α␈th␈α	is␈α	being␈αλused␈α␈.␈αTh␈α␈e␈α	reaso␈α␈n␈α	is␈α	that␈α	a␈α␈n␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α	i␈α↓s␈α	h␈α␈alfway
␈β
←␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απthe␈αλp␈α␈laces␈αλwh␈α␈ere␈αλro␈α␈un␈α␈ding␈απmak␈α}es␈αλan␈απabr␈α␈up␈α␈t␈αλtrans␈α␈i␈α↓tion␈α␈,␈α	so␈αλn␈α␈o␈αλob␈α␈vio␈α␈us␈αλan␈α␈oma␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈βπ␈↓ ↓H␈ε#will␈α
a␈α␈pp␈α␈ear.␈αS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly␈α	w␈α␈e␈α	get␈α	a␈α	go␈α␈od␈α	p␈α␈osition␈α	for␈↓ πα␈ε3h␈α␈pen␈↓ πH␈ε#s␈α
o␈α␈f␈ε0␈α
e␈α␈v␈α␈en␈ε#␈α	wid␈α␈th␈α	when␈αλthe␈α	ex␈α␈treme
␈β+␈↓ ¬ ␈ε&1␈↓ πS␈ε&1
␈β/␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α
oc␈α␈curs␈α
at␈α
an␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α∞p␈α␈lus␈↓ ¬0␈ε#,␈α∞si␈α↓n␈α␈ce␈α
an␈α
o␈α␈{␈α↓se␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ πq␈ε#is␈α∞su␈α␈btr␈α␈acted␈α
b␈α␈efore␈α
ro␈α␈un␈α␈ding␈α␈.
␈β=␈↓ ¬ ␈∧=¬ α
␈↓ πS␈∧=πSα
␈β?␈↓ ¬ ␈ε&2␈↓ πS␈ε&2
␈βV␈↓ ↓H␈ε#Bo␈α␈th␈α	of␈α	these␈α	ca␈α␈ses␈α	can␈α	b␈α␈e␈α	sum␈α␈med␈α	u␈α␈p␈α	in␈α	on␈α␈e␈α
ru␈α␈le,␈α
tha␈α␈t␈α	a␈α
g␈α␈oo␈α␈d␈α	case␈α	for␈α	rou␈α␈nd␈α␈ing␈α	o␈α␈ccur␈α␈s
␈β}␈↓ ↓H␈ε#if␈αth␈α␈e␈αleft␈α(or␈αrigh␈α}t)␈αed␈α␈ge␈αof␈αth␈α␈e␈αp␈α␈en␈αis␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αat␈αth␈α␈e␈αe␈α␈xtrem␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈t.␈α
Th␈α}us,␈αon␈α␈e␈αcan
␈β%␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈et␈αg␈α␈ood␈α
resu␈α␈lts␈αby␈α
co␈α␈mp␈α␈uting␈α
an␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈te␈αv␈α␈alue␈↓ πR␈ε)l␈↓ πf␈ε#for␈αth␈α␈e␈αleft␈α
edg␈α␈e␈αo␈α␈f␈αthe␈α
pen␈α
a␈α␈nd
␈βM␈↓ ↓H␈ε#writing␈α
the␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n
␈βu␈↓ ¬C␈ε3lft␈↓ ¬u␈ε)x␈↓ ε→␈ε#=␈↓ εD␈ε3ro␈α␈un␈α␈d␈↓ π∨␈ε)l␈↓ π(␈ε#;
␈β␈␈↓ ¬d␈ε,i␈↓ ε∧␈ε,j
␈β
/␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈ere␈↓ α⊂␈ε)w␈↓ α;␈ε#is␈αthe␈α
pen␈α
width␈α
an␈α␈d␈↓ ∧s␈ε)x␈↓ ¬→␈ε#is␈αth␈α␈e␈↓ ¬s␈ε)x␈↓ ε∂␈ε#coo␈α␈rdin␈α␈ate␈αo␈α␈f␈αthe␈α
extre␈α␈me␈αp␈α␈oin␈α␈t.␈αAno␈α␈the␈α␈r␈αway
␈β
9␈↓ α&␈ε,i␈↓ ¬α␈ε,j
␈β
V␈↓ ↓H␈ε#to␈αach␈α␈i␈α↓e␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈αsame␈αobje␈α␈ctiv␈α␈e␈αis␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αan␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈αv␈α␈alue␈↓ 	$␈ε)c␈↓ 	>␈ε#fo␈α␈r␈αthe␈αce␈α␈n␈α␈ter␈αo␈α␈f
␈β
}␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αpe␈α␈n␈αat␈αits␈αex␈α␈treme␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈nd␈α
wri␈α↓tin␈α␈g
␈β∞E␈↓ ¬]␈ε)x␈↓ εα␈ε#=␈↓ ε,␈ε3goo␈α␈d␈↓ π↓␈ε)c␈↓ π∞␈ε#;
␈β∞O␈↓ ¬l␈ε,j␈↓ εq␈ε,i
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬(␈ε>Subroutines␈↓ β␈ε"55
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ α↓␈ε3g␈α␈ood␈↓ αP␈ε#fu␈α␈nction␈α
p␈α␈rod␈α␈uces␈α
the␈α
nea␈α␈rest␈αin␈α}teger␈α
to␈↓ π∨␈ε)c␈↓ π6␈ε#i␈α↓f␈α
the␈α
pen␈α
width␈α
(␈↓ 	6␈ε3rou␈α␈nd␈↓ 
⊗␈ε)w␈↓ 
7␈ε#)␈αis␈αo␈α␈dd␈α␈,
␈βα`␈↓ 
,␈ε,i
␈βαz␈↓ 	N␈ε&1
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α∞it␈α∞y␈α␈ields␈α∞th␈α␈e␈α∞ne␈α␈arest␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α∞to␈↓ ε~␈ε)c␈↓ ε5␈ε#ha␈α␈ving␈α
the␈α
form␈α∞in␈α␈te␈α␈ger␈↓ 	 ␈ε#+␈↓ 	←␈ε#.␈α∀Ap␈α␈pen␈α␈dix␈α
E
␈ββ␈↓ 	N␈∧β	Nα
␈ββ
␈↓ 	N␈ε&2
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αtha␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈↓ ε,␈ε3ro␈α␈un␈α␈d␈↓ π␈ε#and␈↓ πN␈ε3g␈α␈ood␈↓ λ≡␈ε#ca␈α␈n␈αbe␈αused␈αto␈αen␈α␈ha␈α␈nce␈αthe
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈eara␈α␈nce␈αo␈α␈f␈αl␈α↓e␈α␈tter␈αsha␈α␈pes.
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈8>␈α
Subro␈α␈u␈α↓tines
␈β¬I␈↓ ↓H␈ε"When␈απy␈α␈ou␈απsit␈απdo␈α␈wn␈αλand␈απtry␈απto␈απdesign␈απthe␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈απcase␈απletters␈απa␈αλto␈απz,␈αλy␈α␈ou␈απwill␈απprobably
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈er␈α	that␈α	most␈α
letters␈α	hav␈α␈e␈α
features␈α	in␈α
common␈α	with␈α	other␈α
ones;␈α
for␈α	example,
␈βε∨␈↓ ↓H␈ε"consider␈α∂the␈α∂relations␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂l␈α∂and␈α∂h,␈α∂h␈α∂and␈α∂n,␈α⊂n␈α∂and␈α∂m,␈α⊂n␈α∂and␈α∂u.␈α∀You␈α∂will
␈βε3␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈βεJ␈↓ ↓H␈ε"therefore␈αwish␈αthat␈αdi{eren␈α␈t␈αcharacters␈αcould␈αshare␈αcommon␈αportions␈αof␈↓  ␈ε"-
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈βεu␈↓ α2␈ε"programs,␈αwith␈αonly␈αminor␈αvariations␈αmade␈αwhen␈αthese␈αcommon␈α
portions
␈βπ!␈↓ ↓H␈ε"are␈α∞used␈α∂in␈α∂di{eren␈α␈t␈α∂places,␈α∂so␈α∂that␈α∂y␈α␈ou␈α∞can␈α∂av␈α␈oid␈α∂inconsistencies␈α∂and␈α∞tedious
␈βπL␈↓ ↓H␈ε"repetitions.␈αWell,␈α	y␈α␈ou␈α	are␈α	in␈α
luck:␈α
Common␈α	operations␈α	need␈α	be␈α	programmed␈α	only
␈βπw␈↓ ↓H␈ε"once,␈α∞and␈α∞the␈α∞way␈α∞to␈α
do␈α∞this␈α∞is␈α∞m␈α␈uch␈α∞better␈α∞than␈α∞the␈α∞\␈ε5i␈α␈npu␈α␈t␈α∃d␈α␈rag␈ε""␈α
solution
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε"used␈αin␈αChapter␈α4.␈ε/␈αSubroutines␈ε"␈αare␈αthe␈αansw␈α␈er␈αto␈αy␈α␈our␈αproblem.
␈βλ9␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈βλP␈↓ α␈ε"Subroutines␈αare␈α
one␈αlev␈α␈el␈α
of␈αcomplexity␈α
up␈αfrom␈α
the␈αsimplest␈α
uses␈αof␈↓  ␈ε"-
␈βλd␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈βλ{␈↓ α'␈ε",␈α∞ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞so␈α∞the␈α∞rest␈α
of␈α∞this␈α∞chapter␈α∞is␈α
mark␈α␈ed␈α∞o{␈α∞with␈α∞dangerous␈α
bend
␈β	∂␈↓ λ/␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	&␈↓ ↓H␈ε"signs.␈α⊃You␈α
should␈α∞try␈α
to␈α∞play␈α∞around␈α
with␈α∞the␈α∞rest␈α
of␈↓ 	⎇␈ε"for␈α∞at␈α
least
␈β	R␈↓ ↓H␈ε"a␈αlittle␈αwhile␈αbefore␈αy␈α␈ou␈αdiv␈α␈e␈αin␈αto␈αthe␈αsubroutine␈αw␈α␈orld.␈α→(Remem␈α␈ber␈αwhen␈αy␈α␈ou
␈β	⎇␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ere␈α
learning␈αother␈α
programming␈α
languages?␈α∂Your␈α
|rst␈α
few␈α
programs␈αprobably
␈β
(␈↓ ↓H␈ε"did␈α
not␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈α
subroutines␈α
or␈α
macros.)␈α≠On␈α
the␈α
other␈αhand,␈α∞subroutines␈αaren't
␈β
S␈↓ ↓H␈ε"completely␈α∞m␈α␈ysterious,␈α∂and␈α∞y␈α␈ou␈α∂will␈α∞be␈α∞quite␈α∂ready␈α∞to␈α∂read␈α∞on␈α∞as␈α∂soon␈α∞as␈α∞y␈α␈ou
␈β
g␈↓ βg␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
}␈↓ ↓H␈ε"hav␈α␈e␈αgotten␈αsome␈↓ ¬3␈ε"experience␈αunder␈αy␈α␈our␈αbelt.
␈βM␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βQ␈↓ α␈ε#A␈α∞s␈α␈ub␈α␈routin␈α␈e␈α∞b␈α␈eg␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∞with␈α
th␈α␈e␈α∞r␈α␈eserv␈α␈e␈α␈d␈α
w␈α␈ord␈↓ π$␈ε3su␈α␈brou␈α␈tine␈↓ λK␈ε#an␈α␈d␈α
en␈α␈ds␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈α
a␈α∞p␈α␈eriod␈α␈.
␈βy␈↓ α␈ε#Mo␈α␈re␈αpre␈α␈cisely,␈αa␈αsub␈α␈rou␈α␈tine␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform
␈βP␈↓ βJ␈ε3sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈↓ ∧m␈ε7h␈↓ ∧x␈ε#i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓|␈α␈er␈↓ ¬y␈ε7ih␈↓ ε∂␈ε#arg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts␈↓ π&␈ε7i␈ε#:␈ε7␈α	h␈↓ πO␈ε#s␈α␈tateme␈α␈n␈α␈t␈αlist␈↓ 	∃␈ε7i␈ε#.
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#He␈α␈re␈α∂the␈ε7␈α∂h␈ε#ide␈α␈n␈α␈ti|e␈α␈r␈ε7i␈ε#␈α⊂is␈α∂th␈α␈e␈α∂na␈α␈me␈α∂of␈α∂th␈α␈e␈α∂sub␈α␈rou␈α␈tine;␈α⊃if␈α⊂th␈α␈at␈α∂id␈α␈en␈α␈ti|e␈α␈r␈α∂has␈α∂p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈een␈αused␈αto␈αsta␈α␈nd␈αfor␈αa␈αv␈α␈ariab␈α␈le␈αor␈αan␈α␈oth␈α␈er␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈,␈α
its␈αold␈αm␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αis␈αforg␈α␈otten␈α␈.
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈ε7␈α	h␈ε#arg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts␈ε7i␈ε#␈α	rep␈α␈resen␈α}t␈α	spec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
k␈α␈ind␈α␈s␈α	of␈α	va␈α␈riables␈α	th␈α␈at␈α	c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈d␈α	to␈α	a␈α␈n␈α␈y␈αλcha␈α␈ng␈α␈eab␈α␈l␈α↓e
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ara␈α␈meters␈αλth␈α␈at␈αλthis␈α	s␈α␈ub␈α␈routin␈α␈e␈αλw␈α↓ill␈α	h␈α␈av␈α}e␈α	wh␈α␈en␈αλit␈αλi␈α↓s␈αλcalled␈αλin␈α␈to␈αλa␈α␈ction␈αλb␈α␈y␈αλa␈αλmain␈αλro␈α␈utine
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈αby␈α
ano␈α␈ther␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"56␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α8
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#Argu␈α␈men␈α}ts␈αto␈αa␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈αca␈α␈n␈αbe␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αkind␈α␈s,␈α\␈↓ πc␈ε3var␈↓ λ∀␈ε#"␈αa␈α␈nd␈α\␈↓ 	↓␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ 	Q␈ε#";␈αthe␈↓ 
0␈ε3va␈α␈r␈↓ 
l␈ε#k␈α␈ind
␈βα}␈↓ α␈ε#rep␈α␈resen␈α}t␈αλreal␈αλv␈α␈alue␈α␈s,␈α	while␈αλth␈α␈e␈↓ ¬L␈ε3ind␈α␈ex␈↓ ε#␈ε#kind␈απrep␈α␈resen␈α}t␈αλsu␈α␈bscrip␈α␈ts.␈αAn␈απex␈α␈amp␈α␈le␈αλsho␈α␈uld
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ak␈α␈e␈αthis␈αclear,␈αso␈αlet's␈αtak␈α}e␈αa␈αloo␈α␈k␈αa␈α␈t␈αthe␈α\␈↓ εQ␈ε0da␈α␈rc␈↓ π∀␈ε#"␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αof␈αAp␈α␈pen␈α␈dix␈αE,␈αuse␈α␈d␈αto
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈raw␈αan␈α
elli␈α↓p␈α␈tical␈αdo␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈α␈-arc␈αsu␈α␈ch␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αleft␈αha␈α␈lf␈αo␈α␈r␈αthe␈αrigh␈α}t␈αha␈α␈l␈α↓f␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αletter␈α\␈α␈o":
␈β∧
␈↓ ↓i␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ β␈ε0d␈α␈arc␈↓ βN␈ε#(␈↓ βY␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ ∧.␈ε)i␈↓ ∧;␈ε#,␈↓ ∧J␈ε3ind␈α␈ex␈↓ ¬∨␈ε)j␈↓ ¬.␈ε#,␈↓ ¬=␈ε3v␈α␈ar␈↓ ¬s␈ε0m␈α␈ax␈α␈w␈α↓id␈α␈th␈↓ πλ␈ε#):
␈β∧1␈↓ ↓i␈ε)x␈↓ α∞␈ε#=␈↓ α9␈ε)x␈↓ α↑␈ε#=␈↓ β	␈ε)x␈↓ β#␈ε#;␈↓ βS␈ε)x␈↓ βx␈ε#=␈↓ ∧#␈ε)x␈↓ ∧H␈ε#=␈α	1/␈↓ ¬∀␈ε0sq␈α␈rtt␈α␈w␈α␈o␈↓ ελ␈ε#[␈↓ ε⊃␈ε)x␈↓ ε+␈ε#,␈↓ ε:␈ε)x␈↓ εV␈ε#];␈↓ π∂␈ε)x␈↓ π4␈ε#=␈↓ π←␈ε)x␈↓ πz␈ε#;
␈β∧<␈↓ ↓x␈ε&1␈↓ αH␈ε&5␈↓ β_␈ε,i␈↓ βb␈ε&2␈↓ ∧2␈ε&4␈↓ ε!␈ε,i␈↓ εJ␈ε,j␈↓ π≡␈ε&3␈↓ πn␈ε,j
␈β∧U␈↓ ∧s␈ε&1
␈β∧Y␈↓ ↓i␈ε)y␈↓ α∂␈ε#=␈↓ α9␈ε)y␈↓ αS␈ε#;␈↓ β∧␈ε)y␈↓ β)␈ε#=␈↓ βT␈ε)y␈↓ βo␈ε#;␈↓ ∧ ␈ε)y␈↓ ∧E␈ε#=␈↓ ¬∧␈ε#[␈↓ ¬
␈ε)y␈↓ ¬'␈ε#,␈↓ ¬6␈ε)y␈↓ ¬R␈ε#];
␈β∧c␈↓ ↓y␈ε&1␈↓ αI␈ε,i␈↓ β∪␈ε&5␈↓ βc␈ε,j␈↓ ∧/␈ε&3␈↓ ¬≥␈ε,i␈↓ ¬F␈ε,j
␈β∧g␈↓ ∧s␈∧∧g∧sα
␈β∧i␈↓ ∧s␈ε&2
␈β¬␈↓ ↓i␈ε)y␈↓ α∂␈ε#=␈α	1/␈↓ αZ␈ε0sqrtt␈α␈w␈α␈o␈↓ βO␈ε#[␈↓ βX␈ε)y␈↓ βt␈ε#,␈↓ ∧β␈ε)y␈↓ ∧≥␈ε#]␈α↓;␈↓ ∧W␈ε)y␈↓ ∧|␈ε#=␈α
1/␈↓ ¬H␈ε0sqrtt␈α␈w␈α␈o␈↓ ε7␈ε#[␈↓ ε@␈ε)y␈↓ ε]␈ε#,␈↓ εk␈ε)y␈↓ ππ␈ε#];
␈β¬␈↓ ↓y␈ε&2␈↓ βh␈ε&3␈↓ ∧∪␈ε,i␈↓ ∧g␈ε&4␈↓ εP␈ε&3␈↓ ε{␈ε,j
␈β¬%␈↓ ¬P␈ε&2
␈β¬(␈↓ ↓i␈ε3h␈α␈pen␈↓ α/␈ε#;␈↓ α←␈ε3dra␈α␈w␈↓ β1␈ε7j␈↓ β:␈ε)w␈↓ β]␈ε7j␈ε#1␈ε7f␈↓ ∧π␈ε)x␈↓ ∧+␈ε7␈␈↓ ∧S␈ε)x␈↓ ∧o␈ε#,␈αε0␈ε7g␈ε#␈α¬.␈αε.␈ε7␈αεj␈↓ ¬`␈ε#[␈↓ ¬i␈ε)w␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε≠␈ε0m␈α␈axwid␈α␈th␈↓ π0␈ε#]␈ε7j␈ε#␈α↓2␈ε7␈α␈f␈↓ πd␈ε)x␈↓ λπ␈ε7␈␈↓ λ0␈ε)x␈↓ λL␈ε#,␈↓ λ[␈ε)y␈↓ λ␈␈ε7␈␈↓ 	'␈ε)y␈↓ 	D␈ε7g␈ε#␈α¬.␈αε.
␈β¬3␈↓ βP␈ε&0␈↓ ∧↔␈ε&3␈↓ ∧c␈ε&1␈↓ ¬␈␈ε&0␈↓ πs␈ε&3␈↓ λ?␈ε&1␈↓ λk␈ε&3␈↓ 	7␈ε&1
␈β¬6␈↓ ¬P␈∧¬6¬Pα
␈β¬8␈↓ ¬P␈ε&3
␈β¬P␈↓ β1␈ε7j␈↓ β:␈ε0ma␈α␈xwidth␈↓ ∧O␈ε?#␈ε7j␈ε#3␈ε7f␈ε#0␈α␈,␈↓ ¬,␈ε)y␈↓ ¬P␈ε7␈␈↓ ¬y␈ε)y␈↓ ε∃␈ε7g␈ε#␈α¬.␈αε.
␈β¬Z␈↓ ¬<␈ε&3␈↓ ελ␈ε&1
␈β¬t␈↓ β>␈ε&2
␈β¬w␈↓ β1␈ε7j␈↓ βN␈ε#[␈↓ βW␈ε)w␈↓ βz␈ε#,␈↓ ∧	␈ε0m␈α␈axwid␈α␈th␈↓ ¬≡␈ε#]␈ε7j␈ε#␈α↓4␈ε7␈α␈f␈↓ ¬R␈ε)x␈↓ ¬u␈ε7␈␈↓ ε≡␈ε)x␈↓ ε:␈ε#,␈↓ εI␈ε)y␈↓ εm␈ε7␈␈↓ π∃␈ε)y␈↓ π2␈ε7g␈ε#␈α¬.␈αε.␈ε7␈αεj␈↓ πo␈ε)w␈↓ λ⊃␈ε7j␈ε#␈α↓5␈ε7␈α␈f␈↓ λ<␈ε)x␈↓ λ←␈ε7␈␈↓ 	λ␈ε)x␈↓ 	$␈ε#,␈αε0␈ε7g␈ε#␈α␈.
␈βεα␈↓ βm␈ε&0␈↓ ¬a␈ε&5␈↓ ε.␈ε&3␈↓ εY␈ε&5␈↓ π%␈ε&3␈↓ λ¬␈ε&0␈↓ λK␈ε&5␈↓ 	_␈ε&3
␈βε¬␈↓ β>␈∧ε¬β>α
␈βεπ␈↓ β>␈ε&3
␈βε6␈↓ β␈␈ε&1
␈βε9␈↓ ↓H␈ε#(Co␈α␈nstru␈α␈ction␈α␈s␈α
lik␈α␈e␈α\␈↓ ∧∂␈ε#[␈↓ ∧_␈ε)y␈↓ ∧3␈ε#,␈↓ ∧A␈ε)y␈↓ ∧]␈ε#]"␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈αreally␈αbe␈αtyp␈α␈ed␈α\␈ε?1␈α␈/2[␈α␈yi,␈α␈yj␈α␈]␈ε#";␈α
i␈α↓t␈αseem␈α␈s␈α
be␈α␈st␈α
to
␈βεD␈↓ ∧(␈ε,i␈↓ ∧Q␈ε,j
␈βεG␈↓ β␈␈∧εGβ␈α
␈↓ ε ␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βεI␈↓ β␈␈ε&2
␈βεa␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈se␈α
sp␈α␈ecial␈α
con␈α}v␈α␈e␈α␈n␈α␈tion␈α␈s␈α
when␈α	typ␈α␈esettin␈α␈g␈↓ πW␈ε#prog␈α␈rams␈α	i␈α↓n␈α	ord␈α␈er␈α
to␈α
m␈α␈ak␈α␈e␈α	them
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈α	rea␈α␈da␈α␈ble␈α	a␈α␈s␈α	p␈α␈ossible.)␈α∪Th␈α␈i␈α↓s␈αλpa␈α␈rticular␈αλsub␈α␈rou␈α␈tine␈αλdese␈α␈rv␈α␈es␈αλcarefu␈α␈l␈α	stu␈α␈dy␈α␈,␈α
b␈α␈ecau␈α␈se␈αλi␈α↓t␈αλis
␈βπ⊗␈↓ ε$␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βπ0␈↓ ↓H␈ε#a␈α\␈α␈real"␈αex␈α␈am␈α␈ple␈αtha␈α␈t␈αillustra␈α␈tes␈αmost␈αof␈↓ πQ␈ε#'␈α↓s␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}en␈α␈tion␈α␈s␈αabo␈α␈ut␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s
␈βπW␈↓ ↓H␈ε#in␈αg␈α␈ene␈α␈ral.␈α∂T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈αi␈α↓t␈αwil␈α↓l␈αbe␈αex␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αrat␈α␈her␈αslo␈α␈wly␈αan␈α␈d␈αcare␈α␈fully␈αi␈α↓n␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ara␈α␈grap␈α␈hs.
␈βλ≤␈↓ ∧∨␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈βλ2␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βλ6␈↓ α␈ε#In␈α
oth␈α␈er␈α
pa␈α␈rts␈α
of␈α
a␈↓ ¬W␈ε#pro␈α␈gram␈α
c␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
th␈α␈e␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
su␈α␈bro␈α␈utine␈α␈,␈αa␈α
state␈α␈-
␈βλ]␈↓ α␈ε#men␈α}t␈αli␈α↓k␈α}e
␈β	¬␈↓ ¬?␈ε3call␈↓ ¬z␈ε0darc␈↓ ε=␈ε#(6,␈αε7␈α␈,␈↓ ππ␈ε)w␈↓ π*␈ε#)
␈β	∂␈↓ π≥␈ε&9
␈β	=␈↓ ↓H␈ε#will␈αin␈α}v␈α␈ok␈α}e␈↓ αo␈ε0da␈α␈rc␈↓ β=␈ε#with␈αp␈α␈aram␈α␈eters␈↓ ¬5␈ε)i␈↓ ¬K␈ε#=␈α
6,␈↓ ε≠␈ε)j␈↓ ε3␈ε#=␈α
7,␈↓ πβ␈ε0max␈α␈width␈↓ λ"␈ε#=␈↓ λM␈ε)w␈↓ λp␈ε#.␈αThe␈αm␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αis␈αtha␈α␈t
␈β	H␈↓ λc␈ε&9
␈β	e␈↓ ↓H␈ε#a␈αhalf-elli␈α↓p␈α␈se␈αis␈αto␈αb␈α␈e␈αdra␈α␈wn␈αsta␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈t␈αpoin␈α}t␈α(␈↓ εt␈ε)x␈↓ π∂␈ε#,␈↓ π≥␈ε)y␈↓ π8␈ε#)␈αwith␈αa␈α␈n␈↓ λK␈ε3h␈α␈pen␈↓ 	≥␈ε#of␈αthe␈αhairline␈αsize
␈β	o␈↓ π∧␈ε,i␈↓ π-␈ε,i
␈β
	␈↓ ¬>␈ε&1
␈β
␈↓ ↓H␈ε)w␈↓ ↓j␈ε#;␈α∞th␈α␈is␈α
a␈α␈rc␈α
p␈α␈roce␈α␈eds␈αto␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ ¬⊃␈ε)x␈↓ ¬,␈ε#,␈↓ ¬O␈ε#[␈↓ ¬X␈ε)y␈↓ ¬r␈ε#,␈↓ ε↓␈ε)y␈↓ ε≥␈ε#])␈α
with␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈en␈α␈'␈α↓s␈αwidth␈αh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αgro␈α␈wn␈αto␈αsize
␈β
↔␈↓ ↓↑␈ε&0␈↓ ¬ ␈ε,j␈↓ ¬h␈ε,i␈↓ ε⊃␈ε,j
␈β
~␈↓ ¬>␈∧
~¬>α
␈β
≤␈↓ ¬>␈ε&2
␈β
4␈↓ ↓H␈ε0m␈α␈axwid␈α␈th␈↓ α]␈ε#,␈αthe␈α␈n␈αit␈α
|n␈α␈i␈α↓sh␈α␈es␈αa␈α␈t␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ ¬[␈ε)x␈↓ ¬u␈ε#,␈↓ ε∧␈ε)y␈↓ ε∨␈ε#)␈αwhe␈α␈re␈αth␈α␈e␈αp␈α␈en␈α
onc␈α␈e␈αa␈α␈gain␈α
ha␈α␈s␈αco␈α␈me␈αb␈α␈ack␈α
to
␈β
>␈↓ ¬j␈ε,i␈↓ ε∪␈ε,j
␈β
[␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
h␈α␈airli␈α↓n␈α␈e␈α
width␈α␈.␈α⊃Th␈α␈e␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α
will␈α
wo␈α␈rk␈α
wh␈α␈en␈↓ πD␈ε)x␈↓ πk␈ε#<␈↓ λ_␈ε)x␈↓ λA␈ε#a␈α␈s␈α
w␈α␈ell␈α
as␈α
whe␈α␈n␈↓ 
4␈ε)x␈↓ 
Z␈ε#>␈↓ λ␈ε)x␈↓ #␈ε#,
␈β
f␈↓ πT␈ε,i␈↓ λ(␈ε,j␈↓ 
C␈ε,i␈↓ ↔␈ε,j
␈ββ␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
when␈↓ α←␈ε)y␈↓ ββ␈ε#<␈↓ β.␈ε)y␈↓ βT␈ε#as␈αw␈α␈ell␈αa␈α␈s␈αwhen␈↓ ¬@␈ε)y␈↓ ¬d␈ε#>␈↓ ε∂␈ε)y␈↓ ε*␈ε#.
␈β∞␈↓ αo␈ε,i␈↓ β=␈ε,j␈↓ ¬P␈ε,i␈↓ ε≡␈ε,j
␈β∨␈↓ π#␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β5␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β9␈↓ α␈ε#The␈αλm␈α␈ost␈αλi␈α↓m␈α␈po␈α␈rtan␈α␈t␈αλth␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλto␈αλrem␈α␈em␈α␈be␈α␈r␈α	a␈α␈bo␈α␈ut␈↓ λY␈ε#su␈α␈brou␈α␈tines␈αλis␈αλtha␈α␈t␈α	e␈α␈ach
␈βa␈↓ α␈ε#rou␈α␈tine␈α∞a␈α␈nd␈α
each␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α∞h␈α␈as␈α∞its␈α∞o␈α␈wn␈↓ εs␈ε)x␈↓ π∪␈ε#o␈α␈r␈↓ π>␈ε)y␈↓ π←␈ε#v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∃Wh␈α␈en␈↓ 	a␈ε0d␈α␈arc␈↓ 
1␈ε#refers␈α∞to
␈β	␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓q␈ε#it␈α
i␈α↓s␈↓ β␈ε#th␈α␈e␈α
sam␈α␈e␈α∞a␈α␈s␈α
the␈↓ ¬α␈ε)x␈↓ ¬+␈ε#in␈α
th␈α␈e␈α∞r␈α␈outin␈α␈e␈α
or␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α
th␈α␈at␈α
is␈α∞c␈α␈all␈α↓in␈α␈g␈↓ 
/␈ε0da␈α␈rc␈↓ 
r␈ε#;␈α∞all
␈β␈↓ α8␈ε$NO␈α␈T
␈β∪␈↓ ↓W␈ε&1␈↓ ¬⊃␈ε&1
␈β0␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓Y␈ε#-va␈α␈riables␈↓ αs␈ε#and␈↓ β7␈ε)y␈↓ βI␈ε#-var␈α␈i␈α↓a␈α␈bles␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞a␈α
strictly␈α∞loc␈α␈al␈α∞sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α␈ce.␈α≡(␈α↓Th␈α␈is␈α∞is␈α∞similar␈α∞to␈α
the
␈βX␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈ct␈α	tha␈α␈t␈↓ αN␈ε)x␈↓ α`␈ε#-v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α	and␈↓ ∧4␈ε)y␈↓ ∧G␈ε#-v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α	disap␈α␈pea␈α␈r␈α	at␈α	th␈α␈e␈α	end␈αλof␈α	ea␈α␈ch␈α	ro␈α␈utine␈α	t␈α␈hat␈α	d␈α␈e|␈α␈nes␈α	a
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#sin␈α␈gle␈α
cha␈α␈racte␈α␈r,␈αi.e.,␈αth␈α␈ey␈α
d␈α␈i␈α↓sa␈α␈pp␈α␈ear␈α
wh␈α␈en␈α
a␈α
p␈α␈eriod␈α	i␈α↓s␈α
rea␈α␈che␈α␈d;␈αc␈α␈f.␈αth␈α␈e␈ε?␈α
DRA␈α␈GO␈α␈N␈ε#␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∞Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α
4.)␈α≡The␈α
v␈α␈alues␈α
of␈α
arg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts␈α
(l␈α↓ik␈α}e␈↓ π↓␈ε)i␈↓ π≠␈ε#a␈α␈nd␈↓ π↑␈ε)j␈↓ πz␈ε#an␈α␈d␈↓ λ=␈ε0max␈α␈width␈↓ 	S␈ε#)␈α
are␈α
also␈α
loca␈α␈l
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#to␈α
a␈α
particu␈α␈lar␈α∞su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e.␈α∀On␈α
th␈α␈e␈α∞oth␈α␈er␈α∞h␈α␈an␈α␈d,␈↓ π∀␈ε)w␈↓ π,␈ε#-var␈α␈i␈α↓a␈α␈bles␈α∞a␈α␈nd␈α
va␈α␈riables␈α
nam␈α␈ed␈α
by
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈ers␈α∂are␈ε0␈α∞glob␈α␈al␈ε#;␈α⊃th␈α␈ey␈α∞can␈α∞be␈α∞de␈α␈|n␈α␈ed␈α∂in␈α∞on␈α␈e␈α∂ro␈α␈utine␈α∞or␈α∞sub␈α␈rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α∂a␈α␈nd␈α∞use␈α␈d␈α∂in
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈no␈α␈ther.␈α∃Th␈α}us,␈α∂when␈↓ ∧⊃␈ε0d␈α␈arc␈↓ ∧b␈ε#re␈α␈fers␈α∂t␈α␈o␈↓ ¬l␈ε)w␈↓ ε≥␈ε#a␈α␈nd␈α∞to␈↓ π
␈ε0sq␈α␈rtt␈α␈w␈α␈o␈↓ π{␈ε#,␈α⊂th␈α␈ese␈α∞va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α∞sho␈α␈uld␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β∞(␈↓ εα␈ε&0
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈α␈s␈αthat␈αw␈α␈e␈α␈re␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αbe␈α␈fore␈↓ ¬→␈ε0d␈α␈arc␈↓ ¬g␈ε#wa␈α␈s␈αcalled.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬(␈ε>Subroutines␈↓ β␈ε"57
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈ββ	␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α⊗8␈α␈↑1.␈ε#␈α.Th␈α␈i␈α↓s␈α∃sha␈α␈pe␈α∃was␈α⊗d␈α␈rawn
␈ββ1␈↓ π⊂␈ε#by␈αcalling␈αth␈α␈e␈↓ λe␈ε0d␈α␈arc␈↓ 	3␈ε#sub␈α␈rou␈α␈tine␈αt␈α␈wi␈α↓c␈α␈e.
␈ββX␈↓ π⊂␈ε#P␈α↓o␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αlab␈α␈eled␈α1␈α␈,␈α2,␈α3␈αw␈α␈ere␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αin
␈β∧␈↓ π⊂␈ε#the␈α
main␈α
ro␈α␈utine␈α␈;␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αwh␈α␈ose␈α
lab␈α␈els
␈β∧'␈↓ π⊂␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈αεwith␈αε\a"␈αεw␈α␈ere␈αεde|␈α␈ne␈α␈d␈απin␈αεthe␈αε|rs␈α␈t
␈β∧O␈↓ π⊂␈ε#call␈α
of␈↓ πw␈ε0darc␈↓ λ:␈ε#;␈α∞a␈α␈nd␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αwhose␈αlab␈α␈els
␈β∧w␈↓ π⊂␈ε#beg␈α␈i␈α↓n␈α⊂wi␈α↓t␈α␈h␈α⊃\b␈α␈"␈α⊃w␈α␈ere␈α⊃d␈α␈e|␈α␈ned␈α⊂i␈α↓n␈α⊂the
␈β¬≡␈↓ π⊂␈ε#secon␈α␈d␈αca␈α␈ll␈α↓.
␈βε.␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βε2␈↓ α␈ε#A␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αis␈αab␈α␈l␈α↓e␈αto␈αrefer␈αto␈↓ ¬]␈ε)x␈↓ ¬o␈ε#-v␈α␈ariab␈α␈les␈αa␈α␈nd␈↓ πH␈ε)y␈↓ πZ␈ε#-va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈αof␈αits␈αcaller␈αby␈αme␈α␈an␈α␈s
␈βεY␈↓ α␈ε#of␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α}ts.␈α
For␈αe␈α␈xam␈α␈ple,␈αsu␈α␈pp␈α␈ose␈αtha␈α␈t␈↓ πM␈ε0d␈α␈arc␈↓ λ≠␈ε#ha␈α␈s␈αb␈α␈een␈αca␈α␈l␈α↓led␈αwith␈↓ 
P␈ε)i␈↓ 
g␈ε#=␈α6␈α␈;
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈α
it␈α∞r␈α␈efers␈α
to␈↓ βL␈ε)x␈↓ βg␈ε#,␈α∞th␈α␈is␈α∞me␈α␈ans␈↓ ¬)␈ε)x␈↓ ¬R␈ε#i␈α↓n␈αthe␈α
calling␈α
ro␈α␈utine␈α␈,␈α∂it␈α
do␈α␈esn't␈α
mean␈↓ 
∃␈ε)x␈↓ 
?␈ε#loca␈α␈l␈α∞to
␈βπ␈↓ β\␈ε,i␈↓ ¬8␈ε&6␈↓ 
%␈ε&6
␈βπ)␈↓ ↓H␈ε0d␈α␈arc␈↓ α
␈ε#.␈αO␈α␈n␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αha␈α␈nd␈αa␈α
referen␈α␈ce␈αto␈↓ ε␈ε)w␈↓ ε7␈ε#d␈α␈en␈α␈otes␈αth␈α␈e␈αun␈α␈ique␈α
varia␈α␈ble␈↓ 	S␈ε)w␈↓ 	v␈ε#.
␈βπ3␈↓ ε!␈ε,i␈↓ 	i␈ε&6
␈βπ←␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βπc␈↓ α␈ε#Sin␈α␈ce␈αλsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s␈αλan␈α␈d␈αλth␈α␈eir␈αλcalling␈απrout␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αλofte␈α␈n␈αλh␈α␈av␈α␈e␈απtheir␈αλo␈α}wn␈αλp␈α␈oin␈α␈ts␈↓ 
π␈ε)x␈↓ 
+␈ε#a␈α␈nd␈↓ 
h␈ε)y␈↓ ∧␈ε#,␈α	it
␈βπn␈↓ 
⊗␈ε&1␈↓ 
x␈ε&1
␈βλ␈↓ α␈ε#is␈αλd␈α␈esirab␈α␈l␈α↓e␈απto␈απha␈α␈v␈α␈e␈απsome␈απmeth␈α␈od␈απo␈α␈f␈αλna␈α␈ming␈απpo␈α␈in␈α␈ts␈αλm␈α␈ean␈α␈ingfu␈α␈ll␈α↓y␈απo␈α␈n␈αλth␈α␈e␈απi␈α↓llustr␈α␈ation␈α␈s
␈βλ_␈↓ ¬≤␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rod␈α␈uce␈α␈d␈αby␈↓ β␈ε3pr␈α␈oofmo␈α␈de␈↓ ∧1␈ε#an␈α␈d␈αi␈α↓n␈↓ εI␈ε#'s␈α
erro␈α␈r␈α
me␈α␈ssage␈α␈s.␈α⊂Lo␈α␈w␈α␈er␈α
c␈α␈ase␈αl␈α↓e␈α␈tters␈α
m␈α␈ay
␈βλZ␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α∞sp␈α␈eci|␈α␈ed␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α
pu␈α␈rpo␈α␈se␈α∞in␈↓ ¬ ␈ε3call␈↓ ¬`␈ε#stat␈α␈emen␈α}ts.␈α∀Fo␈α␈r␈α∞ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∂co␈α␈nside␈α␈r␈α∞th␈α␈e␈α∞follo␈α␈wing
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈utin␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αu␈α␈ses␈↓ βI␈ε3d␈α␈arc␈↓ ∧∪␈ε#t␈α␈wice:
␈β	>␈↓ ↓i␈ε)x␈↓ α∞␈ε#=␈α
0␈α␈;␈↓ αz␈ε)y␈↓ β∨␈ε#=␈↓ βJ␈ε)y␈↓ βo␈ε#=␈α
1␈α␈50;␈↓ ∧|␈ε)x␈↓ ¬!␈ε#=␈α
5␈α␈0;␈↓ ε≥␈ε)y␈↓ εC␈ε#=␈α	0;␈↓ π.␈ε)x␈↓ πS␈ε#=␈α
1␈α␈00;
␈β	H␈↓ ↓x␈ε&1␈↓ β	␈ε&1␈↓ βY␈ε&3␈↓ ¬␈ε&2␈↓ ε-␈ε&2␈↓ π=␈ε&3
␈β	e␈↓ ↓i␈ε0sqr␈α␈tt␈α␈wo␈↓ αa␈ε#=␈↓ β␈ε)s␈↓ β→␈ε)q␈↓ β(␈ε)r␈↓ β7␈ε)t␈↓ βC␈ε#2␈α␈;␈↓ ∧β␈ε)w␈↓ ∧/␈ε#=␈α
3␈α␈;␈↓ ¬≠␈ε)w␈↓ ¬G␈ε#=␈α	9;
␈β	p␈↓ ∧→␈ε&0␈↓ ¬1␈ε&1
␈β

␈↓ ↓i␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ α ␈ε?␈
a␈↓ αO␈ε0d␈α␈arc␈↓ β⊃␈ε#(␈α↓2␈α␈,␈αε1,␈↓ β[␈ε)w␈↓ β}␈ε#);
␈β
↔␈↓ βr␈ε&1
␈β
4␈↓ ↓i␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ α ␈ε?␈
b␈↓ αO␈ε0d␈α␈arc␈↓ β⊃␈ε#(␈α↓2␈α␈,␈αε3,␈↓ β[␈ε)w␈↓ β}␈ε#).
␈β
?␈↓ βr␈ε&1
␈β
}␈↓ ↓H␈ε#Fig.␈↓ α
␈ε#8↑1␈↓ αF␈ε#sh␈α␈o␈α␈ws␈α	the␈α	resu␈α␈lt␈α
to␈α␈geth␈α␈er␈α	wi␈α↓t␈α␈h␈α	the␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α	l␈α↓a␈α␈be␈α␈l␈α↓s.␈α∃Here␈α	\1␈α␈"␈α	den␈α␈ote␈α␈s␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α	(␈↓ 
Z␈ε)x␈↓ 
v␈ε#,␈↓ ¬␈ε)y␈↓ !␈ε#)
␈β	␈↓ 
j␈ε&1␈↓ ∃␈ε&1
␈β&␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	ma␈α␈i␈α↓n␈αλrou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e,␈α
n␈α␈amely␈αλpoin␈α}t␈α
(0␈α␈,␈αε15␈α␈0);␈α
i␈α↓t␈α	d␈α␈oesn␈α␈'t␈α
h␈α␈ap␈α␈pe␈α␈n␈α	to␈α	h␈α␈av␈α␈e␈α	b␈α␈een␈αλused␈αλdirectly
␈βM␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α	an␈α}y␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	cu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈α	dr␈α␈awn,␈α	bu␈α␈t␈α	its␈α	c␈α␈oord␈α␈ina␈α␈tes␈↓ εw␈ε)x␈↓ π≤␈ε#a␈α␈nd␈↓ πZ␈ε)y␈↓ π␈␈ε#w␈α␈ere␈αλuse␈α␈d␈α	se␈α␈par␈α␈ately␈αλi␈α↓n␈↓ 
T␈ε0d␈α␈arc␈↓ ⊗␈ε#'s
␈βX␈↓ πε␈ε&1␈↓ πj␈ε&1
␈βu␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈α⊃The␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
lab␈α␈eled␈α
\a␈α␈5"␈α
is␈α
po␈α␈in␈α␈t␈α
5␈α
insid␈α␈e␈α
the␈α
|␈α␈rst␈α
call␈α
of␈↓ 	Q␈ε0da␈α␈rc␈↓ 
∀␈ε#,␈α∞sin␈α␈ce␈α
the
␈β≤␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ode␈ε?␈α
␈
a␈ε#␈αwa␈α␈s␈αinclu␈α␈ded␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈↓ ∧q␈ε3c␈α␈all␈↓ ¬-␈ε#statem␈α␈en␈α␈t.␈αSimilarly␈α␈,␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αwh␈α␈ose␈α
nam␈α␈e␈αbe␈α␈gins␈αwith
␈βD␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈b"␈α
ar␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
poin␈α}ts␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
in␈α
th␈α␈e␈αs␈α␈econ␈α␈d␈↓ ε∪␈ε3call␈↓ εE␈ε#.␈αP␈α↓o␈α␈in␈α␈ts␈α
a1,␈αb␈α␈1,␈α
and␈α
b␈α␈5␈α
do␈α
n␈α␈ot␈α
ap␈α␈pea␈α␈r␈αwith
␈βl␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ese␈αlab␈α␈els␈αin␈αFi␈α↓g␈α␈.␈↓ βe␈ε#8␈α␈↑1␈↓ ∧⊗␈ε#,␈αsinc␈α␈e␈αthe␈α␈y␈αcoin␈α␈cide␈αwith␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αth␈α␈at␈αw␈α␈ere␈αa␈α␈lread␈α␈y␈αlab␈α␈eled.
␈β
"␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈β
&␈↓ α␈ε#All␈α
th␈α␈e␈αclues␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈αto␈αun␈α␈dersta␈α␈nd␈↓ ε_␈ε0darc␈↓ εg␈ε#ha␈α␈v␈α␈e␈αn␈α␈o␈α␈w␈αbee␈α␈n␈αgiv␈α}en;␈α
p␈α␈lease␈αstu␈α␈dy␈αtha␈α␈t
␈β
N␈↓ α␈ε#su␈α␈brou␈α␈tine␈α
a␈α␈gain␈αno␈α␈w␈α
u␈α␈n␈α␈til␈α
y␈α␈ou␈αfully␈α
u␈α␈nd␈α␈erstan␈α␈d␈α
it.␈α⊃Incid␈α␈en␈α␈ta␈α␈l␈α↓ly␈α␈,␈α∞if␈α∞th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f
␈β
o␈↓ ε!␈∧
oε!α⊃
␈β
q␈↓ ε␈ε7p
␈β
u␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈↓ αH␈ε0sqrtt␈α␈w␈α␈o␈↓ βC␈ε#is␈αm␈α␈ade␈αsmaller␈αth␈α␈an␈↓ ε!␈ε#2␈↓ ε=␈ε#=␈α
1.414␈α␈2,␈αthe␈↓ λ∀␈ε0da␈α␈rc␈↓ λc␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αwil␈α↓l␈αd␈α␈raw␈αa
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈sup␈α␈erelli␈α↓p␈α␈se"␈αthat␈α
o␈α␈pen␈α␈s␈α
wider␈α
th␈α␈an␈αa␈α
no␈α␈rmal␈α
ellipse␈α
d␈α␈oes;␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α
e␈α␈{␈α↓e␈α␈ct␈α
i␈α↓s␈α
o␈α␈cca␈α␈si␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓ly
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈esirab␈α␈le␈αi␈α↓n␈α
fon␈α␈t␈αd␈α␈esign␈α␈.␈α~(Cf.␈αFi␈α↓g␈α␈.␈↓ ¬E␈ε#8␈α␈↑2␈↓ ¬w␈ε#.)
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"58␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α8
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈β∧~␈↓ π⊂␈ε3F␈α↓ig.␈α
8↑␈α␈2.␈ε#␈α≡Th␈α␈i␈α↓s␈α
sh␈α␈ap␈α␈e␈α∞wa␈α␈s␈α
drawn␈αby
␈β∧B␈↓ π⊂␈ε#the␈α
sa␈α␈me␈α
ro␈α␈utine␈αas␈α
Fig.␈↓ 
ε␈ε#8↑1␈↓ 
8␈ε#,␈α∞ex␈α}cep␈α␈t
␈β∧i␈↓ π⊂␈ε#that␈↓ π←␈ε0sqrtt␈α␈w␈α␈o␈↓ λ`␈ε#ha␈α␈s␈α∩be␈α␈en␈α∩s␈α␈et␈α∩equ␈α␈al␈α∩to
␈β¬
␈↓ 
⊃␈ε&2/5
␈β¬⊃␈↓ π⊂␈ε#1.319␈α␈507␈α␈911␈α∩(the␈α∪v␈α␈alue␈↓ 
↓␈ε#2␈↓ 
J␈ε#recom␈α␈-
␈β¬9␈↓ π⊂␈ε#men␈α␈ded␈α
by␈α
P␈α↓iet␈αHein).
␈βε[␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βε←␈↓ α␈ε#The␈α	argu␈α␈men␈α}t␈α
li␈α↓st␈α
in␈α	a␈α
su␈α␈bro␈α␈utine␈α	de|␈α␈nition␈α	i␈α↓s␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α
em␈α␈pty␈α	or␈α
it␈α
is␈α
a␈α
list␈α
of␈α
on␈α␈e␈α
o␈α␈r
␈βπε␈↓ α␈ε#mo␈α␈re␈α\␈↓ αq␈ε3va␈α␈r␈↓ β-␈ε7h␈ε#␈α↓id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈ε7i␈ε#"␈αor␈α\␈↓ ¬≤␈ε3in␈α␈dex␈↓ ¬w␈ε7h␈ε#␈α↓id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈ε7i␈ε#"␈αen␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈α
e␈α␈nclose␈α␈d␈αin␈αpa␈α␈ren␈α␈th␈α␈eses␈αa␈α␈nd
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈par␈α␈ated␈αλeith␈α␈er␈α	b␈α␈y␈αλcomm␈α␈as␈αλor␈α	b␈α␈y␈αλ\␈ε?)(␈ε#␈α␈"␈αλpairs.␈α∪(S␈α␈ub␈α␈rou␈α␈tine␈↓ λ→␈ε0dar␈α␈c␈↓ λ\␈ε#'s␈α	d␈α␈e|␈α␈nition␈αλmigh␈α}t␈α	h␈α␈av␈α␈e
␈βπV␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈egu␈α␈n
␈βπ⎇␈↓ βY␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ ∧|␈ε0d␈α␈arc␈↓ ¬>␈ε#(␈↓ ¬I␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ ε≡␈ε)i␈↓ ε+␈ε#)(␈↓ εA␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ π↔␈ε)j␈↓ π%␈ε#)␈α↓(␈↓ π<␈ε3v␈α␈ar␈↓ πq␈ε0max␈α␈wi␈α↓d␈α␈th␈↓ 	π␈ε#):
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈me␈α⊃pe␈α␈op␈α␈l␈α↓e␈α⊃p␈α␈refer␈α⊃this␈α⊃syn␈α}tax␈α␈.)␈α&Form␈α␈ally␈α⊃spe␈α␈akin␈α␈g,␈α∪w␈α␈e␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃th␈α␈e␈α⊃f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α⊃BNF
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈nition:
␈β	≠␈↓ β∪␈ε7h␈ε#argu␈α␈men␈α}ts␈ε7i␈↓ ∧J␈ε7 ␈↓ ∧t␈ε7h␈ε#emp␈α␈ty␈ε7i␈↓ ¬p␈ε7j␈ε#␈α
(␈↓ ε∞␈ε7h␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αlist␈ε7i␈↓ πe␈ε#)
␈β	B␈↓ β∪␈ε7h␈ε#argu␈α␈men␈α}t␈αl␈α↓ist␈ε7i␈↓ ∧t␈ε7 ␈↓ ¬∨␈ε7h␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈ε7i␈↓ εH␈ε7j␈↓ εZ␈ε7h␈ε#␈α↓a␈α␈rgu␈α␈men␈α}t␈αl␈α↓ist␈ε7i␈↓ λ2␈ε#,␈↓ λA␈ε7h␈ε#a␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈ε7i
␈β	j␈↓ ¬`␈ε7j␈↓ ¬s␈ε7h␈ε#arg␈α␈um␈α␈en␈α␈t␈αlist␈ε7i␈↓ πJ␈ε#)(␈↓ πa␈ε7h␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈ε7␈α␈i
␈β
⊃␈↓ β∪␈ε7h␈ε#argu␈α␈men␈α}t␈ε7i␈↓ ∧=␈ε7 ␈↓ ∧g␈ε3va␈α␈r␈↓ ¬≥␈ε7h␈ε#ide␈α␈n␈α␈ti|er␈ε7␈α␈i␈↓ ε=␈ε7j␈↓ εO␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ π$␈ε7h␈ε#␈α↓id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈ε7i
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε#A␈↓ ↓k␈ε3call␈↓ α(␈ε#comm␈α␈and␈α
has␈αa␈αsimilar␈αforma␈α␈t.␈α
Th␈α␈e␈αpara␈α␈mete␈α␈rs␈αin␈αa␈↓ λ1␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ λn␈ε#m␈α␈ust␈αag␈α␈ree␈αin␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
kind␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈αthe␈α
argu␈α␈men␈α}ts␈αi␈α↓n␈α
the␈αc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αd␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n.
␈β6␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈↓ α␈ε↓x
␈β:␈↓ α≡␈ε3Ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
8.1:␈ε#␈αWrite␈αa␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αth␈α␈at␈αwill␈αdraw␈α
F␈α↓ig.␈↓ λ≠␈ε#2␈α␈↑3␈↓ λW␈ε#w␈α↓h␈α␈en␈α
it␈αis␈αcalled␈α
by␈α
the
␈βa␈↓ α␈ε#follo␈α␈wing␈αd␈α␈riv␈α␈er␈αp␈α␈rog␈α␈ram:
␈β"␈↓ ∧\␈ε)x␈↓ ¬↓␈ε#=␈↓ ¬,␈ε)y␈↓ ¬R␈ε#=␈↓ ¬|␈ε)y␈↓ ε"␈ε#=␈α	0;␈↓ π
␈ε)x␈↓ π2␈ε#=␈α
1␈α␈50;
␈β,␈↓ ∧l␈ε&1␈↓ ¬<␈ε&1␈↓ ε␈ε&2␈↓ π≤␈ε&2
␈βT␈↓ ∧\␈ε3call␈↓ ¬↔␈ε0curv␈α}e␈↓ ¬i␈ε#(60,␈α¬120␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈);
␈β
ε␈↓ ∧\␈ε3call␈↓ ¬↔␈ε0curv␈α}e␈↓ ¬i␈ε#(60,␈α¬90,␈αε1␈α␈,␈αε2);
␈β
9␈↓ ∧\␈ε3call␈↓ ¬↔␈ε0curv␈α}e␈↓ ¬i␈ε#(60,␈α¬60,␈αε1␈α␈,␈αε2);
␈β
k␈↓ ∧\␈ε3call␈↓ ¬↔␈ε0curv␈α}e␈↓ ¬i␈ε#(60,␈α¬30,␈αε1␈α␈,␈αε2);
␈β∞≡␈↓ ∧\␈ε3call␈↓ ¬↔␈ε0curv␈α}e␈↓ ¬i␈ε#(60,␈α¬0,␈αε1,␈α¬2).
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ¬(␈ε>Subroutines␈↓ β␈ε"59
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαR␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βαV␈↓ α␈ε#A␈α∂fu␈α␈rthe␈α␈r␈α∂ex␈α␈am␈α␈ple←this␈α∞one␈α∞co␈α␈n␈α␈triv␈α␈e␈α␈d←sho␈α␈uld␈α∞furth␈α␈er␈α∞clarify␈α∞the␈α∞u␈α␈se␈α∂o␈α␈f␈α∂ind␈α␈ex
␈βα}␈↓ α␈ε#va␈α␈riables.␈αCo␈α␈nside␈α␈r␈αt␈α␈he␈αp␈α␈rogra␈α␈m
␈ββ9␈↓ ∧;␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ ¬↑␈ε0su␈α␈b␈↓ ε∪␈ε#(␈↓ ε≡␈ε3ind␈α␈ex␈↓ εs␈ε)i␈↓ π␈ε#):
␈ββa␈↓ ∧@␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈ε#;␈↓ ¬≥␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬T␈ε?␈
a␈↓ εβ␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ εj␈ε#(␈↓ εu␈ε)i␈↓ πα␈ε#,␈αε1);␈↓ π]␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λ∂␈ε#.
␈β∧∪␈↓ ∧;␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ ¬↑␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ εE␈ε#(␈↓ εP␈ε3ind␈α␈ex␈↓ π%␈ε)i␈↓ π2␈ε#,␈↓ πA␈ε3ind␈α␈ex␈↓ λ⊗␈ε)j␈↓ λ%␈ε#):
␈β∧;␈↓ ∧@␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈ε#;␈↓ ¬≥␈ε3d␈α␈raw␈↓ ¬n␈ε)i␈↓ ε↓␈ε#.␈αε.␈↓ ε≡␈ε)j␈↓ ε3␈ε#.␈αε.␈α¬2;␈↓ π⊃␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πC␈ε#.
␈β∧m␈↓ ∧;␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧r␈ε?␈
b␈↓ ¬!␈ε0su␈α␈b␈↓ ¬V␈ε#(3).
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε#Ca␈α␈n␈α∞y␈α␈ou␈α∞|g␈α␈ure␈α∞ou␈α␈t␈α∂wha␈α␈t␈α∂po␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α∂th␈α␈e␈α∂\␈↓ ε↓␈ε3draw␈↓ εY␈ε)i␈↓ εk␈ε#.␈αε.␈↓ π	␈ε)j␈↓ π≡␈ε#.␈α¬.␈αε2"␈α∞com␈α␈man␈α␈d␈α∂re␈α␈fers␈α∂to␈α∞i␈α↓n␈↓ 
<␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ #␈ε#,
␈β¬U␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈efore␈αthe␈αan␈α␈sw␈α␈er␈α
is␈α
rev␈α}ealed␈αin␈α
t␈α␈he␈α
n␈α␈ex␈α␈t␈α
sen␈α}tenc␈α␈e␈α
of␈α
t␈α␈his␈α
p␈α␈arag␈α␈rap␈α␈h?␈α≤Answ␈α␈er␈α(␈α↓d␈α␈on␈α␈'t
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈eek␈α␈):␈α in␈α␈si␈α↓d␈α␈e␈↓ β∨␈ε0sub␈↓ βT␈ε#,␈α⊂\␈↓ β⎇␈ε)i␈↓ ∧
␈ε#"␈α∞refe␈α␈rs␈α∂t␈α␈o␈α∞po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∞3␈α∞of␈α∞th␈α␈e␈α∞main␈α∞ro␈α␈utine␈α
and␈α
\1"␈α
refers␈α∞to␈α∞loca␈α␈l
␈βε$␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α
b␈α␈1;␈α∂th␈α␈erefo␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α␈side␈↓ ∧J␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ ¬1␈ε#,␈α∞\␈↓ ¬Y␈ε)i␈↓ ¬f␈ε#"␈α
a␈α␈nd␈α\␈↓ εW␈ε)j␈↓ εf␈ε#"␈α
refer␈α
to␈α
3␈α
a␈α␈nd␈αb1,␈α∞wh␈α␈il␈α↓e␈α
\␈α␈2"␈α
refers␈α
to
␈βεL␈↓ ↓H␈ε#loc␈α␈al␈α
poin␈α}t␈αb␈α␈a2␈α␈.␈α_(No␈α␈te␈α
the␈α
co␈α␈nca␈α␈ten␈α␈ation␈α
o␈α␈f␈αlab␈α␈els␈α
since␈↓ πx␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ λi␈ε#i␈α↓s␈α
b␈α␈eing␈α
u␈α␈sed␈α
a␈α␈s␈αa␈α	sub␈α␈-
␈βεt␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e.)␈α↔If␈α
for␈α
so␈α␈me␈α
rea␈α␈son␈↓ ¬↔␈ε0sub␈α␈sub␈↓ ελ␈ε#f␈α↓o␈α␈rgo␈α␈t␈α
to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
its␈α
local␈α
v␈α␈ariab␈α␈le␈↓ 	h␈ε)x␈↓ 
∧␈ε#,␈αy␈α}ou␈α	wo␈α␈uld
␈βε}␈↓ 	x␈ε&2
␈βπ≠␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈et␈αth␈α␈e␈αerror␈α
messag␈α␈e␈α\␈ε?V␈α␈ar␈α␈iab␈α␈le␈α∩xba␈α␈2␈α∩is␈α∩und␈α␈ef␈α␈ine␈α␈d␈ε#"␈αa␈α␈t␈αthe␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α\␈↓ 	X␈ε3d␈α␈raw␈↓ 
)␈ε)i␈↓ 
;␈ε#.␈αε.␈↓ 
Y␈ε)j␈↓ 
n␈ε#.␈α¬.␈αε2"
␈βπC␈↓ ↓H␈ε#wa␈α␈s␈αbein␈α␈g␈αin␈α␈terp␈α␈reted␈α␈.
␈βπu␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βπy␈↓ α␈ε#This␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α
rev␈α}eals␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αo␈α␈the␈α␈r␈αth␈α␈i␈α↓n␈α␈gs␈α
ab␈α␈ou␈α␈t␈αsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈es:␈α_(1)␈α
It␈αis␈α
perm␈α␈i␈α↓ssib␈α␈l␈α↓e␈α
fo␈α␈r
␈βλ ␈↓ α␈ε#di{eren␈α}t␈α
sub␈α␈rou␈α␈tines␈α
to␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
ar␈α␈gum␈α␈en␈α␈ts␈α
with␈αthe␈α
sa␈α␈me␈α
n␈α␈ame.␈α⊃In␈αfact,␈α
the␈α
n␈α␈ame
␈βλH␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αan␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αm␈α␈ay␈αalso␈αb␈α␈e␈αi␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓c␈α␈al␈αto␈αthe␈αnam␈α␈e␈αof␈αa␈αg␈α␈loba␈α␈l␈α
v␈α␈ariab␈α␈le␈αor␈αev␈α}en␈αt␈α␈o␈αthe
␈βλo␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ame␈α
of␈αan␈α␈oth␈α␈er␈αsu␈α␈brou␈α␈tine;␈αth␈α␈at␈αide␈α␈n␈α␈ti|e␈α␈r␈αrefers␈αto␈α
the␈αa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αar␈α␈gum␈α␈en␈α␈t,␈αwithin
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α
bein␈α␈g␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈,␈αb␈α␈ut␈αit␈αre␈α␈v␈α␈erts␈αt␈α␈o␈αits␈αglob␈α␈al␈αmea␈α␈nin␈α␈g␈αwhe␈α␈n␈αth␈α␈e␈αsu␈α␈bro␈α␈utine
␈β	?␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈nition␈α	end␈α␈s.␈α⊗(2)␈α
It␈α	i␈α↓s␈α	perm␈α␈i␈α↓s␈α␈si␈α↓b␈α␈le␈α
to␈↓ ¬}␈ε3call␈↓ ε:␈ε#su␈α␈brou␈α␈tines␈α	tha␈α␈t␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	no␈α␈t␈α
y␈α␈et␈α	bee␈α␈n␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈.
␈β	f␈↓ ↓H␈ε#(No␈α␈te␈α∂t␈α␈hat␈α∞\␈↓ β∧␈ε3ca␈α␈ll␈↓ βD␈ε?␈
a␈↓ βx␈ε0su␈α␈bsu␈α␈b␈↓ ∧←␈ε#"␈α∞app␈α␈ea␈α␈red␈α∞in␈α∞the␈α∞pro␈α␈gram␈α∞b␈α␈efore␈↓ λg␈ε0sub␈α␈sub␈↓ 	]␈ε#was␈α∞kn␈α␈o␈α␈wn␈α∞to
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ame␈αof␈α
a␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e.)␈α≥In␈αfact,␈α
i␈α↓t␈αi␈α↓s␈αev␈α␈en␈αp␈α␈ermissible␈α
fo␈α␈r␈α
a␈α
su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈α
to␈αcall
␈β
5␈↓ ↓H␈ε#itself,␈α
if␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
a␈α␈re␈α
ca␈α␈reful␈α	to␈α
a␈α␈v␈α␈oid␈α	in|␈α␈nite␈α
re␈α␈cursio␈α␈n,␈α
pro␈α}vide␈α␈d␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	sub␈α␈rou␈α␈tine␈α	has␈α	no
␈β
]␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α␈s␈α
(see␈αbelo␈α␈w).␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α
whe␈α␈n␈α
a␈↓ ε+␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ εj␈ε#is␈αactu␈α␈ally␈α
b␈α␈eing␈αin␈α␈ter␈α␈prete␈α␈d,␈α
the␈αcalled
␈β¬␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αde|␈α␈nition␈α
m␈α␈ust␈αa␈α␈l␈α↓re␈α␈ad␈α␈y␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈pp␈α␈eared␈α␈.␈αIt␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αu␈α␈nd␈α␈erstan␈α␈d␈αth␈α␈is␈αrule␈αif
␈β∩␈↓ 	≡␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β,␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈αu␈α␈nd␈α␈erstan␈α␈d␈αho␈α}w␈α
su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈es␈α
a␈α␈re␈αactu␈α␈all␈α↓y␈αi␈α↓m␈α␈plemen␈α}ted␈α␈:␈α∞W␈α↓h␈α␈en␈↓ 
X␈ε#see␈α␈s␈α
a
␈βT␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈α	de|␈α␈nition␈α␈,␈α
i␈α↓t␈α	sto␈α␈res␈α	away␈αλthe␈α	tex␈α␈t␈α	for␈α	futu␈α␈re␈α	use;␈α
th␈α␈en␈α	wh␈α␈en␈α	a␈↓ 	b␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ 
≥␈ε#state␈α␈men␈α}t
␈βa␈↓ π!␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β{␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈ears,␈αt␈α␈he␈α
text␈α
of␈α
the␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α
is␈αfed␈α
th␈α␈rou␈α␈gh␈↓ λO␈ε#'s␈α
read␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
mech␈α␈an␈α␈ism␈αin
␈β#␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈lace␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t␈αof␈αthe␈↓ ∧$␈ε3c␈α␈all␈↓ ∧U␈ε#.
␈βU␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βY␈↓ α␈ε#Sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α	pa␈α␈ragra␈α␈ph␈α	men␈α}tion␈α␈s␈α
the␈α	po␈α␈ssibili␈α↓ty␈α	o␈α␈f␈α
recu␈α␈rsion␈α␈,␈αa␈α␈n␈α
a␈α␈lert␈α
rea␈α␈de␈α␈r
␈βg␈↓ ∧a␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
↓␈↓ α␈ε#wil␈α↓l␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
gu␈α␈essed␈αth␈α␈at␈↓ ε≠␈ε#h␈α␈as␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈apa␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
o␈α␈f␈α
in␈α␈terp␈α␈reting␈αstate␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β
(␈↓ ↓H␈ε0c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈ε#␈α␈,␈αi␈α↓.e.,␈αp␈α␈erformin␈α␈g␈αce␈α␈rtain␈α
comp␈α␈uta␈α␈tions␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
if␈αcert␈α␈ain␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tions␈α
ho␈α␈l␈α↓d␈α␈.␈αYes,
␈β
P␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓e␈α␈rt␈αread␈α␈er,␈αthere␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈n␈↓ ∧)␈ε3if␈↓ ∧H␈ε#stateme␈α␈n␈α␈t.␈αIt␈αhas␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
gen␈α␈eral␈αforms,
␈β∞␈↓ βR␈ε3if␈↓ βq␈ε7h␈ε#relation␈ε7␈α␈i␈ε#:␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈αli␈α↓st␈ε7i␈ε#;␈ε3␈α|
␈β∞E␈↓ β∪␈ε#o␈α␈r␈↓ βR␈ε3if␈↓ βq␈ε7h␈ε#relation␈ε7␈α␈i␈ε#:␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈αli␈α↓st␈↓ εi␈ε7i␈ε#;␈↓ π	␈ε3e␈α␈l␈α↓se␈↓ π<␈ε#:␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈αl␈α↓ist␈↓ 	/␈ε7i␈ε#;␈ε3␈α|
␈β∞O␈↓ ε]␈ε&1␈↓ 	#␈ε&2
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"60␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α8
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α
the␈α
|rst␈α
is␈αtrea␈α␈ted␈α
li␈α↓k␈α}e␈αth␈α␈e␈α
secon␈α␈d␈α
bu␈α␈t␈αwith␈ε7␈α
h␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈α
li␈α↓st␈↓ λ}␈ε7i␈ε#␈αem␈α␈pty␈α␈.␈αA␈ε7␈α
h␈ε#relation␈ε7␈α␈i
␈βα`␈↓ λr␈ε&2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform
␈ββ%␈↓ ∧G␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈↓ ¬u␈ε7i␈αh␈ε#relop␈ε7␈α␈i␈αh␈ε#exp␈α␈ression␈↓ λ"␈ε7i
␈ββ/␈↓ ¬h␈ε&1␈↓ λ∃␈ε&2
␈ββ←␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε7␈α⊂h␈ε#relop␈ε7i␈ε#␈α⊂i␈α↓s␈α⊂on␈α␈e␈α⊃o␈α␈f␈α⊃the␈α⊂six␈α⊂relation␈α␈al␈α⊃op␈α␈erat␈α␈or␈α⊃sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈ls␈α⊃=,␈α∪<,␈α∩>,␈ε7␈α∪≤␈ε#,␈ε7␈α∩∀␈ε#␈α↓,␈ε7␈α∩∃␈ε#.
␈β∧π␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
me␈α␈anin␈α␈g␈α
of␈α
a␈α␈n␈↓ βn␈ε3if␈↓ ∧∂␈ε#state␈α␈men␈α}t␈α
i␈α↓s␈αthat␈ε7␈αh␈ε#␈α↓s␈α␈tateme␈α␈n␈α␈t␈α
list␈↓ πy␈ε7i␈ε#␈α
is␈α
in␈α␈terp␈α␈reted␈αif␈α
the␈αrelation
␈β∧⊃␈↓ πl␈ε&1
␈β∧.␈↓ ↓H␈ε#is␈α∞tru␈α␈e,␈ε7␈α∂h␈ε#state␈α␈men␈α}t␈α∞l␈α↓ist␈↓ ∧ ␈ε7i␈ε#␈α∞i␈α↓s␈α∞in␈α}terpre␈α␈ted␈α∞if␈α∞th␈α␈e␈α∞relation␈α
is␈α∞false,␈α∂a␈α␈nd␈α
the␈α∞e␈α␈rror␈α∞me␈α␈ssage
␈β∧9␈↓ ∧∀␈ε&2
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε#\␈ε?␈α␈Ind␈α␈et␈α␈erm␈α␈ina␈α␈te␈α∩re␈α␈lat␈α␈ion␈ε#␈α␈"␈αλresu␈α␈l␈α↓ts␈αλif␈α	th␈α␈e␈αλrelation␈αλc␈α␈an␈α␈not␈αλb␈α␈e␈α	d␈α␈ecid␈α␈ed␈αλdu␈α␈e␈αλto␈αλun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les.␈α∩Th␈α␈e␈α
relation␈α\␈↓ ∧7␈ε)z␈↓ ∧Q␈ε#=␈↓ ∧␈␈ε)z␈↓ ¬
␈ε#"␈α
is␈α
kn␈α␈o␈α␈wn␈α
to␈αbe␈α
tru␈α␈e␈α
wheth␈α␈er␈↓ λ↑␈ε)z␈↓ λy␈ε#is␈α
kn␈α␈o␈α␈wn␈α
o␈α␈r␈α
not,␈α
bu␈α␈t
␈β¬%␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
relation␈α
\␈↓ β
␈ε)z␈↓ β!␈ε#>␈α
0"␈α
is␈α
ind␈α␈etermin␈α␈ate␈α
un␈α␈less␈↓ εN␈ε)z␈↓ εf␈ε#is␈α
kn␈α␈o␈α␈wn.␈ε0␈α↔N.B␈α↓.:␈αDo␈α␈n't␈α
forget␈α
th␈α␈e␈↓ 
S␈ε3|␈↓ 
o␈ε0tha␈α␈t
␈β¬M␈↓ ↓H␈ε0c␈α␈l␈α↓o␈α␈ses␈αthe␈↓ α↑␈ε3if␈↓ αr␈ε0.
␈βεα␈↓ ↓O␈ε↓␈␈
␈βεε␈↓ α␈ε#When␈α	a␈α	su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈α
is␈α	called␈α␈,␈α
the␈α	cu␈α␈rren␈α␈t␈α	p␈α␈en␈α	ty␈α␈pe␈α	an␈α␈d␈α	cur␈α␈ren␈α␈t␈α	pe␈α␈n␈α	si␈α↓z␈α␈e␈α
a␈α␈re␈α	remem␈α␈-
␈βε.␈↓ α␈ε#be␈α␈red␈α∞so␈α∞tha␈α␈t␈α∂th␈α␈ey␈α∞can␈α∞b␈α␈e␈α∂re␈α␈stored␈α∞ag␈α␈ain␈α∞whe␈α␈n␈α∂th␈α␈e␈α∞sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α∂is␈α∞|n␈α␈i␈α↓sh␈α␈ed␈α␈.␈α⊗The
␈βεU␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈con␈α}trol␈αbits"␈αd␈α␈escrib␈α␈ed␈αin␈αC␈α␈hap␈α␈ter␈α10␈α␈,␈α
g␈α␈o␈α␈v␈α␈ern␈α␈ing␈αtracing␈αan␈α␈d␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈αmod␈α␈es,␈αare␈αalso
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈v␈α␈ed␈απan␈α␈d␈απrestored␈απac␈α␈ross␈↓ ∧9␈ε3ca␈α␈ll␈↓ ∧k␈ε#s.␈α
Th␈α␈e␈αλsub␈α␈rou␈α␈tine␈αλm␈α}ust␈αλsp␈α␈ecify␈απa␈αλn␈α␈ew␈αλcu␈α␈rren␈α␈t␈αλp␈α␈en␈απtyp␈α␈e␈αλa␈α␈nd
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈urren␈α}t␈αpe␈α␈n␈αsize␈αb␈α␈efore␈α
i␈α↓t␈α
draws␈α
an␈α␈y␈α
cu␈α␈rv␈α␈es␈αo␈α␈r␈αuse␈α␈s␈αsome␈α
oth␈α␈er␈αop␈α␈eratio␈α␈n␈αth␈α␈at␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s
␈βπ2␈↓ ∧⎇␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βπL␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	cu␈α␈rren␈α␈t␈α	p␈α␈en␈α	ty␈α␈pe␈α␈,␈α
since␈↓ ε3␈ε#con␈α␈sider␈α␈s␈α
t␈α␈he␈α	p␈α␈en␈α	ty␈α␈pe␈α	to␈αλbe␈α	u␈α␈nd␈α␈e|␈α␈ned␈αλup␈α␈on
␈βπt␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈n␈α␈try␈αto␈αa␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈.␈αThis␈αr␈α␈estriction␈αten␈α␈ds␈αto␈αca␈α␈tch␈αca␈α␈reless␈αe␈α␈rrors;␈αy␈α␈ou␈αc␈α␈an␈αo␈α␈v␈α}erride
␈βλ≠␈↓ ↓H␈ε#it,␈αif␈αn␈α␈ecess␈α␈ary,␈αb␈α␈y␈αsay␈α␈ing␈α\␈↓ ∧W␈ε3no␈↓ ¬ε␈ε3p␈α␈en␈α␈reset␈↓ ¬}␈ε#"␈α␈.
␈βλQ␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈␈
␈βλU␈↓ αM␈ε#Let␈α
u␈α␈s␈α
close␈α
th␈α␈is␈α
cha␈α␈pte␈α␈r␈α
wi␈α↓th␈α	an␈α	exa␈α␈mple␈α
o␈α␈f␈α
a␈α
rec␈α␈ursiv␈α␈e␈α	sub␈α␈rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e.␈αDev␈α}otee␈α␈s
␈βλ⎇␈↓ αM␈ε#o␈α␈f␈α∞stru␈α␈cture␈α␈d␈α
pro␈α␈gram␈α␈ming␈α
who␈α
h␈α␈av␈α}e␈α∞th␈α␈e␈α
con␈α}v␈α␈en␈α}ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α∞misun␈α␈de␈α␈rstan␈α␈ding␈α
o␈α␈f
␈β	
␈↓ ε∧␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β	$␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α
term␈α
will␈α∞re␈α␈j␈α↓o␈α␈ice␈α
in␈α
the␈α
fa␈α␈ct␈α
that␈↓ π>␈ε#has␈α
n␈α␈o␈↓ λ,␈ε3go␈↓ λ[␈ε3to␈↓ 	ε␈ε#st␈α␈ateme␈α␈n␈α␈t;␈α∂b␈α␈ut␈α
su␈α␈ch
␈β	L␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈eop␈α␈le␈αmigh␈α␈t␈αno␈α␈t␈αbe␈αso␈αha␈α␈pp␈α␈y␈αab␈α␈ou␈α␈t␈α
th␈α␈e␈αfact␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈ere␈αis␈αno␈↓ λ\␈ε3while␈↓ 	4␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈αeith␈α␈er.
␈β	s␈↓ ↓H␈ε#In␈α	th␈α␈e␈α
com␈α␈pa␈α␈rativ␈α␈ely␈α	few␈α
ca␈α␈ses␈α
wh␈α␈ere␈α
itera␈α␈tions␈α	are␈α
d␈α␈esirab␈α␈le␈α
in␈α
fo␈α␈n␈α␈t␈α
d␈α␈esign␈α␈,␈αt␈α␈here␈α	i␈α↓s␈α	no
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈ason␈αto␈αdesp␈α␈air,␈αsince␈αiteration␈αis␈αea␈α␈sy␈αt␈α␈o␈αac␈α␈hiev␈α}e␈αvia␈αrecu␈α␈rsion␈α(ev␈α␈en␈αwh␈α␈en␈αw␈α␈e␈αm␈α␈us␈α␈t
␈β
)␈↓ αT␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β
C␈↓ ↓H␈ε#liv␈α␈e␈αwith␈↓ ∧α␈ε#'s␈αrestriction␈αth␈α␈at␈αrecu␈α␈rsiv␈α␈e␈αpro␈α␈ced␈α␈ures␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αhav␈α}e␈αargu␈α␈men␈α}ts).
␈β
j␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλfollo␈α␈wing␈αλsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αλdra␈α␈w␈α↓s␈αλa␈α␈n␈αλind␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλof␈αλstra␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αλv␈α}ertical␈αλl␈α↓in␈α␈es,␈α	from
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ α)␈ε)a␈↓ αA␈ε#+␈↓ αi␈ε)k␈↓ αz␈ε)d␈↓ β␈ε#,␈↓ β≠␈ε)b␈↓ β(␈ε#)␈αto␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ ∧H␈ε)a␈↓ ∧`␈ε#+␈↓ ¬	␈ε)k␈↓ ¬→␈ε)d␈↓ ¬+␈ε#,␈↓ ¬:␈ε)c␈↓ ¬G␈ε#)␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ ε⊃␈ε)k␈↓ ε+␈ε#=␈α	0,␈α1,␈↓ π∨␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈ε#,␈αas␈αlon␈α␈g␈αas␈↓ λz␈ε)a␈↓ 	∩␈ε#+␈↓ 	:␈ε)k␈↓ 	K␈ε)d␈↓ 	f␈ε7∀␈↓ 
⊃␈ε)t␈↓ 
≥␈ε#.
␈βV␈↓ ↓i␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ β␈ε0fo␈α␈r␈↓ β9␈ε#(␈↓ βD␈ε3va␈α␈r␈↓ βz␈ε)a␈↓ ∧
␈ε#,␈↓ ∧→␈ε3v␈α␈ar␈↓ ∧O␈ε)b␈↓ ∧\␈ε#,␈↓ ∧k␈ε3v␈α␈ar␈↓ ¬ ␈ε)c␈↓ ¬-␈ε#,␈↓ ¬<␈ε3va␈α␈r␈↓ ¬r␈ε)d␈↓ ε∧␈ε#,␈↓ ε∪␈ε3v␈α␈ar␈↓ εI␈ε)t␈↓ εU␈ε#):
␈β}␈↓ ↓i␈ε3n␈α␈ew␈↓ α,␈ε0a␈α␈a␈↓ αP␈ε#,␈↓ α←␈ε0b␈α␈b␈↓ βπ␈ε#,␈↓ β⊗␈ε0cc␈↓ β7␈ε#,␈↓ βF␈ε0dd␈↓ βn␈ε#,␈↓ β⎇␈ε0tt␈↓ ∧≠␈ε#;
␈β%␈↓ ↓i␈ε0aa␈↓ α↔␈ε#=␈↓ αA␈ε)a␈↓ αR␈ε#;␈↓ βα␈ε0b␈α␈b␈↓ β3␈ε#=␈↓ β↑␈ε)b␈↓ βk␈ε#;␈↓ ∧≠␈ε0cc␈↓ ∧F␈ε#=␈↓ ∧p␈ε)c␈↓ ∧⎇␈ε#;␈↓ ¬-␈ε0dd␈↓ ¬←␈ε#=␈↓ ε
␈ε)d␈↓ ε≤␈ε#;␈↓ εL␈ε0tt␈↓ εs␈ε#=␈↓ π≥␈ε)t␈↓ π)␈ε#;
␈βM␈↓ ↓i␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ α ␈ε?␈
a␈↓ αO␈ε0loop␈↓ β∂␈ε#.
␈β␈␈↓ ↓i␈ε3su␈α␈bro␈α␈utine␈↓ β␈ε0loo␈α␈p␈↓ βL␈ε#:
␈β
'␈↓ ↓i␈ε3if␈↓ απ␈ε0a␈α␈a␈↓ α4␈ε7∀␈↓ α←␈ε0tt␈↓ α|␈ε#:␈↓ β∂␈ε)x␈↓ β4␈ε#=␈↓ β←␈ε)x␈↓ ∧∧␈ε#=␈↓ ∧.␈ε0aa␈↓ ∧S␈ε#;␈↓ ∧k␈ε)y␈↓ ¬⊃␈ε#=␈↓ ¬;␈ε0bb␈↓ ¬c␈ε#;␈↓ ¬|␈ε)y␈↓ ε!␈ε#=␈↓ εL␈ε0c␈α␈c␈↓ εm␈ε#;
␈β
2␈↓ β≡␈ε&1␈↓ βn␈ε&2␈↓ ∧{␈ε&1␈↓ ε␈ε&2
␈β
O␈↓ β1␈ε3cp␈α␈en␈↓ βs␈ε#;␈↓ ∧␈ε)w␈↓ ∧7␈ε3dra␈α␈w␈↓ ¬	␈ε#1␈α¬.␈αε.␈αε2␈α␈;
␈β
Y␈↓ ∧!␈ε&0
␈β
v␈↓ β1␈ε)x␈↓ βV␈ε#=␈↓ ∧↓␈ε0a␈α␈a␈↓ ∧-␈ε#+␈↓ ∧U␈ε0dd␈↓ ∧}␈ε#;␈↓ ¬⊗␈ε3n␈α␈ew␈↓ ¬U␈ε0a␈α␈a␈↓ ¬y␈ε#;␈↓ ε⊃␈ε0aa␈↓ ε?␈ε#=␈↓ εj␈ε)x␈↓ πε␈ε#;
␈β∞↓␈↓ β@␈ε&3␈↓ εy␈ε&3
␈β∞≡␈↓ β1␈ε3ca␈α␈ll␈↓ βh␈ε?␈
b␈↓ ∧↔␈ε0loo␈α␈p␈↓ ∧W␈ε#;
␈β∞E␈↓ ↓i␈ε3|␈ε#␈α␈.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧>␈ε>Summary␈αof␈αthe␈αlanguage␈↓ β␈ε"61
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#No␈α␈te␈αthe␈αu␈α␈se␈αof␈↓ β3␈ε3new␈↓ βx␈ε#to␈αem␈α}ulate␈αan␈α
ope␈α␈ration␈αth␈α␈at␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈αwritten␈α\␈↓ 	<␈ε0aa␈↓ 	j␈ε#:␈α↓=␈↓ 
≡␈ε0aa␈↓ 
K␈ε#+␈↓ 
s␈ε0dd␈↓ ≤␈ε#"
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#in␈αm␈α␈ore␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}en␈α␈tion␈α␈al␈αpro␈α␈gra␈α␈mming␈α
l␈α↓a␈α␈ngu␈α␈ag␈α␈es.
␈ββN␈↓ ↓O␈ε↓␈␈␈␈␈↓ αM␈ε↓x
␈ββR␈↓ α←␈ε3Ex␈α␈e␈α␈rcise␈α⊂8.2:␈ε#␈α∃Co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂th␈α␈is␈α⊂exa␈α␈mple,␈α⊃sup␈α␈po␈α␈se␈α⊂tha␈α␈t␈α⊂the␈α∂main␈α⊂ro␈α␈utin␈α␈e␈α⊂is
␈ββy␈↓ αM␈ε#\␈↓ α]␈ε3proo␈α␈fmod␈α␈e␈↓ βw␈ε#;␈↓ ∧
␈ε)w␈↓ ∧6␈ε#=␈α	3;␈↓ ¬∧␈ε3call␈↓ ¬?␈ε?␈
c␈↓ ¬m␈ε0for␈↓ ε~␈ε#(␈α↓0␈α␈,␈αε0,␈α¬100␈α␈,␈αε50,␈α¬150␈α␈).␈α↓"␈α
Wh␈α␈at␈α	lab␈α␈els␈α	wo␈α␈uld␈αλapp␈α␈ea␈α␈r
␈β∧∧␈↓ ∧ ␈ε&0
␈β∧!␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈αth␈α␈e␈αeigh␈α␈t␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
which␈α
the␈αfou␈α␈r␈αv␈α␈e␈α␈rti␈α↓c␈α␈al␈αl␈α↓in␈α␈es␈αare␈αd␈α␈rawn␈α␈?
␈β¬o␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈9>␈α
Summary␈α
of␈α
t␈α↓he␈α
language
␈βε∩␈↓ ↓p␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"A␈↓ β>␈ε"program␈α∞consists␈α∞of␈α∞a␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞sections,␈α∂each␈α∞of␈α∞which␈α
is␈α∞ter-
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"minated␈αby␈αa␈αperiod.␈α→(This␈α
period␈αis␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αimmediately␈αby␈αa␈αblank␈αspace␈αor
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"a␈↓ ↓g␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ βi␈ε",␈α∞as␈α
explained␈α
in␈α∞Chapter␈α
5,␈α∞so␈α
that␈α
it␈α∞is␈α
readily␈α
distinguish-
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε"able␈αfrom␈αdecimal␈αpoin␈α␈ts,␈αm␈α␈ultiplication␈αsigns,␈αand␈αthe␈α\␈αε.␈αε.␈αε"␈αof␈αa␈↓ 	F␈ε2draw␈↓ 
∨␈ε"or␈↓ 
J␈ε2ddraw
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"command.)␈α⊗The␈αperiod␈αthat␈αterminates␈α
the␈α|nal␈αsection␈αis␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αthe␈α
w␈α␈ord
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"\␈↓ ↓Z␈ε2end␈↓ α∩␈ε"";␈αthis␈αterminates␈αthe␈αprogram.
␈βλ/␈↓ α␈ε"The␈↓ αW␈ε(x␈↓ αj␈ε"-variables␈α
and␈↓ ∧U␈ε(y␈↓ ∧j␈ε"-variables␈αof␈α
each␈α
section␈α
are␈α
\local"␈α
to␈α
that␈αsection,
␈βλZ␈↓ ↓H␈ε"in␈α∂the␈α∂sense␈α∂that␈↓ βe␈ε(x␈↓ ∧∪␈ε"(say)␈α∂in␈α∂one␈α∂section␈α∂has␈α∂no␈α∂relation␈α∂to␈↓ 		␈ε(x␈↓ 	7␈ε"in␈α∂another;␈α⊂but
␈βλh␈↓ βv␈ε%1␈↓ 	~␈ε%1
␈β	ε␈↓ ↓H␈ε"the␈α
other␈αvariables␈αare␈αshared␈α
by␈αall␈αsections.␈αWithin␈α
a␈αsection,␈αy␈α␈ou␈αwrite␈αone␈α
or
␈β	1␈↓ ↓H␈ε"more␈α\statemen␈α␈ts"␈αseparated␈αby␈αsemicolons.
␈β	H␈↓ β&␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β	←␈↓ α␈ε"A␈α
typical␈↓ ∧p␈ε"program␈α
starts␈α
out␈α
with␈α
a␈α
section␈α
in␈α
which␈α
y␈α␈ou␈α	de|ne
␈β

␈↓ ↓H␈ε"importan␈α␈t␈αλvariables␈αλthat␈αλwill␈αλbe␈αλused␈αλfor␈α	all␈αλthe␈αλcharacters␈αλy␈α␈ou␈αλin␈α␈tend␈αλto␈αλgenerate,
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈α
sections␈αfor␈αan␈α␈y␈αsubroutines␈αy␈α␈ou␈αwish␈αto␈αde|ne,␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈α
sections
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"that␈α
draw␈αeach␈αcharacter.␈αThis␈αorder␈α
of␈αsections␈αis␈αnot␈αabsolutely␈α
necessary,␈αbut
␈β␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αsuitable␈αfor␈αmost␈αpurposes.
␈β#␈↓ πJ␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β:␈↓ α␈ε"Appendix␈α∞E␈α∞con␈α␈tains␈α∞examples␈α
of␈α∞complete␈↓ 	→␈ε"programs␈α∞used␈α
to
␈βf␈↓ ↓H␈ε"de|ne␈α∂characters␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂\Computer␈α⊂Modern"␈α∂family␈α⊂of␈α⊂fon␈α␈ts␈α⊂designed␈α⊂by␈α∂the
␈βz␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε"author␈α∞for␈α∞use␈α∞in␈α∞his␈α∞books␈ε/␈α∞The␈α
Art␈α∞of␈α∞Computer␈α∞Programming␈ε".␈α∩Basic␈↓  ␈ε"-
␈β%␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈β<␈↓ α4␈ε"setups␈α
for␈α
designing␈α
new␈α
characters␈α
or␈α
modifying␈α
the␈α
designs␈α
of␈α
existing
␈βg␈↓ ↓H␈ε"ones,␈αas␈αw␈α␈ell␈α
as␈αfor␈α
producing␈αnew␈αfon␈α␈ts␈α
with␈αparticular␈αsettings␈α
of␈αthe␈αvariable
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"parameters,␈αare␈αdescribed␈αin␈αthat␈αappendix.
␈β
A␈↓ α␈ε"The␈α
presen␈α␈t␈αchapter␈α
is␈α
in␈α␈tended␈αto␈α
serv␈α␈e␈αas␈α
a␈α
concise␈αand␈α
precise␈αsummary
␈β
U␈↓ αI␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"of␈α
all␈αof␈↓ ∧
␈ε"'s␈α
features.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈αdiscussed␈α
most␈αof␈α
these␈αthings␈α
already,
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"but␈αthere␈αare␈αalso␈αa␈αfew␈αmore␈αbells␈αand␈αwhistles␈αthat␈αy␈α␈ou␈αmay␈αwan␈α␈t␈αto␈αuse.␈αThe
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"idea␈αis␈αno␈α␈w␈αto␈αget␈αit␈αall␈αtogether.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"62␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α9
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ ∧#␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈βαV␈↓ α␈ε#As␈αstate␈α␈d␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈,␈αa␈↓ ¬\␈ε#p␈α␈rogra␈α␈m␈αha␈α␈s␈αthe␈αg␈α␈ener␈α␈al␈αf␈α↓o␈α␈rm
␈ββ&␈↓ ∧2␈ε7h␈ε#section␈↓ ¬.␈ε7ih␈ε#sectio␈α␈n␈↓ ε5␈ε7i␈↓ εE␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εr␈ε7h␈ε#se␈α␈ction␈↓ πx␈ε7i␈↓ λ∞␈ε3en␈α␈d
␈ββ1␈↓ ¬!␈ε&1␈↓ ε(␈ε&2␈↓ πa␈ε,m
␈ββv␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αeach␈ε7␈αh␈ε#sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#␈α
is␈αeither␈αa␈α
su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈α
d␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αor␈α
h␈α␈as␈αthe␈αform␈αof␈α
a␈ε7␈αh␈ε#state␈α␈men␈α}t
␈β∧≥␈↓ ↓H␈ε#list␈ε7i␈ε#␈αfoll␈α↓o␈α}w␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αa␈αp␈α␈eriod␈α␈,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y
␈β∧m␈↓ βt␈ε7h␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ ¬≠␈ε7i␈ε#;␈ε7␈αh␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈↓ εa␈ε7i␈ε#;␈↓ π↓␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π-␈ε#;␈ε7␈αh␈ε#stateme␈α␈n␈α␈t␈↓ λl␈ε7i␈ε#.
␈β∧x␈↓ ¬∞␈ε&1␈↓ εU␈ε&2␈↓ λ\␈ε,n
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
main␈α
qu␈α␈estion␈α
r␈α␈emain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
is␈αth␈α␈erefore␈α␈,␈α\Wha␈α␈t␈αis␈α
a␈ε7␈α
h␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈ε7i␈ε#?"␈α
The␈α
v␈α␈ariou␈α␈s␈αk␈α␈ind␈α␈s
␈β¬d␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αstateme␈α␈n␈α␈ts␈αare␈α
en␈α␈u␈α␈mera␈α␈ted␈αb␈α␈elo␈α␈w,␈αw␈α↓ith␈α
a␈αbu␈α␈ll␈α↓e␈α␈t␈αsym␈α␈b␈α␈ol␈α(␈ε7∂␈ε#)␈αin␈αfron␈α}t␈αof␈αeac␈α␈h␈αkin␈α␈d.
␈βε↔␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#emp␈α␈ty␈ε7i␈ε#␈↓ βAA␈αn␈α}ull␈αstate␈α␈men␈α␈t.
␈βε0␈↓ ¬\␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βεJ␈↓ ↓H␈ε#On␈α␈e␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α
thing␈α␈s␈α∞y␈α}ou␈α
ca␈α␈n␈α
do␈α
with␈↓ π↔␈ε#i␈α↓s␈α
no␈α␈thin␈α␈g.␈α∪Th␈α␈e␈α∞n␈α}ull␈α∞sta␈α␈teme␈α␈n␈α␈t␈α∞d␈α␈oe␈α␈s
␈βεr␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is.
␈βπ%␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#equ␈α␈ation␈ε7␈α␈i␈ε#␈↓ βaAn␈α
equ␈α␈ation␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles.
␈βπX␈↓ ↓H␈ε#Eq␈α␈uatio␈α␈ns,␈α
w␈α↓h␈α␈ich␈α
c␈α␈onsist␈α
o␈α␈f␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
o␈α␈r␈α
more␈ε7␈α
h␈ε#e␈α␈xp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈α↓s␈α
se␈α␈par␈α␈ated␈α	by␈α
\␈α␈=␈α↓"␈α	signs,␈α
are␈α
d␈α␈is-
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ussed␈αεth␈α␈orou␈α␈gh␈α␈l␈α↓y␈αεin␈απCh␈α␈ap␈α␈ter␈απ5␈α␈.␈α
E␈α↓a␈α␈ch␈αε=␈αλsign␈αεlead␈α␈s␈απto␈αεthe␈απe␈α␈l␈α↓imin␈α␈ation␈αεof␈απon␈α␈e␈απind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈βλ'␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le,␈α∂sin␈α␈ce␈α∞a␈α␈n␈α∞e␈α␈xp␈α␈ression␈α
can␈α
b␈α␈e␈α∞red␈α␈uc␈α␈ed␈α
to␈α∞a␈α
li␈α↓n␈α␈ea␈α␈r␈α∞com␈α}bina␈α␈tion␈α
of␈α∞ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈βλO␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les,␈α⊂un␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈α∂the␈α∂eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂is␈α∂red␈α␈un␈α␈dan␈α}t␈α∂or␈α∂inc␈α␈ons␈α␈i␈α↓ste␈α␈n␈α␈t␈α∂with␈α∂resp␈α␈ect␈α∂to␈α∞prev␈α␈iou␈α␈s
␈βλv␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈qua␈α␈tions.␈α
The␈α	pu␈α␈rpose␈α	of␈α	equ␈α␈ation␈α␈s␈α
is␈α
to␈α	state␈α	the␈α	relation␈α␈ship␈α␈s␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
wish␈α	th␈α␈e␈α
v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β	∧␈↓ 	@␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β	≡␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
y␈α␈o␈α␈ur␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α
to␈αsatisfy␈α␈;␈α∞y␈α␈o␈α␈u␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
en␈α␈ou␈α␈gh␈αequ␈α␈ation␈α␈s␈α
so␈αtha␈α␈t␈↓ 
z␈ε#can
␈β	F␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈lv␈α␈e␈αth␈α␈em␈αun␈α␈iqu␈α␈el␈α↓y␈α␈,␈αobt␈α␈aining␈α
kn␈α␈o␈α␈wn␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αf␈α↓o␈α␈r␈αall␈αv␈α␈ariab␈α␈les␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓t␈αn␈α␈eed␈α␈s␈αto␈αk␈α␈no␈α␈w.
␈β	y␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3ne␈α␈w␈↓ αQ␈ε7h␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈αl␈α↓ist␈ε7i␈ε#␈↓ ∧UUnd␈α␈e|n␈α␈es␈αva␈α␈riables.
␈β
,␈↓ ↓H␈ε#A␈ε7␈αh␈ε#va␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈αl␈α↓ist␈ε7i␈ε#␈αcon␈α␈si␈α↓s␈α␈ts␈αof␈αon␈α␈e␈αo␈α␈r␈αm␈α␈ore␈αva␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈αnam␈α␈es␈αse␈α␈pa␈α␈rated␈αb␈α␈y␈αcomm␈α␈as;␈αfor␈αex␈α␈-
␈β
S␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈mple,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
can␈α	say␈α	\␈↓ βx␈ε3ne␈α␈w␈↓ ∧<␈ε0a␈α␈l␈α↓p␈α␈ha␈↓ ¬∞␈ε#,␈↓ ¬"␈ε0be␈α␈ta␈↓ ¬d␈ε#,␈↓ ¬x␈ε)x␈↓ ε∀␈ε#,␈↓ ε(␈ε)y␈↓ εD␈ε#".␈αS␈α␈om␈α␈etimes␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
wil␈α↓l␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
u␈α␈sed␈α
e␈α␈qu␈α␈ation␈α␈s
␈β
↑␈↓ επ␈ε&3␈↓ ε7␈ε&2
␈β
{␈↓ ↓H␈ε#to␈α∞d␈α␈e|n␈α␈e␈α∂t␈α␈he␈α∞valu␈α␈e␈α∂o␈α␈f␈α∂som␈α␈e␈α∂v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α∞th␈α␈at␈α∂y␈α}ou␈α∞n␈α␈o␈α␈w␈α∂wish␈α∞to␈α∞rede␈α␈|n␈α␈e.␈α⊗By␈α∞l␈α↓isting␈α∞th␈α␈is
␈β#␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈α
in␈α	a␈↓ β¬␈ε3new␈↓ βH␈ε#state␈α␈men␈α␈t,␈α
its␈α	old␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α	beco␈α␈mes␈α	forgo␈α␈tten␈α␈.␈α⊗(You␈α	sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	d␈α␈o␈α	this␈α
o␈α␈nly
␈βJ␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈α	th␈α␈e␈α	va␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈α	ha␈α␈s␈α	a␈α	kn␈α␈o␈α␈wn␈α	v␈α␈alue,␈α	or␈α	when␈αλi␈α↓t␈α	is␈α	alread␈α␈y␈↓ λ≡␈ε3n␈α␈ew␈↓ λ`␈ε#and␈αλy␈α␈o␈α␈u␈α	are␈α	ju␈α␈st␈α
try␈α␈ing
␈βr␈↓ ↓H␈ε#to␈αλbe␈α	safe←e.g.,␈α
in␈α	a␈α	su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈α	when␈αλthe␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α	is␈α	to␈α	be␈α	u␈α␈sed␈α	fo␈α␈r␈α
t␈α␈empo␈α␈rary␈αλstorag␈α␈e.)
␈β␈␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β→␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αλma␈α␈y␈αλlist␈↓ βε␈ε)w␈↓ β1␈ε#in␈αλa␈↓ βn␈ε3n␈α␈ew␈↓ ∧/␈ε#stat␈α␈emen␈α}t,␈α	bu␈α␈t␈αλi␈α↓t␈αλis␈αλb␈α␈est␈αλto␈αλd␈α␈o␈αλso␈αλr␈α␈el␈α↓u␈α␈cta␈α␈n␈α␈tly,␈α	sin␈α␈ce
␈β$␈↓ β≤␈ε&0
␈βA␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sua␈α␈ll␈α↓y␈α
ha␈α␈s␈αt␈α␈o␈αreco␈α␈mpu␈α␈te␈αa␈αlot␈αo␈α␈f␈αp␈α␈en␈αin␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αwh␈α␈en␈↓ λ↓␈ε)w␈↓ λ/␈ε#is␈αma␈α␈de␈αn␈α␈ew.
␈βL␈↓ λ↔␈ε&0
␈βt␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#pe␈α␈n␈αna␈α␈me␈ε7i␈ε#␈↓ βqSp␈α␈eci|es␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈t␈αp␈α␈en␈αty␈α␈pe␈α␈.
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#At␈α
the␈α
b␈α␈eginn␈α␈ing␈α
of␈α
each␈α
ro␈α␈utin␈α␈e␈αo␈α␈r␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈,␈αthe␈α
cu␈α␈rren␈α␈t␈α
pe␈α␈n␈α
typ␈α␈e␈αis␈α
un␈α␈de|␈α␈ne␈α␈d,␈αa␈α␈nd
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈αλm␈α␈ust␈αλde|␈α␈ne␈αλi␈α↓t␈αλbefo␈α␈re␈↓ ∧4␈ε3dra␈α␈w␈↓ ∧|␈ε#ing␈α	a␈α␈n␈α␈y␈α␈thin␈α␈g␈α	or␈αλusing␈αλan␈αλexp␈α␈ression␈αλlik␈α␈e␈↓ 	=␈ε3to␈α␈p␈↓ 	v␈ε#th␈α␈at␈α	re␈α␈qu␈α␈i␈α↓re␈α␈s
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#k␈α␈no␈α}wl␈α↓e␈α␈dge␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
p␈α␈en␈α
ty␈α␈pe.␈α⊃The␈ε7␈α
h␈ε#p␈α␈en␈α
n␈α␈ame␈ε7␈α␈i␈ε#␈α∞sta␈α␈teme␈α␈n␈α␈t␈α
de␈α␈|n␈α␈es␈α
the␈α
cu␈α␈rren␈α}t␈α
pen␈αtyp␈α␈e,
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
also␈αre␈α␈sets␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈t␈α
pen␈α
size␈αto␈α
zero.␈αZero␈αis␈αa␈α
use␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αfor␈αp␈α␈en␈α
size,␈αso␈αy␈α}ou
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#sh␈α␈ou␈α␈ld␈αpro␈α␈ba␈α␈bly␈αsp␈α␈ecify␈αa␈αu␈α␈seful␈αsize␈αon␈α
the␈αn␈α␈ext␈↓ π≤␈ε3d␈α␈raw␈↓ πo␈ε#or␈↓ λ_␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ λ}␈ε#co␈α␈mma␈α␈nd␈α␈.␈αAllo␈α␈wab␈α␈l␈α↓e
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧>␈ε>Summary␈αof␈αthe␈αlanguage␈↓ β␈ε"63
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈en␈αn␈α␈am␈α␈es␈αare␈↓ β$␈ε3cp␈α␈en␈↓ βf␈ε#,␈↓ β{␈ε3h␈α␈pen␈↓ ∧A␈ε#,␈↓ ∧V␈ε3v␈α␈pe␈α␈n␈↓ ¬≤␈ε#,␈↓ ¬0␈ε3lers␈↓ ¬b␈ε#,␈↓ ¬w␈ε3r␈α␈ers␈↓ ε,␈ε#,␈↓ εA␈ε3s␈α␈pen␈↓ π↓␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ πV␈ε3epen␈↓ λ→␈ε#,␈αas␈αde␈α␈scribed␈α
i␈α↓n␈α
Cha␈α␈pte␈α␈r␈α3␈α␈.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#An␈↓ α␈ε3spen␈↓ αO␈ε#or␈↓ α{␈ε3ep␈α␈en␈↓ βL␈ε#sh␈α␈ou␈α␈ld␈α∞be␈α
f␈α↓u␈α␈rth␈α␈er␈α∞spec␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α␈,␈α⊂a␈α␈cco␈α␈rding␈α
to␈α∞the␈α
rules␈α∞in␈α∞th␈α␈at␈α∞ch␈α␈ap␈α␈ter.
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#Ho␈α}we␈α␈v␈α␈er,␈αif␈αy␈α␈o␈α␈u␈αwish␈αthe␈↓ ∧@␈ε3s␈α␈pen␈↓ ¬␈ε#or␈↓ ¬6␈ε3e␈α␈pen␈↓ ε∧␈ε#to␈αh␈α␈av␈α}e␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αspe␈α␈cs␈αas␈αthe␈αm␈α␈ost␈αre␈α␈cen␈α␈t␈αone
␈ββ3␈↓ α∂␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ βF␈ε#ha␈α␈s␈α
gen␈α␈erated␈α␈,␈αa␈α␈s␈α
it␈α
w␈α↓a␈α␈s␈α
in␈α␈terp␈α␈reting␈α	y␈α␈ou␈α␈r␈α
pro␈α␈gra␈α␈m,␈αy␈α}ou␈α
c␈α␈an␈α
o␈α␈mit␈α
the
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#sp␈α␈eci|␈α␈cation␈α
and␈α
simply␈α
say␈α\␈↓ ∧|␈ε3spen␈↓ ¬=␈ε#"␈αo␈α␈r␈α\␈↓ ε∩␈ε3ep␈α␈en␈↓ εU␈ε#"␈α␈.
␈β∧$␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#dra␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αco␈α␈mma␈α␈nd␈ε7␈α␈i␈ε#␈↓ ∧qDraws␈αa␈α
l␈α↓in␈α␈e␈αor␈αcu␈α␈rv␈α␈e.
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αgen␈α␈era␈α␈l␈αform␈α␈at␈αof␈αa␈ε7␈αh␈ε#d␈α␈rawing␈α
comm␈α␈an␈α␈d␈ε7i␈ε#␈αis␈αei␈α↓t␈α␈her
␈β¬⊃␈↓ ∧<␈ε7h␈ε#ex␈α␈pressio␈α␈n␈ε7i␈↓ ¬s␈ε3dra␈α␈w␈↓ εF␈ε7h␈ε#␈α↓p␈α␈ath␈ε7␈α␈i
␈β¬G␈↓ β\␈ε#o␈α␈r␈↓ ∧<␈ε7h␈ε#ex␈α␈pressio␈α␈n␈ε7i␈↓ ¬s␈ε3dd␈α␈raw␈↓ εY␈ε7h␈ε#pa␈α␈th␈↓ π3␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αh␈ε#p␈α␈ath␈↓ λ-␈ε7i
␈β¬R␈↓ π'␈ε&1␈↓ λ ␈ε&2
␈βε	␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αλth␈α␈e␈ε7␈αλh␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ts␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈ew␈αλcurre␈α␈n␈α␈t␈αλpe␈α␈n␈αλsize;␈α	this␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλomitted␈απif␈α	th␈α␈e␈αλold
␈βε0␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈urren␈α}t␈α
pe␈α␈n␈α
size␈α	i␈α↓s␈α	to␈α
b␈α␈e␈α
us␈α␈ed.␈αTh␈α␈e␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
for␈↓ εA␈ε3d␈α␈raw␈↓ π∪␈ε#a␈α␈nd␈↓ πR␈ε3dd␈α␈raw␈↓ λ7␈ε#a␈α␈re␈α
ex␈α␈plain␈α␈ed␈α
in␈α	Cha␈α␈pter␈α␈s
␈βεX␈↓ ↓H␈ε#2␈α
and␈α
6,␈αso␈αw␈α␈e␈αsha␈α␈l␈α↓l␈αmer␈α␈el␈α↓y␈α
sum␈α␈marize␈αh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αprec␈α␈i␈α↓se␈αru␈α␈les␈αfor␈αa␈ε7␈αh␈ε#pa␈α␈th␈ε7i␈ε#.␈αIn␈αge␈α␈nera␈α␈l␈αa
␈βπ␈↓ ↓H␈ε7h␈ε#p␈α␈ath␈ε7␈α␈i␈ε#␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform
␈βπA␈↓ αG␈ε7h␈ε#h␈α␈idd␈α␈en␈αb␈α␈eginn␈α␈ing␈ε7␈α␈i␈α↓h␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈↓ ¬9␈ε7i␈ε#␈αε.␈αε.␈ε7␈α¬h␈ε#␈α↓p␈α␈oin␈α␈t␈↓ εJ␈ε7i␈ε#␈αε.␈αε.␈↓ πβ␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π;␈ε#.␈αε.␈ε7␈αεh␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈↓ λ?␈ε7ih␈ε#hid␈α␈den␈α
en␈α␈ding␈ε7␈α␈i
␈βπL␈↓ ¬-␈ε&1␈↓ ε=␈ε&2␈↓ λ/␈ε,n
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α∞some␈↓ αU␈ε)n␈↓ αw␈ε7∃␈ε#␈α∞1,␈α∂wh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞p␈α␈aths␈α∞in␈↓ ε7␈ε3dd␈α␈raw␈↓ π ␈ε#m␈α␈u␈α␈st␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞sam␈α␈e␈α∞l␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈↓ 
B␈ε)n␈↓ 
V␈ε#.␈α∀The
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε7h␈ε#h␈α␈idd␈α␈en␈αbeg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈ε7i␈ε#␈αis␈αeither␈αemp␈α␈ty,␈αrepre␈α␈sen␈α␈tin␈α␈g␈αa␈αco␈α␈py␈αo␈α␈f␈ε7␈αh␈ε#po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈↓ 	λ␈ε7i␈ε#,␈αo␈α␈r␈αit␈αh␈α␈as␈αthe␈αform
␈βλ5␈↓ λ{␈ε&1
␈βλR␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈(␈ε7h␈ε#poin␈α}t␈↓ αF␈ε7i␈ε#␈αε.␈α¬.␈αε)";␈αthe␈ε7␈α
h␈ε#␈α↓h␈α␈idd␈α␈en␈αe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈ε7i␈ε#␈αis␈αeith␈α␈er␈αemp␈α␈ty,␈αrep␈α␈resen␈α}ting␈α
a␈αcop␈α␈y␈α
of␈ε7␈αh␈ε#po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈↓ 
p␈ε7i␈ε#,␈αo␈α␈r
␈βλ]␈↓ α9␈ε&0␈↓ 
←␈ε,n
␈βλz␈↓ ↓H␈ε#it␈αh␈α␈as␈αthe␈αfo␈α␈rm␈α\(␈α¬.␈αε.␈ε7␈αεh␈ε#po␈α␈in␈α␈t␈↓ ∧x␈ε7i␈ε#)".␈αThe␈αfor␈α␈m␈αof␈αa␈ε7␈αh␈ε#po␈α␈in␈α␈t␈ε7i␈ε#␈αis
␈β	¬␈↓ ∧B␈ε,n␈↓ ∧R␈ε&+1
␈β	<␈↓ βv␈ε7h␈ε#opt␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈αp␈α␈en␈αsize␈ε7ih␈ε#ind␈α␈ex␈ε7␈α␈ih␈ε#␈α↓o␈α␈ption␈α␈al␈αdirec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε7i
␈β	}␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε7␈αh␈ε#op␈α␈tiona␈α␈l␈αp␈α␈en␈αsize␈ε7i␈ε#␈αis␈αeither␈αem␈α␈pty␈α(m␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αu␈α␈se␈αthe␈αp␈α␈en␈αsize␈αat␈αth␈α␈e␈αprev␈α␈iou␈α␈s
␈β
%␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t,␈αo␈α␈r␈αto␈α
use␈α
the␈α
\cu␈α␈rren␈α}t␈αp␈α␈en␈α
si␈α↓z␈α␈e"␈αif␈αth␈α␈is␈αis␈αth␈α␈e␈α|␈α␈rst␈αp␈α␈oin␈α␈t)␈αo␈α␈r␈αit␈αh␈α␈as␈αo␈α␈ne␈α
of␈αth␈α␈e␈αt␈α␈w␈α␈o
␈β
M␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rms
␈β
t␈↓ ∧≤␈ε7j␈↓ ∧%␈ε7h␈ε#␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈↓ ¬Q␈ε7j␈↓ ε≥␈ε#or␈↓ ε}␈ε7j␈↓ ππ␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε?#␈↓ λE␈ε7j␈ε#␈α↓.
␈β-␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈ε7␈α	h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈α
d␈α␈en␈α␈otes␈α	th␈α␈e␈α
d␈α␈esired␈α	p␈α␈en␈α	size␈α	a␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}t;␈α
the␈↓ λK␈ε?#␈↓ λg␈ε#d␈α␈eno␈α␈tes␈α	stab␈α␈le␈α
p␈α␈en␈α	size
␈βT␈↓ ↓H␈ε#in␈α
th␈α␈e␈α
po␈α␈in␈α␈t's␈α
neigh␈α}bo␈α␈rho␈α␈od,␈α∞o␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α
th␈α␈e␈α
pe␈α␈n␈α
size␈α
wi␈α↓ll␈α
cha␈α␈ng␈α␈e␈α
at␈α
a␈α
rate␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β|␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αex␈α␈plain␈α␈ed␈αin␈αCh␈α␈apte␈α␈r␈α6.␈α
A␈↓ ∧}␈ε?#␈↓ ¬≤␈ε#is␈αimplied␈αwhen␈αth␈α␈e␈ε7␈αh␈ε#op␈α␈tion␈α␈al␈αpe␈α␈n␈αsize␈ε7␈α␈i␈ε#␈αi␈α↓s␈αemp␈α␈ty.␈α
The
␈β#␈↓ ↓H␈ε7h␈ε#o␈α␈ption␈α␈al␈α
p␈α␈en␈α	size␈ε7i␈ε0␈α	m␈α␈u␈α␈st␈ε#␈α
b␈α␈e␈α
e␈α␈mpty␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α	i␈α↓n␈α	th␈α␈e␈α	pat␈α␈hs␈α	of␈α
a␈↓ λo␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ 	S␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd␈α␈.␈αThe
␈β1␈↓ π0␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βK␈↓ ↓H␈ε7h␈ε#o␈α␈ption␈α␈al␈α
d␈α␈i␈α↓re␈α␈ction␈ε7i␈ε#␈α	i␈α↓s␈α	either␈α	emp␈α␈ty␈α
(me␈α␈anin␈α␈g␈α
to␈α	let␈↓ λg␈ε#ch␈α␈oose␈α	the␈α	directio␈α␈n␈α
in
␈βs␈↓ ↓H␈ε#its␈αsta␈α␈nd␈α␈ard␈αwa␈α␈y,␈αas␈αex␈α␈plain␈α␈ed␈αin␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α2),␈αor␈αit␈αha␈α␈s␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β
4␈↓ ∧e␈ε7f␈α␈h␈ε#exp␈α␈ression␈↓ ε#␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αεh␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈↓ πj␈ε7ig␈↓ λε␈ε#.
␈β
?␈↓ ε⊗␈ε&1␈↓ π↑␈ε&2
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#In␈α	th␈α␈is␈α
ca␈α␈se,␈α
if␈↓ β~␈ε)x␈↓ β5␈ε#is␈α
th␈α␈e␈α	valu␈α␈e␈α
o␈α␈f␈ε7␈α
h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈↓ ε6␈ε7i␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ π
␈ε)y␈↓ π&␈ε#the␈α	v␈α␈alue␈α	of␈ε7␈α	h␈ε#exp␈α␈ression␈↓ 
λ␈ε7i␈ε#,␈α
the␈α	cu␈α␈rv␈α␈e
␈β∞↓␈↓ ε*␈ε&1␈↓ 	{␈ε&2
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#will␈αmo␈α␈v␈α}e␈αt␈α␈o␈α␈ward␈α␈s␈αa␈αpo␈α␈si␈α↓tio␈α␈n␈αt␈α␈hat␈αis␈↓ ¬a␈ε)x␈↓ ¬}␈ε#un␈α␈its␈αto␈αth␈α␈e␈αrigh␈α}t␈αan␈α␈d␈↓ λG␈ε)y␈↓ λe␈ε#un␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈αup␈α␈ward␈α␈s␈αwh␈α␈en␈αit
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈asse␈α␈s␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"64␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α9
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε?"␈ε7h␈ε#a␈α␈n␈α␈y␈αd␈α␈esired␈α
ti␈α↓tle␈ε7i␈ε?"␈ε#␈↓ ∧vNam␈α␈es␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈n␈α␈t␈αor␈αth␈α␈e␈αch␈α␈ara␈α␈cter␈αbe␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈rawn.
␈ββ
␈↓ ↓H␈ε#(No␈α␈t␈α
allo␈α␈w␈α␈ed␈α
in␈α
s␈α␈ub␈α␈routin␈α␈es.␈αThe␈α	ti␈α↓tle␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
an␈α}y␈α
string␈α	of␈α
ch␈α␈aract␈α␈ers␈α
oth␈α␈er␈α
tha␈α␈n␈α
qu␈α␈ote
␈ββ2␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ark␈α␈s␈α∂or␈↓ α[␈ε7h␈ε#␈α↓c␈α␈arriag␈α␈e-retur␈α␈n␈ε7i␈↓ ∧J␈ε#s.)␈α!Th␈α␈is␈α∂sta␈α␈temen␈α}t␈α∂ha␈α␈s␈α∂sev␈α}eral␈α∞e{␈α↓e␈α␈cts:␈α!(i)␈α∂Th␈α␈e␈α∂|␈α␈rst␈α∂time
␈ββ?␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈ββY␈↓ βα␈ε#in␈α␈te␈α␈rprets␈αa␈α
title␈α
sta␈α␈temen␈α}t,␈α∞it␈αsav␈α␈e␈α␈s␈α
the␈αstring␈αy␈α␈o␈α␈u␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
sp␈α␈eci|ed␈αa␈α␈s␈α
the
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈-called␈αm␈α␈ain␈αtitle␈αtha␈α␈t␈αwi␈α↓ll␈αap␈α␈pea␈α␈r␈αin␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ter␈α|le␈αif␈αy␈α␈o␈α␈u␈αge␈α␈nera␈α␈te␈αa␈αfon␈α}t.␈α→(␈α↓ii)␈αIf
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α	are␈α	i␈α↓n␈↓ αb␈ε3titletrace␈↓ βo␈ε#mod␈α␈e,␈α
the␈α	ti␈α↓tle␈α	wi␈α↓ll␈α
be␈α	prin␈α}ted␈α
o␈α␈n␈α
y␈α}ou␈α␈r␈α
scree␈α␈n,␈α
as␈α
a␈α	sort␈α	of␈α
pr␈α␈ogres␈α␈s
␈β∧P␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈por␈α␈t.␈α∃(iii␈α↓)␈α	Th␈α␈e␈α	titl␈α↓e␈α	will␈α	app␈α␈ear␈α	o␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	pro␈α␈ofsh␈α␈eet␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t␈α	i␈α↓f␈α	th␈α␈e␈α	cu␈α␈rren␈α␈t␈α	ro␈α␈utin␈α␈e␈α	i␈α↓s␈α	u␈α␈sed
␈β∧x␈↓ ↓H␈ε#to␈αλdra␈α␈w␈α
a␈αλcha␈α␈racter␈α	in␈α	p␈α␈roo␈α␈f␈α
m␈α␈od␈α␈e.␈α∃(iv)␈α	A␈α	warn␈α␈ing␈α	m␈α␈essag␈α␈e␈α	wi␈α↓ll␈α	be␈α	p␈α␈rin␈α␈ted␈αλ(␈α↓m␈α␈en␈α␈tion␈α␈ing
␈β¬¬␈↓ α␈␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈α
titl␈α↓e␈α␈)␈α
i␈α↓f␈↓ ∧9␈ε#scan␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
en␈α␈d␈α
of␈α
a␈α|le␈α
p␈α␈ag␈α␈e␈α
befo␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
cu␈α␈rren␈α␈t␈α
se␈α␈ction␈αend␈α␈s,
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈nless␈αy␈α}ou␈αa␈α␈re␈αin␈ε3␈αn␈α␈o␈αpa␈α␈gewa␈α␈rning␈ε#␈α
mod␈α␈e.
␈β¬|␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#con␈α␈dition␈α␈al␈αstate␈α␈men␈α␈t␈ε7i␈ε#␈↓ ¬ Cho␈α␈oses␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
alterna␈α␈tiv␈α␈e␈αp␈α␈rogra␈α␈ms.
␈βε0␈↓ ↓H␈ε#A␈αco␈α␈nstru␈α␈ction␈α
l␈α↓ik␈α}e
␈βεd␈↓ α"␈ε3i␈α↓f␈↓ αB␈ε7h␈ε#relation␈ε7␈α␈i␈ε#:␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ ¬β␈ε7i␈ε#;␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ εJ␈ε7i␈ε#;␈↓ εi␈ε3else␈↓ π≥␈ε#:␈ε7␈αh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ λY␈ε7i␈ε#;␈ε7␈αh␈ε#␈α↓st␈α␈ateme␈α␈n␈α␈t␈↓ 
 ␈ε7i␈ε#;␈↓ 
?␈ε3|
␈βεo␈↓ ∧v␈ε&1␈↓ ε=␈ε&2␈↓ λL␈ε&3␈↓ 
∪␈ε&4
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε#will␈α∂i␈α↓n␈α}terp␈α␈ret␈ε7␈α∂h␈ε#stat␈α␈emen␈α}t␈↓ ∧?␈ε7i␈ε#␈α∂an␈α␈d␈ε7␈α∞h␈ε#stateme␈α␈n␈α␈t␈↓ εD␈ε7i␈ε#␈α∂i␈α↓f␈α∂th␈α␈e␈α∂re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂is␈α∂t␈α␈rue,␈ε7␈α⊂h␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ 
]␈ε7i␈ε#␈α∂a␈α␈nd
␈βπ$␈↓ ∧2␈ε&1␈↓ ε8␈ε&2␈↓ 
P␈ε&3
␈βπA␈↓ ↓H␈ε7h␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈↓ αo␈ε7i␈ε#␈αif␈αthe␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈αfalse.␈αCha␈α␈pter␈α9␈α
giv␈α␈es␈αth␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈l␈αru␈α␈les.
␈βπK␈↓ αb␈ε&4
␈βπu␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ αI␈ε7h␈ε#op␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αlette␈α␈r␈ε7ih␈ε#␈α↓su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αna␈α␈me␈ε7ih␈ε#pa␈α␈rame␈α␈ters␈ε7i␈ε#␈↓ λ1In␈α}v␈α␈ok␈α}es␈αa␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈.
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈ε7␈α	h␈ε#op␈α␈tiona␈α␈l␈α	l␈α↓et␈α␈ter␈ε7i␈ε#␈α	i␈α↓s␈αλei␈α↓t␈α␈her␈α	em␈α␈pty␈αλor␈α	an␈αλex␈α␈press␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	form␈αλ\␈ε?␈
␈ε7h␈ε#lo␈α␈w␈α␈er␈α	c␈α␈ase␈α	lette␈α␈r␈ε7i␈ε#␈α↓"␈α␈;
␈βλR␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε7␈αλh␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αλn␈α␈ame␈ε7i␈ε#␈απi␈α↓s␈απthe␈απiden␈α}ti|er␈απof␈αλa␈απsub␈α␈rou␈α␈tine␈απtha␈α␈t␈αλha␈α␈s␈αλalrea␈α␈dy␈απb␈α␈een␈απde␈α␈|n␈α␈ed;␈α	a␈α␈nd
␈βλy␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε7␈α
h␈ε#p␈α␈aram␈α␈eters␈ε7i␈ε#␈α
p␈α␈art␈α
is␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α
e␈α␈mpty␈α␈,␈α
or␈α
it␈α
is␈α
a␈α	pa␈α␈ren␈α␈th␈α␈esized␈α	li␈α↓st␈α	of␈ε7␈α
h␈ε#ex␈α␈press␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#s␈α
to␈α	be
␈β	!␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted␈α	for␈↓ β&␈ε3va␈α␈r␈↓ β`␈ε#arg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts,␈α
an␈α␈d/␈α␈or␈ε7␈α	h␈ε#␈α↓in␈α␈dex␈ε7␈α␈i␈ε#es␈α
t␈α␈o␈α
b␈α␈e␈α
su␈α␈bs␈α␈ti␈α↓tu␈α␈ted␈α	for␈↓ 	3␈ε3i␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ 
␈ε#argu␈α␈men␈α}ts,
␈β	I␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈par␈α␈ated␈αby␈αc␈α␈omma␈α␈s␈αo␈α␈r␈α\)("␈αpa␈α␈irs.␈α
The␈αpa␈α␈ramet␈α␈ers␈αm␈α␈u␈α␈st␈αb␈α␈e␈αin␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αo␈α␈rde␈α␈r␈αas␈αthe
␈β	p␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈αλa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈ts␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈αλth␈α␈ere␈αλm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈αλexa␈α␈ctly␈αλas␈αλman␈α}y␈αλpa␈α␈rame␈α␈ters␈αλas␈αλargu␈α␈men␈α}ts.
␈β
␈↓ π∞␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
%␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#pa␈α␈rame␈α␈ter␈αna␈α␈me␈ε7ih␈ε#ex␈α␈pressio␈α␈n␈ε7i␈ε#␈↓ ¬}De␈α␈|n␈α␈es␈αa␈↓ λG␈ε#p␈α␈ara␈α␈meter.
␈β
@␈↓ 	*␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε#A␈α
pa␈α␈rame␈α␈ter␈αsta␈α␈teme␈α␈n␈α␈t␈α
l␈α↓ik␈α␈e␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈αu␈α␈sed␈α
to␈α
co␈α␈mm␈α␈u␈α␈nicate␈α
v␈α␈alues␈α
th␈α␈at␈↓ 
b␈ε#occa␈α␈-
␈β
g␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β↓␈↓ ↓H␈ε#sio␈α␈nally␈α
n␈α␈eed␈α␈s␈α
for␈αi␈α↓ts␈α
w␈α␈o␈α␈rk.␈α⊂The␈α
p␈α␈ara␈α␈meters␈αhav␈α}e␈α
\␈α␈defau␈α␈lt"␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
when
␈β)␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈egin␈α␈s;␈α⊃b␈α␈ut␈α∞onc␈α␈e␈α∂y␈α}ou␈α∞ch␈α␈ang␈α␈e␈α∂a␈α∞p␈α␈aram␈α␈eter␈α∂with␈α∞an␈α∞e␈α␈xp␈α␈l␈α↓icit␈α∂p␈α␈ara␈α␈meter␈α∞state␈α␈men␈α␈t,␈α∂i␈α↓t␈α␈s
␈βP␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rmer␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
i␈α↓s␈α
forg␈α␈otten␈α␈.␈α∪Th␈α␈e␈α
valu␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈ε7␈α
h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∞b␈α␈e␈α
kn␈α␈o␈α␈wn␈α
at␈α
th␈α␈e␈α∞time
␈βx␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αs␈α␈tateme␈α␈n␈α␈t␈αis␈αin␈α}terpre␈α␈ted.␈αHere␈αis␈αa␈αlist␈αof␈αthe␈αp␈α␈ara␈α␈meter␈αn␈α␈ames␈αu␈α␈nd␈α␈erstoo␈α␈d␈αb␈α␈y␈αthe
␈βε␈↓ ∧P␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β ␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈resen␈α}t␈αi␈α↓m␈α␈pleme␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αof␈↓ ¬⎇␈ε#:
␈βT␈↓ α␈ε3trx␈α␈x␈↓ αK␈ε#,␈↓ αd␈ε3trxy␈↓ β#␈ε#,␈↓ β<␈ε3i␈α↓n␈α␈cx␈↓ βy␈ε#,␈↓ ∧∪␈ε3try␈α␈x␈↓ ∧R␈ε#,␈↓ ∧k␈ε3try␈α␈y␈↓ ¬*␈ε#,␈↓ ¬C␈ε3incy␈↓ ε∂␈ε#are␈α∂u␈α␈sed␈α∞to␈α∂rot␈α␈ate,␈α⊂tran␈α␈slate,␈α⊂an␈α␈d/␈α␈or␈α∂ex␈α␈pa␈α␈nd
␈βb␈↓ ¬K␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β|␈↓ αP␈ε#or␈αsh␈α␈ri␈α↓n␈α␈k␈αthe␈αc␈α␈urv␈α}es␈αth␈α␈at␈↓ π∧␈ε#dra␈α␈ws.␈α∞After␈αco␈α␈mp␈α␈uting␈αthe␈αfun␈α␈ction␈α␈s
␈β
$␈↓ αP␈ε)x␈↓ αb␈ε#(␈↓ αm␈ε)t␈↓ αy␈ε#)␈α
and␈↓ βO␈ε)y␈↓ βa␈ε#(␈↓ βl␈ε)t␈↓ βx␈ε#)␈αa␈α␈ccord␈α␈ing␈α
to␈α
the␈α
rules␈α
de␈α␈scribed␈α
in␈α
Ch␈α␈apte␈α␈rs␈α2␈α
an␈α␈d␈α
6,␈αth␈α␈e␈αa␈α␈ctua␈α␈l
␈β
G␈↓ 	→␈ε:0␈↓ 
␈ε:0
␈β
K␈↓ αP␈ε#curv␈α}e␈α	th␈α␈at␈α	will␈α
b␈α␈e␈α	p␈α␈l␈α↓o␈α␈tted␈α␈←␈α↓b␈α␈efore␈αλsub␈α␈tractin␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α	o{sets␈↓ 	λ␈ε)x␈↓ 	/␈ε#a␈α␈nd␈↓ 	m␈ε)y␈↓ 
∃␈ε#an␈α␈d␈α	b␈α␈efore
␈β
Z␈↓ 	→␈ε&0␈↓ 
␈ε&0
␈β
s␈↓ αP␈ε#roun␈α␈din␈α␈g,␈αan␈α␈d␈αbe␈α␈fore␈αred␈α␈ucin␈α␈g␈αva␈α␈riable-size␈↓ πQ␈ε3d␈α␈raw␈↓ λ$␈ε#to␈↓ λM␈ε3d␈α␈dr␈α␈aw␈↓ 	'␈ε#←i␈α↓s
␈β∞A␈↓ ∧⊗␈ε"(␈↓ 	R␈ε")
␈β∞D␈↓ ∧"␈ε)␈↓ ∧T␈ε)x␈↓ ∧e␈ε#(␈↓ ∧q␈ε)t␈↓ ∧|␈ε#)␈αλ+␈↓ ¬8␈ε)␈↓ ¬j␈ε)y␈↓ ¬⎇␈ε#(␈↓ ελ␈ε)t␈↓ ε∀␈ε#)␈απ+␈↓ εO␈ε)␈↓ εo␈ε#,␈↓ πβ␈ε)␈↓ π6␈ε)x␈↓ πG␈ε#(␈↓ πR␈ε)t␈↓ π↑␈ε#)␈αλ+␈↓ λ→␈ε)␈↓ λM␈ε)y␈↓ λ←␈ε#(␈↓ λj␈ε)t␈↓ λv␈ε#)␈αλ+␈↓ 	1␈ε)␈↓ 	↑␈ε#,
␈β∞N␈↓ ∧3␈ε,x␈↓ ∧B␈ε,x␈↓ ¬I␈ε,x␈↓ ¬W␈ε,y␈↓ ε`␈ε,x␈↓ π∀␈ε,y␈↓ π#␈ε,x␈↓ λ+␈ε,y␈↓ λ:␈ε,y␈↓ 	C␈ε,y
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧>␈ε>Summary␈αof␈αthe␈αlanguage␈↓ β␈ε"65
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ αP␈ε#where␈↓ β3␈ε)␈↓ βa␈ε#,␈↓ βx␈ε)␈↓ ∧'␈ε#,␈↓ ∧>␈ε)␈↓ ∧↑␈ε#,␈↓ ∧u␈ε)␈↓ ¬#␈ε#,␈↓ ¬;␈ε)␈↓ ¬j␈ε#,␈↓ ε↓␈ε)␈↓ ε/␈ε#a␈α␈re␈α∞t␈α␈he␈α
resp␈α␈ectiv␈α␈e␈α
cu␈α␈rren␈α␈t␈α
v␈α␈alues␈α
of␈α
the␈α
six
␈βα`␈↓ βD␈ε,x␈↓ βS␈ε,x␈↓ ∧
␈ε,x␈↓ ∧_␈ε,y␈↓ ∧O␈ε,x␈↓ ¬ε␈ε,y␈↓ ¬∃␈ε,x␈↓ ¬L␈ε,y␈↓ ¬[␈ε,y␈↓ ε∩␈ε,y
␈βα⎇␈↓ αP␈ε#para␈α␈mete␈α␈rs␈αsta␈α␈ted.␈α_(Th␈α␈e␈αd␈α␈efau␈α␈lt␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αare␈α␈,␈αof␈α
cou␈α␈rse,␈↓ λo␈ε3trx␈α␈x␈↓ 	8␈ε#1;␈↓ 	]␈ε3trx␈α␈y␈↓ 
&␈ε#0;␈↓ 
K␈ε3incx␈↓ ∪␈ε#0␈α␈;
␈ββ%␈↓ αP␈ε3tryx␈↓ β_␈ε#0␈α␈;␈↓ β;␈ε3try␈α␈y␈↓ ∧α␈ε#1;␈↓ ∧&␈ε3inc␈α␈y␈↓ ∧k␈ε#0.)␈α∪By␈αλsettin␈α␈g␈↓ ε>␈ε3trxy␈↓ πε␈ε#to␈αλ.15,␈α	for␈αλex␈α␈amp␈α␈le,␈α	y␈α␈ou␈α␈r␈α	d␈α␈rawing␈α␈s␈α	will
␈ββL␈↓ αP␈ε#be␈ε0␈α	slan␈α}ted␈αλto␈α	the␈αλri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α	a␈α␈s␈α	i␈α↓n␈αλthe␈αλl␈α↓et␈α␈ters␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α	ar␈α␈e␈α	no␈α␈w␈α	re␈α␈adin␈α␈g␈↓ 	∨␈ε#;␈α
tho␈α␈se␈α	letters␈α	w␈α␈ere
␈ββZ␈↓ ∧q␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈ββt␈↓ αP␈ε#mad␈α␈e␈απwith␈απth␈α␈e␈απsa␈α␈me␈↓ ε%␈ε#p␈α␈rogra␈α␈ms␈απth␈α␈at␈απg␈α␈ene␈α␈rated␈αεthe␈αεun␈α␈slan␈α␈te␈α␈d␈απletter␈α␈s
␈β∧≤␈↓ αP␈ε#y␈α␈ou␈απa␈α␈re␈αλn␈α␈o␈α␈w␈απread␈α␈ing,␈αλch␈α␈ang␈α␈ing␈απon␈α␈ly␈απthe␈απsetting␈απo␈α␈f␈↓ λ⊃␈ε3trx␈α␈y␈↓ λP␈ε#.␈α
The␈απsix␈απtran␈α␈sform␈α␈ation
␈β∧C␈↓ αP␈ε#para␈α␈mete␈α␈rs␈αd␈α␈o␈αn␈α␈ot␈α
a{ect␈αth␈α␈e␈α
si␈α↓z␈α␈e␈αo␈α␈r␈αsh␈α␈ape␈α
of␈α
pen␈α␈s,␈αon␈α␈ly␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓o␈α␈cation␈α␈s␈αo␈α␈f␈αth␈α␈eir
␈β∧k␈↓ αP␈ε#motion␈α␈s.
␈β¬→␈↓ α␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ αu␈ε#,␈↓ β␈ε3cha␈α␈rh␈α␈t␈↓ βi␈ε#,␈↓ β}␈ε3cha␈α␈rdp␈↓ ∧b␈ε#,␈↓ ∧x␈ε3ch␈α␈aric␈↓ ¬[␈ε#are␈αu␈α␈sed␈αto␈αsp␈α␈ecify␈αth␈α␈e␈αwi␈α↓d␈α␈th,␈αheigh␈α}t,␈α
d␈α␈epth␈α␈,␈α
a␈α␈nd
␈β¬A␈↓ αP␈ε#i␈α↓ta␈α␈l␈α↓ic␈α	cor␈α␈rection␈α	for␈α	a␈α	cha␈α␈racte␈α␈r,␈α
i␈α↓n␈α	u␈α␈nits␈α	of␈α
p␈α␈rin␈α␈ter␈α␈s'␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts.␈αTh␈α␈ese␈α	para␈α␈meter␈α␈s
␈β¬h␈↓ αP␈ε#are␈α∞z␈α␈ero␈α∞b␈α␈y␈α
defa␈α␈ult,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈ey␈α∞a␈α␈re␈α∞re␈α␈set␈α∞to␈α
zero␈α
at␈α
the␈α
end␈α
of␈α
ev␈α␈ery␈α
ro␈α␈utine
␈βε⊂␈↓ αP␈ε#when␈αa␈αcha␈α␈racte␈α␈r␈αis␈αou␈α␈tpu␈α␈t.␈α
The␈αpara␈α␈meter␈α␈s␈αare␈αused␈αwh␈α␈en␈αprep␈α␈arin␈α␈g␈αa␈αfon␈α}t
␈βε8␈↓ αP␈ε#i␈α↓n␈α␈forma␈α␈tion␈α|␈α␈l␈α↓e␈αto␈αb␈α␈e␈αused␈α
by␈↓ ε∞␈ε#T␈↓ ε/␈ε#X␈↓ εG␈ε#;␈αthey␈α
do␈αn␈α␈ot␈αa{ect␈αth␈α␈e␈αa␈α␈ctu␈α␈al␈αa␈α␈pp␈α␈eara␈α␈nce
␈βε>␈↓ ε∨␈ε#E
␈βε←␈↓ αP␈ε#of␈αa␈αch␈α␈arac␈α␈ter␈αin␈αa␈αfon␈α}t.
␈βπ∞␈↓ α␈ε3ep␈α␈en␈α␈x␈α␈facto␈α␈r␈↓ βD␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧	␈ε3ep␈α␈en␈α␈y␈α␈facto␈α␈r␈↓ ¬A␈ε#(nor␈α␈mally␈α∂1.0␈α␈)␈α⊂a␈α␈re␈α∂u␈α␈sed␈α∂to␈α∞enla␈α␈rge␈α∂or␈α∞smalli␈α↓fy␈α∞the
␈βπ5␈↓ αP␈ε#dimen␈α␈sions␈α
of␈α∞an␈↓ ∧X␈ε3ep␈α␈en␈↓ ¬(␈ε#when␈α
an␈α
ex␈α␈plicit␈α∞pen␈α
is␈α∞sp␈α␈eci|e␈α␈d.␈α∀Th␈α␈ese␈α
para␈α␈meter␈α␈s
␈βπ]␈↓ αP␈ε#shou␈α␈ld␈αcha␈α␈nge␈αin␈α
p␈α␈rop␈α␈ortion␈αto␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
of␈αpix␈α␈e␈α␈l␈α↓s␈αper␈αi␈α↓n␈α␈ch␈αwhe␈α␈n␈α
y␈α}ou␈αare
␈βλ∧␈↓ αP␈ε#design␈α␈ing␈αfo␈α␈n␈α␈ts␈αfor␈αa␈α
variety␈α
of␈αma␈α␈chine␈α␈s.
␈βλ/␈↓ 	0␈ε:0␈↓ 
≠␈ε:0
␈βλ3␈↓ α␈ε3ep␈α␈en␈α␈x␈α}corr␈↓ β$␈ε#a␈α␈nd␈↓ βd␈ε3epe␈α␈n␈α␈y␈α␈c␈α␈orr␈↓ ∧|␈ε#(n␈α␈orma␈α␈l␈α↓ly␈α
0.0)␈αare␈αu␈α␈sed␈α
as␈αth␈α␈e␈αo{sets␈↓ 	∨␈ε)x␈↓ 	H␈ε#a␈α␈nd␈↓ 
λ␈ε)y␈↓ 
2␈ε#when␈α
an
␈βλB␈↓ 	0␈ε&0␈↓ 
≠␈ε&0
␈βλ[␈↓ αP␈ε#exp␈α␈li␈α↓cit␈αp␈α␈en␈α(␈↓ ∧⊃␈ε3ep␈α␈en␈↓ ∧S␈ε#)␈αis␈αsp␈α␈eci|ed␈α␈.
␈β		␈↓ α␈ε3safet␈α␈yfact␈α␈or␈↓ β@␈ε#(n␈α␈orma␈α␈l␈α↓ly␈απ2.0)␈απi␈α↓s␈απuse␈α␈d␈αλt␈α␈o␈αλg␈α␈o␈α␈v␈α␈er␈α␈n␈αλth␈α␈e␈απn␈α␈um␈α}ber␈απof␈αλc␈α␈urv␈α␈e␈α␈s␈αλp␈α␈l␈α↓o␈α␈tted␈απby␈↓ 
R␈ε3d␈α␈dra␈α␈w
␈β	1␈↓ αP␈ε#when␈α
i␈α↓t␈αis␈α|lling␈αin␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αt␈α␈w␈α␈o␈αcu␈α␈rv␈α␈es␈α(se␈α␈e␈αCha␈α␈pter␈α6␈α␈).
␈β	←␈↓ α␈ε3min␈α␈v␈α␈r␈↓ αb␈ε#,␈↓ α|␈ε3ma␈α␈xv␈α␈r␈↓ βZ␈ε#,␈↓ βt␈ε3min␈α␈v␈α␈s␈↓ ∧J␈ε#,␈↓ ∧d␈ε3max␈α␈vs␈↓ ¬R␈ε#(no␈α␈rmally␈α∂0.5,␈α⊃4.0␈α␈,␈α⊃0.5,␈α⊃4.0␈α␈)␈α⊂are␈α∂use␈α␈d␈α∂as␈α⊂v␈α}elocity
␈β
π␈↓ αP␈ε#thresh␈α␈old␈α␈s␈αwhen␈α
com␈α␈pu␈α␈ting␈α
the␈αsp␈α␈li␈α↓n␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α␈s␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈α
a␈αp␈α␈ath␈α␈,␈αa␈α␈s␈αex␈α␈-
␈β
.␈↓ αP␈ε#plaine␈α␈d␈αin␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α2.
␈β
C␈↓ 	7␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
]␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈αpa␈α␈rame␈α␈ters␈α
are␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈αto␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈earest␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α
befo␈α␈re␈↓ 
q␈ε#use␈α␈s
␈β∧␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈em:
␈β3␈↓ α␈ε3ns␈α␈eed␈↓ αe␈ε#(no␈α␈rmally␈α	set␈α	to␈α
a␈α	v␈α␈alue␈α	ba␈α␈sed␈α	on␈α	th␈α␈e␈α	ti␈α↓m␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
d␈α␈ay,␈α
so␈α	th␈α␈at␈α	i␈α↓t␈α	wil␈α↓l␈α	be␈α	di{eren␈α}t
␈β@␈↓ ∧s␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βZ␈↓ αP␈ε#ev␈α␈ery␈α
time␈αy␈α␈o␈α␈u␈αrun␈↓ ε!␈ε#)␈αis␈αused␈α
to␈αstart␈αth␈α␈e␈αpse␈α␈ud␈α␈o-ran␈α␈do␈α␈m␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βα␈↓ αP␈ε#gen␈α␈erato␈α␈r␈α⊃th␈α␈at␈α⊂pro␈α␈du␈α␈ces␈α⊂the␈α⊂v␈α␈alues␈α⊂of␈↓ π≥␈ε3nra␈α␈nd␈↓ πr␈ε#.␈α≤By␈α⊂se␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ 	B␈ε3nse␈α␈ed␈↓ 
"␈ε#to␈α⊂a␈α⊂pa␈α␈r-
␈β)␈↓ αP␈ε#ti␈α↓c␈α␈ular␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
at␈α
the␈α
b␈α␈egin␈α␈ning␈α
o␈α␈f␈α∞y␈α}ou␈α␈r␈α∞p␈α␈rog␈α␈ram←an␈α}y␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
wil␈α↓l␈α
do␈α␈←␈α↓y␈α}ou
␈βQ␈↓ αP␈ε#can␈αgua␈α␈ran␈α}tee␈α
th␈α␈at␈α
the␈αsame␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈↓ π8␈ε3nra␈α␈nd␈↓ λ≠␈ε#v␈α␈alu␈α␈es␈α
wi␈α↓ll␈α
occ␈α␈ur␈α
ea␈α␈ch␈α
time
␈βy␈↓ αP␈ε#the␈αp␈α␈rogra␈α␈m␈αis␈αrun␈α␈.
␈β
'␈↓ α␈ε3ch␈α␈arco␈α␈de␈↓ β⊗␈ε#is␈α
u␈α␈sed␈α	to␈α
sp␈α␈ecify␈α	the␈α	7-bit␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
a␈α
ch␈α␈ara␈α␈cter␈α
b␈α␈eing␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t␈α
to␈α	a␈α
fon␈α}t.
␈β
5␈↓ λ␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
O␈↓ αP␈ε#This␈αpara␈α␈mete␈α␈r␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αin␈α}valid␈αv␈α␈alue␈ε7␈α␈␈ε#1␈αwh␈α␈en␈↓ 	E␈ε#b␈α␈egin␈α␈s,␈αan␈α␈d␈αit␈αis
␈β
v␈↓ αP␈ε#reset␈α	to␈ε7␈α	␈␈ε#1␈α	after␈α	eac␈α␈h␈α	cha␈α␈racte␈α␈r␈α
is␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t.␈αNo␈α	ch␈α␈ara␈α␈cter␈α	wi␈α↓ll␈α	be␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t␈α	un␈α␈l␈α↓es␈α␈s
␈β∞≡␈↓ αP␈ε#the␈↓ βπ␈ε3c␈α␈har␈α␈cod␈α␈e␈↓ ∧∞␈ε#pa␈α␈rame␈α␈ter␈αλh␈α␈as␈αλb␈α␈een␈απset␈αλto␈αλa␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αλbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αλ0␈απan␈α␈d␈αλ1␈α␈27,␈αλi␈α↓n␈α␈clusiv␈α}e,
␈β∞E␈↓ αP␈ε#and␈α
it␈αshou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αdistinct␈αfro␈α␈m␈αthe␈αn␈α}um␈α}bers␈αo␈α␈f␈αo␈α␈the␈α␈r␈αc␈α␈ha␈α␈racters␈αo␈α␈utp␈α␈ut.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"66␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α9
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ α␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ β∧␈ε#spec␈α␈i␈α↓|␈α␈es␈α∂th␈α␈e␈α∂cu␈α␈rren␈α}t␈α∂ch␈α␈arac␈α␈ter's␈α∂wi␈α↓d␈α␈th␈α∞(i␈α↓n␈α∞p␈α␈i␈α↓x␈α}els),␈α⊂when␈α∞a␈α∂fo␈α␈n␈α␈t␈α∂is␈α∂b␈α␈eing
␈βα⎇␈↓ αP␈ε#prod␈α␈uc␈α␈ed␈αfor␈αthe␈αX␈α␈GP␈α
p␈α␈rin␈α␈ter;␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αinform␈α␈ation␈αis␈αalso␈αuse␈α␈d␈αwhen␈αp␈α␈rep␈α␈aring
␈ββ%␈↓ αP␈ε#f␈α↓o␈α␈n␈α␈t␈αin␈α␈f␈α↓o␈α␈rmatio␈α␈n␈αfor␈↓ ¬α␈ε#T␈↓ ¬#␈ε#X␈↓ ¬G␈ε#to␈αuse␈αwi␈α↓th␈αthe␈αXG␈α␈P␈α↓.␈αLik␈α␈e␈↓ λX␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ 	A␈ε#,␈α
th␈α␈is␈αpara␈α␈mete␈α␈r
␈ββ+␈↓ ¬∪␈ε#E
␈ββL␈↓ αP␈ε#i␈α↓s␈α
zero␈α
fo␈α␈r␈α∞e␈α␈ach␈α
c␈α␈hara␈α␈cter␈α
un␈α}til␈α∞y␈α␈o␈α␈u␈α
set␈α
it␈α∞e␈α␈xp␈α␈l␈α↓icitly.␈α∩Th␈α␈ere␈α
is␈α∞n␈α␈o␈α
au␈α␈toma␈α␈ti␈α↓c
␈ββt␈↓ αP␈ε#con␈α␈nec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈↓ ∧w␈ε3c␈α␈harwd␈↓ ¬k␈ε#an␈α␈d␈↓ ε,␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ π∃␈ε#.
␈β∧+␈↓ α␈ε3ma␈α␈xh␈α␈t␈↓ αs␈ε#spec␈α␈i␈α↓|␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
he␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
(in␈α
p␈α␈ix␈α␈els)␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
ta␈α␈l␈α↓lest␈α
c␈α␈ha␈α␈racter␈α
in␈α	a␈α
fon␈α}t␈α
be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
g␈α␈ene␈α␈r-
␈β∧S␈↓ αP␈ε#ated␈α
for␈αth␈α␈e␈αX␈α␈GP␈α↓.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈ara␈α␈meter,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αis␈αinitially␈αzero␈α␈,␈αm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αset␈αb␈α␈efore
␈β∧z␈↓ αP␈ε#the␈α|␈α␈rst␈αcha␈α␈racte␈α␈r␈αof␈αthe␈αfo␈α␈n␈α␈t␈αha␈α␈s␈αbee␈α␈n␈αou␈α␈tpu␈α␈t.
␈β¬2␈↓ α␈ε3crsb␈α␈reak␈↓ β∀␈ε#sp␈α␈eci|␈α␈es␈α∞t␈α␈he␈↓ ∧Q␈ε)y␈↓ ∧q␈ε#coo␈α␈rdin␈α␈ate␈α
at␈α
which␈α
a␈α
ta␈α␈l␈α↓l␈α
cha␈α␈racte␈α␈r␈α∞will␈α∞b␈α␈e␈α∞b␈α␈rok␈α}en␈α
in␈α␈to
␈β¬Y␈↓ αP␈ε#t␈α␈wo␈α∞p␈α␈i␈α↓e␈α␈ces␈α∞when␈α∞p␈α␈repa␈α␈ring␈α∞it␈α∂for␈α∞an␈α∞Alph␈α␈aty␈α␈pe␈α∞CRS␈α∞fon␈α}t;␈α⊃th␈α␈e␈α∂u␈α␈pp␈α␈er␈α∞piece
␈βε↓␈↓ αP␈ε#wi␈α↓ll␈α
co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈αr␈α␈aster␈αpo␈α␈si␈α↓tio␈α␈ns␈αfor␈α
r␈α␈o␈α␈ws␈ε7␈α
∃␈↓ π#␈ε)y␈↓ π6␈ε#,␈α
th␈α␈e␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈αpiec␈α␈e␈α
will␈α
co␈α␈n␈α␈tain␈αro␈α}ws
␈βε(␈↓ αP␈ε#<␈↓ α}␈ε)y␈↓ β⊃␈ε#.␈α∩Th␈α␈is␈α
para␈α␈mete␈α␈r␈α∞is␈α
n␈α␈orma␈α␈l␈α↓ly␈α
se␈α␈t␈α∞to␈αan␈α
e␈α␈ssen␈α␈tially␈α
in|␈α␈nite␈α
v␈α␈alue␈α␈,␈α∞which
␈βεP␈↓ αP␈ε#i␈α↓s␈αresto␈α␈red␈αwhe␈α␈n␈αa␈α
c␈α␈ha␈α␈racter␈αis␈α
o␈α␈utp␈α␈ut,␈α
so␈αth␈α␈at␈αno␈αch␈α␈arac␈α␈ters␈αwi␈α↓ll␈α
b␈α␈e␈αbrok␈α}en
␈βεx␈↓ αP␈ε#un␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈αa␈↓ βN␈ε3crsb␈α␈reak␈↓ ∧S␈ε#has␈αb␈α␈een␈α
exp␈α␈li␈α↓c␈α␈i␈α↓tly␈αs␈α␈peci|␈α␈ed.
␈βπ/␈↓ α␈ε3du␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈↓ βE␈ε#(n␈α␈orma␈α␈l␈α↓ly␈α
500␈α␈)␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αc␈α␈har␈α␈acters␈αb␈α␈efore␈α
\␈ε?ET␈α␈C␈ε#"␈α
tha␈α␈t␈αwi␈α↓ll␈αbe
␈βπ<␈↓ εG␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βπV␈↓ αP␈ε#display␈α}ed␈αin␈αerror␈αmessa␈α␈ges␈α
wh␈α␈en␈↓ λ↓␈ε#stop␈α␈s␈α
in␈αthe␈αmidd␈α␈le␈α
o␈α␈f␈α
a␈αsub␈α␈-
␈βπ}␈↓ αP␈ε#rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e.␈αIf␈αy␈α␈o␈α␈u␈αma␈α␈k␈α␈e␈α
an␈α
error␈α
i␈α↓n␈α
a␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine,␈αy␈α}ou␈α
may␈α
n␈α␈eed␈α
to␈αin␈α␈crease
␈βλ&␈↓ αP␈ε#this␈αpa␈α␈rame␈α␈ter␈αi␈α↓n␈α
ord␈α␈er␈αto␈αsee␈α
w␈α↓h␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αerro␈α␈r␈αoccu␈α␈rred␈α␈.
␈βλ]␈↓ α␈ε3du␈α␈mp␈α␈wi␈α↓n␈α␈do␈α}w␈↓ β[␈ε#(no␈α␈rmally␈α
32)␈α
i␈α↓s␈α
the␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞ch␈α␈arac␈α␈ters␈α∞d␈α␈isplay␈α}ed␈α
on
␈β	∧␈↓ αP␈ε#each␈α	line␈α
o␈α␈f␈α
an␈α	erro␈α␈r␈α
messa␈α␈ges␈α	w␈α↓h␈α␈en␈α	iden␈α}tif␈α↓y␈α␈ing␈α	the␈α	curr␈α␈en␈α␈t␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α	l␈α↓o␈α␈cation␈α␈.
␈β	<␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε7h␈ε#con␈α}trol␈αcod␈α␈e␈ε7i␈ε#␈↓ ∧⊗S␈α␈ets␈αa␈α\␈α␈con␈α}trol␈αbit."
␈β	s␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3no␈↓ α:␈ε7h␈ε#con␈α}trol␈αcod␈α␈e␈ε7i␈ε#␈↓ ∧DUn␈α␈sets␈αa␈α\c␈α␈on␈α␈t␈α␈rol␈αbit."
␈β
∩␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
,␈↓ α␈ε#The␈α␈se␈αsta␈α␈temen␈α}ts␈αare␈α
used␈α
to␈α
turn␈α
on␈α
or␈α
turn␈α
o{␈αce␈α␈rtain␈αa␈α␈ction␈α␈s␈αtha␈α␈t
␈β
9␈↓ βq␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
S␈↓ ↓H␈ε#is␈αca␈α␈pa␈α␈ble␈αo␈α␈f␈αdoin␈α␈g.␈↓ ¬*␈ε#ma␈α␈i␈α↓n␈α}tains␈αa␈αso-c␈α␈all␈α↓e␈α␈d␈αco␈α␈n␈α␈tro␈α␈l␈α
w␈α␈o␈α␈rd,␈αa␈αse␈α␈t␈αof␈αb␈α␈i␈α↓ts␈αtha␈α␈t
␈β
{␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈rn␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈αo␈α␈r␈αno␈α␈t␈αcerta␈α␈i␈α↓n␈α
op␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αa␈α␈ctions␈αa␈α␈re␈αtak␈α}en␈α␈;␈αth␈α␈is␈αcon␈α␈t␈α␈rol␈αw␈α␈ord␈αis␈αresto␈α␈red
␈β"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈fter␈αa␈αsub␈α␈rou␈α␈tine␈αca␈α␈l␈α↓l,␈αto␈αth␈α␈e␈αstate␈αit␈αha␈α␈d␈αbe␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈αen␈α}tering␈αth␈α␈e␈αsub␈α␈rou␈α␈tine.␈αInitiall␈α↓y␈α
the
␈βJ␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈its␈α
for␈↓ α9␈ε3mo␈α␈dtrac␈α␈e␈↓ β@␈ε#,␈↓ βS␈ε3pa␈α␈gewa␈α␈rning␈↓ ¬
␈ε#,␈α
and␈↓ ¬]␈ε3p␈α␈en␈α␈reset␈↓ ε↑␈ε#are␈α	turn␈α␈ed␈α	on␈α␈,␈α
all␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈thers␈α	are␈α	o{.␈αHere
␈βX␈↓ 	v␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βr␈↓ ↓H␈ε#is␈α
a␈α
list␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
con␈α}trol␈α
cod␈α␈es␈α
un␈α␈de␈α␈rstood␈α	by␈α	the␈α
p␈α␈resen␈α}t␈α
implem␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
of␈↓ #␈ε#:
␈β∂␈↓ βd␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β)␈↓ α␈ε3eq␈α␈trace␈↓ α}␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬≤␈ε#to␈α
tell␈αy␈α␈o␈α␈u␈αwh␈α␈at␈α
valu␈α␈es␈αa␈α␈re␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α
by␈α
y␈α}our␈α
equ␈α␈ation␈α␈s.
␈βF␈↓ β␈␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β`␈↓ α␈ε3titletrace␈↓ β~␈ε#ca␈α␈use␈α␈s␈↓ ¬7␈ε#to␈α
p␈α␈rin␈α␈t␈α
title␈αsta␈α␈teme␈α␈n␈α␈ts␈α
when␈α
t␈α␈hey␈α
a␈α␈re␈α
enc␈α␈oun␈α}tered␈α␈.
␈β⎇␈↓ βx␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
↔␈↓ α␈ε3ca␈α␈l␈α↓ltrac␈α␈e␈↓ β∩␈ε#c␈α␈ause␈α␈s␈↓ ¬1␈ε#to␈αprin␈α}t␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ame␈αof␈αa␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αa␈α␈nd␈αits␈αpara␈α␈mete␈α␈r
␈β
?␈↓ αP␈ε#valu␈α␈es,␈αw␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈αa␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αis␈αcalled,␈αan␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
to␈αprin␈α}t␈αt␈α␈he␈αn␈α␈ame␈αo␈α␈f␈αa␈α
sub␈α␈-
␈β
g␈↓ αP␈ε#rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αwhen␈α␈ev␈α}er␈αthe␈αc␈α␈all␈αis␈αco␈α␈mplete␈α␈d.
␈β∞∧␈↓ ∧⊂␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β∞≡␈↓ α␈ε3dr␈α␈awtrace␈↓ β)␈ε#ca␈α␈uses␈↓ ¬K␈ε#t␈α␈o␈α
p␈α␈ri␈α↓n␈α}t␈α
o␈α␈ut␈α
n␈α}um␈α␈eric␈α
sp␈α␈eci|c␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈α
t␈α␈he␈αpath␈α␈s␈α
in
␈β∞E␈↓ αP␈ε3draw␈↓ β$␈ε#o␈α␈r␈↓ βL␈ε3dd␈α␈raw␈↓ ∧2␈ε#com␈α␈man␈α␈ds.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧>␈ε>Summary␈αof␈αthe␈αlanguage␈↓ β␈ε"67
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα;␈↓ ∧λ␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βαU␈↓ α␈ε3plo␈α␈ttrace␈↓ β≥␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬E␈ε#to␈α⊂p␈α␈ri␈α↓n␈α}t␈α⊂lots␈α⊂o␈α␈f␈α⊂deta␈α␈i␈α↓led␈α∂info␈α␈rmation␈α␈:␈α∃\␈ε7j␈↓ 
≡␈ε)w␈↓ 
7␈ε7j␈ε#"␈α⊂wh␈α␈en
␈βα⎇␈↓ αP␈ε#gen␈α␈eratin␈α␈g␈α⊂a␈α∂n␈α␈ew␈α⊂p␈α␈en␈α∂of␈α∂size␈↓ ε∩␈ε)w␈↓ ε+␈ε#;␈α∩\(␈↓ εb␈ε)x␈↓ εs␈ε#,␈↓ πα␈ε)y␈↓ π∀␈ε#)␈α↓"␈α∂wh␈α␈en␈α∂plo␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈α∂raster␈α∂p␈α␈oin␈α␈t␈α∂(␈↓ 
e␈ε)x␈↓ 
w␈ε#,␈↓ ε␈ε)y␈↓ _␈ε#);
␈ββ%␈↓ αP␈ε#\(␈↓ αl␈ε)x␈↓ βλ␈ε#:␈↓ β⊃␈ε)x␈↓ β-␈ε#,␈↓ β<␈ε)y␈↓ βO␈ε#)"␈α
wh␈α␈en␈α
p␈α␈l␈α↓o␈α␈tting␈α
a␈α
h␈α␈orizon␈α}tal␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α
of␈α∞r␈α␈aster␈α
po␈α␈in␈α␈ts␈α
from␈α
(␈↓ 
d␈ε)x␈↓ ␈ε#,␈↓ ∂␈ε)y␈↓ !␈ε#)
␈ββ/␈↓ α|␈ε&1␈↓ β!␈ε&2␈↓ 
s␈ε&1
␈ββL␈↓ αP␈ε#to␈α(␈↓ β¬␈ε)x␈↓ β!␈ε#,␈↓ β0␈ε)y␈↓ βB␈ε#);␈α
\(␈↓ β␈␈ε)x␈↓ ∧⊂␈ε#,␈↓ ∧∨␈ε)y␈↓ ∧;␈ε#:␈↓ ∧E␈ε)y␈↓ ∧a␈ε#)"␈αwh␈α␈en␈αplottin␈α␈g␈αa␈αv␈α␈ertica␈α␈l␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈αof␈αraste␈α␈r␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αfrom
␈ββW␈↓ β∀␈ε&2␈↓ ∧/␈ε&1␈↓ ∧T␈ε&2
␈ββt␈↓ αP␈ε#(␈↓ α\␈ε)x␈↓ αm␈ε#,␈↓ α|␈ε)y␈↓ β_␈ε#)␈αto␈α(␈↓ βb␈ε)x␈↓ βs␈ε#,␈↓ ∧α␈ε)y␈↓ ∧∨␈ε#).
␈ββ}␈↓ β␈ε&1␈↓ ∧∩␈ε&2
␈β∧↔␈↓ ∧α␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∧1␈↓ α␈ε3mo␈α␈dtra␈α␈ce␈↓ β≥␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬:␈ε#to␈α
tell␈αy␈α}ou␈α
wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈α
it␈αc␈α␈han␈α␈ged␈α	the␈α
\v␈α}elocities"␈↓ 
v␈ε)r␈↓ ∂␈ε#o␈α␈r
␈β∧Y␈↓ αP␈ε)s␈↓ αi␈ε#when␈α
com␈α␈pu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αcu␈α␈bic␈αcu␈α␈rv␈α␈es␈α␈.
␈β∧|␈↓ βO␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β¬⊗␈↓ α␈ε3pa␈α␈use␈↓ αi␈ε#ca␈α␈uses␈↓ ¬λ␈ε#to␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αe␈α␈ach␈αline␈αof␈αa␈αtext␈α|le␈αtha␈α␈t␈αis␈αbein␈α␈g␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t,␈αjus␈α␈t
␈β¬>␈↓ αP␈ε#befo␈α␈re␈α∞th␈α␈at␈α
li␈α↓n␈α␈e␈α
i␈α↓s␈α
sca␈α␈nn␈α␈ed.␈α∩This␈α
giv␈α␈es␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
a␈α
cha␈α␈nc␈α␈e␈α∞to␈α
ed␈α␈it␈α∞th␈α␈e␈α
l␈α↓in␈α␈e␈α∞b␈α␈efore
␈β¬K␈↓ εp␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β¬e␈↓ αP␈ε#hitting␈↓ β=␈ε7h␈ε#␈α↓c␈α␈arriag␈α␈e-return␈ε7␈α␈i␈↓ ¬,␈ε#,␈αafter␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ λ(␈ε#wi␈α↓ll␈αscan␈α
the␈α
edited␈α
li␈α↓n␈α␈e.␈αIf
␈βε
␈↓ αP␈ε#y␈α␈ou␈αwa␈α␈n␈α␈t␈αto␈α
g␈α␈et␈αout␈αof␈αthis␈αmod␈α␈e,␈α
i␈α↓n␈α␈sert␈α\␈ε3n␈α␈o␈αpau␈α␈se␈ε#;"␈α
on␈αth␈α␈e␈αl␈α↓in␈α␈e␈α
a␈α␈s␈α
y␈α}ou␈αare
␈βε4␈↓ αP␈ε#editing␈α
i␈α↓t.
␈βεX␈↓ ∧.␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βεr␈↓ α␈ε3dr␈α␈awdisp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈↓ βH␈ε#c␈α␈au␈α␈ses␈↓ ¬g␈ε#to␈αdisplay␈αth␈α␈e␈αra␈α␈ster␈αa␈α␈f␈α↓t␈α␈er␈αco␈α␈mpletin␈α␈g␈αea␈α␈ch␈↓ 
d␈ε3dra␈α␈w
␈βπ→␈↓ αP␈ε#or␈↓ αx␈ε3dd␈α␈raw␈↓ β]␈ε#co␈α␈mma␈α␈nd␈α␈.␈α↔(The␈α
p␈α␈resen␈α}t␈α
i␈α↓m␈α␈plemen␈α}tation␈α	allo␈α␈ws␈α
this␈α
o␈α␈nly␈α
wh␈α␈en␈α
y␈α}ou
␈βπ'␈↓ ∧∧␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βπA␈↓ αP␈ε#are␈αru␈α␈nn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ¬<␈ε#f␈α↓ro␈α␈m␈αa␈αDa␈α␈tad␈α␈i␈α↓sc␈αte␈α␈rmina␈α␈l␈α↓.)
␈βπd␈↓ ∧*␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βπ}␈↓ α␈ε3ch␈α␈ard␈α␈i␈α↓sp␈α␈lay␈↓ βA␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬f␈ε#to␈α∞displa␈α␈y␈α∞the␈α∞raste␈α␈r␈α∂afte␈α␈r␈α∂co␈α␈mpletin␈α␈g␈α∂e␈α␈ach␈α∞sec␈α␈-
␈βλ&␈↓ αP␈ε#ti␈α↓o␈α␈n.␈α∨(T␈α↓h␈α␈e␈α∞pre␈α␈sen␈α␈t␈α∞imp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈ation␈α∞a␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞o␈α␈nly␈α∞wh␈α␈en␈α∞y␈α␈o␈α␈u␈α∞are␈α∞ru␈α␈nn␈α␈ing
␈βλ3␈↓ αP␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈βλM␈↓ ∧	␈ε#from␈αa␈α
Data␈α␈disc␈αtermin␈α␈al.)
␈βλq␈↓ ∧7␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β	␈↓ α␈ε3pa␈α␈gewa␈α␈rning␈↓ βP␈ε#ca␈α␈use␈α␈s␈↓ ¬q␈ε#to␈αgiv␈α}e␈α
a␈αwarn␈α␈ing␈αmess␈α␈age␈αwhe␈α␈nev␈α}er␈α
a␈α|␈α␈l␈α↓e␈αp␈α␈age
␈β	2␈↓ αP␈ε#end␈α␈s␈αi␈α↓n␈α␈side␈αa␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αor␈αa␈α
section␈α
con␈α␈t␈α␈aining␈α
a␈αtitl␈α↓e␈α
statem␈α␈en␈α␈t.
␈β	V␈↓ β{␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β	p␈↓ α␈ε3pe␈α␈nrese␈α␈t␈↓ β∩␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬6␈ε#to␈α∞u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞cu␈α␈rren␈α␈t␈α∞p␈α␈en␈α
when␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α∞a␈α∞su␈α␈bro␈α␈utine
␈β
↔␈↓ αP␈ε#call␈αb␈α␈eg␈α␈i␈α↓n␈α␈s.
␈β
;␈↓ ∧∀␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
U␈↓ α␈ε3pr␈α␈oofmo␈α␈de␈↓ β0␈ε#c␈α␈au␈α␈ses␈↓ ¬K␈ε#to␈α
ou␈α␈tpu␈α␈t␈α
a␈α	|le␈α
of␈α
p␈α␈roo␈α␈fsheet␈α␈s␈α
con␈α}tainin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
raste␈α␈r
␈β
|␈↓ αP␈ε#i␈α↓m␈α␈ages␈α
of␈αea␈α␈ch␈α
ch␈α␈aract␈α␈er␈αfor␈α
which␈α
pro␈α␈ofmod␈α␈e␈αwa␈α␈s␈αin␈α
e{␈α↓e␈α␈ct␈αa␈α␈t␈αthe␈α
en␈α␈d␈αo␈α␈f␈αthe
␈β$␈↓ αP␈ε#section␈α␈.␈α∞Thes␈α␈e␈αpro␈α␈of␈α|␈α␈gure␈α␈s␈αcon␈α}tain␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αl␈α↓a␈α␈bels␈αfor␈αall␈αpoin␈α}ts␈αtha␈α␈t␈αl␈α↓ie␈αin␈αthe
␈βK␈↓ αP␈ε#\act␈α␈i␈α↓v␈α}e"␈α
rec␈α␈tang␈α␈le,␈αi.e.,␈αin␈α
th␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
re␈α␈ctan␈α␈gle␈α
con␈α}tain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
all␈α
pix␈α␈e␈α␈l␈α↓s␈α
a␈α␈{␈α↓e␈α␈cted
␈βs␈↓ αP␈ε#by␈αthe␈↓ β=␈ε3d␈α␈raw␈↓ ∧∩␈ε#a␈α␈nd␈↓ ∧T␈ε3d␈α␈draw␈↓ ¬;␈ε#com␈α␈man␈α␈ds␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈urren␈α}t␈α
ch␈α␈ara␈α␈cter,␈α
pr␈α␈o␈α␈vid␈α␈ed␈αtha␈α␈t
␈β≠␈↓ αP␈ε#the␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α∞b␈α␈eca␈α␈me␈α∞k␈α␈no␈α}wn␈α
when␈↓ ε1␈ε3p␈α␈roofm␈α␈ode␈↓ πX␈ε#was␈α
on␈α␈.␈α∪Th␈α␈u␈α␈s␈α∞y␈α}ou␈α
ca␈α␈n␈α
sup␈α␈pres␈α␈s
␈βB␈↓ αP␈ε#all␈αthe␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αa␈α␈nd␈αlab␈α␈els␈αif␈αy␈α}ou␈αturn␈αo␈α␈{␈↓ π⊗␈ε3proo␈α␈fmod␈α␈e␈↓ λ<␈ε#u␈α␈n␈α␈til␈αju␈α␈st␈αb␈α␈efore␈α|n␈α␈i␈α↓sh␈α␈ing
␈βj␈↓ αP␈ε#the␈α∂s␈α␈ection␈α␈.␈α!(A␈α∂po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∂b␈α␈ecom␈α␈es␈α∂kn␈α␈o␈α␈wn␈α∞when␈α∞b␈α␈oth␈α∞i␈α↓ts␈↓ λz␈ε)x␈↓ 	␈ε#-␈α∂a␈α␈nd␈↓ 	j␈ε)y␈↓ 	⎇␈ε#-co␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s
␈β
⊃␈↓ αP␈ε#are␈αkn␈α␈o␈α␈wn;␈α
i␈α↓f␈↓ ∧ ␈ε3pro␈α␈ofmod␈α␈e␈↓ ¬G␈ε#is␈αon␈αat␈αtha␈α␈t␈α
mo␈α␈men␈α␈t,␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈oin␈α␈t's␈αl␈α↓o␈α␈cation␈α(␈↓ 
L␈ε)x␈↓ 
]␈ε#,␈↓ 
l␈ε)y␈↓ 
␈␈ε#)␈αis
␈β
9␈↓ αP␈ε#record␈α␈ed␈αλfo␈α␈r␈α	p␈α␈roo|␈α␈ng␈α␈,␈α	after␈αλmo␈α␈difying␈αλ(␈↓ π↓␈ε)x␈↓ π∩␈ε#,␈↓ π!␈ε)y␈↓ π3␈ε#)␈α	b␈α␈y␈αλthe␈αλtra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈απpara␈α␈meter␈α␈s
␈β
a␈↓ αP␈ε3trxx␈↓ β~␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βL␈ε3i␈α↓n␈α␈cy␈↓ ∧∃␈ε#c␈α␈urren␈α}tly␈αin␈αfor␈α␈ce␈αan␈α␈d␈αrou␈α␈nd␈α␈ing␈αt␈α␈o␈αthe␈αn␈α␈ear␈α␈est␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r.␈α↓)
␈β∞∧␈↓ βs␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∞≡␈↓ α␈ε3fn␈α␈tm␈α␈ode␈↓ β∞␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬,␈ε#to␈α
ou␈α␈tpu␈α␈t␈αa␈α
|le␈α
of␈αfon␈α}t␈αimag␈α␈es␈αin␈α
the␈α
forma␈α␈t␈αreq␈α␈uired
␈β∞E␈↓ αP␈ε#by␈αth␈α␈e␈αX␈α␈GP␈αhar␈α␈dware␈αa␈α␈nd␈α
soft␈α␈ware␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"68␈↓ ε)␈ε>Chapter␈α9
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ βs␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βαV␈↓ α␈ε3crsm␈α␈ode␈↓ β
␈ε#cau␈α␈ses␈↓ ¬+␈ε#to␈α
out␈α␈pu␈α␈t␈αa␈α|␈α␈le␈αof␈αfo␈α␈n␈α␈t␈αima␈α␈ges␈αin␈α
the␈α
forma␈α␈t␈αreq␈α␈uired
␈βα}␈↓ αP␈ε#by␈απth␈α␈e␈αλAlp␈α␈haty␈α␈pe␈απCRS␈απh␈α␈ard␈α␈ware␈απan␈α␈d␈απsoft␈α␈ware␈α␈.␈αIt␈απis␈αλillegal␈απto␈απuse␈απbo␈α␈th␈↓ 
5␈ε3fn␈α␈tm␈α␈ode
␈ββ%␈↓ αP␈ε#and␈↓ β⊂␈ε3crsmo␈α␈de␈↓ ∧⊃␈ε#in␈α
th␈α␈e␈α
sam␈α␈e␈α
pro␈α␈gram␈α␈;␈αan␈α␈d␈α
it␈α
is␈α
also␈α
ridicu␈α␈lous␈α
to␈α	do␈α
so␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈α
the
␈ββM␈↓ αP␈ε#CRS␈αh␈α␈as␈αmor␈α␈e␈αtha␈α␈n␈α26␈α
ti␈α↓m␈α␈es␈αthe␈αre␈α␈solution␈α
of␈αthe␈α
XG␈α␈P␈α↓.
␈ββk␈↓ β␈␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∧¬␈↓ α␈ε3ch␈α␈rmod␈α␈e␈↓ β⊗␈ε#ca␈α␈uses␈↓ ¬:␈ε#to␈α∞o␈α␈utp␈α␈ut␈α∞a␈α
text␈α∞|␈α␈le␈α∞of␈α∞fon␈α}t␈α∞imag␈α␈es␈α∞in␈α∞th␈α␈e␈α∞form␈α∞o␈α␈f
␈β∧-␈↓ αP␈ε#asterisk␈α␈s,␈α∂d␈α␈ots,␈α∞an␈α␈d␈α
spa␈α␈ces.␈α≡(Su␈α␈ch␈α
|les␈α
can␈α
b␈α␈e␈α
edited␈α
with␈α
th␈α␈e␈α∞sy␈α␈stem␈α
tex␈α␈t
␈β∧U␈↓ αP␈ε#editor,␈αan␈α␈d␈αthere␈αa␈α␈re␈αa␈α␈ux␈α␈il␈α↓iary␈α
prog␈α␈rams␈αto␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rt␈αfo␈α␈n␈α␈t␈α|les␈αi␈α↓n␈α}to␈αan␈α␈d␈αou␈α␈t␈αo␈α␈f
␈β∧|␈↓ αP␈ε#this␈αtex␈α␈t␈αfo␈α␈rmat.)
␈β¬≠␈↓ β|␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β¬5␈↓ α␈ε3tfxm␈α␈od␈α␈e␈↓ β∪␈ε#ca␈α␈uses␈↓ ¬9␈ε#to␈α∞ou␈α␈tpu␈α␈t␈α∂a␈α∞|le␈α∞of␈α∂info␈α␈rmation␈α∞th␈α␈at␈↓ 	↑␈ε#T␈↓ 	␈␈ε#X␈↓ 
%␈ε#need␈α␈s␈α∂fo␈α␈r
␈β¬;␈↓ 	o␈ε#E
␈β¬\␈↓ αP␈ε#typ␈α␈esetting␈α
when␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αi␈α↓t␈αu␈α␈ses␈αa␈αfon␈α}t.
␈βε$␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3va␈α␈rch␈α␈ar␈↓ α{␈ε7h␈ε#ex␈α␈pressio␈α␈n␈αli␈α↓st␈ε7␈α␈i␈ε#␈↓ ¬!Sp␈α␈eci|e␈α␈s␈αa␈αbu␈α␈il␈α↓t-u␈α␈p␈αch␈α␈ara␈α␈cter.
␈βε\␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3ch␈α␈arlist␈↓ αw␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈α
l␈α↓ist␈ε7i␈ε#␈↓ ¬≥Sp␈α␈eci|es␈αa␈α
series␈αof␈αch␈α␈arac␈α␈ters.
␈βπ∀␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3tex␈α␈i␈α↓n␈α␈fo␈↓ αr␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈αlist␈ε7i␈ε#␈↓ ¬_S␈α␈peci|␈α␈es␈↓ ε≥␈ε#T␈↓ ε>␈ε#X␈↓ εa␈ε#fon␈α␈t␈αp␈α␈ara␈α␈meters.
␈βπ≠␈↓ ε/␈ε#E
␈βπM␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3li␈α↓g␈↓ α:␈ε7h␈ε#l␈α↓ig␈αin␈α␈struct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αli␈α↓s␈α␈t␈ε7i␈ε#␈↓ ¬⊗Sp␈α␈eci|␈α␈es␈αl␈α↓ig␈α␈ature␈α␈/k␈α␈e␈α␈rning␈α
i␈α↓n␈α␈form␈α␈ation␈α␈.
␈βλ¬␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈ese␈απfou␈α␈r␈απkin␈α␈ds␈απof␈απstate␈α␈men␈α}ts␈απare␈απrelev␈α␈an␈α␈t␈απfo␈α␈r␈↓ εb␈ε3t␈α␈f␈α↓x␈α␈mo␈α␈de␈↓ πa␈ε#on␈α␈ly,␈αλsince␈αεthey␈αεpro␈α␈v␈α␈ide␈απd␈α␈etailed
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αto␈↓ β&␈ε#T␈↓ βG␈ε#X␈↓ β←␈ε#.␈αS␈α␈ee␈αApp␈α␈end␈α␈ix␈αF␈αfor␈αa␈αd␈α␈etailed␈αe␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈na␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈βλ3␈↓ β7␈ε#E
␈βλe␈↓ ↓p␈ε7∂␈↓ α␈ε3in␈α␈v␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈↓ β∞␈ε7h␈ε#␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈↓ ∧<␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αh␈ε#␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈↓ ε	␈ε7i␈ε#␈↓ εWPreem␈α␈pts␈αa␈αlab␈α␈el␈αpo␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈βλp␈↓ ∧/␈ε&1␈↓ ¬|␈ε&2
␈β	β␈↓ 	)␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β	≥␈↓ ↓H␈ε#(Ig␈α␈nore␈α␈d␈αλex␈α␈ce␈α␈pt␈αλi␈α↓n␈↓ βS␈ε3p␈α␈roo␈α␈f␈α↓m␈α␈od␈α␈e␈↓ ∧l␈ε#.)␈α∪The␈αλco␈α␈mman␈α␈d␈αλ\␈↓ ε{␈ε3in␈α␈v␈α␈isi␈α↓b␈α␈le␈↓ π{␈ε)x␈↓ λ␈ε#,␈↓ λ≠␈ε)y␈↓ λ-␈ε#"␈αλmak␈α}es␈↓ 
←␈ε#th␈α␈ink
␈β	E␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α∞a␈α∞po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∂with␈α∞co␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s␈α∂(␈↓ ¬→␈ε)x␈↓ ¬*␈ε#,␈↓ ¬9␈ε)y␈↓ ¬L␈ε#)␈α∞is␈α∂g␈α␈oing␈α∞to␈α∞b␈α␈e␈α∂lab␈α␈eled␈α␈,␈α⊂while␈α∞in␈α∞f␈α↓a␈α␈ct␈α∞i␈α↓t␈α∞ma␈α␈y␈α∞no␈α␈t
␈β	S␈↓ ∧b␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β	m␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e.␈αTh␈α␈e␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈αis␈αto␈αcau␈α␈se␈↓ ε≠␈ε#to␈αch␈α␈oo␈α␈se␈αa␈α
nicer␈αpla␈α␈ce␈αfor␈αoth␈α␈er␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αlab␈α␈els,
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#sin␈α␈ce␈α
th␈α␈ey␈α
will␈α
no␈α␈w␈α
a␈α␈v␈α␈oid␈α	the␈α
v␈α␈icinity␈α
o␈α␈f␈α
(␈↓ ε ␈ε)x␈↓ ε1␈ε#,␈↓ ε@␈ε)y␈↓ εR␈ε#),␈αth␈α␈ereb␈α␈y␈α
sp␈α␈ruc␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
u␈α␈p␈α
p␈α␈roof␈α
m␈α␈ode␈α	out␈α␈pu␈α␈t
␈β
<␈↓ ↓H␈ε#in␈αcerta␈α␈in␈α
c␈α␈ases.␈α⊂For␈αexa␈α␈mple,␈α
Fi␈α↓g␈α␈.␈↓ ¬W␈ε#2↑␈α␈3␈↓ ε⊗␈ε#o␈α␈f␈α
this␈α
m␈α␈an␈α␈u␈α␈al␈α
wa␈α␈s␈α
pr␈α␈odu␈α␈ced␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α\␈↓ 
5␈ε3in␈α␈v␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e
␈β
c␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓d␈ε#,␈↓ ↓r␈ε)y␈↓ α∀␈ε#+␈α¬1;␈↓ α↑␈ε3in␈α␈v␈α␈isi␈α↓b␈α␈le␈↓ β↑␈ε)x␈↓ β{␈ε#,␈↓ ∧	␈ε)y␈↓ ∧+␈ε#+␈α¬1;"␈α	this␈α	k␈α␈ep␈α␈t␈α	the␈α	lab␈α␈els␈α
1␈α	a␈α␈nd␈α	2␈α	fro␈α␈m␈α	ap␈α␈pea␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α	ab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α␈s
␈β
n␈↓ ↓W␈ε&1␈↓ αα␈ε&1␈↓ βn␈ε&2␈↓ ∧→␈ε&2
␈β
q␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β␈↓ ↓H␈ε#1␈αλan␈α␈d␈α	2␈α␈,␈α
whe␈α␈re␈α	th␈α␈ey␈α	w␈α␈o␈α␈uld␈α	h␈α␈av␈α}e␈α	in␈α␈terfer␈α␈ed␈α	with␈αλthe␈α	illustra␈α␈tion.␈α
In␈α	g␈α␈ener␈α␈al,
␈β3␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈laces␈αl␈α↓a␈α␈bels␈α
o␈α␈n␈αpoin␈α}ts␈α
by␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
a␈αfairly␈αsi␈α↓m␈α␈ple-mind␈α␈ed␈αsch␈α␈eme:␈α∞F␈α↓ro␈α␈m␈α
to␈α␈p␈α
to␈αb␈α␈ottom
␈βZ␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αto␈αleft,␈αthe␈αlab␈α␈el␈αi␈α↓s␈αp␈α␈ut␈αeith␈α␈er␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈in␈α␈t,␈αor␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈ft,␈αor␈αto␈α
the␈αrigh␈α}t,
␈βα␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈αb␈α␈elo␈α␈w,␈αor␈αo␈α␈{␈αi␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αrigh␈α}t␈αma␈α␈rgin,␈αwh␈α␈ichev␈α}er␈αo␈α␈f␈αth␈α␈ese␈αp␈α␈ossibilities␈αis␈α|␈α␈rst␈αfou␈α␈nd␈α
to␈α
be
␈β)␈↓ ↓H␈ε#fea␈α␈sible␈α(with␈αresp␈α␈ect␈αto␈αth␈α␈e␈αs␈α␈et␈αo␈α␈f␈αall␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αto␈αb␈α␈e␈αlab␈α␈eled␈α␈,␈αall␈αin␈α␈visib␈α␈l␈α↓e␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts,␈αan␈α␈d␈αall
␈βQ␈↓ ↓H␈ε#lab␈α␈els␈αplac␈α␈ed␈αso␈αfar).␈αNote␈αth␈α␈at␈αthe␈αlab␈α␈el␈αpo␈α␈si␈α↓tion␈α␈s␈αdo␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈epen␈α␈d␈αo␈α␈n␈αthe␈αra␈α␈ster␈αimag␈α␈e,
␈βy␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nly␈αo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αl␈α↓o␈α␈catio␈α␈ns␈αof␈αth␈α␈e␈αvisible␈αa␈α␈nd␈αin␈α}visible␈αpo␈α␈in␈α␈ts.
␈β
*␈↓ ¬0␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
A␈↓ α␈ε"That␈αcompletes␈αthe␈αlist␈αof␈↓ ε⎇␈ε"statemen␈α␈ts.␈αYou␈αmigh␈α␈t␈αw␈α␈onder␈αwh␈α␈y
␈β
l␈↓ ↓H␈ε2input␈↓ α)␈ε"was␈αnot␈α
in␈α
this␈α
list,␈α
since␈↓ ¬B␈ε2input␈↓ ε#␈ε"was␈α
used␈α
sev␈α␈eral␈α
times␈α
in␈α
the␈α
example␈αof
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α4.␈αThe␈αreason␈αis,␈↓ ∧e␈ε2input␈↓ ¬E␈ε"is␈αnot␈αo}cially␈αpart␈αof␈αa␈ε6␈αh␈ε"statemen␈α␈t␈ε6i␈ε";␈αit␈αhas␈αthe
␈β∞+␈↓ ∧λ␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"e{ect␈αof␈α
redirecting␈↓ ¬H␈ε"'s␈α
ey␈α␈es␈α
to␈αa␈α
di{eren␈α␈t␈α
|le,␈α
ev␈α␈en␈αin␈α
the␈α
middle␈αof
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"69
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"some␈αother␈αstatemen␈α␈t.␈αChapter␈α4␈αused␈αthe␈αconstruction
␈ββ/␈↓ ¬2␈ε2input␈↓ ε∩␈ε6h␈ε"|le␈αname␈ε6i␈↓ π8␈ε";
␈ββt␈↓ ε∂␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈AF␈α⎇ONT
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"but␈α	this␈α
semicolon␈α	was␈α	unnecessary←␈↓ πZ␈ε"just␈α	ex␈α␈ecuted␈α
a␈α	n␈α␈ull␈α	statemen␈α␈t
␈β∧∨␈↓ 
?␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε"after␈αthe␈αinput␈αwas␈α
complete.␈αA␈ε6␈α
h␈ε"|le␈αname␈ε6i␈ε"␈αin␈αthe␈α
curren␈α␈t␈αimplemen␈α␈t␈αof␈↓  ␈ε"-
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε<F␈α⎇ONT
␈β∧a␈↓ α2␈ε"is␈αan␈α␈y␈αsequence␈αof␈αletters,␈αdigits,␈αperiods,␈αand/or␈αbrack␈α␈ets,␈αso␈αa␈αsemicolon
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"is␈α
one␈α
way␈αto␈α
terminate␈αa␈α
|le␈α
name␈αspeci|cation.␈αAnother␈αway␈α
is␈α
to␈αtype␈α
a␈α
space
␈β¬8␈↓ ↓H␈ε"or␈αa␈↓ α∩␈ε6h␈ε"carriage-return␈ε6i␈↓ ∧∀␈ε".
␈β¬N␈↓ βq␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β¬e␈↓ α␈ε"So␈α
that's␈αho␈α␈w␈↓ ¬>␈ε"gets␈α
input;␈αho␈α␈w␈α
does␈α
it␈αdecide␈α
where␈αto␈α
put␈αthe
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε"output?␈α∀Answ␈α␈er:␈α∩It␈α∂chooses␈α∂an␈α∂output␈α∂|le␈α∂name␈α∂as␈α∂explained␈α∂belo␈α␈w,␈α⊂and␈α∞uses
␈βε;␈↓ ↓H␈ε"the␈α
respectiv␈α␈e␈α∞extensions␈ε5␈α∞.F␈α␈NT␈ε",␈ε5␈α∞.␈α␈ANT␈ε"␈α␈,␈ε5␈α∞.XG␈α␈P␈ε",␈ε5␈α∞.␈α␈CHR␈ε",␈ε5␈α
.TF␈α␈X␈ε"␈α∞for␈α∞output␈α
produced
␈βεf␈↓ ↓H␈ε"by␈↓ ↓}␈ε2fn␈α␈tmode␈↓ α␈␈ε",␈↓ β_␈ε2crsmode␈↓ ∧_␈ε",␈↓ ∧2␈ε2proofmode␈↓ ¬X␈ε",␈↓ ¬q␈ε2chrmode␈↓ εw␈ε",␈↓ π⊂␈ε2tfxmode␈↓ λ∩␈ε".␈α∀The␈α∂output␈α∞|le␈α∂name␈α∞is
␈βεz␈↓ εb␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε"the␈αname␈αof␈αthe␈α|rst␈α|le␈αy␈α␈ou␈↓ ¬⊂␈ε2input␈↓ ¬d␈ε",␈αunless␈↓ λ-␈ε"has␈αto␈αoutput␈αsomething
␈βπ=␈↓ ↓H␈ε"before␈α∞there␈α∞has␈α∂been␈α∞an␈α␈y␈α∞input␈α∞from␈α∂a␈α∞|le.␈α∪In␈α∞the␈α∂latter␈α∞case,␈α∂the␈α∞output␈α∞|le
␈βπh␈↓ ↓H␈ε"name␈αis␈α\␈ε5m␈α␈fpu␈α␈t␈ε"".
␈βλ␈␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈10>␈α
Re␈α␈co␈α␈v␈α␈e␈α␈ry␈α
f␈α↓r␈α␈om␈α
er␈α␈ror␈α␈s
␈β	 ␈↓ ε=␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ON␈α␈T
␈β	7␈↓ ↓H␈ε"OK,␈α	ev␈α␈erything␈αλy␈α␈ou␈α	need␈α	to␈α	kno␈α␈w␈α	about␈↓ λπ␈ε"has␈α	been␈αλexplained←unless
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou␈αhappen␈αto␈αbe␈αfallible.
␈β
∂␈↓ α␈ε"If␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂don't␈α⊃plan␈α⊂to␈α⊂mak␈α␈e␈α⊂an␈α␈y␈α⊂errors,␈α∩don't␈α⊂bother␈α⊂to␈α⊂read␈α⊂this␈α⊂chapter.
␈β
#␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
:␈↓ ↓H␈ε"Otherwise␈α	y␈α␈ou␈α	migh␈α␈t␈α
|nd␈α	it␈α	helpful␈α
to␈α	mak␈α␈e␈α
use␈α	of␈α	some␈α
of␈α	the␈α	ways
␈β
e␈↓ ↓H␈ε"tries␈αto␈αpinpoin␈α␈t␈αbugs␈αin␈αy␈α␈our␈αroutines.
␈β∩␈↓ α␈ε"In␈α
the␈α∞trial␈α
runs␈α
y␈α␈ou␈α
did␈α
when␈α∞reading␈α
Chapter␈α
4,␈α∞y␈α␈ou␈α
learned␈α
the␈α
general
␈β>␈↓ ↓H␈ε"form␈α	of␈α	error␈α	messages,␈α	and␈α	y␈α␈ou␈α	also␈α	learned␈α	the␈α	various␈α	ways␈α	y␈α␈ou␈α	can␈α	respond␈α	to
␈βR␈↓ ↓H␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}O␈α␈NT
␈βi␈↓ βλ␈ε"'s␈αcomplain␈α␈ts.␈αWith␈αpractice,␈αy␈α␈ou␈αwill␈αbe␈αable␈αto␈αcorrect␈αmost␈αerrors
␈β⎇␈↓ ∧~␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"\on␈αline,"␈α
as␈α
soon␈α
as␈↓ ¬g␈ε"has␈α
detected␈α
them,␈α
by␈α
inserting␈α
and␈αdeleting
␈β?␈↓ ↓H␈ε"a␈αfew␈αthings.␈αOn␈αthe␈αother␈αhand,␈αsome␈αerrors␈αare␈αmore␈αdevastating␈αthan␈αothers;
␈βj␈↓ ↓H␈ε"one␈α
error␈α∞migh␈α␈t␈α
cause␈α∞some␈α
other␈α∞perfectly␈α
valid␈α∞construction␈α
to␈α
be␈α∞loused␈α
up.
␈β␈␈↓ β(␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"Furthermore,␈↓ ∧w␈ε"doesn't␈α∞always␈α∞diagnose␈α∞y␈α␈our␈α∞errors␈α∞correctly,␈α∞since
␈β
*␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞ways␈α
to␈α∞misunderstand␈α
the␈α∞rules␈α∞is␈α
vast,␈α∞and␈α∞since
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞a␈α∂rather␈α∞simple-minded␈α∂computer␈α∞program␈α∂that␈α∞doesn't␈α∂readily␈α∞comprehend
␈β∞␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β∞↔␈↓ ↓H␈ε"what␈αy␈α␈ou␈α
hav␈α␈e␈αin␈α
mind.␈α∞In␈αfact,␈α
there␈αwill␈α
be␈αtimes␈α
when␈α
y␈α␈ou␈αand
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε"disagree␈α
about␈α
something␈α
that␈α
y␈α␈ou␈α
feel␈α
mak␈α␈es␈αperfectly␈α
good␈α
sense.␈αThis␈α
chapter
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"70␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ 	T␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βαS␈↓ ↓H␈ε"tries␈αto␈α
help␈αav␈α␈oid␈α
a␈α
breakdo␈α␈wn␈αin␈α
comm␈α␈unication␈αby␈α
presen␈α␈ting␈↓ ∀␈ε"'s
␈βα}␈↓ ↓H␈ε"viewpoin␈α␈t␈α
in␈α	some␈α
detail.␈αThough␈α
it␈α
may␈α	seem␈α
lik␈α␈e␈α
madness,␈αthere's␈α
method␈α	in't.
␈ββ+␈↓ α␈ε"By␈α
looking␈α
at␈α
the␈α
input␈α
con␈α␈text␈α
that␈α	follo␈α␈ws␈α
an␈α
error␈α
message,␈αy␈α␈ou␈α
can␈α	often
␈ββ?␈↓ αX␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈ββV␈↓ ↓H␈ε"tell␈αλwhat␈↓ ∧!␈ε"w␈α␈ould␈αλread␈αλnext␈αλif␈αλy␈α␈ou␈αλw␈α␈ere␈αλto␈αλproceed␈αλby␈αλhitting␈ε6␈αλh␈ε"carriage-
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε"return␈ε6i␈ε".␈α∃For␈α⊂example,␈α⊂here␈α∂is␈α∂a␈α⊂sligh␈α␈tly␈α∂more␈α∂complex␈α⊂error␈α∂message␈α∂than␈α∂w␈α␈e
␈β∧-␈↓ ↓H␈ε"encoun␈α␈tered␈αin␈αChapter␈α4,␈αsince␈αit␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αa␈αsubroutine␈αcall:
␈β∧␈␈↓ αT␈ε5!␈α∀Ex␈α␈tra␈α∀cod␈α␈e␈α∃a␈α␈t␈α∃e␈α␈nd␈α∃o␈α␈f␈α∃c␈α␈omm␈α␈and␈α∀wil␈α␈l␈α∃b␈α␈e␈α∃fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈β¬*␈↓ αT␈ε5<␈α␈sub␈α␈rou␈α␈tine␈α␈>␈α∃d␈α␈ot:␈α∀x1␈α∀=␈α∃y␈α␈1␈α∃=␈α∀a;␈α∀cpe␈α␈n␈α∃w␈α␈3
␈β¬U␈↓ λ{␈ε5dr␈α␈aw␈α∀1.
␈βε␈↓ αT␈ε5p␈α␈.3,␈α␈l.9␈α∀cal␈α␈l␈α∃d␈α␈ot;
␈βε,␈↓ ¬H␈ε5new␈α∀a;
␈βεW␈↓ αT␈ε5↑
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε"In␈α	this␈α
case␈α
the␈α
error␈α
has␈α	occurred␈α
in␈α
the␈α
middle␈α	of␈α
subroutine␈↓ 	
␈ε/dot␈↓ 	E␈ε",␈α
where␈α
a␈α	semi-
␈βπF␈↓ 	l␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈βπ]␈↓ ↓H␈ε"colon␈α
was␈αforgotten␈αafter␈αthe␈αpen␈αname␈↓ ε8␈ε2cpen␈↓ π␈ε".␈αThe␈αnext␈αtok␈α␈ens␈αthat
␈βλλ␈↓ ↓H␈ε"will␈α∂read␈α∂are␈α∂\␈↓ β3␈ε2draw␈↓ ∧↓␈ε""␈α∂and␈α∂\1"␈α∂and␈α∂then␈α∂the␈α∂period␈α∞ending␈α∂the␈α∂subroutine␈α∂call,
␈βλ≤␈↓ βπ␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈βλ3␈↓ ↓H␈ε"after␈αwhich␈↓ ∧U␈ε"will␈α
read␈α\␈↓ ¬|␈ε2new␈↓ εG␈ε(a␈↓ εY␈ε";"␈α
and␈α
proceed␈α
to␈α
line␈α10␈α
of␈α
page␈α
3␈αof
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε"the␈α
curren␈α␈t␈αinput␈α
|le.␈αEach␈α
pair␈αof␈α
lines␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α\␈ε5!␈ε""␈αline␈αand␈α
the␈α\␈ε5↑␈ε"␈α␈"␈αline␈α
of
␈βλr␈↓ ¬*␈ε<M␈α↓E␈α}T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β		␈↓ ↓H␈ε"an␈αerror␈αmessage␈αsho␈α␈ws␈αwhere␈↓ εw␈ε"is␈αcurren␈α␈tly␈αreading␈αat␈αsome␈αlev␈α␈el␈αof
␈β	5␈↓ ↓H␈ε"input;␈α
in␈α
this␈α
example␈α	there␈α
are␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
lev␈α␈els,␈α
one␈α
in␈α	the␈α
subroutine␈α
and␈α
one␈α	outside
␈β	`␈↓ ↓H␈ε"in␈αpage␈α3␈αof␈αthe␈α|le.
␈β
␈↓ α␈ε"The␈αbest␈αway␈αto␈αproceed␈αafter␈αthis␈αparticular␈αerror␈αis␈αto␈αtype␈α\␈ε5i␈ε""␈α(for␈αinser-
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"tion),␈α⊂then␈α∂(after␈α∂getting␈α∂prompted␈α∂by␈α⊂\␈ε5*␈ε"␈α␈")␈α∂to␈α⊂type␈α∂\␈ε5;␈α∀w3␈ε"".␈α∃This␈α∂inserts␈α∂the
␈β
L␈↓ λD␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"missing␈αsemicolon␈αand␈αreinserts␈αthe␈↓ ¬{␈ε(w␈↓ ε,␈ε"speci|cation␈αthat␈↓ 
∂␈ε"is␈α⎇ushing
␈β
p␈↓ ε∩␈ε%3
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"away,␈α
so␈αthat␈α
the␈α
program␈αwill␈α
proceed␈α
as␈αif␈α
no␈α
error␈αhad␈α
occurred.␈αIn␈αgeneral,␈α
it
␈β9␈↓ ↓H␈ε"is␈α	usually␈α	wise␈α
to␈α	reco␈α␈v␈α␈er␈α	from␈α	errors␈α
that␈α	say␈α	\␈ε5com␈α␈mand␈α∀fl␈α␈ush␈α␈ed␈ε""␈α	by␈α	inserting
␈βd␈↓ ↓H␈ε"a␈α	semicolon␈α	and␈α
as␈α	man␈α␈y␈α	tok␈α␈ens␈α	as␈α
needed␈α	to␈α	pro␈α␈vide␈α
the␈α	desired␈α	next␈α	statemen␈α␈t,
␈βy␈↓ εQ␈ε<ME␈α␈T␈α}AF␈α}ON␈α␈T
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"after␈αdeleting␈αan␈α␈y␈αtok␈α␈ens␈αy␈α␈ou␈αdon't␈αwish␈↓ λ≥␈ε"to␈αread.
␈β%␈↓ π(␈ε<ME␈α␈T␈α␈A␈α␈F␈α}ONT
␈β<␈↓ α␈ε"You␈α
can␈αget␈α
more␈α
information␈αabout␈α
what␈↓ λs␈ε"thinks␈αit␈α
is␈α
doing␈α
by
␈βg␈↓ ↓H␈ε"enabling␈αεthe␈αεvarious␈απkinds␈αεof␈απtracing␈αεmen␈α␈tioned␈απin␈αεChapter␈αε9␈απ(␈↓ λq␈ε2calltrace␈↓ 	u␈ε",␈↓ 
ε␈ε2drawtrace␈↓ "␈ε",
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε2eqtrace␈↓ α8␈ε",␈αetc.).
␈β
4␈↓ λA␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
N␈↓ α␈ε#Here␈απis␈αλa␈απc␈α␈omp␈α␈lete␈απl␈α↓ist␈απof␈απthe␈απme␈α␈ssage␈α␈s␈αλy␈α}ou␈απm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈απget␈απfrom␈↓ 	n␈ε#,␈α	p␈α␈resen␈α}ted␈απin
␈β
u␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓p␈α␈ha␈α␈be␈α␈ti␈α↓c␈αλo␈α␈rder␈αλfor␈αλreferen␈α␈ce␈αλp␈α␈urp␈α␈oses.␈α
Each␈αλm␈α␈essag␈α␈e␈α	is␈αλfollo␈α␈w␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈αλa␈αλbrief␈αλexp␈α␈lan␈α␈ation
␈β∞β␈↓ ∧π␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αpro␈α␈blem,␈αfrom␈↓ ¬5␈ε#'s␈αv␈α␈i␈α↓ewp␈α␈oin␈α␈t,␈αan␈α␈d␈αof␈αwha␈α␈t␈α
will␈α
h␈α␈ap␈α␈en␈αif␈αy␈α␈ou␈αproc␈α␈eed
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α	hitting␈ε7␈α	h␈ε#carriag␈α␈e-retu␈α␈rn␈ε7i␈ε#.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	shou␈α␈ld␈α
h␈α␈elp␈α	y␈α␈ou␈α	to␈α	dec␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α
wh␈α␈ethe␈α␈r␈α
or␈α
n␈α␈ot␈α
t␈α␈o␈α
tak␈α}e␈α
a␈α␈n␈α␈y
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"71
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
a␈α␈ction.␈α≠(See␈αa␈α␈l␈α↓so␈αA␈α↓p␈α␈pe␈α␈nd␈α␈i␈α↓x␈αI␈α
fo␈α␈r␈α
re␈α␈feren␈α␈ces␈αto␈αthe␈α␈se␈αerror␈αme␈α␈ssage␈α␈s␈α
in␈αo␈α␈the␈α␈r
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈arts␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αma␈α␈n␈α␈u␈α␈al.␈α↓)
␈ββ/␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ba␈α␈d␈α∩pat␈α␈h,␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩flu␈α␈sh␈α␈ed.
␈ββW␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈ε7␈αh␈ε#pa␈α␈th␈ε7i␈ε#␈αin␈α
the␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧C␈ε3d␈α␈raw␈↓ ¬⊗␈ε#or␈↓ ¬?␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ ε$␈ε#com␈α␈man␈α␈d␈αd␈α␈oes␈α
not␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈αthe␈αsy␈α␈n␈α␈ta␈α␈ctic␈αru␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈ββd␈↓ ¬T␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈ββ}␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈ted␈α
in␈α
Cha␈α␈pte␈α␈r␈α∞9.␈α∩Procee␈α␈d,␈α∞an␈α␈d␈↓ π∂␈ε#wi␈α↓ll␈α∞ig␈α␈nore␈α
all␈α
tok␈α␈e␈α␈ns␈α
up␈α
to␈α
th␈α␈e␈α∞n␈α␈ex␈α␈t
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈micolon␈α
or␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Bo␈α␈un␈α␈dar␈α␈y␈α∪t␈α␈oo␈α∩lo␈α␈ng.
␈β¬␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
curr␈α␈en␈α␈t␈α
ch␈α␈arac␈α␈ter␈α
was␈α
too␈α
co␈α␈mplex␈α	to␈α
be␈α
d␈α␈rawn␈α
b␈α␈y␈α
th␈α␈e␈αAlp␈α␈ha␈α␈typ␈α␈e␈α
CRS␈α
ha␈α␈rdwa␈α␈re.
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε#Perh␈α␈ap␈α␈s␈αi␈α↓t␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈een␈α
ok␈α␈ay␈αif␈αy␈α␈o␈α␈u␈αha␈α␈d␈αch␈α␈op␈α␈ped␈α
it␈αin␈α}to␈αt␈α␈w␈α␈o␈αp␈α␈arts␈αusin␈α␈g␈↓ 
)␈ε3crsb␈α␈reak␈↓ #␈ε#.
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈α␈;␈αth␈α␈e␈αcha␈α␈racte␈α␈r␈αwi␈α↓ll␈αno␈α␈t␈αapp␈α␈ear␈αin␈α
the␈αfon␈α}t␈αou␈α␈tpu␈α␈t.
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ch␈α␈ar␈α␈act␈α␈er␈α∩'␈ε7h␈ε#oc␈α␈tal␈αcod␈α␈e␈ε7i␈ε?␈α∪g␈α␈oes␈α∩ov␈α␈er␈α∩th␈α␈e␈α∪t␈α␈op␈α∩(␈ε7h␈ε#co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈ε7i␈ε?␈α∪>␈ε7␈α∩h␈ε#co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈ε7i␈ε?).
␈βε(␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈α∞d␈α␈idn␈α␈'␈α↓t␈α
spec␈α␈i␈α↓fy␈α
a␈α∞la␈α␈rge␈α∞e␈α␈nou␈α␈gh␈↓ ¬O␈ε3ma␈α␈xh␈α}t␈↓ ε,␈ε#.␈α∀Proce␈α␈ed,␈α∞and␈α
th␈α␈e␈α∞top␈α
ro␈α␈ws␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞cu␈α␈rren␈α}t
␈βεP␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈hara␈α␈cter␈αwill␈αb␈α␈e␈αeras␈α␈ed.
␈βπα␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ch␈α␈ar␈α␈act␈α␈er␈α∩to␈α␈o␈α∪t␈α␈all␈α␈.
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈απcurre␈α␈n␈α␈t␈απcha␈α␈racte␈α␈r␈αλc␈α␈o␈α␈v␈α␈ers␈απmo␈α␈re␈απtha␈α␈n␈απ102␈α␈3␈απcon␈α␈secu␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈απro␈α␈ws␈απof␈απthe␈απraste␈α␈r,␈α	so␈απit␈απex␈α␈c␈α␈eed␈α␈s
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞h␈α␈ard␈α␈ware␈α
cap␈α␈acity␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞Alph␈α␈aty␈α␈pe␈α
CRS.␈α∞Yo␈α␈u␈α∞n␈α␈eed␈α
to␈α
brea␈α␈k␈α∞it␈α∞in␈α}to␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
piece␈α␈s
␈βπy␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sing␈↓ α∨␈ε3c␈α␈rsbrea␈α␈k␈↓ β→␈ε#.␈αProcee␈α␈d,␈αan␈α␈d␈αa␈αp␈α␈artly␈αe␈α␈rased␈α
cha␈α␈racter␈αwill␈αbe␈αou␈α␈tp␈α␈ut.
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Co␈α␈mm␈α␈a␈α∪s␈α␈ubs␈α␈ti␈α␈tut␈α␈ed␈α∩her␈α␈e.
␈βλS␈↓ ↓H␈ε#A␈α
missing␈α	\,"␈α
ha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α	sub␈α␈sti␈α↓t␈α␈uted␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
the␈α
mo␈α␈st␈α
recen␈α}tly␈α
sca␈α␈nn␈α␈ed␈α
tok␈α}en␈α␈.␈αPro␈α␈ceed␈α␈,␈αafte␈α␈r
␈βλz␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓y␈α
de␈α␈l␈α↓et␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α␈/or␈αin␈α␈serting␈α
some␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αto␈αm␈α␈ak␈α}e␈αthe␈α
remain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αex␈α␈pr␈α␈ession␈αr␈α␈ead
␈β	"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αy␈α␈ou␈α
in␈α␈ten␈α␈ded␈α
it␈αto.
␈β	T␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Cu␈α␈rv␈α␈e␈α∪o␈α␈ut␈α∩of␈α∩ra␈α␈nge␈α␈.
␈β	b␈↓ π,␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β	|␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλc␈α␈urren␈α}t␈↓ αy␈ε3d␈α␈raw␈↓ βH␈ε#or␈↓ βm␈ε3dd␈α␈raw␈↓ ∧P␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd␈απh␈α␈as␈απrequ␈α␈ested␈↓ λa␈ε#to␈απp␈α␈l␈α↓o␈α␈t␈αλa␈απpo␈α␈in␈α␈t␈απw␈α↓h␈α␈ose␈↓ ⊂␈ε)x␈↓ !␈ε#-
␈β
#␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈oord␈α␈inate␈α
o␈α␈r␈↓ β⊃␈ε)y␈↓ β$␈ε#-coo␈α␈rdin␈α␈ate␈α
is␈αt␈α␈oo␈α
large␈α
o␈α␈r␈α
too␈α
sma␈α␈l␈α↓l.␈αProce␈α␈ed;␈αth␈α␈e␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
cu␈α␈r-
␈β
1␈↓ πe␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
K␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈n␈α␈t␈α	d␈α␈rawing␈αλwi␈α↓ll␈α	be␈αλomitted␈α␈.␈α∀(I␈α↓t␈αλi␈α↓s␈α	p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αλto␈α	incre␈α␈ase␈↓ 	∩␈ε#'s␈α	dra␈α␈w␈α↓in␈α␈g␈α	ran␈α␈ge␈αλby
␈β
r␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈comp␈α␈il␈α↓in␈α␈g␈αλth␈α␈e␈αλsy␈α␈stem␈απwith␈αλd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈απvalu␈α␈es␈αλo␈α␈f␈αλits␈αλin␈α␈tern␈α␈al␈αλp␈α␈ara␈α␈meters␈απcalled␈ε?␈απxr␈α␈ast␈α␈min␈ε#␈α␈,
␈β~␈↓ ↓H␈ε?x␈α␈ras␈α␈tm␈α␈ax␈ε#,␈ε?␈αyr␈α␈ast␈α␈mi␈α␈n␈ε#,␈ε?␈αyra␈α␈stm␈α␈ax␈ε#␈α␈.␈α↓)
␈βL␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Cu␈α␈rv␈α␈e␈α∪t␈α␈oo␈α∩wi␈α␈ld.
␈βq␈↓ β[␈ε"(␈↓ ∧↑␈ε")
␈βt␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈↓ βg␈ε)x␈↓ βy␈ε#(␈↓ ∧∧␈ε)t␈↓ ∧⊂␈ε#),␈↓ ∧*␈ε)y␈↓ ∧<␈ε#(␈↓ ∧G␈ε)t␈↓ ∧S␈ε#)␈↓ ∧v␈ε#be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈rawn␈αu␈α␈nd␈α␈ergoe␈α␈s␈αex␈α␈tremely␈αfast␈αc␈α␈ha␈α␈nge␈α␈s␈αfor␈αsm␈α␈all
␈β↓␈↓ ε∨␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β≠␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈creme␈α␈n␈α␈ts␈αin␈↓ β_␈ε)t␈↓ β$␈ε#;␈α
a␈α␈re␈αy␈α␈o␈α␈u␈αtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αb␈α␈reak␈↓ πM␈ε#'s␈αp␈α␈l␈α↓o␈α␈tting␈αro␈α␈utin␈α␈e?␈α∞P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈α
a␈α␈nd
␈βC␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αrem␈α␈aind␈α␈er␈αof␈αthe␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈αdra␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αwill␈αb␈α␈e␈αom␈α␈i␈α↓tte␈α␈d.
␈βu␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Di␈α␈vi␈α␈sio␈α␈n␈α∪b␈α␈y␈α∩0.
␈β
β␈↓ β'␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλexp␈α␈ression␈↓ ∧]␈ε#is␈αλcurre␈α␈n␈α␈tly␈αλev␈α␈alua␈α␈ting␈αλsp␈α␈eci|e␈α␈s␈α	a␈απdivision␈αλb␈α␈y␈αλze␈α␈ro.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,
␈β
D␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
the␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈αwill␈αb␈α␈e␈αby␈α␈pa␈α␈ssed␈α␈.
␈β
v␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Du␈α␈pl␈α␈ica␈α␈te␈α∩ch␈α␈arc␈α␈ode␈α␈:␈α∪'␈ε7␈α␈h␈ε#octa␈α␈l␈αc␈α␈ode␈ε7␈α␈i␈ε?.
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#Tw␈α␈o␈α
ro␈α␈utin␈α␈es␈α
hav␈α}e␈α
spe␈α␈ci|ed␈α	the␈α
sam␈α␈e␈α
cha␈α␈racte␈α␈r␈αc␈α␈ode␈α␈.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
wi␈α↓ll␈α
be␈α
o␈α}v␈α␈erlaid
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈αth␈α␈e␈αpre␈α␈sen␈α␈t␈αo␈α␈ne.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"72␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Du␈α␈pl␈α␈ica␈α␈te␈α∩li␈α␈gat␈α␈ure␈α␈/ch␈α␈ar␈α␈lis␈α␈t␈α∪e␈α␈nt␈α␈ry,␈α∩co␈α␈mm␈α␈and␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed␈α␈.
␈βα␈␈↓ ↓H␈ε#It␈αis␈α
ill␈α↓e␈α␈gal␈αto␈α
s␈α␈pecify␈αt␈α␈w␈α␈o␈αli␈α↓g␈α␈atu␈α␈re␈α
lab␈α␈els␈α
fo␈α␈r␈α
th␈α␈e␈α
s␈α␈ame␈αch␈α␈aract␈α␈er␈α
c␈α␈ode␈α␈,␈α∞o␈α␈r␈α
to␈αin␈α␈cl␈α↓u␈α␈de␈αa
␈ββ
␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈ββ'␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈hara␈α␈cter␈αin␈αa␈↓ β ␈ε3cha␈α␈rli␈α↓st␈↓ ∧_␈ε#whe␈α␈n␈αthe␈α␈re␈α
is␈αa␈αl␈α↓ig␈α␈atur␈α␈e␈α
lab␈α␈el␈α
fo␈α␈r␈α
it.␈α∂Procee␈α␈d,␈α
an␈α␈d
␈ββO␈↓ ↓H␈ε#will␈αig␈α␈nore␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αthe␈α
nex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈β∧λ␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Em␈α␈pt␈α␈y␈α∪p␈α␈en␈α∩sp␈α␈eci␈α␈fic␈α␈ati␈α␈on␈α␈.
␈β∧↔␈↓ 	@␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∧1␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈↓ α␈ε3sp␈α␈en␈↓ αW␈ε#or␈↓ α␈␈ε3epen␈↓ βM␈ε#y␈α}ou␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
spec␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α
con␈α}tains␈α
no␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αan␈α␈d␈↓ 
y␈ε#will
␈β∧Y␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈te␈αa␈αo␈α␈ne-p␈α␈oin␈α␈t␈αp␈α␈en.
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩ep␈α␈en␈α␈xfa␈α␈cto␈α␈r␈α∩mus␈α␈t␈α∪b␈α␈e␈α∪p␈α␈os␈α␈iti␈α␈ve␈α∩(1␈α␈.0␈α∩ass␈α␈um␈α␈ed)␈α␈.
␈β¬!␈↓ 	>␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β¬;␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α∞v␈α␈alue␈α
of␈↓ β∪␈ε3epe␈α␈n␈α␈x␈α␈f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ∧J␈ε#can␈α␈no␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞ze␈α␈ro␈α∞o␈α␈r␈α∞n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e.␈α∪Proce␈α␈ed,␈α∞an␈α␈d␈↓ 
y␈ε#will
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈set␈αit␈αt␈α␈o␈α1.0␈αwh␈α␈i␈α↓le␈αma␈α␈kin␈α␈g␈αthe␈αc␈α␈urren␈α}t␈↓ ε⊃␈ε3epe␈α␈n␈↓ εT␈ε#.
␈βε≠␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩ep␈α␈en␈α␈yfa␈α␈cto␈α␈r␈α∩mus␈α␈t␈α∪b␈α␈e␈α∪p␈α␈os␈α␈iti␈α␈ve␈α∩(1␈α␈.0␈α∩ass␈α␈um␈α␈ed)␈α␈.
␈βε+␈↓ 	>␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βεE␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α∞v␈α␈alue␈α
of␈↓ β∪␈ε3epe␈α␈n␈α␈y␈α␈f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ∧J␈ε#can␈α␈no␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞ze␈α␈ro␈α∞o␈α␈r␈α∞n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e.␈α∪Proce␈α␈ed,␈α∞an␈α␈d␈↓ 
y␈ε#will
␈βεl␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈set␈αit␈αt␈α␈o␈α1.0␈αwh␈α␈i␈α↓le␈αma␈α␈kin␈α␈g␈αthe␈αc␈α␈urren␈α}t␈↓ ε⊃␈ε3epe␈α␈n␈↓ εT␈ε#.
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Er␈α␈as␈α␈er␈α∩too␈α∩w␈α␈ide␈α␈.
␈βπ4␈↓ π\␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βπN␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αεha␈α␈v␈α␈e␈αεsp␈α␈eci|ed␈α¬a␈↓ βj␈ε3l␈α↓e␈α␈rs␈↓ ∧#␈ε#o␈α␈r␈↓ ∧F␈ε3rers␈↓ ¬α␈ε#wi␈α↓th␈α¬too␈αεm␈α␈u␈α␈ch␈αεwidth␈αεfo␈α␈r␈↓ 		␈ε#'s␈αεcap␈α␈acity.␈α	P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,
␈βπ\␈↓ αλ␈ε<hij␈α⎇k␈α↓l␈α␈mnj
␈βπv␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ βA␈ε#wil␈α↓l␈αcu␈α␈t␈αthe␈αwid␈α␈th␈αto␈αth␈α␈e␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αi␈α↓t␈αc␈α␈an␈αh␈α␈an␈α␈dle.
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ex␈α␈tr␈α␈a␈α∪c␈α␈ode␈α∩a␈α␈t␈α∪e␈α␈nd␈α∩of␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩wi␈α␈ll␈α∩be␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈βλ>␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βλX␈↓ α⎇␈ε#ha␈α␈s␈αλrea␈α␈d␈αλan␈α␈d␈αλin␈α}terpr␈α␈eted␈απa␈ε7␈αλh␈ε#state␈α␈men␈α␈t␈ε7i␈ε#,␈αλso␈αλit␈αλex␈α␈pect␈α␈ed␈αλto␈απ|n␈α␈d␈αλa␈απsemicolo␈α␈n␈αλo␈α␈r
␈βλf␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β	␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈eriod␈α
a␈α␈s␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext␈α
tok␈α}en.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α
ex␈α␈pec␈α␈tation␈α
was␈α
no␈α␈t␈αrea␈α␈li␈α↓ze␈α␈d.␈αProcee␈α␈d,␈αa␈α␈nd
␈β	'␈↓ ↓H␈ε#will␈αig␈α␈nore␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αthe␈α
nex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈β	`␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩"H␈α␈ai␈α␈rli␈α␈ne␈α∩si␈α␈ze␈α∩(w0␈α␈)␈α∪t␈α␈oo␈α∩sm␈α␈all␈α␈,␈α∩set␈α∩to␈α∩1␈α␈.0.
␈β

␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈α∞sh␈α␈ou␈α␈ldn␈α␈'␈α↓t␈α
l␈α↓e␈α␈t␈α∞the␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞va␈α␈riable␈↓ ε≠␈ε)w␈↓ εL␈ε#b␈α␈e␈α∞less␈α∞th␈α␈an␈α
0.5␈α
when␈α
it␈α∞is␈α∞b␈α␈eing␈α
used␈α
to
␈β
∀␈↓ ε2␈ε&0
␈β
1␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈ne␈αthe␈αsi␈α↓z␈α␈e␈αof␈αan␈↓ βx␈ε3hp␈α␈en␈↓ ∧?␈ε#,␈↓ ∧T␈ε3v␈α␈pe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε#,␈↓ ¬/␈ε3lers␈↓ ¬a␈ε#,␈αor␈↓ ε∨␈ε3rers␈↓ εU␈ε#.␈α
P␈α↓r␈α␈oceed␈α␈,␈αan␈α␈d␈αi␈α↓ts␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αwill␈αbe␈αincrea␈α␈sed
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε#to␈α
1.0.
␈β∩␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ha␈α␈ir␈α␈lin␈α␈e␈α∪s␈α␈iz␈α␈e␈α∪(␈α␈w0)␈α∩un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed,␈α∩s␈α␈et␈α∩to␈α∩1.␈α␈0.
␈β!␈↓ ¬∧␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β;␈↓ ↓H␈ε#At␈α	th␈α␈is␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α	in␈α	y␈α}our␈αλprog␈α␈ram,␈↓ ε;␈ε#n␈α␈eed␈α␈s␈α	to␈α	k␈α␈no␈α}w␈α	the␈α	v␈α␈alue␈αλof␈α	the␈αλha␈α␈i␈α↓rline␈αλsi␈α↓z␈α␈e,
␈βc␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ut␈αva␈α␈riable␈↓ β¬␈ε)w␈↓ β3␈ε#doe␈α␈sn't␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈αk␈α␈no␈α␈wn␈αv␈α␈alue␈α␈.␈α
Procee␈α␈d,␈αan␈α␈d␈αits␈αv␈α␈alue␈αwil␈α↓l␈αbe␈αset␈αto␈α1␈α␈.␈α↓0␈α␈;
␈βm␈↓ β≠␈ε&0
␈β
␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αmigh␈α}t␈αn␈α␈ot␈αb␈α␈e␈αthe␈αvalu␈α␈e␈αy␈α}ou␈αin␈α␈ten␈α␈ded␈α␈,␈αbu␈α␈t␈αit␈αs␈α␈hou␈α␈ld␈αh␈α␈elp␈αy␈α␈o␈α␈u␈αto␈αch␈α␈eck␈αou␈α␈t␈αa␈αlittl␈α↓e
␈β2␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ore␈αof␈αy␈α}ou␈α␈r␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈αwith␈α␈out␈αh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αst␈α␈art␈αo␈α␈v␈α}er.
␈βk␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Il␈α␈le␈α␈gal␈α∩pe␈α␈n␈α∩wid␈α␈th␈α∩(␈ε7h␈ε#co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈ε7i␈ε?).
␈βz␈↓ 
J␈ε<hi␈α␈j␈α}k
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αp␈α␈en␈α
width␈α
y␈α␈o␈α␈u␈αh␈α␈av␈α}e␈αsp␈α␈eci|e␈α␈d␈αis␈α
ei␈α↓t␈α␈her␈α
too␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈α
or␈αto␈α␈o␈αsm␈α␈all.␈αProc␈α␈eed,␈αa␈α␈nd␈↓ !␈ε#-
␈β
"␈↓ ↓H␈ε<l␈α}m␈α↓nj
␈β
<␈↓ α)␈ε#will␈αu␈α␈se␈αsize␈α1␈αins␈α␈tead␈α␈.
␈β
u␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈ag␈α␈e␈α∪l␈α␈ost␈α∩s␈α␈inc␈α␈e␈α∪c␈α␈har␈α␈co␈α␈de␈α∩not␈α∩s␈α␈pec␈α␈ifi␈α␈ed␈α␈.
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈ur␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α	drew␈α	some␈α␈thing␈α␈,␈αb␈α␈ut␈α	no␈α	inform␈α␈ation␈α	was␈α	outp␈α␈ut␈α	for␈α
th␈α␈at␈α	cha␈α␈racte␈α␈r␈α
since
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α
f␈α↓a␈α␈il␈α↓ed␈α
to␈αsp␈α␈ecify␈αa␈α␈n␈α␈y␈↓ ∧:␈ε3c␈α␈harc␈α␈ode␈↓ ¬D␈ε#f␈α↓o␈α␈r␈αit.␈αProce␈α␈ed.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"73
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪c␈α␈al␈α␈l,␈α∩com␈α␈man␈α␈d␈α∩flu␈α␈she␈α␈d.
␈ββ␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈ere␈α∂a␈α␈re␈α∂ex␈α␈tran␈α␈eou␈α␈s␈α∂to␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈α∂follo␈α␈wing␈α∞the␈α∞curre␈α␈n␈α␈t␈↓ πE␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ λε␈ε#st␈α␈ateme␈α␈n␈α␈t␈α∂(e.g.,␈α⊂y␈α}ou␈α∞may␈α∞be
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈pp␈α␈lying␈αt␈α␈oo␈αma␈α␈n␈α␈y␈αp␈α␈aram␈α␈eters).␈αProce␈α␈ed;␈αthe␈↓ εu␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ π2␈ε#state␈α␈men␈α␈t␈αan␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈αthe
␈ββP␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ex␈α␈t␈αs␈α␈emicolon␈α
or␈αp␈α␈eriod␈αwill␈αb␈α␈e␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈β∧␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪c␈α␈ha␈α␈rli␈α␈st␈α∩ent␈α␈ry␈α␈,␈α∪c␈α␈omm␈α␈an␈α␈d␈α∪f␈α␈lus␈α␈he␈α␈d.
␈β∧≤␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈ur␈↓ α≠␈ε3ch␈α␈arlist␈↓ β⊃␈ε#d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈αthe␈αru␈α␈les␈αstat␈α␈ed␈αin␈α
App␈α␈end␈α␈i␈α↓x␈α
F.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αand
␈β∧↑␈↓ ↓H␈ε#will␈αig␈α␈nore␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αthe␈α
nex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪i␈α␈nd␈α␈ex␈α∩arg␈α␈ume␈α␈nt␈α␈,␈α∪c␈α␈omm␈α␈an␈α␈d␈α∪f␈α␈lus␈α␈he␈α␈d.
␈β¬D␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈α
hav␈α}e␈αju␈α␈st␈αtried␈α
to␈↓ ∧∃␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧Q␈ε#a␈αsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
an␈α
ind␈α␈ex␈α
argu␈α␈men␈α}t,␈αbu␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
para␈α␈mete␈α␈r
␈β¬l␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α	are␈α
s␈α␈up␈α␈plyin␈α␈g␈α
isn't␈α
a␈α␈n␈ε7␈α
h␈ε#ind␈α␈ex␈ε7␈α␈i␈ε#␈α↓.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈;␈αth␈α␈e␈↓ ε␈␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ π;␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈ll␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈α
u␈α␈p␈α
to␈α	the
␈βε∪␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ex␈α␈t␈αs␈α␈emicolon␈α
or␈αp␈α␈eriod␈αwill␈αb␈α␈e␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈βεP␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪i␈α␈nd␈α␈ex␈α∩spe␈α␈cif␈α␈ic␈α␈ati␈α␈on.
␈βεz␈↓ ↓H␈ε#An␈ε7␈αλh␈ε#in␈α␈dex␈ε7␈α␈i␈ε#␈α	wa␈α␈s␈α	su␈α␈pp␈α␈ose␈α␈d␈αλto␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλbe␈α␈en␈αλhe␈α␈re␈αλ(␈α↓e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αλa␈αλdigit␈αλstring␈αλo␈α␈r␈α	th␈α␈e␈αλna␈α␈me␈αλof␈αλan␈αλind␈α␈ex
␈βπλ␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βπ"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αi␈α↓n␈αa␈αsub␈α␈rou␈α␈tine),␈αfor␈αe␈α␈xam␈α␈ple␈αa␈α␈fter␈αth␈α␈e␈αw␈α␈ord␈↓ πq␈ε3top␈↓ λ!␈ε#.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈α
a␈α␈nd
␈βπI␈↓ ↓H␈ε#will␈αa␈α␈ct␈αas␈αif␈αthe␈αin␈α␈dex␈α
w␈α␈ere␈α\0␈α␈".
␈βλε␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪l␈α␈ig␈α␈atu␈α␈re/␈α␈ker␈α␈n␈α∩ent␈α␈ry,␈α∩c␈α␈omm␈α␈and␈α∩f␈α␈lus␈α␈hed␈α␈.
␈βλ0␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈ε7␈α
h␈ε#l␈α↓ig␈α
instru␈α␈ction␈ε7␈α␈i␈ε#␈α∞d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
follo␈α␈w␈α
the␈α
rules␈α
stat␈α␈ed␈α
in␈α
App␈α␈end␈α␈i␈α↓x␈αF␈α↓.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,
␈βλ=␈↓ αλ␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α␈mnj
␈βλW␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ βA␈ε#wil␈α↓l␈αign␈α␈ore␈αa␈α␈l␈α↓l␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈α
the␈αn␈α␈ext␈αse␈α␈micolon␈α
or␈αp␈α␈eriod.
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪n␈α␈am␈α␈e.
␈β	>␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αtok␈α␈e␈α␈n␈αcan␈α␈'t␈αbe␈αm␈α␈ade␈↓ ∧H␈ε3n␈α␈ew␈↓ ¬␈ε#(e.g.,␈α\␈↓ ¬n␈ε3ne␈α␈w␈↓ ε2␈ε#5").␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αand␈α
it␈αw␈α↓ill␈αbe␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈β	z␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Im␈α␈pr␈α␈ope␈α␈r␈α∪p␈α␈en␈α∩sp␈α␈ecs␈α␈,␈α∪c␈α␈om␈α␈man␈α␈d␈α∪f␈α␈lu␈α␈she␈α␈d.
␈β

␈↓ 
J␈ε<hi␈α␈j␈α}k
␈β
$␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈α␈t␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α
the␈αru␈α␈l␈α↓es␈αo␈α␈f␈αan␈↓ ¬y␈ε3spen␈↓ εF␈ε#o␈α␈r␈↓ εo␈ε3e␈α␈pen␈↓ π=␈ε#sp␈α␈eci|␈α␈cation␈α␈.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αan␈α␈d␈↓ !␈ε#-
␈β
2␈↓ ↓H␈ε<l␈α}m␈α↓nj
␈β
L␈↓ α)␈ε#will␈αign␈α␈ore␈αa␈α␈l␈α↓l␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈αt␈α␈o␈αthe␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αsemicolon␈α
or␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈βλ␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩In␈α␈co␈α␈mpa␈α␈tib␈α␈le␈α∩re␈α␈sol␈α␈uti␈α␈on␈α␈.
␈β2␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αca␈α␈n't␈αsim␈α␈ultan␈α␈eou␈α␈sly␈αselec␈α␈t␈αoutp␈α␈ut␈αin␈ε?␈α
fnt␈α␈mod␈α␈e␈ε#␈αan␈α␈d␈ε?␈αc␈α␈rsm␈α␈ode␈ε#␈α␈.
␈βo␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩In␈α␈co␈α␈nsi␈α␈ste␈α␈nt␈α∩eq␈α␈uat␈α␈ion␈α␈.
␈β␈␈↓ π↑␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β→␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλeq␈α␈uat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλju␈α␈st␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλd␈α␈oes␈αλn␈α␈ot␈αλg␈α␈i␈α↓b␈α␈e␈αλwith␈αλin␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ 	∪␈ε#alrea␈α␈dy␈απkn␈α␈o␈α␈ws␈αλfrom
␈βA␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α∞eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns.␈α∨(If␈α∞y␈α␈o␈α␈u␈α∞ca␈α␈n't␈α∞u␈α␈nd␈α␈erstan␈α␈d␈α∞wh␈α}y,␈α∂try␈α
run␈α␈nin␈α␈g␈α∞y␈α␈o␈α␈ur␈α∞p␈α␈rog␈α␈ram␈α∞a␈α␈gain
␈βh␈↓ ↓H␈ε#with␈↓ α∪␈ε3eqtra␈α␈ce␈↓ βε␈ε#on␈α␈.␈α↓)␈α→Proce␈α␈ed,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αinco␈α␈nsisten␈α}t␈αequ␈α␈ation␈α
w␈α↓ill␈αbe␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈β
%␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩In␈α␈de␈α␈ter␈α␈min␈α␈at␈α␈e␈α∪r␈α␈ela␈α␈tio␈α␈n.
␈β
5␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
O␈↓ βα␈ε#h␈α␈as␈αjust␈αscan␈α␈ned␈α\␈↓ ¬∩␈ε3i␈α↓f␈↓ ¬3␈ε7h␈ε#relation␈ε7␈α␈i␈ε#␈α↓:"␈α
bu␈α␈t␈α
it␈α
was␈αimpo␈α␈ssible␈αto␈α
d␈α␈ecide␈αwh␈α␈ethe␈α␈r
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∂re␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈α∞i␈α↓s␈α∞true␈α∞or␈α∞f␈α↓a␈α␈lse␈α∂b␈α␈ased␈α∞on␈α∞th␈α␈e␈α∂eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞giv␈α␈en␈α∞so␈α∞far.␈α⊗To␈α∂re␈α␈co␈α␈v␈α}er,␈α⊂inser␈α␈t
␈β∞∧␈↓ εO␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α␈/or␈αd␈α␈elete␈αtok␈α␈e␈α␈ns␈αso␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αthing␈↓ λπ␈ε#read␈α␈s␈αis␈αa␈αcorre␈α␈ct␈αcon␈α␈ditiona␈α␈l
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈teme␈α␈n␈α␈t,␈αstarting␈α
aga␈α␈i␈α↓n␈α
from␈αth␈α␈e␈α\␈↓ ¬Z␈ε3if␈↓ ¬n␈ε#".
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"74␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩In␈α␈pu␈α␈t␈α∪p␈α␈age␈α∩e␈α␈nde␈α␈d␈α∪w␈α␈hil␈α␈e␈α∩sca␈α␈nni␈α␈ng␈α∩de␈α␈f␈α∪o␈α␈f␈ε7␈α∩h␈ε#␈α↓su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αna␈α␈me␈ε7i␈ε#.
␈βα␈␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αend␈αo␈α␈f␈α
a␈α|␈α␈l␈α↓e␈αp␈α␈age␈αoc␈α␈curre␈α␈d␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αthe␈αbe␈α␈ginn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αof␈αa␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αde|␈α␈nition␈αa␈α␈nd
␈ββ'␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αen␈α␈din␈α␈g␈αtha␈α␈t␈αsub␈α␈rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e.␈α~(It␈αis␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αto␈αsup␈α␈pre␈α␈ss␈αthis␈αmessa␈α␈ge␈αb␈α␈y␈αpu␈α␈tting
␈ββ5␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈ββO␈↓ β␈ε#in␈ε3␈αno␈α
pag␈α␈ewarn␈α␈ing␈ε#␈αm␈α␈ode␈α␈.␈α↓)
␈β∧
␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩In␈α␈pu␈α␈t␈α∪p␈α␈age␈α∩e␈α␈nde␈α␈d␈α∪w␈α␈hil␈α␈e␈α∩sca␈α␈nni␈α␈ng␈α∩"␈ε7h␈ε#title␈ε7i␈ε?".
␈β∧4␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
e␈α␈nd␈α	of␈α
a␈α	|le␈α	pa␈α␈ge␈α
o␈α␈ccu␈α␈rred␈α	bet␈α␈w␈α␈e␈α␈en␈α	a␈α
q␈α␈uote␈α␈d␈α
title␈α	stateme␈α␈n␈α␈t␈α
a␈α␈nd␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈eriod␈α	end␈α␈ing
␈β∧\␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αλrou␈α␈tine;␈α	this␈αλmay␈αλind␈α␈icate␈αλan␈↓ ¬4␈ε3if␈↓ ¬P␈ε#no␈α␈t␈α	close␈α␈d␈αλby␈↓ π⊗␈ε3|␈↓ π(␈ε#,␈α	or␈αλsome␈αλoth␈α␈er␈αλano␈α␈maly␈α␈,␈α
o␈α␈r␈α	it␈αλmigh␈α}t
␈β∧j␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β¬∧␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ot␈αb␈α␈e␈αan␈αerr␈α␈or␈αat␈αall.␈α~(It␈αis␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈α
sup␈α␈press␈αth␈α␈is␈αm␈α␈essag␈α␈e␈αby␈α
pu␈α␈tti␈α↓n␈α␈g
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε#in␈ε3␈αn␈α␈o␈αp␈α␈age␈α␈warnin␈α␈g␈ε#␈αmo␈α␈de.)
␈β¬g␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Li␈α␈ga␈α␈tur␈α␈e/k␈α␈er␈α␈n␈α∪t␈α␈abl␈α␈e␈α∪d␈α␈id␈α␈n't␈α∩en␈α␈d.
␈βε⊃␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α	|n␈α␈al␈α	en␈α␈try␈αλof␈α	y␈α␈ou␈α␈r␈α	|n␈α␈al␈ε7␈α	h␈ε#l␈α↓ig␈α	inst␈α␈ruction␈αλl␈α↓ist␈ε7i␈ε#␈α	was␈α	a␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ation␈αλen␈α␈try␈α␈.␈αProce␈α␈ed,␈α	bu␈α␈t
␈βε9␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈α
b␈α␈e␈αsu␈α␈rpr␈α␈i␈α↓se␈α␈d␈α
i␈α↓f␈↓ βv␈ε#T␈↓ ∧↔␈ε#X␈↓ ∧:␈ε#b␈α␈lo␈α␈ws␈α
up␈α
try␈α␈ing␈α
to␈α
us␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
fon␈α␈t␈α
infor␈α␈mation␈α
p␈α␈rod␈α␈uce␈α␈d␈α
on␈α
th␈α␈is
␈βε?␈↓ ∧λ␈ε#E
␈βε`␈↓ ↓H␈ε#ru␈α␈n.
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Lo␈α␈ok␈α␈up␈α∩fai␈α␈le␈α␈d␈α∪o␈α␈n␈α∪f␈α␈ile␈ε7␈α∩h␈ε#|␈α␈l␈α↓e␈α␈nam␈α␈e␈ε7i␈ε#.
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βπF␈↓ α␈␈ε#ca␈α␈n't␈α
|␈α␈nd␈α	the␈α	|le␈α
y␈α}ou␈α	i␈α↓n␈α␈dica␈α␈ted␈α␈.␈αTyp␈α␈e␈α
\␈ε?i␈ε#␈α␈"␈α
a␈α␈nd␈α	i␈α↓n␈α␈sert␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈orrect␈α	|le␈α
n␈α␈ame
␈βπn␈↓ ↓H␈ε#(fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α
by␈α
a␈↓ β ␈ε7h␈ε#carriag␈α␈e-retu␈α␈rn␈ε7i␈↓ ¬∂␈ε#).␈αB␈α↓u␈α␈t␈αbe␈αc␈α␈arefu␈α␈l␈α↓:␈αYou␈α
get␈αo␈α␈nly␈αo␈α␈ne␈αmo␈α␈re␈αch␈α␈anc␈α␈e␈αto␈αge␈α␈t
␈βπ{␈↓ ∧⎇␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α|␈α␈l␈α↓e␈αn␈α␈ame␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t,␈αoth␈α␈erwise␈↓ ε6␈ε#will␈αd␈α␈ecid␈α␈e␈αnot␈αto␈α
i␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈ε0␈αan␈α}y␈ε#␈α|␈α␈l␈α↓e␈αju␈α␈st␈αno␈α}w.
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩ME␈α␈TA␈α␈FON␈α␈T␈α∪c␈α␈ap␈α␈aci␈α␈ty␈α∩exc␈α␈ee␈α␈ded␈α␈,␈α∪s␈α␈or␈α␈ry␈α∩[␈ε7h␈ε#size␈ε7i␈ε#=␈ε7h␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε7i␈ε?]␈α␈.
␈βλa␈↓ π∨␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βλ{␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αi␈α↓s␈αa␈αba␈α␈d␈αo␈α␈ne.␈α∞S␈α␈om␈α␈e␈αho␈α}w␈αy␈α␈ou␈αha␈α␈v␈α␈e␈αstre␈α␈tche␈α␈d␈↓ λX␈ε#bey␈α}on␈α␈d␈αits␈α|␈α␈nite␈αlimits.
␈β	#␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
th␈α␈ing␈α	tha␈α␈t␈α
o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈α	i␈α↓s␈α	ind␈α␈i␈α↓ca␈α␈ted␈α	in␈α
b␈α␈rac␈α␈k␈α␈ets,␈α
tog␈α␈eth␈α␈er␈α
with␈α	i␈α↓t␈α␈s␈α
n␈α␈u␈α␈merica␈α␈l␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
in
␈β	0␈↓ α↓␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β	J␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ β:␈ε#imp␈α␈lemen␈α}tation␈α
y␈α␈o␈α␈u␈αare␈αu␈α␈sing␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αta␈α␈ble␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αthe␈αin␈α}terna␈α␈l
␈β	r␈↓ ↓H␈ε#size␈α␈s␈αt␈α␈hat␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈een␈α
ex␈α␈c␈α␈eede␈α␈d:
␈β
C␈↓ ↓y␈ε?e␈α␈pe␈α␈nsi␈α␈ze␈↓ βy␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈α(␈↓ ¬$␈ε)l␈↓ ¬-␈ε#,␈↓ ¬<␈ε)r␈↓ ¬J␈ε#)␈αpairs␈αin␈αa␈α␈n␈↓ ππ␈ε3ep␈α␈en␈↓ πU␈ε#sp␈α␈eci|␈α␈cation␈α␈;
␈β
j␈↓ ↓y␈ε?m␈α␈ax␈α␈poi␈α␈nts␈↓ βy␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αpoin␈α}ts␈αi␈α↓n␈α
a␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈αto␈α
be␈αd␈α␈rawn;
␈β∩␈↓ ↓y␈ε?m␈α␈em␈α␈siz␈α␈e␈↓ βy␈ε#memo␈α␈ry␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈ε?␈αvm␈α␈ems␈α␈ize␈ε#␈α
used␈α
to␈αsto␈α␈re␈αtok␈α}ens;
␈β9␈↓ ↓y␈ε?n␈α␈am␈α␈es␈↓ βy␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αbits␈αuse␈α␈d␈αto␈αrep␈α␈resen␈α}t␈αsub␈α␈scripts␈α␈;
␈βa␈↓ ↓y␈ε?n␈α␈am␈α␈esi␈α␈ze␈↓ βy␈ε#memo␈α␈ry␈αu␈α␈sed␈αto␈α
store␈αide␈α␈n␈α␈ti|e␈α␈rs;
␈β	␈↓ ↓y␈ε?p␈α␈me␈α␈msi␈α␈ze␈↓ βy␈ε#memo␈α␈ry␈αu␈α␈sed␈αto␈α
store␈αinfo␈α␈rmation␈α
ab␈α␈ou␈α␈t␈αpen␈α␈s␈αan␈α␈d␈αera␈α␈sers;
␈β0␈↓ ↓y␈ε?p␈α␈ro␈α␈ofm␈α␈ems␈α␈iz␈α␈e␈↓ βy␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αvisible␈αan␈α␈d␈αin␈α␈v␈α␈isi␈α↓b␈α␈le␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αfor␈αpr␈α␈oof␈αsh␈α␈eets;
␈βX␈↓ ↓y␈ε?s␈α␈ta␈α␈cks␈α␈ize␈↓ βy␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αsi␈α↓m␈α␈u␈α␈ltan␈α␈eou␈α␈s␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αsou␈α␈rces;
␈β␈␈↓ ↓y␈ε?v␈α␈me␈α␈msi␈α␈ze␈↓ βy␈ε#memo␈α␈ry␈αu␈α␈sed␈αto␈α
store␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α
valu␈α␈es␈αan␈α␈d␈αma␈α␈n␈α␈y␈αo␈α␈the␈α␈r␈αt␈α␈hing␈α␈s;
␈β
'␈↓ ↓y␈ε?x␈α␈pe␈α␈nma␈α␈x␈↓ βy␈ε#l␈α↓a␈α␈rgest␈↓ ∧e␈ε)x␈↓ ∧v␈ε#-coo␈α␈rdin␈α␈ate␈αof␈αa␈αp␈α␈en␈α
or␈αerase␈α␈r;
␈β
O␈↓ ↓y␈ε?x␈α␈pe␈α␈nmi␈α␈n␈↓ βy␈ε#smallest␈↓ ∧y␈ε)x␈↓ ¬
␈ε#-␈α↓c␈α␈oord␈α␈ina␈α␈te␈αof␈αa␈αp␈α␈en␈αo␈α␈r␈αe␈α␈raser;
␈β
v␈↓ ↓y␈ε?x␈α␈ra␈α␈stm␈α␈ax␈↓ βy␈ε#max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈↓ ¬⊗␈ε)x␈↓ ¬'␈ε#-coo␈α␈rdin␈α␈ate␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α
when␈α
plottin␈α␈g;
␈β∞≡␈↓ ↓y␈ε?y␈α␈pe␈α␈nma␈α␈x␈↓ βy␈ε#l␈α↓a␈α␈rgest␈↓ ∧e␈ε)y␈↓ ∧w␈ε#-coo␈α␈rdina␈α␈te␈αof␈αa␈αp␈α␈en␈αo␈α␈r␈αerase␈α␈r;
␈β∞E␈↓ ↓y␈ε?y␈α␈pe␈α␈nmi␈α␈n␈↓ βy␈ε#smallest␈↓ ∧y␈ε)y␈↓ ¬␈ε#-c␈α␈oord␈α␈inate␈α
of␈αa␈αpe␈α␈n␈αor␈αe␈α␈raser.
␈β⊂+

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"75
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βα<␈↓ πm␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#If␈α
y␈α␈o␈α␈ur␈α
job␈α
is␈α
error-free␈α␈,␈αthe␈α
rem␈α␈edy␈α	i␈α↓s␈α
to␈α
rec␈α␈omp␈α␈i␈α↓le␈α
the␈↓ 	$␈ε#system␈α␈,␈αincre␈α␈asing
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈at␈α
o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈α␈ed.␈α
H␈α↓o␈α}w␈α␈ev␈α␈er,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
m␈α␈ay␈α
b␈α␈e␈α
ab␈α␈le␈α
to␈α
th␈α␈ink␈α	of␈α
a␈α
way␈α	to␈α
ch␈α␈an␈α␈ge␈α
y␈α}ou␈α␈r␈α
pro␈α␈gram
␈ββ␈↓ ∧/␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#so␈α
tha␈α␈t␈αit␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αpu␈α␈sh␈↓ ¬g␈ε#to␈αex␈α␈treme␈α␈s.
␈ββS␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩"(␈α␈",␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλjust␈αλtried␈αλto␈↓ ∧
␈ε3call␈↓ ∧D␈ε#a␈α	su␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈α	with␈α␈ou␈α␈t␈α	su␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αλen␈α␈ou␈α␈gh␈αλp␈α␈aram␈α␈eters.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈;
␈β∧"␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ α↓␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ α>␈ε#state␈α␈men␈α}t␈αa␈α␈nd␈α
all␈αt␈α␈ok␈α␈e␈α␈ns␈αup␈α
to␈αth␈α␈e␈αne␈α␈xt␈αsemico␈α␈lon␈αo␈α␈r␈αperiod␈α
wil␈α↓l␈αbe␈α
i␈α↓g␈α␈nor␈α␈ed.
␈β∧P␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩",␈α␈",␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈β∧w␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α|␈α␈rst␈ε7␈αh␈ε#pa␈α␈th␈ε7i␈ε#␈αin␈αt␈α␈he␈αc␈α␈urren␈α}t␈↓ ¬
␈ε3dd␈α␈raw␈↓ ¬t␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd␈α␈,␈α
o␈α␈r␈αthe␈α|rst␈αc␈α␈oord␈α␈ina␈α␈te␈αin␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t
␈β¬¬␈↓ λa␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε3in␈α}visible␈↓ αH␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd␈α␈,␈α
wa␈α␈s␈α	no␈α␈t␈α	follo␈α␈w␈α␈ed␈αλby␈αλa␈αλcom␈α␈ma.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈↓ 
↔␈ε#wil␈α↓l␈α	ign␈α␈ore
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈αtok␈α}en␈α␈s␈αup␈αt␈α␈o␈αthe␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αsemicolon␈α
or␈αp␈α␈eriod.
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩":␈α␈".
␈βεα␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βε≤␈↓ ββ␈ε#ha␈α␈s␈α∂ju␈α␈st␈α∞scan␈α␈ne␈α␈d␈α∞\␈↓ ¬→␈ε3if␈↓ ¬;␈ε7h␈ε#relation␈ε7␈α␈i␈ε#"␈α∞an␈α␈d␈α∞th␈α␈e␈α∞nex␈α␈t␈α∞tok␈α}en␈α∞sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
hav␈α}e␈α∞be␈α␈en␈α∞a
␈βε)␈↓ 	)␈ε<hij␈α⎇k␈α↓l␈α␈mnj
␈βεC␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈olon␈α␈.␈αTo␈α
rec␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈r,␈αin␈α␈sert␈α
a␈α␈nd␈α␈/or␈α	delete␈α	tok␈α}ens␈α	so␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	nex␈α␈t␈α
th␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 
a␈ε#re␈α␈ad␈α␈s
␈βεk␈↓ ↓H␈ε#is␈αa␈αco␈α␈rrect␈αco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αsta␈α␈temen␈α}t,␈αstarting␈α
aga␈α␈i␈α↓n␈α
from␈αth␈α␈e␈α\␈↓ λ2␈ε3if␈↓ λF␈ε#".
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩=␈α∩si␈α␈gn,␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed␈α␈.
␈βπ&␈↓ ↓n␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βπ@␈↓ ↓H␈ε#A␈↓ β*␈ε#s␈α␈tateme␈α␈n␈α␈t␈α∞be␈α␈gan␈α
wi␈α↓th␈α
an␈α∞e␈α␈xp␈α␈ression␈α␈,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈α∞nex␈α␈t␈α∞tok␈α}en␈α∞was␈α∞n␈α␈eithe␈α␈r
␈βπh␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈=␈α↓"␈αn␈α␈or␈α\␈↓ αd␈ε3d␈α␈raw␈↓ β,␈ε#"␈αn␈α␈or␈α\␈↓ ∧⊗␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ ∧p␈ε#".␈α∂Th␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈αthis␈αexp␈α␈ression␈α␈,␈α
in␈αterms␈αo␈α␈f␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les,␈α⊂ha␈α␈s␈α∂b␈α␈een␈α∞prin␈α␈te␈α␈d␈α∂o␈α␈ut␈α∞on␈α∞the␈α∞l␈α↓in␈α␈e␈α∂ju␈α␈st␈α∂pre␈α␈cedin␈α␈g␈α∂th␈α␈is␈α∂erro␈α␈r␈α∂messa␈α␈ge.␈α (See
␈βλ≥␈↓ πα␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε#Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α4␈αfor␈αse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αex␈α␈am␈α␈ples.)␈α~Proc␈α␈eed␈α␈,␈αan␈α␈d␈↓ λ:␈ε#wi␈α↓ll␈αi␈α↓g␈α␈no␈α␈re␈αthe␈αe␈α␈xp␈α␈ression
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈β	␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩co␈α␈lo␈α␈n␈α∪i␈α␈nse␈α␈rte␈α␈d.
␈β	~␈↓ π"␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β	4␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈ere␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈een␈αa␈α
\:"␈αafter␈αth␈α␈e␈αw␈α␈ord␈↓ εZ␈ε3else␈↓ π∞␈ε#;␈↓ λ[␈ε#h␈α␈as␈αinserte␈α␈d␈αon␈α␈e.
␈β	a␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩pu␈α␈nc␈α␈tua␈α␈tio␈α␈n,␈α∩co␈α␈mma␈α␈nd␈α∩fl␈α␈ush␈α␈ed.
␈β
	␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈απare␈απtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απto␈↓ βC␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ β|␈ε#a␈απsub␈α␈rou␈α␈tine,␈αλbu␈α␈t␈απy␈α␈ou␈αεdidn␈α␈'t␈αλsu␈α␈pp␈α␈ly␈απa␈απcom␈α␈ma␈απor␈απa␈απrigh␈α}t␈αλp␈α␈are␈α␈n␈α␈th␈α␈esis
␈β
1␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈fter␈αthe␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈αpa␈α␈rame␈α␈ter.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈;␈αt␈α␈he␈↓ ε+␈ε3ca␈α␈l␈α↓l␈↓ εh␈ε#sta␈α␈temen␈α}t␈αan␈α␈d␈αall␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈α
the␈αn␈α␈ex␈α␈t
␈β
X␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈micolon␈α
or␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αwill␈αb␈α␈e␈αigno␈α␈red␈α␈.
␈βε␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Mi␈α␈ss␈α␈ing␈α∩re␈α␈la␈α␈tio␈α␈n.
␈β∪␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β-␈↓ ββ␈ε#h␈α␈as␈α
just␈α
scan␈α␈ne␈α␈d␈α
\␈↓ ¬⊗␈ε3if␈↓ ¬8␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#"␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
n␈α␈ext␈α
tok␈α}en␈α
sh␈α␈ould␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
b␈α␈een
␈βU␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ne␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
six␈α
relat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈α↓s␈α
(<,␈α>,␈α=,␈ε7␈α∀␈ε#,␈ε7␈α
∃␈ε#␈α↓,␈ε7␈α
≤␈ε#␈α↓).␈αTo␈α
re␈α␈co␈α␈v␈α}er,␈αins␈α␈ert␈α
an␈α␈d/o␈α␈r␈α
delete
␈βc␈↓ ¬∃␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε#to␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈α∂so␈α∂th␈α␈at␈α∂th␈α␈e␈α∂ne␈α␈xt␈α∂th␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ εQ␈ε#read␈α␈s␈α∂is␈α∂a␈α∂co␈α␈rrect␈α∂co␈α␈nd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈α∂sta␈α␈temen␈α}t,
␈β$␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈rting␈αa␈α␈gain␈α
f␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈α\␈↓ ∧6␈ε3if␈↓ ∧J␈ε#".
␈βR␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ne␈α␈ga␈α␈tiv␈α␈e␈α∪c␈α␈ha␈α␈rdw␈α␈,␈α∪r␈α␈epl␈α␈ac␈α␈ed␈α∩by␈α∩0.
␈βy␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αva␈α␈lue␈αof␈↓ β␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ ∧␈ε#m␈α␈ust␈αn␈α␈ot␈αb␈α␈e␈αneg␈α␈ativ␈α␈e␈α␈.␈αProce␈α␈ed,␈αit␈αha␈α␈s␈αbeco␈α␈me␈α0.
␈β
'␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩No␈α∩p␈α␈ara␈α␈met␈α␈er␈α∩na␈α␈me.
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
w␈α␈or␈α␈d␈α
\␈↓ αl␈ε3va␈α␈r␈↓ β≤␈ε#"␈α
o␈α␈r␈α
\␈↓ βo␈ε3ind␈α␈ex␈↓ ∧>␈ε#"␈α
sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	b␈α␈e␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α	b␈α␈y␈α
a␈α␈n␈α
id␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈α
th␈α␈at␈α
will␈α
be␈α	the␈α	na␈α␈me␈α
o␈α␈f
␈β
\␈↓ εG␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αargu␈α␈men␈α}t␈αb␈α␈eing␈αspe␈α␈ci|ed␈α␈.␈α
Procee␈α␈d,␈αa␈α␈nd␈↓ λ␈ε#wil␈α↓l␈αby␈α␈pass␈αthe␈αmo␈α␈st␈αrec␈α␈en␈α␈tly
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#sc␈α␈ann␈α␈ed␈απto␈α␈k␈α␈en␈απan␈α␈d␈απarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t;␈α	y␈α}ou␈απmay␈απwa␈α␈n␈α␈t␈απto␈αλin␈α␈sert␈αλa␈α␈no␈α␈ther␈απarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈απwi␈α↓th␈απth␈α␈e␈αλc␈α␈orrec␈α␈t
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ame␈α␈.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"76␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩No␈α∩p␈α␈en␈α∩def␈α␈in␈α␈ed.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈απa␈α␈re␈απtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απto␈↓ βA␈ε3dra␈α␈w␈↓ ∧⊂␈ε#or␈↓ ∧5␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ ¬∂␈ε#,␈αλbu␈α␈t␈απthe␈αεcurre␈α␈n␈α␈t␈απp␈α␈en␈απty␈α␈pe␈αεha␈α␈s␈απno␈α␈t␈απbee␈α␈n␈απd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,
␈ββ␈↓ αλ␈ε<hij␈α⎇k␈α↓l␈α␈mnj
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ βA␈ε#wil␈α↓l␈αu␈α␈se␈↓ ∧9␈ε3cpe␈α␈n␈↓ ∧|␈ε#.
␈ββS␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩No␈α∩s␈α␈ubr␈α␈out␈α␈in␈α␈e␈α∪n␈α␈ame␈α␈,␈α∪c␈α␈om␈α␈man␈α␈d␈α∪f␈α␈lu␈α␈she␈α␈d.
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
w␈α␈ord␈α
\␈↓ αm␈ε3sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈↓ ∧π␈ε#"␈α
sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	be␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
an␈α	i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓fer␈α
th␈α␈at␈α
wil␈α↓l␈α
be␈α
th␈α␈e␈α
na␈α␈me␈α
of␈α
the
␈β∧λ␈↓ ¬|␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β∧"␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈α	b␈α␈eing␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈.␈αProcee␈α␈d,␈α	an␈α␈d␈↓ π2␈ε#wil␈α↓l␈αλi␈α↓g␈α␈nor␈α␈e␈α	a␈α␈l␈α↓l␈αλtok␈α␈e␈α␈ns␈αλup␈αλto␈αλth␈α␈e␈α	n␈α␈ex␈α␈t
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈micolon␈α
or␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.
␈β∧w␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Pa␈α␈th␈α␈s␈α∪d␈α␈on'␈α␈t␈α∩mat␈α␈ch␈α∩up,␈α∩c␈α␈omm␈α␈and␈α∩f␈α␈lus␈α␈hed␈α␈.
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλp␈α␈ath␈α␈s␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλcu␈α␈rren␈α}t␈↓ ∧f␈ε3dd␈α␈raw␈↓ ¬I␈ε#co␈α␈mma␈α␈nd␈απha␈α␈v␈α␈e␈αλu␈α␈neq␈α␈ua␈α␈l␈α	n␈α}um␈α}bers␈αλo␈α␈f␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,
␈β¬-␈↓ αλ␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α␈mnj
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ βA␈ε#wil␈α↓l␈αign␈α␈ore␈αa␈α␈l␈α↓l␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈α
the␈αn␈α␈ext␈αse␈α␈micolon␈α
or␈αp␈α␈eriod.
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Pe␈α␈n␈α∩wid␈α␈th␈α∩to␈α␈o␈α∪s␈α␈mal␈α␈l␈α∪(␈ε7␈α␈h␈ε#con␈α␈stan␈α}t␈ε7i␈ε?),␈α∩rep␈α␈la␈α␈ced␈α∩by␈α∩1␈α␈.0.
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
p␈α␈en␈αwidth␈αe␈α␈nclose␈α␈d␈αi␈α↓n␈α\␈ε7␈α␈j␈ε#␈α↓"␈αsign␈α␈s␈α
(with␈α␈i␈α↓n␈αa␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈-wi␈α↓d␈α␈th␈↓ λU␈ε3dra␈α␈w␈↓ 	*␈ε#co␈α␈mma␈α␈nd␈α␈)␈α
sho␈α␈uld
␈βε)␈↓ ¬?␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βεC␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ot␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈α1.0.␈αProce␈α␈ed,␈αan␈α␈d␈↓ εw␈ε#w␈α↓ill␈αact␈αas␈αif␈αit␈αw␈α␈ere␈α1.0.
␈βεq␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Pr␈α␈og␈α␈ram␈α∩en␈α␈de␈α␈d␈α∪w␈α␈hil␈α␈e␈α∪d␈α␈ef␈α␈ini␈α␈ng␈ε7␈α∩h␈ε#sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αn␈α␈ame␈ε7i␈ε?.
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε#Prem␈α␈ature␈α
occu␈α␈rren␈α␈ce␈αof␈αth␈α␈e␈αw␈α␈ord␈ε?␈αe␈α␈nd␈ε#␈αlea␈α␈ds␈αto␈αa␈α
prem␈α␈atu␈α␈re␈αend␈α␈.
␈βπF␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Re␈α␈cu␈α␈rsi␈α␈ve␈α∩ca␈α␈ll␈α∩not␈α∩al␈α␈lo␈α␈wed␈α␈,␈α∪c␈α␈om␈α␈man␈α␈d␈α∪f␈α␈lu␈α␈she␈α␈d.
␈βπn␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α
just␈α∞tried␈α
to␈↓ ∧&␈ε3ca␈α␈ll␈↓ ∧f␈ε#a␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞a␈α
para␈α␈mete␈α␈r␈α∞whose␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞is␈α∞alrea␈α␈dy
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈ned␈αλfrom␈αλano␈α␈the␈α␈r␈↓ β⎇␈ε3call␈↓ ∧8␈ε#no␈α␈t␈α	y␈α␈e␈α␈t␈α	com␈α␈plete.␈α∪(Recurs␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	is␈α	a␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈αλon␈α␈ly␈α	with␈αλpa␈α␈ramete␈α␈r-
␈βλ=␈↓ ↓H␈ε#less␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es.)␈α→Proc␈α␈eed␈α␈;␈αth␈α␈e␈↓ ¬⊗␈ε3c␈α␈all␈↓ ¬R␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈αa␈α␈nd␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈α
the␈α
nex␈α␈t␈αsem␈α␈i␈α↓c␈α␈olon
␈βλe␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈αperiod␈α
wil␈α↓l␈αbe␈α
i␈α↓g␈α␈no␈α␈red.
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Re␈α␈du␈α␈nda␈α␈nt␈α∩eq␈α␈uat␈α␈ion␈α␈.
␈β	 ␈↓ λk␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β	:␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αju␈α␈st␈αgiv␈α}en␈αd␈α␈oes␈αnot␈αprese␈α␈n␈α␈t␈αa␈α␈n␈α␈y␈αi␈α↓n␈α␈forma␈α␈tion␈αtha␈α␈t␈↓ 
%␈ε#d␈α␈idn␈α␈'␈α↓t␈αal-
␈β	a␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈ady␈α
k␈α␈no␈α␈w␈αfro␈α␈m␈αp␈α␈reviou␈α␈s␈αeq␈α␈uatio␈α␈ns.␈α→(If␈αy␈α␈o␈α␈u␈αc␈α␈an't␈αu␈α␈nd␈α␈ersta␈α␈nd␈α
wh␈α␈y,␈αtry␈α
ru␈α␈nn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αy␈α}ou␈α␈r
␈β
	␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rog␈α␈ram␈αa␈α␈gain␈αwith␈↓ βr␈ε3e␈α␈qtrac␈α␈e␈↓ ∧d␈ε#on␈α␈.␈α↓)␈α→Proce␈α␈ed,␈αno␈α
har␈α␈m␈αha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α
do␈α␈ne.
␈β
7␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ri␈α␈gh␈α␈t␈α∪b␈α␈rac␈α␈ke␈α␈t␈α∪s␈α␈ubs␈α␈tit␈α␈ut␈α␈ed␈α∩her␈α␈e.
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε#A␈α
missing␈α	\]"␈α
ha␈α␈s␈α
been␈α	sub␈α␈stituted␈α	for␈α
the␈α
m␈α␈ost␈α
recen␈α}tly␈α
sca␈α␈nn␈α␈ed␈α
tok␈α}en␈α␈.␈αPro␈α␈ceed␈α␈,␈αafte␈α␈r
␈βε␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓y␈α
de␈α␈l␈α↓et␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α␈/or␈αin␈α␈serting␈α
some␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αto␈αm␈α␈ak␈α}e␈αthe␈α
remain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αex␈α␈pr␈α␈ession␈αr␈α␈ead
␈β-␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αy␈α␈ou␈α
in␈α␈ten␈α␈ded␈α
it␈αto.
␈β[␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ri␈α␈gh␈α␈t␈α∪p␈α␈are␈α␈nt␈α␈hes␈α␈is␈α∩sub␈α␈st␈α␈itu␈α␈ted␈α∩h␈α␈ere␈α␈.
␈ββ␈↓ ↓H␈ε#A␈α
missin␈α␈g␈α
\)"␈α
h␈α␈as␈α
b␈α␈een␈α	sub␈α␈stituted␈α	for␈α
th␈α␈e␈α
most␈α
re␈α␈cen␈α␈tly␈α	scan␈α␈ned␈α	tok␈α}en.␈αProc␈α␈eed␈α␈,␈αafte␈α␈r
␈β*␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓y␈α
de␈α␈l␈α↓et␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α␈/or␈αin␈α␈serting␈α
some␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αto␈αm␈α␈ak␈α}e␈αthe␈α
remain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αex␈α␈pr␈α␈ession␈αr␈α␈ead
␈βR␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αy␈α␈ou␈α
in␈α␈ten␈α␈ded␈α
it␈αto.
␈β␈␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ro␈α␈un␈α␈din␈α␈g␈α∪o␈α␈f␈ε7␈α∩h␈ε#␈α↓c␈α␈har␈αd␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε?␈α∩nec␈α␈ess␈α␈ar␈α␈y,␈ε7␈α∩h␈ε#con␈α␈stan␈α␈t␈ε7␈α␈i␈ε?␈α∪→␈ε7␈α∩h␈ε#␈α↓c␈α␈ons␈α␈tan␈α␈t␈ε7i␈ε?.
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αc␈α␈hara␈α␈cters␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈αp␈α␈resen␈α}t␈αfon␈α}t␈αh␈α␈av␈α␈e␈αtoo␈αman␈α}y␈αdistinct␈αdime␈α␈nsion␈α␈s␈αof␈αthe␈αspec␈α␈i␈α↓|␈α␈ed
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#ty␈α␈pe␈α∞fo␈α␈r␈↓ αM␈ε#T␈↓ αn␈ε#X␈↓ β∃␈ε#to␈α
han␈α␈dle.␈α∨(For␈α∞ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊂so␈α␈me␈α∞v␈α}ersions␈α∞o␈α␈f␈↓ λ)␈ε#T␈↓ λJ␈ε#X␈↓ λp␈ε#will␈α∂a␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α∞at␈α∞m␈α␈ost␈α∞16
␈β
U␈↓ α←␈ε#E␈↓ λ:␈ε#E
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈t␈α∞valu␈α␈es␈α∂o␈α␈f␈↓ βc␈ε3ch␈α␈arh␈α␈t␈↓ ∧O␈ε#pe␈α␈r␈α∂fon␈α}t.␈α↓)␈α Th␈α␈e␈α∂sp␈α␈eci|␈α␈ed␈α∞ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imation␈α∞h␈α␈as␈α∞been␈α∞u␈α␈sed␈α␈;␈α⊃if
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈αwan␈α}t␈α
un␈α␈iformity␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
d␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈α
m␈α␈ach␈α␈ines,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
sh␈α␈ou␈α␈ld␈α
re␈α␈de|␈α␈ne␈αthe␈αdimen␈α␈sion␈α␈s
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#in␈αa␈α␈cco␈α␈rdan␈α␈ce␈αwith␈↓ βe␈ε#T␈↓ ∧ε␈ε#X␈↓ ∧≡␈ε#'s␈αlimits.
␈β∞L␈↓ βv␈ε#E
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"77
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ro␈α␈ut␈α␈ine␈α∩en␈α␈de␈α␈d␈α∪i␈α␈n␈α∪s␈α␈kip␈α␈pe␈α␈d␈α∪c␈α␈ond␈α␈it␈α␈ion␈α␈al␈α∩te␈α␈xt.
␈βα␈␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈ome␈α␈thing␈α
i␈α↓s␈α∞a␈α␈wry,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞a␈α∞pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α∞or␈↓ ¬|␈ε3en␈α␈d␈↓ ε>␈ε#h␈α␈as␈α∞oc␈α␈curre␈α␈d␈α∞in␈α∞th␈α␈e␈α∞midst␈α∞o␈α␈f␈α∂p␈α␈art␈α∞of␈α∞y␈α}ou␈α␈r
␈ββ'␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rog␈α␈ram␈αλtha␈α␈t␈α	is␈α	b␈α␈eing␈αλskip␈α␈ped␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλ(␈α↓b␈α␈eca␈α␈use␈αλit'␈α↓s␈αλin␈α	t␈α␈he␈αλun␈α␈selected␈αλp␈α␈art␈α	o␈α␈f␈α	a␈αλcon␈α␈dition␈α␈al).
␈ββO␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈αif␈αy␈α␈o␈α␈u␈αd␈α␈are.
␈β∧π␈↓ ↓H␈ε?S␈α␈har␈α␈p␈α∩tur␈α␈n␈α∪s␈α␈up␈α␈pre␈α␈sse␈α␈d␈α∪b␈α␈et␈α␈wee␈α␈n␈α∪p␈α␈oi␈α␈nts␈ε7␈α∩h␈ε#po␈α␈in␈α␈t␈αna␈α␈mes␈ε7i␈ε?␈α∩(␈ε7h␈ε#v␈α␈elo␈α␈ci␈α↓t␈α␈y␈ε7i␈ε?)
␈β∧1␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αno␈α␈t␈α
re␈α␈all␈α↓y␈αan␈αerro␈α␈r␈α
m␈α␈essag␈α␈e,␈α
it's␈α
a␈αwa␈α␈rning␈αt␈α␈hat␈αy␈α}ou␈αge␈α␈t␈α
wh␈α␈en␈↓ 	[␈ε3mo␈α␈dtra␈α␈ce␈↓ 
n␈ε#is␈α
in
␈β∧>␈↓ βd␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈{␈α↓ec␈α␈t.␈α↓)␈α~The␈αcurv␈α}e␈↓ ¬≥␈ε#i␈α↓s␈αab␈α␈out␈αto␈αd␈α␈raw␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αh␈α␈av␈α}e␈αh␈α␈ad␈αa␈αsh␈α␈arp␈αturn␈αat␈αone
␈β¬␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
the␈αstated␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α
(th␈α␈e␈α
|rst␈αpoin␈α}t␈α
i␈α↓f␈α
t␈α␈he␈α
\␈↓ εG␈ε)r␈↓ εV␈ε#"␈α
v␈α}elocity␈αis␈α
giv␈α␈en␈α␈,␈α∞th␈α␈e␈α
sec␈α␈ond␈αif␈α
the␈α\␈↓ ∞␈ε)s␈↓ ≤␈ε#"
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε#v␈α}elocity␈αλis␈α	giv␈α␈e␈α␈n),␈α	beca␈α␈use␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈ngles␈αλthe␈αλcurv␈α}e␈α	is␈α	su␈α␈pp␈α␈ose␈α␈d␈α	to␈αλtak␈α}e␈α	b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλth␈α␈ose␈α	t␈α␈w␈α␈o
␈β¬5␈↓ ¬⊗␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈ts.␈α
T␈α↓h␈α␈e␈α
v␈α}elocity␈α	deriv␈α␈e␈α␈d␈α
b␈α␈y␈↓ εC␈ε#'s␈α
nor␈α␈mal␈α
rules␈α	i␈α↓s␈α
b␈α␈elo␈α␈w␈↓ 	≡␈ε3min␈α}vr␈↓ 	}␈ε#o␈α␈r␈↓ 
%␈ε3min␈α␈v␈α␈s␈↓ 
{␈ε#,␈αso
␈β¬]␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β¬w␈↓ β␈ε#is␈αsup␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αsh␈α␈arp␈α
turn␈α
by␈α
raising␈α
the␈α
v␈α␈eloc␈α␈i␈α↓ty␈α
to␈αth␈α␈e␈αco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α	v␈α␈alue␈α␈.␈α∃(Cf.␈α
th␈α␈e␈α
la␈α␈tter␈α	part␈α	o␈α␈f␈α
Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α	2␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈er␈α
d␈α␈iscus␈α␈si␈α↓o␈α␈n.)␈α∃Th␈α␈i␈α↓s␈α	u␈α␈sua␈α␈l␈α↓ly
␈βεF␈↓ ↓H␈ε#is␈α
a␈α	sym␈α␈ptom␈α	of␈α
so␈α␈me␈α
p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α
in␈α
y␈α}ou␈α␈r␈α
pro␈α␈gram␈α␈,␈αa␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α	it␈α
may␈α	be␈α	perfe␈α␈ctly␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
righ␈α}t.
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Sh␈α␈ou␈α␈ld␈α∩be␈α∩"(␈α␈"␈α∪o␈α␈r␈α∪"␈α␈,"␈α∩or␈α∩":␈α␈"␈α∪h␈α␈er␈α␈e.
␈βπ(␈↓ ↓H␈ε#On␈α␈e␈α	o␈α␈f␈α	these␈αλthre␈α␈e␈α	tok␈α}ens␈αλi␈α↓s␈α	n␈α␈eed␈α␈ed␈α␈,␈α
since␈αλan␈αλarg␈α␈umen␈α}t␈α	list␈α	is␈α	bein␈α␈g␈α	sca␈α␈nn␈α␈ed;␈α	y␈α␈ou␈αλsho␈α␈uld
␈βπ5␈↓ ¬E␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βπO␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈sert␈α
a␈α␈nd␈α␈/or␈α	delete␈α	tok␈α␈e␈α␈ns␈α
so␈α	th␈α␈at␈↓ ε|␈ε#sees␈α	the␈α	corre␈α␈ct␈α
on␈α␈e,␈α
to␈α
g␈α␈et␈α
it␈α
b␈α␈ack␈α	in␈α␈to
␈βπw␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈nc␈α␈h.
␈βλ0␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Sh␈α␈ou␈α␈ld␈α∩say␈α∩v␈α␈ar␈α∩or␈α∩ind␈α␈ex␈α∩he␈α␈re.
␈βλY␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α∂w␈α␈ord␈α∂\␈↓ αw␈ε3va␈α␈r␈↓ β'␈ε#"␈α∂or␈α∂\␈↓ ∧¬␈ε3in␈α␈dex␈↓ ∧T␈ε#"␈α∂sho␈α␈uld␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∂app␈α␈ear␈α␈ed␈α∂at␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂p␈α␈oin␈α␈t,␈α⊂to␈α∂d␈α␈e|n␈α␈e␈α∂the␈α∂n␈α␈ex␈α␈t
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αargu␈α␈men␈α}t.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
the␈αmo␈α␈st␈αrecen␈α}tly␈αsca␈α␈nn␈α␈ed␈αto␈α␈k␈α␈en␈α
wi␈α↓ll␈αbe␈αig␈α␈nore␈α␈d.
␈β	9␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩St␈α␈ri␈α␈ng␈α∩mus␈α␈t␈α∩end␈α∩on␈α∩th␈α␈e␈α∩lin␈α␈e␈α∪w␈α␈he␈α␈re␈α∩it␈α∩be␈α␈gin␈α␈s.
␈β	c␈↓ ↓H␈ε#A␈α	qu␈α␈ote␈α␈d␈α	titl␈α↓e␈α	c␈α␈ann␈α␈ot␈α	co␈α␈n␈α␈tain␈α	a␈↓ ¬⊃␈ε7h␈ε#carriag␈α␈e-retu␈α␈rn␈ε7i␈↓ π␈ε#;␈α
the␈α	title␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α	su␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈αλthere␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈α	seem␈α␈s
␈β	p␈↓ π⎇␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β

␈↓ ↓H␈ε#to␈απh␈α␈av␈α␈e␈απen␈α␈ded␈απwitho␈α␈ut␈αλits␈απclosing␈απ\␈ε?"␈ε#␈α␈"␈αλm␈α␈ark.␈α
Proce␈α␈ed,␈αλan␈α␈d␈↓ 	2␈ε#will␈αλact␈απas␈αλth␈α␈ou␈α␈gh
␈β
2␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α\␈ε?"␈ε#␈α␈"␈αha␈α␈d␈αb␈α␈een␈αp␈α␈resen␈α}t␈αhe␈α␈re.
␈β
k␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Su␈α␈br␈α␈out␈α␈ine␈α∩d␈α␈efi␈α␈nit␈α␈ion␈α∩s␈α␈hou␈α␈ld␈α∩fo␈α␈llo␈α␈w␈α∪"␈α␈."␈α␈.
␈β∀␈↓ ↓H␈ε#A␈απsu␈α␈brou␈α␈tine␈απd␈α␈e|n␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απsho␈α␈uld␈απn␈α␈ot␈απbeg␈α␈i␈α↓n␈αεbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈απa␈απti␈α↓t␈α␈l␈α↓e␈απsta␈α␈temen␈α}t␈αλa␈α␈nd␈απth␈α␈e␈απper␈α␈i␈α↓o␈α␈d␈απend␈α␈ing
␈β!␈↓ ¬U␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β;␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
corre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈α
rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e.␈αProcee␈α␈d;␈↓ π
␈ε#will␈αd␈α␈e|␈α␈ne␈α
the␈α
su␈α␈bro␈α␈utine␈α
a␈α␈nd␈α
re␈α␈sume
␈βc␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αrou␈α␈tine,␈αforg␈α␈etting␈αits␈αtitle.
␈β≤␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Su␈α␈br␈α␈out␈α␈ine␈α␈s␈α∩can␈α␈'t␈α∩be␈α∩de␈α␈fin␈α␈ed␈α∩in␈α␈sid␈α␈e␈α∪s␈α␈ub␈α␈rou␈α␈tin␈α␈es.
␈βE␈↓ ↓H␈ε#Ea␈α␈ch␈α
su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈α
sh␈α␈ould␈αbe␈αa␈α
se␈α␈ction␈αun␈α}to␈α
itself.␈α⊃Proc␈α␈eed,␈α
an␈α␈d␈αthe␈α
w␈α␈o␈α␈rd␈α
\␈↓ 
α␈ε3sub␈α␈rou␈α␈tine␈↓ ≤␈ε#"
␈βm␈↓ ↓H␈ε#will␈α
be␈α	igno␈α␈red␈α␈;␈αh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈αs␈α␈ome␈α	oth␈α␈er␈α
erro␈α␈rs␈α
will␈α
pro␈α␈bab␈α␈ly␈α	sho␈α␈w␈α	up␈α	un␈α␈less␈α
y␈α}ou␈α	insert␈α	the
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈xt␈α\␈ε?.␈α∩s␈α␈ubr␈α␈out␈α␈ine␈ε#␈α␈"␈αn␈α␈o␈α␈w␈αto␈αreco␈α}v␈α␈er␈αfro␈α␈m␈αthis␈αerro␈α␈r.
␈β
M␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Th␈α␈is␈α∩ca␈α␈n't␈α∩h␈α␈app␈α␈en.
␈β
\␈↓ π&␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#An␈αin␈α␈te␈α␈rnal␈α
c␈α␈ons␈α␈i␈α↓ste␈α␈ncy␈αch␈α␈eck␈αha␈α␈s␈α
failed␈α␈,␈α∞ca␈α␈using␈↓ λ`␈ε#to␈αbe␈αtotally␈αcon␈α␈fused␈α␈.
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#Eithe␈α␈r␈α∂y␈α␈ou␈α∞did␈α∂so␈α␈meth␈α␈ing␈α∂th␈α␈e␈α∂au␈α␈tho␈α␈r␈α∂was␈α∂un␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈α∞to␈α∂forese␈α␈e,␈α⊃o␈α␈r␈α∂some␈α␈bod␈α␈y␈α∂h␈α␈as␈α∂b␈α␈een
␈β∞+␈↓ βl␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#ta␈α␈mp␈α␈ering␈αwith␈αth␈α␈e␈↓ ¬%␈ε#sy␈α␈stem␈αp␈α␈rog␈α␈rams.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"78␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Ti␈α␈tl␈α␈es␈α∩are␈α∩i␈α␈gno␈α␈red␈α∩in␈α␈si␈α␈de␈α∩sub␈α␈ro␈α␈uti␈α␈nes␈α␈.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈α	are␈α␈n't␈α	sup␈α␈po␈α␈sed␈α	to␈αλhav␈α}e␈α	titl␈α↓e␈αλstateme␈α␈n␈α␈ts␈α	in␈α	su␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s.␈αProcee␈α␈d,␈α
a␈α␈nd␈αλthis␈α	here␈αλone
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#will␈αb␈α␈e␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈ββS␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩To␈α␈o␈α∩man␈α␈y␈α∪d␈α␈if␈α␈fer␈α␈ent␈α∩ch␈α␈ar␈α␈dw␈α∩val␈α␈ue␈α␈s.
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩To␈α␈o␈α∩man␈α␈y␈α∪d␈α␈if␈α␈fer␈α␈ent␈α∩ch␈α␈ar␈α␈ic/␈α␈var␈α␈ch␈α␈ar␈α∩val␈α␈ue␈α␈s.
␈β∧"␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈↓ α␈ε#T␈↓ α-␈ε#X␈↓ αO␈ε#cha␈α␈racte␈α␈r␈αinfo␈α␈rmation␈α
for␈α
the␈α
cu␈α␈rren␈α␈t␈α
fon␈α}t␈αis␈αtoo␈α
co␈α␈mplex␈α␈;␈↓ 	 ␈ε#T␈↓ 	A␈ε#X␈↓ 	d␈ε#p␈α␈uts␈α
l␈α↓imits␈α
on
␈β∧)␈↓ α≥␈ε#E␈↓ 	1␈ε#E
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
m␈α␈ax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	of␈α
d␈α␈istinct␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
o␈α␈f␈↓ ε7␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ π*␈ε#an␈α␈d␈↓ πi␈ε3cha␈α␈ri␈α↓c␈↓ λ@␈ε#/␈↓ λQ␈ε3v␈α␈arch␈α␈ar␈↓ 	J␈ε#in␈α	an␈α}y␈α	on␈α␈e␈α
fon␈α}t.
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε#(S␈α␈ee␈αApp␈α␈en␈α␈dix␈αF.)
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩To␈α␈o␈α∩man␈α␈y␈α∪l␈α␈ig␈α␈atu␈α␈res␈α␈,␈α∪c␈α␈om␈α␈man␈α␈d␈α∪f␈α␈lu␈α␈she␈α␈d.
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈ur␈α∞pro␈α␈gram␈α∞is␈α∂su␈α␈pp␈α␈lying␈α∞mo␈α␈re␈α∂liga␈α␈ture/␈α␈k␈α␈ern␈α∞e␈α␈n␈α␈tries␈α∞than␈↓ λK␈ε#T␈↓ λl␈ε#X␈↓ 	∩␈ε#can␈α∞to␈α␈lerate␈α∞in␈α∞one
␈β¬M␈↓ λ\␈ε#E
␈β¬n␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈n␈α␈t.␈α∀(S␈α␈ome␈α	imp␈α␈lemen␈α}tation␈α␈s␈α	of␈↓ ¬≡␈ε#T␈↓ ¬?␈ε#X␈↓ ¬`␈ε#h␈α␈av␈α␈e␈αλrestricted␈αλcap␈α␈acity␈α␈,␈α
b␈α␈ut␈α	th␈α␈e␈α	pre␈α␈sen␈α␈t␈α	S␈α␈tan␈α␈ford
␈β¬u␈↓ ¬/␈ε#E
␈β¬|␈↓ λ-␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βε⊗␈↓ ↓H␈ε#v␈α}ersion␈αallo␈α␈ws␈α512␈α␈,␈αwhich␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αp␈α␈len␈α␈ty␈α␈.)␈α≠Proc␈α␈eed␈α␈,␈αand␈↓ 	f␈ε#will␈αign␈α␈ore␈αall
␈βε>␈↓ ↓H␈ε#to␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈βεk␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩To␈α␈o␈α∩muc␈α␈h␈α∪t␈α␈ex␈α␈inf␈α␈o,␈α∩com␈α␈ma␈α␈nd␈α∩flu␈α␈sh␈α␈ed.
␈βπ∪␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈ur␈α∞prog␈α␈ram␈α∞i␈α↓s␈α∞sup␈α␈ply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞more␈α∞i␈α↓n␈α␈form␈α␈ation␈α∞pa␈α␈rame␈α␈ters␈α∂th␈α␈an␈↓ λx␈ε#T␈↓ 	→␈ε#X␈↓ 	@␈ε#ca␈α␈n␈α∞un␈α␈dersta␈α␈nd␈α␈.
␈βπ→␈↓ 		␈ε#E
␈βπ!␈↓ β∞␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ∧F␈ε#wil␈α↓l␈αign␈α␈ore␈αall␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext␈αsem␈α␈i␈α↓c␈α␈olon␈α
or␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.
␈βπh␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed␈α∩pe␈α␈n.
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αare␈αusing␈αa␈ε7␈αh␈ε#direct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#␈αop␈α␈eratio␈α␈n␈αli␈α↓k␈α}e␈↓ ε2␈ε3top␈↓ εb␈ε#,␈α
b␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈t␈αp␈α␈en␈αty␈α␈pe␈αhas␈αn␈α␈ot␈αb␈α␈een
␈βλ≡␈↓ ∧
␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βλ8␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈.␈αProc␈α␈eed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ¬B␈ε#wil␈α↓l␈αign␈α␈ore␈αth␈α␈e␈ε7␈αh␈ε#direction␈ε7␈α␈i␈ε#␈αop␈α␈eration␈α␈.
␈βλe␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed␈α∩pe␈α␈n␈α∪s␈α␈ize␈α␈.
␈β	
␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α
cu␈α␈rren␈α␈t␈α
p␈α␈en␈αsi␈α↓z␈α␈e␈α
bein␈α␈g␈α
su␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈αbefo␈α␈re␈α
the␈αwo␈α␈rd␈↓ π[␈ε3d␈α␈raw␈↓ λ0␈ε#o␈α␈r␈↓ λZ␈ε3dd␈α␈raw␈↓ 	B␈ε#do␈α␈es␈α
no␈α␈t␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
a
␈β	4␈↓ ↓H␈ε#k␈α␈no␈α}wn␈αv␈α␈alue␈α␈;␈α
its␈αv␈α␈alue␈αi␈α↓n␈αterm␈α␈s␈αof␈αind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αva␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈αh␈α␈as␈αb␈α␈een␈αp␈α␈ri␈α↓n␈α}ted␈αou␈α␈t␈αon␈αthe
␈β	\␈↓ ↓H␈ε#line␈α
j␈α↓u␈α␈st␈αpre␈α␈ced␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈i␈α↓s␈αe␈α␈rror␈αme␈α␈ssage␈α␈.␈αProce␈α␈ed,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈t␈αp␈α␈en␈α
si␈α↓z␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αreta␈α␈i␈α↓n␈α
i␈α↓t␈α␈s
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rmer␈αv␈α␈alue.
␈β
1␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed␈ε7␈α∩h␈ε#some␈α␈thing␈ε7␈α␈i␈ε?,␈α∪r␈α␈epl␈α␈ac␈α␈ed␈α∩by␈ε7␈α∩h␈ε#con␈α␈stan␈α}t␈ε7i␈ε?.
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈απl␈α↓in␈α␈e␈απbefo␈α␈re␈απthis␈απerror␈απmess␈α␈age␈απsh␈α␈o␈α␈ws␈απthe␈απcu␈α␈rren␈α}t␈αλv␈α␈alue␈απo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈ε7␈απh␈ε#somet␈α␈hing␈ε7␈α␈i␈ε#␈αλth␈α␈at␈απsho␈α␈uld
␈β↓␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈av␈α}e␈α
a␈αde|␈α␈nite␈α
v␈α␈alu␈α␈e␈α
at␈αthis␈α
p␈α␈oin␈α␈t,␈α
exp␈α␈ressed␈αa␈α␈s␈α
a␈α
line␈α␈ar␈α
co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈αof␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈β(␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les.␈αTh␈α␈e␈ε7␈αh␈ε#som␈α␈ethin␈α␈g␈ε7i␈ε#␈αmigh␈α}t␈αb␈α␈e␈αan␈α}y␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α␈:
␈βa␈↓ α≡␈ε?cha␈α␈rac␈α␈te␈α␈r␈α∪c␈α␈ode␈↓ ¬␈ε#|rst␈ε7␈αh␈ε#ex␈α␈pres␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#␈αin␈αa␈αliga␈α␈ture/␈α␈k␈α␈ern␈α
instru␈α␈ction␈α␈;
␈β	␈↓ α≡␈ε?cos␈α␈ine␈↓ ¬␈ε#ope␈α␈ran␈α␈d␈αof␈↓ ε'␈ε3co␈α␈sd␈↓ εf␈ε#;
␈β0␈↓ α≡␈ε?div␈α␈iso␈α␈r␈↓ ¬␈ε)␈␈↓ ¬ ␈ε#in␈αa␈αte␈α␈rm␈αof␈αth␈α␈e␈αform␈↓ πb␈ε)␈↓ πt␈ε#/␈↓ λ¬␈ε)␈␈↓ λ→␈ε#;
␈βX␈↓ α≡␈ε?exp␈α␈res␈α␈si␈α␈on␈↓ ¬␈ε#en␈α␈tire␈ε7␈αh␈ε#ex␈α␈pres␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#␈αwho␈α␈se␈αva␈α␈lue␈αis␈αne␈α␈eded␈α␈;
␈β␈␈↓ α≡␈ε?fac␈α␈tor␈↓ ¬␈ε#one␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈αa␈α
pro␈α␈du␈α␈ct,␈αw␈α↓h␈α␈en␈α
neith␈α␈er␈αare␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈;
␈β
'␈↓ α≡␈ε?goo␈α␈dee␈↓ ¬␈ε#ope␈α␈ran␈α␈d␈αof␈↓ ε'␈ε3go␈α␈od␈↓ εv␈ε#;
␈β
2␈↓ εk␈ε,i
␈β
O␈↓ α≡␈ε?int␈α␈erv␈α␈al␈α∩fr␈α␈act␈α␈ion␈↓ ¬␈ε)␈↓ ¬≡␈ε#in␈αa␈α
term␈αof␈αth␈α␈e␈αform␈↓ π`␈ε)␈↓ πr␈ε#[␈↓ π{␈ε)␈␈↓ λ⊂␈ε#,␈↓ λ≡␈ε)␈
␈↓ λ1␈ε#];
␈β
v␈↓ α≡␈ε?roo␈α␈t␈↓ ¬␈ε#ope␈α␈ran␈α␈d␈αof␈↓ ε'␈ε3sqr␈α␈t␈↓ ε↑␈ε#;
␈β∞≡␈↓ α≡␈ε?rou␈α␈nde␈α␈e␈↓ ¬␈ε#ope␈α␈ran␈α␈d␈αof␈↓ ε'␈ε3rou␈α␈nd␈↓ ε|␈ε#;
␈β∞E␈↓ α≡␈ε?sin␈α␈e␈↓ ¬␈ε#ope␈α␈ran␈α␈d␈αof␈↓ ε'␈ε3sind␈↓ εb␈ε#.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧←␈ε>Recovery␈αfrom␈αerrors␈↓ β␈ε"79
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈α␈,␈απand␈α¬th␈α␈e␈α¬comp␈α␈uta␈α␈tion␈α¬wil␈α↓l␈αεc␈α␈on␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ue␈α¬as␈α¬i␈α↓f␈α¬the␈ε7␈α¬h␈ε#some␈α␈thing␈ε7␈α␈i␈ε#␈αεh␈α␈ad␈α¬th␈α␈e␈αεsta␈α␈ted␈ε7␈α¬h␈ε#con␈α␈stan␈α}t␈ε7i
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈α␈.
␈ββ,␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed␈α∩su␈α␈bro␈α␈uti␈α␈ne,␈α∩c␈α␈omm␈α␈and␈α∩f␈α␈lus␈α␈hed␈α␈.
␈ββT␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈u␈αh␈α␈av␈α}e␈αju␈α␈st␈αtried␈αto␈↓ ∧~␈ε3call␈↓ ∧X␈ε#a␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αt␈α␈hat␈αi␈α↓s␈α␈n't␈αcu␈α␈rren␈α}tl␈α↓y␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈.␈α
P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈;␈α
th␈α␈e␈↓ 
z␈ε3call
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈teme␈α␈n␈α␈t␈αan␈α␈d␈αall␈αtok␈α}ens␈αu␈α␈p␈αto␈α
the␈αn␈α␈ext␈αse␈α␈micolon␈α
or␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αwill␈αb␈α␈e␈αigno␈α␈red␈α␈.
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈de␈α␈fin␈α␈ed␈α∩wi␈α␈dth␈α∩w␈ε7h␈ε#d␈α␈igit␈αstri␈α↓n␈α␈g␈ε7i␈ε?.
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε#Yo␈α␈ur␈αλp␈α␈rogra␈α␈m␈αλis␈αλusing␈απan␈αλo␈α␈pe␈α␈ration␈αλlik␈α␈e␈αλ\␈↓ ε∀␈ε3top␈↓ εQ␈ε#"␈αλwh␈α␈en␈αλt␈α␈he␈αλco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing␈↓ 	F␈ε)w␈↓ 	↑␈ε#-varia␈α␈ble␈αλ(e.g.,
␈β∧]␈↓ εD␈ε&6
␈β∧z␈↓ ↓H␈ε)w␈↓ ↓j␈ε#)␈αd␈α␈oe␈α␈s␈αn␈α␈ot␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αv␈α␈alu␈α␈e.␈αProc␈α␈eed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈αt␈α␈he␈αv␈α␈alue␈αwill␈αb␈α␈e␈αassu␈α␈med␈α
zero␈α␈.
␈β¬¬␈↓ ↓↑␈ε&6
␈β¬*␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Un␈α␈kn␈α␈own␈α∩co␈α␈nt␈α␈rol␈α∩co␈α␈de,␈α∩c␈α␈omm␈α␈and␈α∩f␈α␈lus␈α␈hed␈α␈.
␈β¬7␈↓ εK␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β¬Q␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αw␈α␈ord␈α\␈ε3n␈α␈o␈ε#"␈αm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}we␈α␈d␈αb␈α␈y␈αon␈α␈e␈αof␈↓ πx␈ε#'␈α↓s␈αc␈α␈on␈α␈tr␈α␈ol␈αcod␈α␈es.␈α∞P␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈α
a␈α␈nd
␈β¬y␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αtok␈α}en␈α␈s␈αu␈α␈p␈αto␈α
the␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αs␈α␈emicolon␈α
or␈αp␈α␈eriod␈αwill␈αb␈α␈e␈αign␈α␈ored␈α␈.
␈βε(␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Va␈α␈ri␈α␈abl␈α␈e␈ε7␈α∪h␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈αna␈α␈me␈ε7i␈ε?␈α∪n␈α␈eve␈α␈r␈α∪d␈α␈ef␈α␈ine␈α␈d.
␈βεP␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α	stated␈α	v␈α␈ariab␈α␈le␈α
is␈α	ab␈α␈out␈α	to␈α	be␈α␈come␈α	u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α	(e.g.,␈α
it␈α
is␈α	bein␈α␈g␈α	mad␈α␈e␈↓ 	W␈ε3n␈α␈ew␈↓ 
⊂␈ε#,␈α
or␈α	it␈α
is␈α	an
␈βεx␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓Y␈ε#-va␈α␈riable␈α	an␈α␈d␈α	a␈α	rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α	or␈α	sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α	i␈α↓s␈α	en␈α␈ding␈α␈),␈α
bu␈α␈t␈α
it␈α	has␈α	n␈α␈ev␈α␈er␈α	go␈α␈tten␈α	a␈α	fully␈α	kn␈α␈o␈α␈wn
␈βπ∨␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈α␈.␈αTh␈α␈u␈α␈s,␈αo␈α␈the␈α␈r␈α
va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α	migh␈α␈t␈α	be␈α	dep␈α␈en␈α␈ding␈α	on␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	on␈α␈e,␈αb␈α␈eca␈α␈use␈α	of␈α
eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	tha␈α␈t
␈βπ-␈↓ ε>␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βπG␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈av␈α␈e␈α
in␈α␈com␈α␈plete␈α
info␈α␈rmation␈α␈.␈αP␈α↓ro␈α␈ceed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ πu␈ε#wi␈α↓ll␈α
try␈α
to␈α
k␈α}eep␈α	going␈α␈.␈α↔(If␈αth␈α␈is
␈βπn␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le␈α
i␈α↓s␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓t␈α
will␈α∞esse␈α␈n␈α␈tially␈α
b␈α␈e␈α
replac␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
1.0␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
equ␈α␈ation␈α␈s␈α
for␈α
all
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈les␈αtha␈α␈t␈αdep␈α␈end␈α
on␈α
i␈α↓t.)
␈βλE␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Va␈α␈ri␈α␈abl␈α␈e␈α∪x␈ε7␈α␈h␈ε#po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε7␈α␈i␈ε?␈α∪is␈α∩un␈α␈def␈α␈ine␈α␈d,␈α∩0.␈α␈0␈α∪a␈α␈ss␈α␈ume␈α␈d.
␈βλS␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βλm␈↓ ββ␈ε#i␈α↓s␈α∞a␈α␈bo␈α␈ut␈α∞to␈α∞ca␈α␈rry␈α∞ou␈α␈t␈α∞a␈↓ ¬l␈ε3d␈α␈raw␈↓ εB␈ε#or␈↓ εn␈ε3dd␈α␈raw␈↓ πW␈ε#co␈α␈mman␈α␈d,␈α∂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈↓ 	x␈ε)x␈↓ 

␈ε#-co␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β	∃␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∂this␈α∂pa␈α␈rticular␈α∂p␈α␈oin␈α}t␈α∂doe␈α␈s␈α∂not␈α∞hav␈α}e␈α∂a␈α∂k␈α␈no␈α}wn␈α∂v␈α␈alue.␈α!(Th␈α␈e␈α∂po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∂may␈α∞be
␈β	<␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rece␈α␈ded␈α
by␈α
l␈α↓o␈α}we␈α␈r␈αcase␈αlette␈α␈rs␈αi␈α↓f␈αth␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αis␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αwithin␈α
a␈αsub␈α␈rou␈α␈tine,␈αas␈αe␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β	d␈↓ ↓H␈ε#in␈α	Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α	8.)␈α∃Procee␈α␈d,␈α
an␈α␈d␈α	th␈α␈e␈α
d␈α␈rawin␈α␈g␈α	w␈α↓ill␈α
ta␈α␈k␈α␈e␈α	p␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α	using␈α	z␈α␈ero␈α	as␈α	the␈↓ 	q␈ε)x␈↓ 
␈ε#coord␈α␈ina␈α␈te.
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Va␈α␈ri␈α␈abl␈α␈e␈α∪y␈ε7␈α␈h␈ε#po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε7␈α␈i␈ε?␈α∪is␈α∩un␈α␈def␈α␈ine␈α␈d,␈α∩0.␈α␈0␈α∪a␈α␈ss␈α␈ume␈α␈d.
␈β
!␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
;␈↓ ββ␈ε#is␈α∂a␈α␈bo␈α␈ut␈α∞to␈α∞c␈α␈arry␈α
out␈α∞a␈↓ ¬k␈ε3draw␈↓ εB␈ε#o␈α␈r␈↓ εm␈ε3dd␈α␈raw␈↓ πV␈ε#com␈α␈man␈α␈d,␈α∂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈↓ 	w␈ε)y␈↓ 

␈ε#-co␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β
b␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∂this␈α∂pa␈α␈rticular␈α∂p␈α␈oin␈α}t␈α∂doe␈α␈s␈α∂not␈α∞hav␈α}e␈α∂a␈α∂k␈α␈no␈α}wn␈α∂v␈α␈alue.␈α!(Th␈α␈e␈α∂po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∂may␈α∞be
␈β
␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rece␈α␈ded␈α
by␈α
l␈α↓o␈α}we␈α␈r␈αcase␈αlette␈α␈rs␈αi␈α↓f␈αth␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αis␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αwithin␈α
a␈αsub␈α␈rou␈α␈tine,␈αas␈αe␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β2␈↓ ↓H␈ε#in␈α	Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α	8.)␈α∃Proce␈α␈ed,␈α
a␈α␈nd␈α	t␈α␈he␈α	dra␈α␈wing␈α	will␈α
tak␈α}e␈α	plac␈α␈e␈α
u␈α␈sing␈α	ze␈α␈ro␈α	as␈α	the␈↓ 	p␈ε)y␈↓ 
␈ε#coord␈α␈ina␈α␈te.
␈βa␈↓ ↓H␈ε?V␈α␈elo␈α␈ci␈α␈ty␈α∩red␈α␈uc␈α␈ed␈α∩bet␈α␈wee␈α␈n␈α∩poi␈α␈nts␈ε7␈α∩h␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈ame␈ε7i␈ε?␈α∩and␈ε7␈α∩h␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈ame␈ε7␈α␈i␈ε?␈α∪(␈ε7h␈ε#v␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈city␈ε7i␈ε?)
␈β	␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αno␈α␈t␈α
re␈α␈all␈α↓y␈αan␈αerro␈α␈r␈α
m␈α␈essag␈α␈e,␈α
it's␈α
a␈αwa␈α␈rning␈αt␈α␈hat␈αy␈α}ou␈αge␈α␈t␈α
wh␈α␈en␈↓ 	[␈ε3mo␈α␈dtra␈α␈ce␈↓ 
n␈ε#is␈α
in
␈β⊗␈↓ βo␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β0␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈{␈α↓ec␈α␈t.␈α↓)␈α Th␈α␈e␈α∂cu␈α␈rv␈α␈e␈↓ ¬+␈ε#is␈α∂ab␈α␈ou␈α␈t␈α∂to␈α∞dra␈α␈w␈α∂w␈α␈ou␈α␈ld␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∂h␈α␈ad␈α∞un␈α}usu␈α␈al␈α∂b␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r
␈βX␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ear␈αon␈α␈e␈αof␈αth␈α␈e␈αst␈α␈ated␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α(th␈α␈e␈α|␈α␈rst␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αif␈αth␈α␈e␈α\␈↓ πF␈ε)r␈↓ πT␈ε#"␈αv␈α}elocity␈αis␈αgiv␈α␈e␈α␈n,␈αthe␈αseco␈α␈nd␈αif
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α\␈↓ α∩␈ε)s␈↓ α∨␈ε#"␈αv␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈city␈αis␈αgiv␈α␈e␈α␈n),␈αbeca␈α␈use␈α
of␈αthe␈αa␈α␈ng␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αthe␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α
i␈α↓s␈αsu␈α␈pp␈α␈osed␈α
to␈αta␈α␈k␈α␈e␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈β

␈↓ ε#␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β
'␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ose␈αλtw␈α␈o␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts.␈αTh␈α␈e␈α	v␈α␈elo␈α␈city␈α	d␈α␈eriv␈α␈ed␈αλby␈↓ πQ␈ε#'s␈α	n␈α␈orma␈α␈l␈α
ru␈α␈les␈α	is␈α	ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈↓ 
(␈ε3m␈α␈ax␈α␈vr␈↓ ∂␈ε#o␈α␈r
␈β
5␈↓ α`␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β
O␈↓ ↓H␈ε3m␈α␈axv␈α␈s␈↓ α&␈ε#,␈α
so␈↓ ∧↔␈ε#is␈α	su␈α␈pp␈α␈ressing␈α	th␈α␈e␈α	wi␈α↓ld␈α␈ness␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	curv␈α}e␈α	by␈α	lo␈α␈w␈α␈er␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	the␈α	v␈α}elocity
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#to␈α
th␈α␈e␈α
corresp␈α␈on␈α␈din␈α␈g␈α∞m␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈α
valu␈α␈e.␈α≡(Cf.␈α∞th␈α␈e␈α∞latte␈α␈r␈α∞p␈α␈art␈α
of␈α∞Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α
2␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞fu␈α␈rthe␈α␈r
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈iscussio␈α␈n.)␈α→Th␈α␈is␈αu␈α␈sually␈α
i␈α↓s␈α
a␈αsy␈α␈mp␈α␈tom␈α
of␈αso␈α␈me␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈αin␈α
y␈α␈ou␈α␈r␈αp␈α␈rog␈α␈ram,␈αalth␈α␈ou␈α␈gh␈α
it
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αpe␈α␈rfectly␈αa␈α␈l␈α↓l␈αrigh␈α␈t␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"80␈↓ ε ␈ε>Chapter␈α10
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩w-␈α␈va␈α␈ria␈α␈ble␈α∩n␈α␈ot␈α∩fol␈α␈low␈α␈ed␈α∩by␈α∩pr␈α␈op␈α␈er␈α∩sub␈α␈sc␈α␈rip␈α␈t.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#An␈α
i␈α↓d␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈αcan␈α␈'t␈αsta␈α␈rt␈αwi␈α↓th␈α
the␈αletter␈ε?␈αw␈ε#␈α␈;␈αth␈α␈u␈α␈s␈αy␈α␈o␈α␈u␈αcan␈α␈'t␈αu␈α␈se␈αa␈αva␈α␈riable␈αn␈α␈amed␈ε?␈α
wid␈α␈th
␈ββ␈↓ 
J␈ε<hi␈α␈j␈α}k
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈αin␈αa␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αha␈α␈ving␈αan␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈αp␈α␈aram␈α␈eter␈αna␈α␈med␈ε?␈αid␈α␈th␈ε#.␈α∞Proce␈α␈ed,␈αan␈α␈d␈↓ !␈ε#-
␈ββ3␈↓ ↓H␈ε<l␈α}m␈α↓nj
␈ββM␈↓ α)␈ε#will␈αa␈α␈ct␈αas␈αth␈α␈oug␈α␈h␈αth␈α␈e␈αo{en␈α␈ding␈↓ εα␈ε)w␈↓ ε≠␈ε#-va␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈αw␈α␈ere␈αze␈α␈ro.
␈ββ␈␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Wh␈α␈oo␈α␈ps,␈α∩yo␈α␈u␈α∩nee␈α␈d␈α∪a␈α∩Da␈α␈ta␈α␈dis␈α␈c␈α∪f␈α␈or␈α∩di␈α␈spl␈α␈ay␈α∩mo␈α␈des␈α␈.
␈β∧
␈↓ π∩␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈↓ α␈ε3dra␈α␈wdispla␈α␈y␈↓ βG␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧λ␈ε3ch␈α␈ard␈α␈i␈α↓sp␈α␈lay␈↓ ¬:␈ε#co␈α␈n␈α␈tro␈α␈l␈αb␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈↓ λJ␈ε#can␈αb␈α␈e␈αturn␈α␈ed␈αo␈α␈n␈αon␈α␈ly␈αif
␈β∧O␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α
are␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αit␈αfrom␈αa␈αD␈α␈atad␈α␈isc␈αtermin␈α␈al.␈αProc␈α␈eed,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈ese␈αb␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈αwill␈αbe␈αtu␈α␈rned␈α
o{.
␈β¬↓␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩x-␈α␈va␈α␈ria␈α␈ble␈α∩n␈α␈ot␈α∩fol␈α␈low␈α␈ed␈α∩by␈α∩pr␈α␈op␈α␈er␈α∩sub␈α␈sc␈α␈rip␈α␈t.
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε#An␈αλide␈α␈n␈α␈ti|er␈αλcan␈α␈'t␈α	start␈αλwi␈α↓t␈α␈h␈α	th␈α␈e␈α	lette␈α␈r␈ε?␈α	x␈ε#;␈α	th␈α␈us␈αλy␈α␈o␈α␈u␈α	c␈α␈an't␈α	u␈α␈se␈αλa␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈αλna␈α␈med␈ε?␈αλxh␈α␈eig␈α␈ht
␈β¬6␈↓ 
J␈ε<hi␈α␈j␈α}k
␈β¬P␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α	in␈α	a␈αλsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α␈n␈α	ind␈α␈ex␈αλpar␈α␈amete␈α␈r␈α	na␈α␈med␈ε?␈αλhei␈α␈ght␈ε#␈α␈.␈αProce␈α␈ed,␈α	an␈α␈d␈↓ !␈ε#-
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε<l␈α}m␈α↓nj
␈β¬x␈↓ α)␈ε#will␈αa␈α␈ct␈αas␈αth␈α␈oug␈α␈h␈αth␈α␈e␈αo{en␈α␈ding␈↓ εα␈ε)x␈↓ ε∀␈ε#-v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈αw␈α␈er␈α␈e␈αzero.
␈βε*␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩y-␈α␈va␈α␈ria␈α␈ble␈α∩n␈α␈ot␈α∩fol␈α␈low␈α␈ed␈α∩by␈α∩pr␈α␈op␈α␈er␈α∩sub␈α␈sc␈α␈rip␈α␈t.
␈βεR␈↓ ↓H␈ε#An␈αid␈α␈en␈α␈ti|␈α␈er␈α
c␈α␈an't␈αstart␈αwith␈αthe␈αletter␈ε?␈αy␈ε#;␈α
th␈α␈u␈α␈s␈α
y␈α}ou␈αca␈α␈n't␈αuse␈αa␈αva␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈αna␈α␈med␈ε?␈αye␈α␈ar
␈βε←␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈βεy␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈απi␈α↓n␈αεa␈απsub␈α␈rou␈α␈tine␈απh␈α␈avin␈α␈g␈απan␈απin␈α␈dex␈αεpar␈α␈amete␈α␈r␈αλn␈α␈ame␈α␈d␈ε?␈απea␈α␈r␈ε#.␈α
Procee␈α␈d,␈αλan␈α␈d
␈βπ!␈↓ ↓H␈ε#will␈αa␈α␈ct␈αas␈αth␈α␈ou␈α␈gh␈αth␈α␈e␈αo{en␈α␈ding␈↓ ¬!␈ε)y␈↓ ¬4␈ε#-v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈αw␈α␈e␈α␈re␈αzero.
␈βπS␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Yo␈α␈u␈α∩can␈α␈'t␈α∩be␈α␈gin␈α∩a␈α∩"pr␈α␈im␈α␈ary␈α␈"␈α∪l␈α␈ik␈α␈e␈α∪t␈α␈hat␈α␈.
␈βπa␈↓ ¬"␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βπ{␈↓ ↓H␈ε#At␈α
this␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α∞in␈α
y␈α␈ou␈α␈r␈α∞p␈α␈rogra␈α␈m,␈↓ ε]␈ε#is␈α∞ex␈α␈pec␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∞to␈α
see␈α
a␈ε7␈α∞h␈ε#p␈α␈ri␈α↓m␈α␈ary␈ε7i␈ε#,␈α∞bu␈α␈t␈α∞the
␈βλ#␈↓ ↓H␈ε#to␈α␈k␈α␈en␈αit␈α
h␈α␈as␈αjust␈αscan␈α␈ned␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈αused␈αat␈αthe␈αbe␈α␈ginn␈α␈ing␈αof␈α
a␈ε7␈αh␈ε#pr␈α␈i␈α↓m␈α␈ary␈ε7i␈ε#␈αexp␈α␈ression␈α␈.
␈βλJ␈↓ ↓H␈ε#(Perh␈α␈ap␈α␈s␈α∂it␈α∞is␈α∞a␈α∞reser␈α␈v␈α␈ed␈α
wo␈α␈rd␈α∞th␈α␈at␈α∞y␈α␈o␈α␈u␈α∞in␈α␈te␈α␈nd␈α␈ed␈α∞to␈α∞u␈α␈se␈α∞as␈α∞th␈α␈e␈α∞na␈α␈me␈α∞of␈α∞a␈α∞v␈α␈ariab␈α␈le.)
␈βλX␈↓ β∞␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈βλr␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ∧F␈ε#wil␈α↓l␈αpre␈α␈tend␈α
tha␈α␈t␈αthe␈αto␈α␈k␈α␈en␈α
i␈α↓t␈αh␈α␈as␈αju␈α␈st␈αscan␈α␈ned␈α
was␈α\0␈α␈".
␈β	$␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Yo␈α␈u␈α∩can␈α␈'t␈α∩be␈α␈gin␈α∩a␈α∩sta␈α␈te␈α␈men␈α␈t␈α∪l␈α␈ik␈α␈e␈α∪t␈α␈hat␈α␈,␈α∩com␈α␈man␈α␈d␈α∪f␈α␈lu␈α␈she␈α␈d.
␈β	2␈↓ α↑␈ε<hij␈α⎇k␈α↓l␈α␈mnj
␈β	L␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αεtok␈α␈e␈α␈n␈↓ ∧∩␈ε#ha␈α␈s␈απjus␈α␈t␈απrea␈α␈d␈αεwas␈αεsup␈α␈po␈α␈sed␈αεto␈αεbe␈αεth␈α␈e␈απ|␈α␈rst␈απo␈α␈ne␈αεof␈αεa␈ε7␈αεh␈ε#statem␈α␈en␈α␈t␈ε7i␈ε#,␈απbu␈α␈t
␈β	Y␈↓ 	␈␈ε<hi␈α␈j␈α}kl␈α␈m␈α↓nj
␈β	s␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈o␈ε7␈α
h␈ε#␈α↓s␈α␈tateme␈α␈n␈α␈t␈ε7i␈ε#␈αc␈α␈an␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈ly␈α
start␈α
w␈α↓ith␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
pa␈α␈rticular␈α
tok␈α}en.␈αProce␈α␈ed,␈αa␈α␈nd
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε#will␈αig␈α␈nore␈α
all␈αto␈α␈k␈α␈en␈α␈s␈αup␈α
to␈αthe␈α
nex␈α␈t␈αsemico␈α␈l␈α↓o␈α␈n␈αor␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈β
M␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Yo␈α␈u␈α∩can␈α␈'t␈α∩st␈α␈art␈α∩an␈α∩ex␈α␈pr␈α␈ess␈α␈ion␈α∩l␈α␈ike␈α∩th␈α␈at␈α␈.
␈β
[␈↓ ¬␈ε<hij␈α⎇k␈α↓l␈α␈mnj
␈β
u␈↓ ↓H␈ε#At␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
in␈α
y␈α}our␈α
p␈α␈rog␈α␈ram,␈↓ εC␈ε#is␈α
exp␈α␈ecting␈α	to␈α
see␈α
an␈ε7␈α	h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#,␈αbu␈α␈t␈α
the
␈β≥␈↓ ↓H␈ε#to␈α␈k␈α␈en␈α	it␈α
h␈α␈as␈α
ju␈α␈st␈α
scan␈α␈ne␈α␈d␈α
c␈α␈ann␈α␈ot␈α	be␈α
u␈α␈sed␈α	at␈α
t␈α␈he␈α
b␈α␈egin␈α␈ning␈α	of␈α
a␈α␈n␈ε7␈α
h␈ε#e␈α␈xp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈α↓.␈α⊗(Perh␈α␈ap␈α␈s
␈βD␈↓ ↓H␈ε#it␈α	i␈α↓s␈α	a␈α
re␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α
w␈α␈o␈α␈rd␈α	that␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α
in␈α}tend␈α␈ed␈α	to␈α	use␈α	as␈α	the␈α	nam␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
a␈α	varia␈α␈ble.)␈α⊗Proce␈α␈ed,␈α
a␈α␈nd
␈βR␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j
␈βl␈↓ α␈␈ε#wi␈α↓ll␈α
prete␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
tok␈α␈e␈α␈n␈α
it␈α
has␈α
ju␈α␈st␈αs␈α␈can␈α␈ned␈α	w␈α↓a␈α␈s␈α
a␈ε7␈α
h␈ε#term␈ε7i␈ε#␈α
of␈α
va␈α␈lue␈α
zero␈α␈.
␈β≡␈↓ ↓H␈ε?!␈α∩Yo␈α␈u␈α∩can␈α␈'t␈α∩va␈α␈ry␈α∩the␈α∩pe␈α␈n␈α∩wid␈α␈th␈α∩wi␈α␈th␈ε7␈α∩h␈ε#pen␈α
typ␈α␈e␈ε7i␈ε?.
␈βF␈↓ ↓H␈ε#An␈α␈d␈↓ α
␈ε3dra␈α␈w␈↓ α↑␈ε#com␈α␈man␈α␈d␈αλw␈α↓ith␈αλv␈α␈aryin␈α␈g␈α	size␈α␈s␈α	ca␈α␈nn␈α␈ot␈α	b␈α␈e␈α	p␈α␈erform␈α␈ed␈αλwi␈α↓th␈αλa␈↓ 	∩␈ε3cp␈α␈en␈↓ 	U␈ε#,␈↓ 	g␈ε3spe␈α␈n␈↓ 
(␈ε#,␈α	or␈↓ 
a␈ε3e␈α␈pen␈↓ #␈ε#.
␈βm␈↓ ↓H␈ε#Proc␈α␈eed␈α␈;␈αth␈α␈e␈αcur␈α␈ren␈α␈t␈αd␈α␈rawing␈αwill␈αbe␈αo␈α␈mitted.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧2␈ε>Answers␈αto␈αall␈αthe␈αexercises␈↓ β␈ε"81
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈A>␈α
Ans␈α↓w␈α}er␈α␈s␈α∞to␈α
all␈α∞the␈α
ex␈α␈e␈α␈rcises
␈ββ∪␈↓ ↓X␈ε31␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε#Replac␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	|␈α␈rst␈α	line␈αλb␈α␈y␈αλ\␈↓ ¬∧␈ε)x␈↓ ¬)␈ε#=␈↓ ¬T␈ε)x␈↓ ¬p␈ε#;␈↓ εβ␈ε)x␈↓ ε(␈ε#=␈↓ εR␈ε)x␈↓ εn␈ε#;␈↓ π↓␈ε)x␈↓ π&␈ε#=␈↓ πQ␈ε)x␈↓ πm␈ε#;␈↓ λ␈ε)x␈↓ λ ␈ε7␈␈↓ λE␈ε)x␈↓ λV␈ε#1␈α	=␈↓ 	≠␈ε)x␈↓ 	;␈ε7␈␈↓ 	`␈ε)x␈↓ 	r␈ε#2␈α␈;␈↓ 
∃␈ε3lft␈↓ 
C␈ε)x␈↓ 
h␈ε#=␈α
1␈α␈;
␈ββ≡␈↓ ¬∀␈ε&1␈↓ ¬c␈ε&4␈↓ ε∩␈ε&2␈↓ εb␈ε&5␈↓ π⊃␈ε&3␈↓ π`␈ε&6␈↓ λ∂␈ε&2␈↓ 	*␈ε&3␈↓ 
6␈ε&1␈↓ 
R␈ε&1
␈ββ;␈↓ ↓H␈ε3rt␈↓ ↓n␈ε)x␈↓ α∃␈ε#=␈α
2␈↓ αQ␈ε)d␈↓ αk␈ε7␈␈ε#␈αλ1;".␈α≠(Ad␈α␈jacen␈α}t␈αch␈α␈ara␈α␈cters␈αwill␈αbe␈αsepa␈α␈rated␈αb␈α␈y␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈αo␈α␈ne␈αw␈α↓h␈α␈ite␈αp␈α␈i␈α↓x␈α}el,
␈ββF␈↓ ↓b␈ε&1␈↓ ↓}␈ε&3
␈ββc␈↓ ↓H␈ε#if␈αthe␈α
w␈α↓id␈α␈th␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αch␈α␈arac␈α␈ter␈αis␈α2␈↓ ¬#␈ε)d␈↓ ¬A␈ε#p␈α␈ix␈α␈els.)
␈β∧∃␈↓ ↓X␈ε32␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε#A␈αstr␈α␈aigh␈α␈t␈αline␈αfro␈α␈m␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α1␈αto␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α2␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
ano␈α␈the␈α␈r␈αf␈α↓ro␈α␈m␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α2␈αto␈α
poin␈α}t␈α3␈α␈.
␈β∧G␈↓ ↓X␈ε32␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε#T␈α↓h␈α␈e␈αsam␈α␈e␈α\cu␈α␈rv␈α␈e␈α␈"␈αas␈αin␈αex␈α}ercise␈α2␈α␈.␈α↓1␈α␈(!␈α↓).
␈β∧z␈↓ ↓X␈ε33␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε#No,␈αthey␈α␈'re␈αbo␈α␈th␈αth␈α␈e␈αsame␈αa␈α␈s␈αa␈↓ ¬e␈ε3cp␈α␈en␈↓ ε3␈ε#o␈α␈f␈αsize␈↓ π→␈ε)w␈↓ π;␈ε#.
␈β¬∧␈↓ π/␈ε&0
␈β¬,␈↓ ↓X␈ε33␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε3epen␈↓ α←␈ε#(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1)(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1)(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1).(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1)(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1)␈ε?#␈ε#␈α␈;␈αλi␈α↓f␈αεth␈α␈e␈αεh␈α␈eigh␈α␈t␈αεw␈α␈er␈α␈e␈αε4␈αεinst␈α␈ead
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∂5,␈α∂the␈α∞|␈α␈nal␈α∞\(␈ε7␈␈ε#7,␈ε7␈αε␈␈ε#1)"␈α∞w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞b␈α␈e␈α∞omitted␈α∞a␈α␈nd␈α∞\␈↓ πF␈ε3epen␈α}y␈α␈co␈α␈rr␈↓ λb␈ε#0␈α␈.5"␈α∞w␈α␈ould␈α∞b␈α␈e␈α∂u␈α␈sed␈α∞to
␈β¬{␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈en␈α␈ter␈αth␈α␈e␈αera␈α␈ser␈αv␈α␈ert␈α␈i␈α↓ca␈α␈ll␈α↓y␈α␈.
␈βε+␈↓ 
G␈ε"(
␈βε.␈↓ ↓X␈ε33␈α␈.3:␈↓ α⊗␈ε#P␈α↓ro␈α␈gram␈απ1␈απyield␈α␈s␈αλan␈απe␈α␈l␈α↓lipse␈απof␈απwi␈α↓d␈α␈th␈απ75␈απan␈α␈d␈απheig␈α␈h␈α␈t␈απ25,␈αλcen␈α}tered␈απat␈απthe␈απorig␈α␈i␈α↓n␈↓ 
S␈ε#i.e.,␈α	a␈α␈t
␈βεR␈↓ α\␈ε")
␈βεU␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αλ(0,0)␈↓ αh␈ε#.␈α
Progra␈α␈m␈αλ2␈αλdraws␈αλa␈αλsh␈α␈ap␈α␈e␈α	o␈α␈f␈α	th␈α␈e␈αλsame␈αλwidth␈απand␈απheigh␈α}t←bu␈α␈t␈α	it␈αλi␈α↓s␈αλco␈α␈mpo␈α␈sed
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
se␈α␈mici␈α↓r␈α␈cl␈α↓e␈α␈s␈α
of␈α
d␈α␈iamet␈α␈er␈α
25␈αat␈αthe␈αl␈α↓eft␈αan␈α␈d␈α
righ␈α}t,␈α∞c␈α␈onn␈α␈ecte␈α␈d␈α
in␈αthe␈αmidd␈α␈le␈α
by␈αa
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε#2␈α␈5␈ε7␈απα␈ε#␈αλ50␈α
rectan␈α␈gle.
␈βπW␈↓ ↓X␈ε34␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε?w0␈α∩dra␈α␈w␈α∪4␈α␈{1␈α␈,0}␈α␈..1␈α␈{0␈α␈,1}␈α␈;␈α∪d␈α␈ra␈α␈w␈α∪3␈α␈{0,␈α␈1}.␈α␈.2␈α␈{1,␈α␈0}.
␈βλ	␈↓ ↓X␈ε34␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε#Y␈α↓e␈α␈s.
␈βλ<␈↓ ↓X␈ε35␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε#(␈α↓a␈α␈)␈↓ αG␈ε)x␈↓ αc␈ε#.␈α∀(b)␈α	If␈↓ βR␈ε)x␈↓ βw␈ε#is␈α
o␈α␈n␈α	on␈α␈e␈α	side␈α	of␈↓ ¬d␈ε)x␈↓ ε␈ε#,␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α	is␈α	on␈α	th␈α␈e␈α	opp␈α␈osite␈α	side␈α␈,␈α
at␈α	a␈α	dista␈α␈nce
␈βλF␈↓ αV␈ε&1␈↓ βa␈ε&1␈↓ ¬s␈ε&2
␈βλc␈↓ ↓H␈ε#fro␈α␈m␈↓ α∃␈ε)x␈↓ α9␈ε#that␈αλis␈α	ha␈α␈lf␈α	the␈αλdista␈α␈nce␈αλfrom␈↓ ¬a␈ε)x␈↓ εε␈ε#to␈↓ ε,␈ε)x␈↓ εH␈ε#.␈α∀(Im␈α␈agine␈αλwalk␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	fro␈α␈m␈↓ 	2␈ε)x␈↓ 	V␈ε#to␈α␈ward␈α␈s␈↓ 
Q␈ε)x␈↓ 
v␈ε#a␈α␈t␈α	a
␈βλn␈↓ α$␈ε&2␈↓ ¬q␈ε&2␈↓ ε<␈ε&1␈↓ 	A␈ε&1␈↓ 
`␈ε&2
␈β	␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈α	spee␈α␈d␈α
t␈α␈hat␈α	gets␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α
th␈α␈ere␈α	after␈α	on␈α␈e␈α
d␈α␈ay;␈α
k␈α␈e␈α␈ep␈α	walkin␈α␈g␈α
for␈α	a␈α	total␈α	of␈α
3/␈α␈2␈α	day␈α␈s.)
␈β	3␈↓ ↓H␈ε#(c)␈α1/␈α␈2[␈↓ α3␈ε)x␈↓ αO␈ε#,␈↓ α↑␈ε)x␈↓ αz␈ε#].␈α
The␈αform␈α␈u␈α␈la␈α(␈↓ ∧e␈ε)x␈↓ ¬λ␈ε#+␈↓ ¬1␈ε)x␈↓ ¬M␈ε#)␈α↓/␈α␈2␈αi␈α↓s␈αon␈α␈e␈αsy␈α␈m␈α␈b␈α␈ol␈αsh␈α␈orter,␈αb␈α␈ut␈αit␈αis␈αless␈αde␈α␈scriptiv␈α␈e
␈β	=␈↓ αC␈ε&1␈↓ αn␈ε&2␈↓ ∧t␈ε&1␈↓ ¬A␈ε&2
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nce␈αt␈α␈he␈αb␈α␈rack␈α}et␈αno␈α␈tation␈α
i␈α↓s␈αu␈α␈nd␈α␈erstoo␈α␈d.
␈β
␈↓ π≥␈∧
π≥α9
␈β

␈↓ ↓X␈ε35␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε#(␈α↓a␈α␈)␈αYes.␈α~(b␈α␈)␈αN␈α␈o.␈α~(c␈α␈)␈αNo␈α
(tha␈α␈t␈αo␈α␈ne␈αm␈α␈ean␈α␈s␈↓ π≥␈ε)x␈↓ π9␈ε)x␈↓ πZ␈ε#).
␈β
∞␈↓ ε{␈ε7p
␈β
↔␈↓ π,␈ε&1␈↓ πH␈ε&2
␈β
?␈↓ ↓X␈ε36␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε#T␈α↓h␈α␈e␈αcu␈α␈rv␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
be␈α
|lled␈αin␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈α2␈α
an␈α␈d␈α8␈α␈,␈αo␈α␈bliteratin␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α1␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈α2
␈β
g␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
8␈αare␈αc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈α
poin␈α}ts.
␈β→␈↓ ↓X␈ε36␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε#A␈α↓t␈αlea␈α␈st␈αt␈α␈wo␈α
ways␈αwill␈αw␈α␈o␈α␈rk.␈α→(␈α↓a␈α␈)␈αB␈α↓y␈α
setting␈α\␈↓ π3␈ε3safety␈α␈facto␈α␈r␈↓ λj␈ε#0.222␈α␈22"␈α
an␈α␈d␈αusin␈α␈g␈α\1
␈βA␈↓ ↓H␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ α+␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αR␈ε#",␈α	th␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλof␈↓ ∧'␈ε)m␈↓ ∧M␈ε#is␈α	co␈α␈mpu␈α␈ted␈αλas␈αλi␈α↓f␈αλthe␈αλpen␈αλsize␈α	w␈α␈e␈α␈re␈α	9␈αλi␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈α	o␈α␈f␈α	1.␈α
The␈αλsafety
␈βh␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈ctor␈αm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αre␈α␈set␈αto␈α
2.␈α_(␈α↓b␈α␈)␈αBy␈α
using␈α
\␈↓ ε≡␈ε3e␈α␈pen␈↓ εk␈ε#(0,␈αε0␈α␈);␈α9␈↓ πa␈ε3d␈α␈dra␈α␈w␈↓ λF␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λm␈ε#"␈αy␈α}ou␈α
ge␈α␈t␈αthe␈α
e{ect␈αo␈α␈f
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε#a␈α
width␈α␈-9␈↓ α\␈ε3cpe␈α␈n␈↓ β)␈ε#bu␈α␈t␈αwith␈α
an␈α
ex␈α␈plicitly␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈α
pen␈α
th␈α␈at␈α
black␈α}en␈α␈s␈αo␈α␈nly␈α
on␈α␈e␈αp␈α␈ix␈α␈el␈αa␈α␈t␈αe␈α␈ach
␈β7␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α
an␈↓ βd␈ε3sp␈α␈en␈↓ ∧0␈ε#c␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
be␈αu␈α␈sed.
␈βj␈↓ ↓X␈ε38␈α␈.1:␈↓ α⊗␈ε3sub␈α␈rout␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈↓ β;␈ε0cu␈α␈rv␈α␈e␈↓ ∧
␈ε#(␈↓ ∧_␈ε3va␈α␈r␈↓ ∧S␈ε0theta␈↓ ¬#␈ε#,␈↓ ¬7␈ε3v␈α␈ar␈↓ ¬r␈ε0ph␈α␈i␈↓ ε$␈ε#,␈↓ ε8␈ε3ind␈α␈ex␈↓ π∪␈ε)i␈↓ π ␈ε#,␈↓ π4␈ε3ind␈α␈ex␈↓ λ∂␈ε)j␈↓ λ≥␈ε#)␈α↓:
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε3c␈α␈pen␈↓ α
␈ε#;␈α1␈↓ α:␈ε3dra␈α␈w␈↓ β∞␈ε)i␈↓ β~␈ε7f␈↓ β+␈ε3cos␈α␈d␈↓ βp␈ε0t␈α␈heta␈↓ ∧?␈ε#,␈↓ ∧M␈ε3si␈α↓n␈α␈d␈↓ ¬∞␈ε0the␈α␈ta␈↓ ¬]␈ε7g␈ε#␈αε.␈α¬.␈↓ ε⊃␈ε)j␈↓ ε ␈ε7f␈↓ ε1␈ε3co␈α␈sd␈↓ εu␈ε0ph␈α␈i␈↓ π'␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ πW␈ε3sind␈↓ λ_␈ε0p␈α␈hi␈↓ λI␈ε7g␈ε#.
␈β
D␈↓ ↓X␈ε38␈α␈.2:␈↓ α⊗␈ε#ca1,␈α
ca2␈α␈,␈α∞c␈α␈ab1␈α␈,␈α∞ca␈α␈b2␈α␈,␈α∞ca␈α␈bb␈α␈1,␈α
cab␈α␈b2␈α␈,␈α∞ca␈α␈bb␈α␈b1,␈α
ca␈α␈bb␈α␈b2.␈α≤(␈α↓Th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈αof␈α
x␈α}ca3␈αis␈α
the
␈β
k␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈me␈αas␈αth␈α␈at␈αo␈α␈f␈αx␈α}cab␈α␈1,␈αbu␈α␈t␈αno␈α
poin␈α}t␈αi␈α↓s␈αlab␈α␈eled␈αc␈α␈a3␈αsinc␈α␈e␈αy␈α␈ca␈α␈3␈αis␈αnev␈α}er␈αde␈α␈|n␈α␈ed.)
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"82␈↓ ε≤␈ε>Appendix␈αE
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈E>␈α
E␈α␈x␈α↓ample␈α
of␈α
a␈α
font␈α∞de|niti␈α↓o␈α␈n
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε"(This␈απappendix␈αλwill␈αλbe␈αλadded␈απlater,␈α	after␈αλthe␈απauthor's␈αλexperimen␈α␈ts␈αλwith␈αλthe␈απsecond
␈ββ4␈↓ ↓H␈ε"generation␈αof␈α\Computer␈αModern"␈αare␈αw␈α␈ell␈αalong.␈αIf␈αy␈α␈ou␈αcan't␈αwait␈αto␈αsee␈αwhat
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε"this␈α
appendix␈α
will␈α
be␈α
discussing,␈α
y␈α␈ou␈α
migh␈α␈t␈α
be␈α
able␈α
to␈α
understand␈α
the␈α
con␈α␈ten␈α␈ts
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"of␈α
|les␈ε5␈α
pro␈α␈of.␈α␈mf␈ε"␈α
and␈ε5␈α∞c␈α␈mba␈α␈se.␈α␈mf␈ε"␈α
on␈α∞area␈ε5␈α
[f␈α␈nt,␈α␈dek␈α␈]␈ε".␈α⊂But␈α
these␈α∞|les␈α
will␈α
be
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε"under␈αfrequen␈α␈t␈αrevision␈αwhile␈αdebugging␈αproceeds.)
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧A␈ε>Font␈αinformation␈αfor␈↓ π↓␈ε"T␈↓ π$␈ε"X␈↓ β␈ε"83
␈β↓g␈↓ π∀␈ε"E
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈F>␈α
F␈α␈ont␈α∞inf␈α↓o␈α␈rmation␈α∞for␈↓ ¬#␈ε"T␈↓ ¬G␈ε"X
␈βαZ␈↓ ¬6␈ε"E
␈ββ
␈↓ ↓H␈ε"The␈↓ α∂␈ε"T␈↓ α3␈ε"X␈↓ αV␈ε"typesetting␈α
system␈α	assumes␈α
that␈α
some␈α	\in␈α␈telligence"␈α
has␈α	been␈α
built␈α	in␈α␈to
␈ββ⊃␈↓ α"␈ε"E
␈ββ5␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂fon␈α␈ts␈α⊂it␈α∂uses.␈α↔In␈α⊂other␈α∂w␈α␈ords,␈α⊃information␈α∂stored␈α⊂with␈↓ 	↓␈ε"T␈↓ 	%␈ε"X␈↓ 	?␈ε"'s␈α∂fon␈α␈ts␈α⊂has␈α∂an
␈ββ<␈↓ 	∀␈ε"E
␈ββa␈↓ ↓H␈ε"importan␈α␈t␈α
e{ect␈α∞on␈↓ ∧π␈ε"T␈↓ ∧+␈ε"X␈↓ ∧E␈ε"'s␈α
behavior.␈α⊃This␈α∞has␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α∞consequences␈α
for␈α∞people␈α
who
␈ββh␈↓ ∧~␈ε"E
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"use␈↓ α∧␈ε"T␈↓ α'␈ε"X␈↓ αA␈ε":␈α∀(a)␈α
Typesetting␈α
is␈α
more␈α
⎇exible,␈αsince␈α
few␈α␈er␈α
con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α
are␈α	frozen␈α
in␈α␈to
␈β∧∪␈↓ α⊗␈ε"E
␈β∧7␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞computer␈α∂program.␈α≥(b)␈α∂Fon␈α␈t␈α∞designers␈α∂hav␈α␈e␈α∞to␈α∂w␈α␈ork␈α∞a␈α∂little␈α∞harder,␈α∂since
␈β∧b␈↓ ↓H␈ε"they␈α
hav␈α␈e␈α	to␈α
tell␈↓ βP␈ε"T␈↓ βt␈ε"X␈↓ ∧_␈ε"what␈α	to␈α
do.␈αThe␈α	purpose␈α
of␈α
this␈α
appendix␈α
is␈α
to␈α
explain␈α	ho␈α␈w
␈β∧i␈↓ βc␈ε"E
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ou,␈αas␈α
a␈αfon␈α␈t␈αdesigner,␈αcan␈αcope␈αwith␈α(b)␈α
in␈αorder␈αto␈αachiev␈α␈e␈αspectacular␈α
success
␈β¬9␈↓ ↓H␈ε"with␈α(a).␈α↔(You␈αshould␈αof␈αcourse␈αbe␈αsomewhat␈αfamiliar␈αwith␈↓ λn␈ε"T␈↓ 	⊃␈ε"X␈↓ 	6␈ε"if␈αy␈α␈ou␈αexpect␈αto
␈β¬@␈↓ 	↓␈ε"E
␈β¬d␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈vide␈αit␈αwith␈αthe␈αbest␈αinformation.)
␈βε≥␈↓ α␈ε#In␈α
the␈α
|rst␈α
plac␈α␈e,␈↓ ∧∂␈ε#T␈↓ ∧0␈ε#X␈↓ ∧S␈ε#n␈α␈eed␈α␈s␈αto␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈α
ho␈α␈w␈α
big␈α
a␈αb␈α␈o␈α␈x␈α
ea␈α␈ch␈α
cha␈α␈racte␈α␈r␈αis␈αsu␈α␈pp␈α␈osed␈α
to
␈βε#␈↓ ∧ ␈ε#E
␈βεE␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ccu␈α␈py␈α␈,␈α	since␈↓ β
␈ε#T␈↓ β.␈ε#X␈↓ βN␈ε#is␈αλb␈α␈ase␈α␈d␈αλo␈α␈n␈απthe␈απprimitiv␈α␈e␈απcon␈α␈cep␈α␈ts␈αλof␈απbo␈α␈x␈α}es␈αλa␈α␈nd␈απglu␈α␈e.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈απit␈αλty␈α␈peset␈α␈s
␈βεK␈↓ β≡␈ε#E
␈βεR␈↓ 	0␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈βεl␈↓ ↓H␈ε#a␈α	w␈α␈o␈α␈rd␈α	li␈α↓k␈α}e␈α	\b␈α␈o␈α␈x"␈α␈,␈α
it␈α
p␈α␈laces␈α	th␈α␈e␈α	|rst␈α	letter␈α	\b␈α␈"␈α	in␈α	su␈α␈ch␈α	a␈α	way␈αλthat␈α	th␈α␈e␈↓ 
g␈ε#pix␈α}el
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ose␈↓ α'␈ε)x␈↓ αA␈ε#an␈α␈d␈↓ α␈␈ε)y␈↓ β~␈ε#co␈α␈ordin␈α␈ates␈αλare␈αλ(0,␈αε0␈α␈)␈α	will␈α	ap␈α␈pea␈α␈r␈α	o␈α␈n␈αλthe␈αλba␈α␈seline␈αλof␈αλthe␈αλcur␈α␈ren␈α␈t␈αλho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε#line␈α
be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
typ␈α␈eset,␈αa␈α␈t␈αthe␈α
left␈αe␈α␈dge␈α
of␈α
the␈α
\b␈α␈"␈αb␈α␈o␈α␈x.␈αTh␈α␈e␈αse␈α␈con␈α␈d␈αlett␈α␈er␈α\o␈α␈"␈α
i␈α↓s␈α
plac␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
a
␈βπc␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈con␈α␈d␈αb␈α␈o␈α␈x␈αa␈α␈djac␈α␈en␈α␈t␈αto␈αthe␈α|␈α␈rst␈αon␈α␈e,␈α
so␈αi␈α↓t␈αis␈αo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αtell␈↓ 	↑␈ε#T␈↓ 	␈␈ε#X␈↓ 
$␈ε#h␈α␈o␈α␈w␈αwide
␈βπi␈↓ 	p␈ε#E
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#to␈αmak␈α}e␈αthe␈α\b␈α␈".␈α∞In␈αfac␈α␈t,␈↓ ∧F␈ε#T␈↓ ∧g␈ε#X␈↓ ¬␈ε#also␈αl␈α↓e␈α␈arns␈αh␈α␈o␈α␈w␈αta␈α␈l␈α↓l␈αth␈α␈e␈α\b␈α␈"␈αbo␈α}x␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αbe;␈αthis␈αa{ect␈α␈s
␈βλ⊃␈↓ ∧W␈ε#E
␈βλ*␈↓ π
␈ε#∀
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αplace␈α␈men␈α}t␈α
o␈α␈f␈α
ac␈α␈cen␈α␈ts,␈α
if␈αy␈α␈ou␈αwish␈αto␈αwrite␈α\␈↓ π	␈ε#b␈↓ π≠␈ε#∀␈↓ π≠␈ε#o␈↓ π,␈ε#x␈↓ π-␈ε#∀␈↓ π>␈ε#",␈α
an␈α␈d␈αit␈α
also␈αa␈α␈v␈α␈oid␈α␈s␈α
o␈α␈v␈α}erlap␈αwith
␈βλZ␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈n␈α␈u␈α␈sua␈α␈l␈αc␈α␈onstr␈α␈uction␈α␈s␈αin␈αan␈α
ad␈α␈j␈α↓a␈α␈cen␈α}t␈αl␈α↓in␈α␈e.
␈β	α␈↓ α␈ε#A␈α
tota␈α␈l␈αof␈α
fou␈α␈r␈α
dime␈α␈nsion␈α␈s␈α
i␈α↓s␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
fo␈α␈r␈αe␈α␈ach␈α
c␈α␈ha␈α␈racter␈α
o␈α␈f␈αa␈α	f␈α↓o␈α␈n␈α␈t␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
use␈α␈d␈α
by␈↓ 
j␈ε#T␈↓ ␈ε#X␈↓ #␈ε#,
␈β		␈↓ 
|␈ε#E
␈β	*␈↓ ↓H␈ε#in␈αu␈α␈nits␈αo␈α␈f␈αp␈α␈rin␈α␈ters'␈αp␈α␈oin␈α␈ts:
␈β	`␈↓ α␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ αu␈ε#,␈αth␈α␈e␈αwi␈α↓d␈α␈th␈αo␈α␈f␈αthe␈αb␈α␈o␈α␈x␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
the␈αch␈α␈ara␈α␈cter.
␈β
⊗␈↓ α␈ε3ch␈α␈arh␈α␈t␈↓ αi␈ε#,␈αth␈α␈e␈αhe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α(ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
the␈αb␈α␈aseline␈α␈)␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αb␈α␈o␈α␈x␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αch␈α␈arac␈α␈ter.
␈β
L␈↓ α␈ε3ch␈α␈ard␈α␈p␈↓ αp␈ε#,␈αthe␈αd␈α␈ep␈α␈th␈α(be␈α␈l␈α↓o␈α}w␈αt␈α␈he␈αb␈α␈aseline)␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αb␈α␈o␈α␈x␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αch␈α␈arac␈α␈ter.
␈βα␈↓ α␈ε3ch␈α␈aric␈↓ αc␈ε#,␈α
th␈α␈e␈α\italic␈αco␈α␈rrection␈α␈".␈α∞This␈αamo␈α␈un␈α}t␈α
is␈αad␈α␈de␈α␈d␈αto␈αth␈α␈e␈αwidth␈αo␈α␈f␈αthe␈αb␈α␈o␈α␈x␈α(a␈α␈t
␈β*␈↓ αP␈ε#the␈α∂righ␈α␈th␈α␈an␈α␈d␈α∂side)␈α∂i␈α↓n␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∂ca␈α␈ses:␈α"(a)␈α⊂Wh␈α␈en␈α∂a␈↓ λ~␈ε#T␈↓ λ;␈ε#X␈↓ λc␈ε#u␈α␈ser␈α⊂sp␈α␈eci|␈α␈es␈α⊂a␈α␈n␈α∂i␈α↓t␈α␈ali␈α↓c
␈β0␈↓ λ,␈ε#E
␈βR␈↓ αP␈ε#correc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞(\␈ε?␈α␈\/␈ε#"␈α␈)␈α∞immed␈α␈iately␈α
foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α∞th␈α␈is␈α∞ch␈α␈arac␈α␈ter,␈α∂in␈α
horizo␈α␈n␈α␈ta␈α␈l␈α∞mod␈α␈e.
␈βy␈↓ αP␈ε#(␈α↓b␈α␈)␈αW␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈αth␈α␈is␈α
c␈α␈har␈α␈acter␈αis␈αuse␈α␈d␈αin␈αma␈α␈th␈αmo␈α␈de,␈αun␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈α
it␈αh␈α␈as␈αa␈αsub␈α␈scrip␈α␈t
␈β!␈↓ αP␈ε#bu␈α␈t␈αno␈α
su␈α␈persc␈α␈ri␈α↓p␈α␈t.␈α_(␈α↓Fo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αthe␈α
itali␈α↓c␈α
cor␈α␈rection␈α
is␈αap␈α␈plied␈α
to␈↓ 
5␈ε)P␈↓ 
X␈ε#in␈α
the
␈βD␈↓ ∧{␈ε&2
␈βH␈↓ αP␈ε#f␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s␈↓ βX␈ε)P␈↓ βp␈ε#(␈↓ β{␈ε)x␈↓ ∧
␈ε#)␈αa␈α␈nd␈↓ ∧d␈ε)P␈↓ ¬λ␈ε#,␈αbu␈α␈t␈αno␈α␈t␈αi␈α↓n␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ πp␈ε)P␈↓ λ∪␈ε#.␈α↓)
␈βS␈↓ λβ␈ε,n
␈βe␈↓ λ3␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#If␈α
y␈α}ou␈α
d␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈α
s␈α␈pecify␈αone␈αor␈α
mor␈α␈e␈α
of␈α
the␈α␈se␈α
fou␈α␈r␈α
dimen␈α␈sions␈α␈,␈↓ 	n␈ε#a␈α␈ssume␈α␈s␈α
tha␈α␈t
␈β
&␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈αmean␈α}t␈α
an␈α␈y␈αmissing␈α
d␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈ns␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
zero␈α␈.␈α∩Fo␈α␈r␈α∞e␈α␈xa␈α␈mple,␈α∞th␈α␈e␈α
italic␈α
corre␈α␈ction␈α
fo␈α␈r
␈β
N␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ost␈αletters␈αin␈αn␈α␈on␈α␈-sl␈α↓a␈α␈n␈α␈ted␈α
fon␈α}ts␈αis␈αze␈α␈ro,␈αso␈αy␈α␈o␈α␈u␈αn␈α␈eed␈α␈n't␈αsay␈α
an␈α␈y␈α␈thin␈α␈g␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αit.
␈β
v␈↓ α␈ε#It␈αis␈αi␈α↓m␈α␈port␈α␈an␈α␈t␈αto␈α
not␈α␈e␈αthe␈αd␈α␈i{␈α↓er␈α␈ence␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ π.␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ λ#␈ε#(th␈α␈e␈αwidth␈α
of␈αthe␈α
cha␈α␈racte␈α␈r
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈o␈α␈x␈α␈)␈αan␈α␈d␈↓ αR␈ε3cha␈α␈rdw␈↓ βF␈ε#(the␈α
cha␈α␈racte␈α␈r'␈α↓s␈α
de␈α␈vice␈α
wi␈α↓d␈α␈th,␈αd␈α␈iscuss␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
Ch␈α␈ap␈α␈ter␈α9␈α␈).␈αTh␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈rmer␈α
is
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αin␈αu␈α␈nits␈αo␈α␈f␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts,␈αand␈αit␈αa{ect␈α␈s␈↓ ¬|␈ε#T␈↓ ε≥␈ε#X␈↓ ε5␈ε#'s␈αpo␈α␈si␈α↓tio␈α␈ning␈αof␈αte␈α␈xt,␈αwhile␈αth␈α␈e␈αlatter␈αi␈α↓s␈αan
␈β∞L␈↓ ε∞␈ε#E
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"84␈↓ ε≤␈ε>Appendix␈αF
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαV␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αpix␈α␈els␈αth␈α␈at␈αh␈α␈as␈αn␈α␈o␈αin⎇␈α␈ue␈α␈nce␈αon␈αt␈α␈he␈αa␈α␈pp␈α␈eara␈α␈nce␈αof␈↓ 	5␈ε#T␈↓ 	V␈ε#X␈↓ 	z␈ε#ou␈α␈tpu␈α␈t.␈α∞The
␈βα]␈↓ 	G␈ε#E
␈βα}␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈urp␈α␈ose␈α
of␈↓ αj␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ β↑␈ε#is␈αme␈α␈rely␈αto␈α
com␈α␈pres␈α␈s␈αthe␈α
da␈α␈ta␈αth␈α␈at␈↓ πn␈ε#T␈↓ λ∂␈ε#X␈↓ λ2␈ε#tran␈α␈smits␈αto␈α
a␈αty␈α␈pe␈α␈setting
␈ββ∧␈↓ λ␈ε#E
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈e;␈α
for␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈↓ ∧⊃␈ε#T␈↓ ∧2␈ε#X␈↓ ∧T␈ε#n␈α␈eed␈α␈n't␈α
sp␈α␈ecify␈α	where␈α	to␈α	pu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
\␈α␈o"␈α	foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α
\␈α␈b",␈α
in␈α	the
␈ββ,␈↓ ∧"␈ε#E
␈ββM␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ommo␈α␈n␈απca␈α␈se␈απtha␈α␈t␈αλth␈α␈e␈απtyp␈α␈esett␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απde␈α␈vice␈απwil␈α↓l␈απ|␈α␈gure␈απth␈α␈e␈απcor␈α␈rect␈απpo␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απby␈αεi␈α↓ts␈απk␈α␈no␈α}wl␈α↓e␈α␈dge
␈ββu␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αthe␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈te␈αsize␈↓ ∧,␈ε3ch␈α␈ard␈α␈w␈↓ ¬∃␈ε#.␈α∂Fu␈α␈rthe␈α␈rmore␈↓ εr␈ε3c␈α␈har␈α␈dw␈↓ πg␈ε#is␈αthe␈αwid␈α␈th␈αof␈αth␈α␈e␈αch␈α␈arac␈α␈ter␈αif
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αsome␈αre␈α␈ason␈α
y␈α␈ou␈α
are␈α(sh␈α}ud␈α␈der)␈αty␈α␈pe␈α␈setting␈αso␈α␈meth␈α␈ing␈αwith␈α␈out␈αu␈α␈sing␈↓ 	a␈ε#T␈↓ 
α␈ε#X␈↓ 
~␈ε#.
␈β∧#␈↓ 	r␈ε#E
␈β∧N␈↓ α␈ε#The␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αkind␈α
of␈αi␈α↓n␈α␈form␈α␈ation␈αth␈α␈at␈↓ ε
␈ε#T␈↓ ε.␈ε#X␈↓ εQ␈ε#wan␈α}ts␈αi␈α↓s␈αc␈α␈onc␈α␈erne␈α␈d␈αwith␈αpa␈α␈irs␈αo␈α␈f␈αadja␈α␈cen␈α}t
␈β∧U␈↓ ε≡␈ε#E
␈β∧v␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈hara␈α␈cters␈αwithin␈αa␈αfon␈α}t,␈α
na␈α␈mely␈αthe␈αd␈α␈ata␈αab␈α␈ou␈α␈t␈α
ligat␈α␈ures␈αan␈α␈d␈αk␈α␈ern␈α␈ing␈α␈.␈α⊂For␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β¬≡␈↓ ↓H␈ε#T␈↓ ↓i␈ε#X␈↓ α
␈ε#mo␈α␈v␈α}es␈α
th␈α␈e␈α
\␈α␈x"␈α	sl␈α↓ig␈α␈h␈α␈tly␈α	closer␈α
t␈α␈o␈α
th␈α␈e␈α
\␈α␈o"␈α	i␈α↓n␈α	th␈α␈e␈α
w␈α␈ord␈α	\␈α␈bo␈α␈x␈α␈",␈α
be␈α␈cau␈α␈se␈α
o␈α␈f␈α
inform␈α␈ation
␈β¬$␈↓ ↓Y␈ε#E
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε#sto␈α␈red␈αin␈α
the␈αfo␈α␈n␈α␈t␈αy␈α␈o␈α␈u␈αa␈α␈re␈αno␈α}w␈αr␈α␈ead␈α␈i␈α↓n␈α␈g.␈αOthe␈α␈rwi␈α↓se␈α
(i␈α↓f␈αth␈α␈e␈αthre␈α␈e␈αbo␈α}x␈α␈es␈αh␈α␈ad␈αsimp␈α␈ly␈αb␈α␈een
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈laced␈α	ne␈α␈xt␈α
to␈α	eac␈α␈h␈α
o␈α␈ther␈α	acco␈α␈rding␈α	to␈α
t␈α␈heir␈↓ εK␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ π4␈ε#)␈α
the␈α	wo␈α␈rd␈α	wo␈α␈uld␈α	hav␈α}e␈α
b␈α␈een␈α	\b␈α␈ox"␈α␈,
␈βε∀␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich␈α
look␈α␈s␈αsligh␈α}tly␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈αa␈α␈ttractiv␈α}e.␈αSimilarly␈α
the␈α␈re␈αis␈α
a␈α
di{eren␈α␈ce␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
\di{eren␈α␈ce"
␈βε<␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α\d␈α␈iff␈α↓e␈α␈renc␈α␈e",␈αb␈α␈ecau␈α␈se␈αt␈α␈he␈αfon␈α␈t␈αtell␈α↓s␈↓ ε
␈ε#T␈↓ ε.␈ε#X␈↓ εR␈ε#to␈αsu␈α␈bstitute␈αligatu␈α␈re␈α\␈α␈{␈α↓"␈αwh␈α␈en␈αthere␈αare
␈βεC␈↓ ε∨␈ε#E
␈βεd␈↓ ↓H␈ε#t␈α␈w␈α␈o␈αf's␈αin␈αa␈αro␈α}w.
␈βπ␈↓ α␈ε#Ligatu␈α␈re␈α∂a␈α␈nd␈α∞k␈α␈ern␈α␈ing␈α∞inform␈α␈ation␈α∞is␈α∂spe␈α␈ci|ed␈α∞by␈α∞giv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ λX␈ε#T␈↓ λy␈ε#X␈↓ 	 ␈ε#sho␈α␈rt␈α∂pr␈α␈ogra␈α␈ms␈α∂to
␈βπ∩␈↓ λj␈ε#E
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w.␈α∃For␈α∞exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α∂th␈α␈e␈α∂fo␈α␈n␈α␈t␈α∞y␈α␈ou␈α∞a␈α␈re␈α∞no␈α␈w␈α∞read␈α␈ing␈α∞inc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈α␈s␈α∂th␈α␈e␈α∂fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α∞pro␈α␈gram␈α␈s
␈βπZ␈↓ ↓H␈ε#(a␈α␈mon␈α␈g␈αoth␈α␈ers):
␈βλ$␈↓ βg␈ε3lig␈↓ ∧∃␈ε?␈
␈ε#f:␈ε?␈α␈
␈ε#i␈α=␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈17␈α␈4,␈ε?␈α␈
␈ε#f␈α=␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈173␈α␈,␈ε?␈α␈
␈ε#␈α␈l␈α=␈ε?␈α∞␈ε#1␈α␈75;
␈βλK␈↓ βg␈ε3lig␈↓ ∧∃␈ε?∞␈ε#1␈α␈73:␈ε?␈α␈
␈ε#i␈α=␈ε?␈α∞␈ε#17␈α␈6,␈ε?␈α␈
␈ε#l␈α=␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈177␈α␈;
␈βλs␈↓ βg␈ε3lig␈↓ ∧∃␈ε?␈
␈ε#V:␈ε?␈α␈
␈ε#F:␈ε?␈α␈
␈ε#A␈↓ ¬G␈ε3k␈α␈e␈α␈rn␈↓ ε∩␈ε7␈␈ε#2.5␈↓ ε↑␈ε0ru␈↓ π↓␈ε#,
␈β	~␈↓ ∧)␈ε?␈
␈ε#X:␈ε?␈α␈
␈ε#K:␈ε?␈α␈
␈ε#O␈↓ ¬a␈ε3k␈α␈e␈α␈rn␈↓ ε,␈ε7␈␈ε#.5␈↓ εg␈ε0ru␈↓ π
␈ε#,␈ε?␈α␈
␈ε#C␈↓ πV␈ε3k␈α}ern␈↓ λ!␈ε7␈␈ε#.5␈↓ λ\␈ε0ru␈↓ λ␈␈ε#,
␈β	B␈↓ ¬/␈ε?␈
␈ε#␈α␈G␈↓ ¬f␈ε3k␈α␈ern␈↓ ε1␈ε7␈␈ε#.␈α↓5␈↓ εl␈ε0ru␈↓ π∂␈ε#,␈ε?␈α␈
␈ε#Q␈↓ π[␈ε3k␈α␈e␈α␈rn␈↓ λ&␈ε7␈␈ε#.␈α↓5␈↓ λa␈ε0ru␈↓ 	∧␈ε#;
␈β	v␈↓ εr␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	l␈α↓ik␈α␈e␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	can␈α	a␈α␈pp␈α␈ear␈α	an␈α␈y␈α␈where␈α	in␈α	a␈↓ λ)␈ε#p␈α␈rog␈α␈ram␈α	after␈↓ 	z␈ε3tf␈α↓x␈α␈mo␈α␈de␈↓ 
|␈ε#ha␈α␈s
␈β
8␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈een␈αspec␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α␈.␈α∩Bo␈α␈th␈α
li␈α↓g␈α␈atu␈α␈res␈α
an␈α␈d␈α
k␈α}erns␈α
a␈α␈re␈α
in␈α␈tro␈α␈du␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈α
th␈α␈e␈α
k␈α␈e␈α␈yw␈α␈ord␈↓ 	z␈ε3li␈α↓g␈↓ 
≥␈ε#,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈is
␈β
`␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xam␈α␈ple␈αca␈α␈n␈αbe␈α
para␈α␈ph␈α␈rased␈α
as␈αfollo␈α␈ws:
␈β∩␈↓ α≡␈ε#Dea␈α␈r␈↓ αm␈ε#T␈↓ β∞␈ε#X␈↓ β&␈ε#,␈α	wh␈α␈en␈αλy␈α}ou␈αλare␈αλty␈α␈pe␈α␈setting␈αλa␈α␈n␈αλ\f␈↓ εq␈ε#"␈αλwith␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλfon␈α}t,␈α	an␈α␈d␈αλwhen␈απthe␈αλfol-
␈β_␈↓ α}␈ε#E
␈β9␈↓ α≡␈ε#lo␈α␈wing␈αλch␈α␈aract␈α␈er␈α	also␈αλbe␈α␈l␈α↓o␈α␈ng␈α␈s␈α	to␈αλthis␈α	fo␈α␈n␈α␈t,␈α	do␈αλthis:␈α
If␈α	th␈α␈e␈α	follo␈α␈wing␈αλch␈α␈arac␈α␈ter
␈βa␈↓ α≡␈ε#is␈αλan␈αλ\␈α␈i␈α↓"␈α␈,␈α	cha␈α␈ng␈α␈e␈αλthe␈αλ\f␈↓ ∧d␈ε#"␈απto␈αλch␈α␈aract␈α␈er␈αλcod␈α␈e␈αλocta␈α␈l␈ε)␈α	1␈α␈74␈ε#␈αλ[na␈α␈mely␈αλ\|␈α␈"]␈αλan␈α␈d␈αλd␈α␈elete
␈β	␈↓ α≡␈ε#th␈α␈e␈α
\␈α␈i␈α↓"␈α␈;␈α
i␈α↓f␈α	it␈α
is␈α	an␈α	\␈α␈f␈↓ ∧9␈ε#"␈α	or␈α	\l",␈α
similarly␈α	ch␈α␈an␈α␈ge␈α	the␈α	p␈α␈air␈α	of␈α	cha␈α␈racters␈α	to␈α	o␈α␈ctal
␈β0␈↓ α≡␈ε)17␈α␈3␈ε#␈α[␈α↓\␈α␈{␈↓ β␈ε#"␈α␈]␈αor␈ε)␈α17␈α␈5␈ε#␈α[\⎇"␈α␈]␈α↓.␈αWhe␈α␈n␈αy␈α␈ou␈α
are␈αtyp␈α␈esettin␈α␈g␈αcha␈α␈racter␈αco␈α␈de␈ε)␈α17␈α␈3␈ε#␈α[␈α↓`{␈↓ 
<␈ε#"]
␈βX␈↓ α≡␈ε#an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αch␈α␈aract␈α␈er␈αi␈α↓s␈αa␈α␈n␈α\i"␈αo␈α␈r␈α
\␈α␈l",␈α
ch␈α␈an␈α␈ge␈αto␈αc␈α␈ode␈α␈s␈ε)␈α176␈ε#␈α[\}␈α␈"]␈αor␈ε)␈α17␈α␈7
␈β␈␈↓ α≡␈ε#[\␈␈"␈α␈]␈α↓.␈α
Wh␈α␈en␈αy␈α␈o␈α␈u␈αa␈α␈re␈αty␈α␈pe␈α␈setting␈αa␈α\V"␈αor␈αa␈α␈n␈α\F"␈αand␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αch␈α␈arac␈α␈ter
␈β
'␈↓ α≡␈ε#is␈αan␈α\A"␈αi␈α↓n␈αth␈α␈i␈α↓s␈αfon␈α␈t,␈αd␈α␈elete␈α2␈α␈.␈α↓5␈↓ ¬x␈ε0ru␈↓ ε'␈ε#of␈αsp␈α␈ac␈α␈e␈αbe␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈αth␈α␈e␈α\␈α␈A␈α↓"␈α␈.␈α≠[Variab␈α␈l␈α↓e␈↓ 
3␈ε0ru
␈β
K␈↓ πt␈ε&1␈↓ 	v␈ε&10
␈β
O␈↓ α≡␈ε#ha␈α␈s␈αbeen␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈αelsewhe␈α␈re␈αi␈α↓n␈α
the␈αp␈α␈rogra␈α␈m␈αto␈αbe␈↓ λ⊗␈ε#o␈α␈f␈αa␈αq␈α␈ua␈α␈d,␈αi␈α↓.e.,␈↓ 
≡␈ε#of␈αa
␈β
]␈↓ πm␈∧
]πmα~␈↓ 	v␈∧
]	vα~
␈β
←␈↓ πm␈ε&18␈↓ 	v␈ε&18
␈β
v␈↓ α≡␈ε#po␈α␈in␈α␈t␈α	in␈α	10␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α␈t␈α	ty␈α␈pe␈α␈.␈α↓]␈α∀If␈α
th␈α␈e␈α	ne␈α␈xt␈α	ch␈α␈aract␈α␈er␈α	i␈α↓s␈α	\O␈α␈"␈α	or␈α	\C"␈α	o␈α␈r␈α	\G"␈α	o␈α␈r␈α
\␈α␈Q",
␈β∞~␈↓ βα␈ε&1
␈β∞≡␈↓ α≡␈ε#de␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈↓ β∩␈ε0ru␈↓ β@␈ε#of␈αspac␈α␈e␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αthe␈αletter␈α␈s.␈αThese␈αlas␈α␈t␈αfo␈α␈ur␈αinstru␈α␈ction␈α␈s␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y
␈β∞,␈↓ βα␈∧∞,βαα
␈β∞.␈↓ βα␈ε&2
␈β∞E␈↓ α≡␈ε#after␈α\␈α␈X"␈αan␈α␈d␈α\␈α␈K"␈αas␈αw␈α␈ell␈αas␈αafter␈α\␈α␈V"␈αan␈α␈d␈α\␈α␈F␈α↓"␈α␈.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧A␈ε>Font␈αinformation␈αfor␈↓ π↓␈ε"T␈↓ π$␈ε"X␈↓ β␈ε"85
␈β↓g␈↓ π∀␈ε"E
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ α␈ε#The␈α
gen␈α␈eral␈αform␈αo␈α␈f␈αliga␈α␈ture/␈α␈k␈α␈ern␈α␈ing␈αsta␈α␈teme␈α␈n␈α␈ts␈αis
␈ββ≠␈↓ ¬⊗␈ε3l␈α↓ig␈↓ ¬E␈ε7h␈ε#lig␈αinstru␈α␈ction␈α
l␈α↓ist␈ε7i
␈ββa␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε7␈α
h␈ε#li␈α↓g␈α
inst␈α␈ruction␈αl␈α↓ist␈ε7i␈ε#␈α
i␈α↓s␈α
a␈α
li␈α↓s␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α∞on␈α␈e␈α
or␈α
more␈ε7␈α
h␈ε#li␈α↓g␈α
in␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#s.␈α∩The␈α␈re␈α∞a␈α␈re␈α
three
␈β∧	␈↓ ↓H␈ε#k␈α␈ind␈α␈s␈αof␈ε7␈αh␈ε#l␈α↓ig␈αin␈α␈structio␈α␈n␈ε7i␈ε#s,␈αwhich␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈pp␈α␈ear␈αin␈α}termix␈α␈ed␈α
in␈αan␈α}y␈αor␈α␈der:
␈β∧9␈↓ ↓e␈ε#1)␈↓ α␈ε#Lab␈α␈els,␈αh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
form␈α	\␈ε7h␈ε#ex␈α␈pressio␈α␈n␈ε7i␈ε#:".␈αTh␈α␈e␈ε7␈α
h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#␈α
is␈α
usu␈α␈ally␈α
a␈α	con␈α␈stan␈α}t,␈αa␈α␈s
␈β∧`␈↓ αP␈ε#i␈α↓n␈αou␈α␈r␈α
ex␈α␈am␈α␈ples␈α
a␈α␈bo␈α␈v␈α}e;␈α∞it␈α
d␈α␈eno␈α␈tes␈α
a␈αch␈α␈arac␈α␈ter␈α
co␈α␈de,␈α
which␈αis␈α
ro␈α␈un␈α␈ded␈αto␈αan
␈β¬λ␈↓ αP␈ε#i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αλthat␈αλsh␈α␈ou␈α␈ld␈αλbe␈απbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αλ0␈αλa␈α␈nd␈απ127␈αλ(o␈α␈ctal␈ε)␈αλ17␈α␈7␈↓ λ.␈ε#).␈α
At␈αλmost␈αλo␈α␈ne␈αλla␈α␈bel␈αλsho␈α␈uld
␈β¬0␈↓ αP␈ε#app␈α␈ear␈α
for␈α∞ea␈α␈ch␈α
cha␈α␈racter␈α
cod␈α␈e.␈α∀Th␈α␈e␈α∞lab␈α␈el␈α∞mea␈α␈ns␈α∞th␈α␈at␈α
the␈α∞liga␈α␈ture/␈α␈k␈α␈ern␈α␈ing
␈β¬W␈↓ αP␈ε#prog␈α␈ram␈α
for␈α∞th␈α␈e␈α∞sp␈α␈eci|ed␈α
ch␈α␈ara␈α␈cter␈α∞sta␈α␈rts␈α∞he␈α␈re.␈α∀No␈α␈te␈α∞th␈α␈at␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rogra␈α␈m␈α∞fo␈α␈r
␈β¬␈␈↓ αP␈ε#cha␈α␈racter␈α␈s␈ε?␈α
␈
␈ε#X␈α
an␈α␈d␈ε?␈α
␈
␈ε#K␈α
in␈α	ou␈α␈r␈α
exa␈α␈mple␈α
sta␈α␈rts␈α
i␈α↓n␈α	the␈α	midd␈α␈l␈α↓e␈α	of␈α
the␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α
fo␈α␈r
␈βε&␈↓ αP␈ε#cha␈α␈racter␈α␈s␈ε?␈α
␈
␈ε#V␈α
an␈α␈d␈ε?␈α
␈
␈ε#␈α␈F␈α↓,␈α
wh␈α␈i␈α↓le␈α
t␈α␈he␈α
latte␈α␈r␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
letters␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
iden␈α}tical␈α
pro␈α␈gra␈α␈ms;
␈βεN␈↓ αP␈ε#this␈αd␈α␈ev␈α␈i␈α↓c␈α␈e␈αsa␈α␈v␈α␈es␈α
sp␈α␈ace␈α
inside␈↓ ε↓␈ε#T␈↓ ε"␈ε#X␈↓ ε:␈ε#,␈αa␈α␈nd␈α
it␈α
also␈α
sav␈α␈e␈α␈s␈αtime␈α
sinc␈α␈e␈↓ 	b␈ε#T␈↓ 
β␈ε#X␈↓ 
%␈ε#ha␈α␈s␈αfew␈α␈e␈α␈r
␈βεT␈↓ ε∩␈ε#E␈↓ 	s␈ε#E
␈βεv␈↓ αP␈ε#i␈α↓n␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈α
l␈α↓o␈α␈ad␈αwith␈α
the␈αfon␈α}ts.
␈βπ&␈↓ ↓e␈ε#2)␈↓ α␈ε#Ligatu␈α␈re␈α⊂re␈α␈place␈α␈men␈α}ts,␈α⊃hav␈α␈ing␈α∂the␈α∂form␈α∂\␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssion␈↓ λ/␈ε7i␈ε#␈α⊂=␈ε7␈α⊂h␈ε#ex␈α␈press␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ 
(␈ε7i␈ε#␈α↓"␈α␈.␈α→Both
␈βπ0␈↓ λ#␈ε&1␈↓ 
≤␈ε&2
␈βπM␈↓ αP␈ε7h␈ε#␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#s␈αare␈α
rou␈α␈nd␈α␈ed␈α
to␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈αth␈α␈at␈α
sho␈α␈uld␈α
be␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
1␈α␈27;␈αth␈α␈ey
␈βπu␈↓ αP␈ε#are␈α	usu␈α␈ally␈α	con␈α␈stan␈α}ts.␈αTh␈α␈e␈α
m␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	is␈α
th␈α␈at␈α	if␈α
th␈α␈e␈α	cur␈α␈ren␈α␈t␈α	ch␈α␈arac␈α␈ter␈α	i␈α↓s␈α	follo␈α␈w␈α␈ed
␈βλ≤␈↓ αP␈ε#by␈α∂the␈α⊂c␈α␈hara␈α␈cter␈α⊂wh␈α␈ose␈α⊂c␈α␈ode␈α∂i␈α↓s␈ε7␈α⊂h␈ε#ex␈α␈pr␈α␈ession␈↓ πf␈ε7i␈ε#,␈α∩th␈α␈is␈α⊂pair␈α⊂is␈α⊂rep␈α␈laced␈α∂by␈α∂the
␈βλ'␈↓ πZ␈ε&1
␈βλD␈↓ αP␈ε#cha␈α␈racter␈αwh␈α␈ose␈αc␈α␈ode␈αis␈ε7␈αh␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈↓ ε←␈ε7i␈ε#.
␈βλO␈↓ εS␈ε&2
␈βλt␈↓ ↓e␈ε#3)␈↓ α␈ε#Kern␈αspe␈α␈ci|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αha␈α␈vin␈α␈g␈αthe␈αform␈α\␈ε7␈α␈h␈ε#exp␈α␈ression␈↓ πk␈ε7i␈↓ λα␈ε3k␈α}ern␈↓ λN␈ε7h␈ε#ex␈α␈pr␈α␈ession␈↓ 	{␈ε7i␈ε#".␈α∞Th␈α␈e␈α|rs␈α␈t
␈βλ␈␈↓ π↑␈ε&1␈↓ 	o␈ε&2
␈β	≤␈↓ αP␈ε#exp␈α␈ression␈αis␈αusu␈α␈ally␈αcon␈α␈stan␈α}t;␈αit␈αis␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈αto␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αtha␈α␈t␈αsh␈α␈ou␈α␈ld␈αl␈α↓ie␈αbe␈α␈-
␈β	C␈↓ αP␈ε#t␈α␈we␈α␈en␈αλ0␈απan␈α␈d␈αλ12␈α␈7.␈α
The␈απsecon␈α␈d␈αλe␈α␈xp␈α␈ression␈απi␈α↓s␈αλu␈α␈sua␈α␈ll␈α↓y␈απne␈α␈gativ␈α␈e␈α␈,␈α	bu␈α␈t␈αλit␈αλnee␈α␈d␈αλn␈α␈ot␈αλb␈α␈e.
␈β	k␈↓ αP␈ε#The␈αλm␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απi␈α↓s␈απthat␈απi␈α↓f␈απthe␈απcurre␈α␈n␈α␈t␈αλch␈α␈ara␈α␈cter␈αλis␈αλfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈απb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλc␈α␈hara␈α␈cter␈απw␈α↓h␈α␈ose
␈β
∪␈↓ αP␈ε#cod␈α␈e␈α⊂is␈ε7␈α∂h␈ε#ex␈α␈pression␈↓ ∧t␈ε7i␈ε#,␈α⊂i␈α↓n␈α∂t␈α␈he␈α∂sam␈α␈e␈α⊂fo␈α␈n␈α␈t,␈α⊃a␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α⊂sp␈α␈acing␈α∂o␈α␈f␈ε7␈α⊂h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈↓ !␈ε7i
␈β
≥␈↓ ∧g␈ε&1␈↓ ∃␈ε&2
␈β
:␈↓ αP␈ε#poin␈α}ts␈αi␈α↓s␈αin␈α␈serted␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
the␈αt␈α␈w␈α␈o␈α␈.
␈β
j␈↓ ↓H␈ε#In␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
of␈α
ty␈α␈pes␈α
(2␈α␈)␈αa␈α␈nd␈α
(3␈α␈)␈αm␈α}ust␈α
be␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α}we␈α␈d␈α
by␈α	com␈α␈mas,␈α
un␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈αth␈α␈ey␈α
a␈α␈re␈α
the␈α
|␈α␈na␈α␈l
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈struct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
the␈ε7␈α
h␈ε#li␈α↓g␈α
in␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
li␈α↓st␈ε7i␈ε#;␈αla␈α␈bels,␈αo␈α␈n␈α
the␈α
o␈α␈ther␈α
ha␈α␈nd␈α␈,␈αare␈α
n␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α	by
␈β9␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omma␈α␈s.
␈βa␈↓ α␈ε#We␈α
h␈α␈av␈α}e␈αsaid␈αtha␈α␈t␈α
t␈α␈he␈αli␈α↓g␈α␈atu␈α␈re/k␈α}ernin␈α␈g␈αpro␈α␈gram␈αfor␈αea␈α␈ch␈αch␈α␈arac␈α␈ter␈αstarts␈αat␈αthe
␈β	␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈αl␈α↓a␈α␈bel,␈α∞b␈α␈ut␈α
wh␈α␈ere␈α
do␈α␈es␈α
th␈α␈at␈α
pro␈α␈gram␈αstop␈α␈?␈α∩An␈α␈sw␈α␈er:␈α∂It␈α
stops␈α
a␈α␈t␈α
the␈α
e␈α␈nd
␈β0␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αth␈α␈e␈ε7␈αh␈ε#li␈α↓g␈α
i␈α↓n␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αlist␈ε7i␈ε#␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈αth␈α␈e␈αlab␈α␈el,␈αu␈α␈nless␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈st␈ε7␈αh␈ε#␈α↓lig␈αinstru␈α␈ction␈ε7␈α␈i␈ε#␈αof␈αtha␈α␈t
␈βX␈↓ ↓H␈ε#list␈αis␈αa␈αla␈α␈bel,␈αor␈αu␈α␈nless␈αt␈α␈hat␈α
l␈α↓a␈α␈st␈ε7␈αh␈ε#l␈α↓ig␈α
i␈α↓n␈α␈stru␈α␈ction␈ε7i␈ε#␈αis␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈αa␈α
comm␈α␈a.␈αIn␈αth␈α␈e␈αlatte␈α␈r
␈β␈␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ases,␈α∞th␈α␈e␈α
li␈α↓g␈α␈atu␈α␈re/k␈α}ern␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈rogra␈α␈m␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈es␈α
i␈α↓n␈α}to␈α
th␈α␈e␈α
nex␈α␈t␈ε7␈α
h␈ε#li␈α↓g␈αi␈α↓n␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
list␈ε7i␈ε#␈α
tha␈α␈t
␈β

␈↓ ↓H␈ε<h␈α␈ij␈α}kl␈α␈mn␈α↓j␈↓ ε!␈ε<hi␈α␈j␈α}k␈α↓l␈α}m␈α↓nj
␈β
'␈↓ α}␈ε#i␈α↓n␈α}terpr␈α␈ets.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α	y␈α␈ou␈αλcan␈α	u␈α␈se␈↓ πO␈ε#'s␈α	sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es␈α	an␈α␈d/o␈α␈r␈α	con␈α␈ditiona␈α␈l
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈teme␈α␈n␈α␈ts␈αt␈α␈o␈αg␈α␈ene␈α␈rate␈α
i␈α↓n␈α}tricate␈α
pa␈α␈ttern␈α␈s␈αof␈α
l␈α↓ig␈α␈atur␈α␈e/k␈α}ernin␈α␈g␈αin␈α␈structio␈α␈ns,␈αif␈αy␈α}ou␈α
rea␈α␈l␈α↓ly
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#wa␈α␈n␈α␈t␈αto.
␈β∞≡␈↓ α␈ε0Cau␈α␈tion␈α␈:␈ε#␈α→No␈α}vices␈α
often␈α
go␈α
o␈α␈v␈α}erb␈α␈oard␈α
o␈α␈n␈αk␈α}ern␈α␈i␈α↓n␈α␈g;␈αrest␈α␈rain␈α␈t␈α
i␈α↓s␈α
desira␈α␈ble.␈αIt␈αu␈α␈sua␈α␈l␈α↓ly
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈rks␈α
o␈α␈ut␈α	best␈α	to␈α
k␈α}ern␈α	by␈α	a␈α␈t␈α
most␈α	ha␈α␈l␈α↓f␈α	of␈α
wh␈α␈at␈α
loo␈α␈ks␈α	ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
t␈α␈o␈α
y␈α}ou␈α	at␈α
|␈α␈rst,␈α
since␈α	k␈α␈ern␈α␈ing
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"86␈↓ ε≤␈ε>Appendix␈αF
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#sh␈α␈ou␈α␈ld␈α
no␈α␈t␈αn␈α␈otice␈α␈able␈α
b␈α␈y␈α
its␈αp␈α␈resen␈α␈ce␈α
(on␈α␈ly␈α
by␈α	i␈α↓t␈α␈s␈αa␈α␈bsen␈α␈ce).␈αKer␈α␈ning␈α
th␈α␈at␈α
loo␈α␈ks␈α
righ␈α␈t␈α
in
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#a␈αλlogo␈αλoften␈αλin␈α␈terru␈α␈pts␈αλthe␈α	r␈α␈h␈α␈yt␈α␈hm␈α	o␈α␈f␈α	read␈α␈ing␈αλwhen␈αλit␈α	ap␈α␈pea␈α␈rs␈α	in␈α	o␈α␈ther␈αλtextu␈α␈al␈α	ma␈α␈terial.
␈ββ8␈↓ α␈ε#The␈αrem␈α␈ainin␈α␈g␈αin␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αtha␈α␈t␈↓ ¬k␈ε#T␈↓ ε␈ε#X␈↓ ε/␈ε#ne␈α␈eds␈αin␈αa␈αtex␈α␈t␈αfon␈α}t␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αthe
␈ββ?␈↓ ¬|␈ε#E
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd
␈β∧∞␈↓ ¬⊂␈ε3tex␈α␈info␈↓ ε↓␈ε7h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssion␈αlist␈ε7i
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈ε7␈α
h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈α
list␈ε7i␈ε#␈α
is␈α
a␈α
list␈α
of␈α
se␈α␈v␈α␈en␈ε7␈αh␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#s␈α
sep␈α␈arate␈α␈d␈α
b␈α␈y␈α
co␈α␈mma␈α␈s.␈α⊃The
␈β∧z␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈v␈α␈en␈ε7␈α
h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#s␈αshou␈α␈ld␈αco␈α␈n␈α␈tain␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
da␈α␈ta,␈αi␈α↓n␈α
ord␈α␈er:
␈β¬5␈↓ ↓e␈ε#1)␈↓ α␈ε#\slan␈α}t".␈αTh␈α␈e␈αc␈α␈han␈α␈ge␈αin␈↓ ∧c␈ε)x␈↓ ¬␈ε#co␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈αp␈α␈er␈αu␈α␈nit␈αcha␈α␈ng␈α␈e␈αin␈↓ λ:␈ε)y␈↓ λX␈ε#c␈α␈oord␈α␈ina␈α␈te␈αwh␈α␈en␈↓ 
R␈ε#T␈↓ 
s␈ε#X␈↓ ⊗␈ε#is
␈β¬<␈↓ 
c␈ε#E
␈β¬]␈↓ αP␈ε#raising␈αo␈α␈r␈αl␈α↓o␈α}we␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈n␈αacc␈α␈en␈α␈t␈αch␈α␈ara␈α␈cter.
␈βε_␈↓ ↓e␈ε#2)␈↓ α␈ε#\sp␈α␈ace␈α␈".␈αThe␈αa␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈αof␈αsp␈α␈ace␈α(in␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈α␈)␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
w␈α␈ords␈αwh␈α␈en␈αu␈α␈sing␈αt␈α␈his␈αfon␈α␈t.
␈βεT␈↓ ↓e␈ε#3)␈↓ α␈ε#\stre␈α␈tch"␈α␈.␈αThe␈α	amo␈α␈un␈α}t␈α
of␈α
stre␈α␈tcha␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
(in␈α	poin␈α}ts)␈α
be␈α␈tw␈α␈e␈α␈en␈α
w␈α␈o␈α␈rds␈α	w␈α↓h␈α␈en␈α	usin␈α␈g␈α
th␈α␈is
␈βε{␈↓ αP␈ε#f␈α↓o␈α␈n␈α␈t,␈α∂a␈α␈ccor␈α␈ding␈α
to␈↓ ∧g␈ε#T␈↓ ¬λ␈ε#X␈↓ ¬ ␈ε#'s␈α∞no␈α␈tion␈α
of␈α∞glue␈α␈.␈α∨(This␈α∞is␈α∞the␈α
max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α∞a␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f
␈βπα␈↓ ∧x␈ε#E
␈βπ#␈↓ αP␈ε#add␈α␈iti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αsp␈α␈ace␈αt␈α␈hat␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αloo␈α␈k␈αtolera␈α␈ble.)
␈βπ↑␈↓ ↓e␈ε#4)␈↓ α␈ε#\sh␈α␈rink␈α␈".␈α↔The␈α∞max␈α␈im␈α␈um␈α∂a␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂shrink␈α␈ag␈α␈e␈α∂(in␈α∂p␈α␈oin␈α␈ts)␈α∂b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α∞wo␈α␈rds␈α∂wh␈α␈en
␈βλε␈↓ αP␈ε#using␈α
this␈αfon␈α}t,␈αa␈α␈ccord␈α␈ing␈αto␈↓ ¬u␈ε#T␈↓ ε⊗␈ε#X␈↓ ε.␈ε#'␈α↓s␈αn␈α␈otion␈α
of␈αglu␈α␈e.
␈βλ␈↓ επ␈ε#E
␈βλA␈↓ ↓e␈ε#5)␈↓ α␈ε#\x␈α␈he␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t".␈α⊗The␈α∞heig␈α␈h␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂cha␈α␈racter␈α␈s␈α∂(i␈α↓n␈α∞p␈α␈oin␈α␈ts)␈α∂fo␈α␈r␈α∂which␈α∞acc␈α␈en␈α␈ts␈α∂a␈α␈re␈α∂co␈α␈rrectly
␈βλi␈↓ αP␈ε#si␈α↓tu␈α␈ate␈α␈d.␈α
An␈αεacce␈α␈n␈α␈ted␈αεch␈α␈arac␈α␈ter␈απh␈α␈as␈απth␈α␈e␈απac␈α␈cen␈α␈t␈αεraised␈αεby␈αεthe␈αεdi{eren␈α␈ce␈απb␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈β	⊂␈↓ αP␈ε#i␈α↓ts␈↓ α␈␈ε3ch␈α␈arh␈α}t␈↓ βg␈ε#an␈α␈d␈αth␈α␈i␈α↓s␈αv␈α␈alue␈α␈.
␈β	L␈↓ ↓e␈ε#6)␈↓ α␈ε#\q␈α␈ua␈α␈d".␈αThe␈α
w␈α↓id␈α␈th␈αo␈α␈f␈αo␈α␈ne␈ε?␈αe␈α␈m␈ε#␈αun␈α␈it␈α(i␈α↓n␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts)␈αwhen␈α
using␈α
this␈αfon␈α}t.
␈β
π␈↓ ↓e␈ε#7)␈↓ α␈ε#\e␈α␈xtras␈α␈pac␈α␈e".␈α⊂The␈αamo␈α␈un␈α}t␈α
of␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈α
s␈α␈pac␈α␈e␈α
inse␈α␈rted␈αafter␈α
p␈α␈eriod␈α␈s␈α
whe␈α␈n␈α
u␈α␈sing
␈β
/␈↓ αP␈ε#this␈αfon␈α}t.␈α≠(St␈α␈ri␈α↓c␈α␈tl␈α↓y␈αsp␈α␈eak␈α␈i␈α↓n␈α␈g,␈αit␈αis␈αth␈α␈e␈αam␈α␈ou␈α␈n␈α␈t␈αa␈α␈dd␈α␈ed␈αto␈α\s␈α␈pac␈α␈e"␈αwh␈α␈en␈↓ 
]␈ε#T␈↓ 
}␈ε#X␈↓ ⊗␈ε#'s
␈β
5␈↓ 
o␈ε#E
␈β
V␈↓ αP␈ε#\spa␈α␈ce␈αfac␈α␈tor"␈αex␈α}ceed␈α␈s␈α2.)
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈ε?␈α
DR␈α␈AG␈α␈ON␈ε#␈α
e␈α␈xa␈α␈mple␈α
o␈α␈f␈α
Cha␈α␈pter␈α4␈α
ga␈α␈v␈α␈e␈α
n␈α␈o␈↓ εZ␈ε3te␈α␈xinfo␈↓ π?␈ε#,␈α∞so␈αall␈α
sev␈α␈en␈αof␈α
th␈α␈ese␈αpara␈α␈meter␈α␈s
␈β9␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈ere␈α
set␈αto␈αzero␈α
i␈α↓n␈α
tha␈α␈t␈αfon␈α␈t.
␈βc␈↓ α␈ε#If␈α
y␈α␈o␈α␈ur␈α
fo␈α␈n␈α␈t␈α
is␈α
for␈α
u␈α␈se␈α
in␈↓ ∧l␈ε#T␈↓ ¬
␈ε#X␈↓ ¬/␈ε#math␈α	mo␈α␈de,␈α
as␈α
a␈ε?␈α	ma␈α␈ths␈α␈y␈ε#␈α
o␈α␈r␈α
a␈ε?␈α
ma␈α␈th␈α␈ex␈ε#␈α
fo␈α␈n␈α␈t,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
n␈α␈eed
␈βj␈↓ ∧}␈ε#E
␈β␈↓ ↓H␈ε#to␈α
sp␈α␈ecify␈α
still␈αmore␈α
info␈α␈rmatio␈α␈n.␈αOth␈α␈erwise,␈αy␈α␈o␈α␈u␈α
can␈α
sto␈α␈p␈α
read␈α␈ing␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
ap␈α␈pe␈α␈nd␈α␈i␈α↓x␈α␈,␈αrigh␈α}t
␈β2␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈o␈α␈w.
␈β␈␈↓ α␈ε#Ma␈α␈th␈αsy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈α↓s␈αfo␈α␈n␈α␈ts␈α(␈ε?ma␈α␈ths␈α␈y␈ε#)␈αrequ␈α␈ire␈αmore␈↓ π⊂␈ε3te␈α␈xinfo␈↓ πu␈ε#.␈α∂In␈αfac␈α␈t,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈αca␈α␈n␈αgiv␈α}e␈αsev␈α␈era␈α␈l
␈β

␈↓ ¬∂␈ε<hij␈α}kl␈α␈mnj
␈β
'␈↓ ↓H␈ε3te␈α␈xinfo␈↓ α<␈ε#comm␈α␈an␈α␈ds␈α∂in␈α∂a␈α∞sing␈α␈l␈α↓e␈↓ εL␈ε#p␈α␈rogra␈α␈m,␈α⊂an␈α␈d␈α∂th␈α␈eir␈ε7␈α∂h␈ε#exp␈α␈ression␈α∞li␈α↓st␈ε7␈α␈i␈ε#␈α↓s␈α∞can
␈β
O␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α	mo␈α␈re␈α
o␈α␈r␈α
less␈α
th␈α␈an␈α	sev␈α␈en␈ε7␈α	h␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#s;␈α
each␈↓ π-␈ε3tex␈α␈info␈↓ λ≤␈ε#app␈α␈en␈α␈ds␈α
o␈α␈ne␈α	or␈α
mo␈α␈re␈α
v␈α␈alue␈α␈s
␈β
v␈↓ ↓H␈ε#to␈αthe␈↓ α.␈ε#T␈↓ αN␈ε#X␈↓ αt␈ε#in␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α⊃Th␈α␈e␈α
tota␈α␈l␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
p␈α␈ara␈α␈meters␈↓ λ!␈ε#T␈↓ λB␈ε#X␈↓ λg␈ε#u␈α␈ses␈α
in␈α
a␈ε?␈αmat␈α␈hsy␈ε#␈αfon␈α}t
␈β
⎇␈↓ α?␈ε#E␈↓ λ2␈ε#E
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#is␈α22␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
they␈α
m␈α␈ust␈αc␈α␈onsist␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α|r␈α␈st␈αs␈α␈i␈α↓x␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈nd␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
add␈α␈itiona␈α␈l␈αo␈α␈nes␈αin
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈rder␈α␈:
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧A␈ε>Font␈αinformation␈αfor␈↓ π↓␈ε"T␈↓ π$␈ε"X␈↓ β␈ε"87
␈β↓g␈↓ π∀␈ε"E
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓e␈ε#7)␈↓ α␈ε#\m␈α␈ath␈αεspa␈α␈ce".␈α
If␈απt␈α␈his␈απis␈απn␈α␈ot␈απze␈α␈ro,␈αλit␈απd␈α␈eno␈α␈tes␈απth␈α␈e␈απa␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈απo␈α␈f␈απspa␈α␈ce␈απin␈αεpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈απth␈α␈at␈απwill␈απbe
␈βα⎇␈↓ αP␈ε#used␈αλfor␈αλall␈α	n␈α␈onz␈α␈ero␈αλspa␈α␈ce␈α	(ex␈α}cep␈α␈t␈ε?␈α	\q␈α␈ua␈α␈d␈ε#)␈α	in␈αλmat␈α␈h␈α	fo␈α␈rm␈α␈ulas␈α␈:␈αth␈α␈in␈αλspac␈α␈es,␈α	thick
␈ββ%␈↓ αP␈ε#spac␈α␈es,␈α
c␈α␈on␈α␈tr␈α␈ol␈αspa␈α␈ces,␈α
a␈α␈nd␈αop␈αspa␈α␈ces,␈αw␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αthese␈αare␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αa␈α␈ccord␈α␈ing
␈ββL␈↓ αP␈ε#to␈↓ αy␈ε#T␈↓ β~␈ε#X␈↓ β2␈ε#'s␈αrules.␈αThe␈α
para␈α␈meter␈αis␈αg␈α␈ener␈α␈all␈α↓y␈α
zero␈α
un␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈↓ λg␈ε#T␈↓ 	λ␈ε#X␈↓ 	+␈ε#i␈α↓s␈αo␈α␈utp␈α␈uttin␈α␈g␈αto␈αa
␈ββS␈↓ β
␈ε#E␈↓ λy␈ε#E
␈ββt␈↓ αP␈ε#|x␈α␈e␈α␈d-width␈α
dev␈α␈ice␈αli␈α↓k␈α}e␈αa␈αty␈α␈pewriter␈αo␈α␈r␈αl␈α↓in␈α␈e␈αprin␈α}ter.
␈β∧'␈↓ ↓e␈ε#8)␈↓ α␈ε#\n␈α}um1␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈α
raise␈αba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈αof␈αn␈α}ume␈α␈rators␈αin␈αd␈α␈isplay␈α
styles.
␈β∧[␈↓ ↓e␈ε#9)␈↓ α␈ε#\n␈α}um2␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈α
raise␈αb␈α␈aseline␈α
of␈αn␈α␈u␈α␈mera␈α␈tors␈αin␈α
non␈α␈-disp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈αsty␈α␈les,␈αex␈α␈ce␈α␈pt␈αfo␈α␈r
␈β¬β␈↓ αP␈ε#\␈ε?\a␈α␈top␈ε#␈α␈".
␈β¬6␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈0)␈↓ α␈ε#\n␈α}um3␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈α
raise␈αba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈αof␈αn␈α}ume␈α␈rators␈αin␈α
non␈α␈-disp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈ε?␈α\a␈α␈to␈α␈p␈ε#␈αstyles.
␈β¬j␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈1)␈↓ α␈ε#\d␈α␈en␈α␈om1"␈α␈.␈αAm␈α␈ou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αb␈α␈aseline␈αo␈α␈f␈αden␈α␈omin␈α␈ators␈αin␈α
display␈α
styles.
␈βε≡␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈2)␈↓ α␈ε#\d␈α␈en␈α␈om2"␈α␈.␈αAm␈α␈ou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αb␈α␈aseline␈αo␈α␈f␈αden␈α␈omin␈α␈ators␈αin␈α
non␈α␈-disp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈αsty␈α␈l␈α↓e␈α␈s.
␈βεQ␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈3)␈↓ α␈ε#\su␈α␈p1␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αra␈α␈ise␈αba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈αof␈αsu␈α␈persc␈α␈ri␈α↓p␈α␈ts␈αin␈αu␈α␈nmo␈α␈di|e␈α␈d␈αd␈α␈i␈α↓sp␈α␈lay␈αsty␈α␈le.
␈βπ¬␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈4)␈↓ α␈ε#\su␈α␈p2␈α␈".␈αAmo␈α␈un␈α}t␈α
to␈α
ra␈α␈i␈α↓s␈α␈e␈α
ba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
sup␈α␈erscrip␈α␈ts␈α
in␈α
u␈α␈nmo␈α␈di|␈α␈ed␈α
n␈α␈on␈α␈-displa␈α␈y␈α
sty␈α␈les.
␈βπ8␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈5)␈↓ α␈ε#\su␈α␈p3␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αra␈α␈ise␈αba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈αof␈αsu␈α␈persc␈α␈ri␈α↓p␈α␈ts␈αin␈αmo␈α␈di|e␈α␈d␈αsty␈α␈l␈α↓e␈α␈s.
␈βπl␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈6)␈↓ α␈ε#\su␈α␈b1␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈αb␈α␈ase␈α␈l␈α↓in␈α␈e␈αof␈αsub␈α␈scripts␈αif␈αsu␈α␈persc␈α␈ri␈α↓p␈α␈t␈αis␈αa␈α␈bse␈α␈n␈α␈t.
␈βλ ␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈7)␈↓ α␈ε#\su␈α␈b2␈α␈".␈αAmou␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈αb␈α␈ase␈α␈l␈α↓in␈α␈e␈αof␈αsub␈α␈scripts␈αif␈αsu␈α␈persc␈α␈ri␈α↓p␈α␈t␈αis␈αp␈α␈resen␈α}t.
␈βλS␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈8)␈↓ α␈ε#\su␈α␈pd␈α␈rop␈α␈".␈α_Amou␈α␈n␈α␈t␈α∂be␈α␈l␈α↓o␈α}w␈α⊂to␈α␈p␈α∂of␈α∂l␈α↓a␈α␈rge␈α∂bo␈α}x␈α∂to␈α∂plac␈α␈e␈α⊂b␈α␈aseline␈α∂if␈α⊂t␈α␈he␈α∂bo␈α}x␈α∂ha␈α␈s␈α⊂a
␈βλ{␈↓ αP␈ε#sup␈α␈erscript␈αin␈αt␈α␈his␈αsize.
␈β	/␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈9)␈↓ α␈ε#\su␈α␈bd␈α␈rop␈α␈".␈α
Amou␈α␈n␈α␈t␈αb␈α␈elo␈α␈w␈αb␈α␈ottom␈αof␈αlarg␈α␈e␈αb␈α␈o␈α␈x␈αto␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αb␈α␈ase␈α␈l␈α↓in␈α␈e␈αif␈αthe␈αbo␈α␈x␈αh␈α␈as␈αa
␈β	V␈↓ αP␈ε#sub␈α␈script␈αin␈αth␈α␈is␈αs␈α␈i␈α↓ze␈α␈.
␈β

␈↓ ↓U␈ε#2␈α␈0)␈↓ α␈ε#\d␈α␈elim1".␈αS␈α␈i␈α↓z␈α␈e␈αof␈ε?␈α\c␈α␈omb␈ε#␈α
delimiters␈αin␈αd␈α␈i␈α↓sp␈α␈lay␈αsty␈α␈les.
␈β
>␈↓ ↓U␈ε#2␈α␈1)␈↓ α␈ε#\d␈α␈elim2".␈αS␈α␈i␈α↓z␈α␈e␈αof␈ε?␈α\c␈α␈omb␈ε#␈α
delimiters␈αin␈αn␈α␈on-d␈α␈isplay␈α
styles.
␈β
q␈↓ ↓U␈ε#2␈α␈2)␈↓ α␈ε#\a␈α␈xishe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t"␈α␈.␈αHei␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
o␈α␈f␈αfra␈α␈ction␈α
line␈α␈s␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
ba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e.␈α↔(Th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈α
us␈α␈ually␈α
m␈α␈i␈α↓d␈α␈way
␈β→␈↓ αP␈ε#bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αthe␈α
t␈α␈wo␈α
bar␈α␈s␈αo␈α␈f␈αan␈α=␈αsign␈α␈.␈α↓)
␈βL␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈αa␈ε?␈αm␈α␈ath␈α␈ex␈ε#␈αfon␈α}t␈αrequ␈α␈i␈α↓r␈α␈es␈α1␈α␈3␈αitems␈αof␈↓ εe␈ε3texin␈α␈fo␈↓ πK␈ε#,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈αt␈α␈he␈αstan␈α␈da␈α␈rd␈α|rst␈αsev␈α}en
␈βt␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
ad␈α␈ditiona␈α␈l␈αth␈α␈ing␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
ord␈α␈er:
␈β(␈↓ ↓e␈ε#8)␈↓ α␈ε#\d␈α␈efau␈α␈ltruleth␈α␈i␈α↓c␈α␈kn␈α␈ess".␈αThe␈αth␈α␈ickn␈α␈ess␈αof␈ε?␈α\␈α␈ove␈α␈r␈ε#␈αan␈α␈d␈ε?␈α\␈α␈ove␈α␈rli␈α␈ne␈ε#␈αb␈α␈ars.
␈β[␈↓ ↓e␈ε#9)␈↓ α␈ε#\b␈α␈igop␈α␈spa␈α␈cing1␈α␈".␈αThe␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αg␈α␈lue␈αsp␈α␈ace␈αa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αa␈αlarg␈α␈e␈αdisp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈α␈ed␈α
op␈α␈erato␈α␈r.
␈β
∂␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈0)␈↓ α␈ε#\b␈α␈igop␈α␈spa␈α␈cing2␈α␈".␈αThe␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αg␈α␈lue␈αsp␈α␈ace␈αb␈α␈elo␈α␈w␈αa␈αlarg␈α␈e␈αdisp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈α␈ed␈α
op␈α␈erato␈α␈r.
␈β
C␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈1)␈↓ α␈ε#\b␈α␈igop␈α␈spa␈α␈cing3␈α␈".␈α∀Th␈α␈e␈α∞minim␈α␈u␈α␈m␈α∞d␈α␈i␈α↓sta␈α␈nce␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α∞a␈α∞limit's␈α∞ba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈α∞an␈α␈d␈α∞a␈α
large
␈β
j␈↓ αP␈ε#display␈α}ed␈αo␈α␈pe␈α␈rator,␈αwhe␈α␈n␈αth␈α␈e␈αl␈α↓imit␈αis␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
the␈αop␈α␈era␈α␈tor.
␈β∞≡␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈2)␈↓ α␈ε#\b␈α␈igop␈α␈spa␈α␈cing4␈α␈".␈α∀Th␈α␈e␈α∞minim␈α␈u␈α␈m␈α∞d␈α␈i␈α↓sta␈α␈nce␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α∞a␈α∞limit's␈α∞ba␈α␈seli␈α↓n␈α␈e␈α∞an␈α␈d␈α∞a␈α
large
␈β∞E␈↓ αP␈ε#display␈α}ed␈αo␈α␈pe␈α␈rator,␈αwhe␈α␈n␈αth␈α␈e␈αl␈α↓imit␈αis␈αbe␈α␈l␈α↓o␈α}w␈αth␈α␈e␈αop␈α␈era␈α␈tor.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"88␈↓ ε≤␈ε>Appendix␈αF
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓U␈ε#1␈α␈3)␈↓ α␈ε#\b␈α␈igop␈α␈spa␈α␈cing5␈α␈".␈α	The␈α¬extr␈α␈a␈αεg␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α¬place␈α␈d␈αεa␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α¬and␈α¬b␈α␈elo␈α␈w␈α¬display␈α}ed␈α¬li␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈s,␈απe{␈α↓e␈α␈ctiv␈α␈ely
␈βα⎇␈↓ αP␈ε#enlarg␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈o␈α␈x␈α␈e␈α␈s.
␈ββ,␈↓ ↓H␈ε#If␈αy␈α}ou␈αs␈α␈up␈α␈ply␈αfew␈α␈er␈α
than␈α
22␈α
i␈α↓t␈α␈ems␈αof␈↓ ¬e␈ε3te␈α␈xinfo␈↓ εU␈ε#for␈αa␈ε?␈αm␈α␈ath␈α␈sy␈ε#␈α
f␈α↓o␈α␈n␈α␈t,␈αor␈αfe␈α␈we␈α␈r␈αtha␈α␈n␈α1␈α␈3␈αfor␈αa
␈ββT␈↓ ↓H␈ε?m␈α␈ath␈α␈ex␈ε#␈αfo␈α␈n␈α␈t,␈↓ β⊃␈ε#T␈↓ β2␈ε#X␈↓ βU␈ε#wi␈α↓ll␈αpro␈α␈ba␈α␈bly␈αd␈α␈o␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αstra␈α␈nge␈α
and␈α
un␈α␈des␈α␈i␈α↓ra␈α␈ble␈αth␈α␈i␈α↓n␈α␈gs.␈αSo␈α
don␈α␈'t.
␈ββZ␈↓ β#␈ε#E
␈ββ{␈↓ α␈ε#St␈α␈i␈α↓ll␈α∂more␈α∂in␈α␈f␈α↓o␈α␈rmat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∂is␈α∂nee␈α␈ded␈α∞i␈α↓n␈ε?␈α∞mat␈α␈he␈α␈x␈ε#␈α∂fon␈α␈t␈α␈s.␈α_In␈α∂th␈α␈e␈α∂|r␈α␈st␈α⊂p␈α␈lace,␈α⊂th␈α␈e␈α∂i␈α↓t␈α␈ali␈α↓c
␈β∧#␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orrectio␈α␈n␈α∞for␈α∞sym␈α␈b␈α␈ols␈α∞used␈α∞a␈α␈s␈ε?␈α∂\␈α␈ma␈α␈tho␈α␈p␈ε#s␈α∞(e.g.,␈α⊂su␈α␈mma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞an␈α␈d␈α∞in␈α␈teg␈α␈ral␈α∂s␈α␈i␈α↓g␈α␈ns)␈α∞ha␈α␈s␈α∂a
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε#sp␈α␈ecial␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈anc␈α␈e:␈αIf␈αit␈αis␈αzer␈α␈o,␈αthe␈α
li␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈αfor␈α
this␈αo␈α␈pera␈α␈tor␈αwill␈αbe␈α
cen␈α}tered␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈αa␈α␈nd
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈elo␈α␈w␈α	the␈α	op␈α␈erat␈α␈or.␈αIf␈α	i␈α↓t␈α	is␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α␈,␈α
the␈α	li␈α↓m␈α␈i␈α↓ts␈α	will␈α
be␈α	set␈α	imme␈α␈diately␈α	to␈α	th␈α␈e␈α	ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t,␈α
with
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α	lo␈α␈w␈α␈er␈α	limit␈α	shifted␈αλl␈α↓e␈α␈ft␈α	by␈αλthe␈α	a␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α	o␈α␈f␈↓ εG␈ε3c␈α␈har␈α␈i␈α↓c␈↓ π≡␈ε#.␈α∀(A␈↓ πg␈ε#T␈↓ λλ␈ε#X␈↓ λ)␈ε#u␈α␈ser␈α	writes␈ε?␈α	\l␈α␈im␈α␈its␈α␈wit␈α␈ch
␈β¬ ␈↓ πx␈ε#E
␈β¬A␈↓ ↓H␈ε#to␈α
rev␈α␈e␈α␈rse␈α∞the␈α␈se␈α∞con␈α}v␈α␈en␈α}tion␈α␈s;␈α⊂whe␈α␈n␈α∞limits␈α∞are␈α∞set␈α∞a␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α∞a␈α␈nd␈α
belo␈α␈w␈α∞th␈α␈e␈α∞op␈α␈erato␈α␈r,␈α∂the
␈β¬i␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈pp␈α␈er␈αlimit␈αis␈↓ β↔␈ε3ch␈α␈aric␈↓ βy␈ε#p␈α␈oin␈α␈ts␈αto␈αth␈α␈e␈αrigh␈α}t␈αof␈αthe␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αlimit.)
␈β¬x␈↓ ↓g␈ε↓8␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βε
␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βε_␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βε→␈↓ α ␈ε#Ano␈α␈the␈α␈r␈αdi{eren␈α␈ce␈α
for␈ε?␈αm␈α␈at␈α␈hex␈ε#␈α
fon␈α}ts␈αis␈αt␈α␈he␈α
pro␈α␈v␈α␈ision␈α
of␈α\␈α␈bu␈α␈il␈α↓t␈α
up␈α␈"␈α
sym␈α␈b␈α␈ols
␈βε#␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βε.␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βε9␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βεA␈↓ α ␈ε#th␈α␈at␈αca␈α␈n␈αget␈αarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ril␈α↓y␈αlarg␈α␈e.␈α
Su␈α␈ch␈αsy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈α↓s␈αare␈αman␈α}ufac␈α␈tured␈αfro␈α␈m␈αu␈α␈p␈αto
␈βεC␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βεN␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βεY␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βεd␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βεh␈↓ α ␈ε#fou␈α␈r␈α	pieces␈α␈,␈α
includ␈α␈ing␈α	a␈αλman␈α␈da␈α␈tory␈α	e␈α␈xten␈α␈sion␈α	p␈α␈art␈α	a␈α␈nd␈α	o␈α␈ption␈α␈al␈α	top␈α␈,␈α
mid␈α␈dle
␈βεo␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βεy␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπ∧␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βπ∂␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπ⊂␈↓ α ␈ε#an␈α␈d␈α
b␈α␈otto␈α␈m␈α
pa␈α␈rts.␈αFor␈α
ex␈α␈amp␈α␈le,␈αth␈α␈e␈α
left␈α
b␈α␈race␈α
a␈α␈t␈α
the␈α
left␈α
o␈α␈f␈α
this␈α
pa␈α␈rag␈α␈raph
␈βπ~␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βπ%␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπ/␈↓ ↓g␈ε↓<
␈βπ7␈↓ α ␈ε#ha␈α␈s␈α
all␈α
fou␈α␈r␈α
p␈α␈i␈α↓e␈α␈ces,␈α
while␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈orm␈α
s␈α␈ym␈α␈b␈α␈ol␈α
at␈αthe␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αi␈α↓s␈αmad␈α␈e␈α
u␈α␈p␈α
so␈α␈lel␈α↓y
␈βπ:␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπP␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπ←␈↓ α ␈ε#of␈α
ex␈α␈tensio␈α␈n␈α
piece␈α␈s.␈α∩Similarly␈α␈,␈α∞⎇oo␈α␈r␈α
and␈αceili␈α↓n␈α␈g␈α
bra␈α␈ck␈α␈e␈α␈ts␈α∞(␈ε7b␈αc␈ε#␈α∞a␈α␈nd␈ε7␈α
d␈αe␈ε#)␈α∞a␈α␈re
␈βπe␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βπp␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βπ{␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλε␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλπ␈↓ α ␈ε#bu␈α␈il␈α↓t␈α	u␈α␈p␈α	f␈α↓ro␈α␈m␈α	the␈α	same␈α	co␈α␈mpo␈α␈ne␈α␈n␈α␈ts␈α	as␈α
re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
b␈α␈rack␈α}ets,␈α
bu␈α␈t␈α	w␈α↓ith␈α␈ou␈α␈t␈α
to␈α␈p␈α	or
␈βλ⊃␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλ≠␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλ&␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλ.␈↓ α ␈ε#bo␈α␈ttom␈α␈,␈αresp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈.␈↓ ∧↑␈ε#T␈↓ ∧␈␈ε#X␈↓ ¬"␈ε#mak␈α}es␈αthe␈αsm␈α␈allest␈αsym␈α␈b␈α␈ol␈αmeetin␈α␈g␈αa␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αsize
␈βλ1␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλ5␈↓ ∧o␈ε#E
␈βλ<␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλG␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλQ␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλV␈↓ α ␈ε#co␈α␈nstra␈α␈i␈α↓n␈α}t,␈αusin␈α␈g␈αzero␈αor␈αmore␈αco␈α␈pies␈αof␈αt␈α␈he␈αexte␈α␈nsion␈αc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t.␈αIf␈αth␈α␈ere
␈βλ\␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλg␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ 
y␈ε↓␈
␈βλr␈↓ ↓g␈ε↓>
␈βλ⎇␈↓ ↓g␈ε↓>␈↓ α ␈ε#is␈α
a␈αmid␈α␈dle,␈α
th␈α␈e␈α
sa␈α␈me␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αcomp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αwil␈α↓l␈αap␈α␈pea␈α␈r␈α
a␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈↓ 
y␈ε↓␈
␈β	π␈↓ ↓g␈ε↓:
␈β	∩␈↓ 
y␈ε↓␈
␈β	%␈↓ α ␈ε#an␈α␈d␈αb␈α␈elo␈α␈w.
␈β	M␈↓ α␈ε#Su␈α␈pp␈α␈ose␈↓ β⊃␈ε)c␈↓ β,␈ε#i␈α↓s␈α∞the␈α∞7-b␈α␈it␈α∂co␈α␈de␈α∞rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞a␈α∂b␈α␈uilt-up␈α∞c␈α␈hara␈α␈cter.␈↓ 	7␈ε#T␈↓ 	X␈ε#X␈↓ 	␈␈ε#req␈α␈uires␈α∞the
␈β	T␈↓ 	I␈ε#E
␈β	u␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
con␈α␈v␈α}en␈α}ti␈α↓o␈α␈ns:␈α↔(␈α↓1␈α␈)␈αTh␈α␈e␈↓ ¬∀␈ε3c␈α␈ha␈α␈rh␈α␈t␈↓ ¬{␈ε#|eld␈α
for␈α
co␈α␈de␈↓ πA␈ε)c␈↓ πY␈ε#m␈α}ust␈α
be␈α
zero␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
the␈α␈re␈α
m␈α␈ust␈α
be
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈o␈αligatu␈α␈re␈αpr␈α␈ogra␈α␈m␈αfor␈↓ ∧)␈ε)c␈↓ ∧6␈ε#.␈α→(␈α↓2␈α␈)␈αThe␈αco␈α␈mman␈α␈d
␈β
↑␈↓ αm␈ε3va␈α␈rcha␈α␈r␈↓ βg␈ε7h␈ε#exp␈α␈ression␈↓ ¬∃␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αh␈ε#exp␈α␈ression␈↓ εb␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αh␈ε#exp␈α␈ression␈↓ λ/␈ε7i␈ε#,␈ε7␈αh␈ε#exp␈α␈ression␈↓ 	|␈ε7i
␈β
i␈↓ ¬λ␈ε&1␈↓ εU␈ε&2␈↓ λ"␈ε&3␈↓ 	o␈ε&4
␈β ␈↓ ↓H␈ε#is␈απgiv␈α␈en␈απfo␈α␈r␈↓ αj␈ε)c␈↓ α}␈ε#i␈α↓n␈απlieu␈απo␈α␈f␈αλa␈↓ ∧_␈ε3cha␈α␈ric␈↓ ∧w␈ε#c␈α␈omma␈α␈nd␈α␈,␈α	wh␈α␈ere␈απthe␈απfou␈α␈r␈ε7␈αλh␈ε#ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈ε7i␈ε#s␈απstan␈α␈d␈απrespe␈α␈ctiv␈α␈ely
␈βG␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αthe␈αcha␈α␈racte␈α␈r␈αcod␈α␈es␈αo␈α␈f␈αthe␈αtop␈α␈,␈α
m␈α␈i␈α↓d␈α␈dle,␈αb␈α␈ottom␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αco␈α␈mp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts.␈α
These
␈βo␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ode␈α␈s␈α
shou␈α␈ld␈α
b␈α␈e␈α
zero␈α
if␈α
the␈α
c␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α
do␈α␈esn␈α␈'␈α↓t␈α
ex␈α␈ist,␈α∞oth␈α␈erwise␈α
the␈α␈y␈α
sho␈α␈uld␈α
ro␈α␈un␈α␈d␈α
to
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈αan␈α␈d␈α
1␈α␈27.␈α⊂For␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α
the␈αl␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈αbra␈α␈ce␈α
sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈α
in␈α
fo␈α␈n␈α␈t␈ε?␈α
c␈α␈mat␈α␈hx␈ε#␈αha␈α␈s
␈β>␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈een␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈αb␈α␈y␈α\␈↓ βI␈ε3v␈α␈arch␈α␈ar␈↓ ∧C␈ε?∞␈ε#␈α␈070␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈074␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈072␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈07␈α␈6".␈α$(Cod␈α␈e␈↓ λ2␈ε)c␈↓ λJ␈ε#i␈α↓t␈α␈self␈αn␈α␈eed␈α
no␈α␈t␈αb␈α␈e␈αan␈α}y␈αo␈α␈f
␈βf␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ese␈αfou␈α␈r.)␈α~(3)␈αThe␈↓ β⎇␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ ∧r␈ε#o␈α␈f␈αth␈α␈e␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αcom␈α␈pon␈α␈en␈α}t␈αis␈αtak␈α}en␈αto␈αb␈α␈e␈αthe␈↓ 
≤␈ε3ch␈α␈arwd␈↓ ⊃␈ε#o␈α␈f
␈β

␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αen␈α}ti␈α↓re␈α
bu␈α␈i␈α↓lt-u␈α␈p␈αsym␈α}bol.
␈β
5␈↓ α␈ε#On␈α␈e␈α
|␈α␈na␈α␈l␈α
k␈α␈i␈α↓n␈α␈d␈αof␈αinform␈α␈ation␈αa␈α␈pp␈α␈ears␈αin␈ε?␈αmat␈α␈hex␈ε#␈αfo␈α␈n␈α␈ts,␈α
n␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈αth␈α␈e␈αli␈α↓sts␈αth␈α␈at␈αti␈α↓e
␈β
\␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈α
c␈α␈ha␈α␈racters␈α
t␈α␈ogeth␈α␈er␈α
in␈α
in␈α␈crea␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
o␈α␈rder␈α
o␈α␈f␈α
their␈α
size.␈αFor␈α	exa␈α␈mple,␈α
all␈α
of␈α
the␈α	l␈α↓e␈α␈ft
␈β∞∧␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈aren␈α}the␈α␈ses␈αin␈ε?␈αcm␈α␈ath␈α␈x␈ε#␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈een␈α
spec␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α
by␈αth␈α␈e␈αco␈α␈mman␈α␈d
␈β∞E␈↓ ∧∀␈ε3c␈α␈har␈α␈l␈α↓ist␈↓ ¬
␈ε?∞␈ε#0␈α␈00,␈ε?␈α∞␈ε#0␈α␈20␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈022␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈040␈α␈,␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈060␈α␈,␈α0␈α␈.
␈β⊂*

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧A␈ε>Font␈αinformation␈αfor␈↓ π↓␈ε"T␈↓ π$␈ε"X␈↓ β␈ε"89
␈β↓g␈↓ π∀␈ε"E
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαU␈↓ ↓H␈ε#(Cf.␈αTab␈α␈l␈α↓e␈α7␈α
of␈αApp␈α␈end␈α␈ix␈αF␈αi␈α↓n␈α
the␈↓ ¬G␈ε#T␈↓ ¬h␈ε#X␈↓ ε␈ε#ma␈α␈n␈α␈u␈α␈al.)␈α~Whe␈α␈n␈↓ λβ␈ε#T␈↓ λ$␈ε#X␈↓ λG␈ε#nee␈α␈ds␈αa␈αv␈α␈ariab␈α␈le-si␈α↓z␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈ft
␈βα\␈↓ ¬X␈ε#E␈↓ λ∀␈ε#E
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈aren␈α}the␈α␈si␈α↓s,␈α	it␈αλl␈α↓o␈α␈ok␈α␈s␈α	|␈α␈rst␈α	a␈α␈t␈α	ch␈α␈ara␈α␈cter␈ε?␈αλ∞␈ε#00␈α␈0,␈α	th␈α␈en␈αλ(i␈α↓f␈αλthis␈αλi␈α↓s␈αλtoo␈αλsm␈α␈all)␈α	at␈ε?␈αλ∞␈ε#0␈α␈20,␈α	an␈α␈d␈αλso␈αλon␈α␈,
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈n␈α␈til␈αeith␈α␈er␈α|␈α␈nd␈α␈ing␈α
on␈α␈e␈αth␈α␈at␈α
is␈αlarg␈α␈e␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈α
or␈α
reac␈α␈hing␈ε?␈α
∞␈ε#␈α␈060␈α
(the␈α
en␈α␈d␈α
of␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓ist).␈αThe
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#z␈α␈ero␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈ε?␈α∞␈ε#0␈α␈60␈αind␈α␈i␈α↓ca␈α␈tes␈αtha␈α␈t␈ε?␈α∞␈ε#␈α␈060␈αis␈αa␈αb␈α␈uilt-up␈αsy␈α␈m␈α␈b␈α␈ol␈αth␈α␈at␈αcan␈αg␈α␈ro␈α␈w␈αa␈α␈rbitra␈α␈ri␈α↓ly
␈ββt␈↓ ↓H␈ε#lar␈α␈ge.␈α
I␈α↓f␈αλthe␈αλlast␈αλen␈α␈try␈αλo␈α␈f␈α	a␈↓ ∧F␈ε3ch␈α␈arlist␈↓ ¬:␈ε#is␈α	n␈α␈ot␈αλzero␈α␈,␈α
th␈α␈is␈α	sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈α	is␈α	n␈α␈ot␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	b␈α␈uilt-up␈αλv␈α␈ariety␈α␈,
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α	it␈α	is␈α
u␈α␈sed␈α	b␈α␈y␈↓ β>␈ε#T␈↓ β←␈ε#X␈↓ ∧↓␈ε#wh␈α␈eth␈α␈er␈α
o␈α␈r␈α
n␈α␈ot␈α	it␈α
is␈α	large␈α	en␈α␈ou␈α␈gh␈α␈.␈αFor␈α	exa␈α␈mple,␈α
t␈α␈he␈α	slash␈α	sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈ls
␈β∧"␈↓ βP␈ε#E
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε#in␈ε?␈αλc␈α␈mat␈α␈hx␈ε#␈αλare␈αλsp␈α␈eci|e␈α␈d␈αλby␈αλ\␈↓ ∧Y␈ε3cha␈α␈rl␈α↓ist␈↓ ¬M␈ε?∞␈ε#0␈α␈16,␈ε?␈α	∞␈ε#0␈α␈36␈α␈,␈ε?␈α
∞␈ε#␈α␈054␈α␈",␈α	the␈αλlatte␈α␈r␈α	b␈α␈eing␈αλth␈α␈e␈α	la␈α␈rgest␈αλslash
␈β∧k␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈resen␈α}t.␈α⊃A␈↓ αo␈ε3c␈α␈harlist␈↓ βg␈ε#in␈αgen␈α␈eral␈α
co␈α␈nsists␈α
o␈α␈f␈ε7␈α
h␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#s␈α
(usu␈α␈ally␈α
c␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts)␈α
th␈α␈at␈αare␈α
in
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈creasin␈α␈g␈α	o␈α␈rder␈αλex␈α␈ce␈α␈pt␈α	th␈α␈at␈αλthe␈α	la␈α␈st␈α	on␈α␈e␈α	ma␈α␈y␈α	b␈α␈e␈α	z␈α␈ero.␈α
T␈α↓h␈α␈e␈α	n␈α␈on␈α␈zero␈ε7␈αλh␈ε#exp␈α␈ression␈ε7␈α␈i␈ε#s␈α	sho␈α␈uld
␈β¬:␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈d␈αto␈αin␈α␈t␈α␈eger␈αch␈α␈ara␈α␈cter␈αcod␈α␈es␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈α127␈α␈.␈α∂No␈α␈ne␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈ese␈αch␈α␈ara␈α␈cters␈αsho␈α␈uld
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈av␈α}e␈α∞a␈α
l␈α↓ig␈α␈atur␈α␈e/k␈α}ern␈α
prog␈α␈ram,␈α∞since␈↓ ¬j␈ε#T␈↓ ε␈ε#X␈↓ ε1␈ε#sto␈α␈res␈α∞th␈α␈e␈↓ πN␈ε3ch␈α␈arlist␈↓ λG␈ε#info␈α␈rmation␈α
in␈α
the␈α
same
␈β¬h␈↓ ¬|␈ε#E
␈βε	␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈lace␈αth␈α␈at␈αis␈αusu␈α␈ally␈αu␈α␈sed␈αfor␈αliga␈α␈tures␈αa␈α␈nd␈α
k␈α␈ern␈α␈s.
␈βε1␈↓ α␈ε#The␈↓ αQ␈ε3cha␈α␈rl␈α↓ist␈↓ βI␈ε#for␈αs␈α␈qua␈α␈re␈αroo␈α␈t␈αsym␈α␈b␈α␈ols␈αsh␈α␈ould␈αstart␈αat␈αc␈α␈ha␈α␈racter␈αp␈α␈osition␈ε?␈α∞␈ε#16␈α␈0␈αin␈αa
␈βεX␈↓ ↓H␈ε?m␈α␈ath␈α␈ex␈ε#␈αεfon␈α␈t␈α␈.␈α
These␈αεsym␈α␈b␈α␈ols␈απsh␈α␈ou␈α␈ld␈απb␈α␈e␈απd␈α␈esign␈α␈ed␈απs␈α␈o␈απth␈α␈at␈απth␈α␈ey␈αεlook␈αεrigh␈α}t␈απwhen␈αεa␈αεho␈α␈ri␈α↓z␈α␈on␈α␈ta␈α␈l
␈βπ␈↓ ↓H␈ε#ru␈α␈le␈α	of␈α	the␈α	d␈α␈efault␈α	ru␈α␈l␈α↓e␈α	th␈α␈ickn␈α␈ess␈α	is␈α
p␈α␈laced␈αλw␈α↓ith␈α	its␈α	u␈α␈pp␈α␈er␈α	l␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈α	co␈α␈rner␈α	co␈α␈incid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	with␈α	the
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈pp␈α␈er␈αrigh␈α}t␈αcorn␈α␈er␈αof␈αthe␈α
cha␈α␈racter␈αb␈α␈o␈α␈x␈α␈.
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ α→␈∧↓Jα→Hα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ↓M␈ε"90␈↓ ε"␈ε>Appendix␈αI
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈I>␈α
In␈α↓de␈α␈x
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε"(To␈αbe␈αsupplied␈αafter␈αthe␈αman␈α␈ual␈αis␈αcomplete␈αand␈αdebugged.)
␈β⊂#

␈β↓H␈↓ ↓$␈∧↓H↓$α
-
␈β↓J␈↓ ↓$␈∧↓J↓$Hα␈↓ 
Z␈∧↓J
ZHα␈↓ O␈∧↓JOHα
␈β↓`␈↓ ∧:␈ε>Dragon␈αcurve␈αfor␈αFig.␈α4↑2␈↓ β␈ε"91
␈βα⊃␈↓ ↓$␈∧α⊃↓$α
-
␈βαS␈↓ ↓H␈ε=<␈α␈Z>␈α
Drag␈α␈on␈α∞c␈α␈urv␈α␈e␈α
for␈α
F␈α␈ig.␈α
4↑2
␈β∧{␈↓ α␈ε<gggggdaggda
␈β¬∨␈↓ α␈ε<ggggdfbgdfb
␈β¬C␈↓ α␈ε<ggggceadeeada
␈β¬g␈↓ α␈ε<ggggdfebcbcfb
␈βε␈↓ α␈ε<gdagcfeagggca
␈βε/␈↓ α␈ε<dfbgdbcbgggdb
␈βεS␈↓ α␈ε<ceadeaggggcb
␈βεw␈↓ α␈ε<dfefefa
␈βπ≠␈↓ α␈ε<cbceefea
␈βπ?␈↓ α␈ε<ggdffbcb
␈βπc␈↓ α␈ε<ggcbca
␈βλπ␈↓ α␈ε<ggggdfadadaggggdadaggggdada
␈βλ+␈↓ α␈ε<gdagcfeeefeagggcefeagggcefea
␈βλO␈↓ α␈ε<dfbgdfeffbcbgdadfbcbgdadfbcb
␈βλs␈↓ α␈ε<ceadeeefeagggcefeagggcefea
␈β	↔␈↓ α␈ε<dfefefefffadadefffadadefffadada
␈β	;␈↓ α␈ε<cbceebceebceefeeefeeebceebceefea
␈β	←␈↓ α␈ε<ggdfbgdfbgdfffefffffbgdfbgdffbcb
␈β
β␈↓ α␈ε<ggcbggcbggcbceefeeefagcbggcbca
␈β
'␈↓ α␈ε<ggggggggggggdfefefefbgggggggdfa
␈β
K␈↓ α␈ε<gggggggggdagcfeeebceagggggggcfea
␈β
o␈↓ α␈ε<ggggggggdfbgdfefbgdfbggggdggdbcb
␈β∪␈↓ α␈ε<ggggggggceadeeefagcbgggggcadea
␈β7␈↓ α␈ε<ggggggggdfefefefbgggggggggcbcb
␈β[␈↓ α␈ε<ggggggggcbceebcea
␈β␈␈↓ α␈ε<ggggggggggdfbgdfb
␈β#␈↓ α␈ε<ggggggggggcbggcb
␈β⊂#/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓
∞∩∪8:<>psx}␈␈/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=
∞∂!"'()*+,-./0123456789:;=?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXY[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=↓
∞∂∀!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]="'()*,./125:;?ACEFGINOPRSTWY\abcdefghiklmnopqrstuvwxyz{||/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=01234567899/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=+/012345689aimnxx/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=∩≡abcdhisuvwxyzz/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=
∞⊃∩_≡134567Pabcdefghijklmnopqrstuvwxyz{{/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=inn/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=⊃∩≡ijkmnxyy/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=CEIJKORSXX/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=∞',.:ACIJLMPRSTWabcdefghiklmnopqrstuvwxyz|⎇⎇/FONT#48=cms9[XGP,SYS]='.:BCDENabcdefghilmnopqrstuvwxyy/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=.0123456789:ABDEFGHILMNOPRSTYabcdefghilmnopqrstuvwxyy/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=-.0123456789:EF↑abcdefghiklmnopqrstuvwxy||/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=
∞!"$%()*+,-./0123456789:;<=>?ACDEFGHILMNOPRSTUWX[\]↑abcdefghiklmnopqrstuvwxyz{⎇}}/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=α∂fghij⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓αβ∂∀∃≤ !$bcdefghijpp/FONT#56=cmsy8[XGP,SYS]=¬hii/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=00/FONT#60=manfnt[mf,dek]=()*+,-.12345AEFMNOTabcdefghijklmnopqrstuu/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]='(),-.0123456789<>ABCDEFILMNOPRSTVZ↑abcdefghilmnopqrstuvwxyz||/FONT#62=cmu10[XGP,SYS]=,.0123456789ACDEFIPRSTV↑abcdefghilmnopqrstuvwxyy/FONT#63=cmtt9[XGP,SYS]=
∞→!"#%'()+,-./012346:;=>ABCDEFGHILMNOPRSTUVWXY[\]←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}